Bab 8 Sukatan Membulat

8.5 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 4:

Dalam rajah di atas, AXB ialah lengkok sebuah bulatan berpusat O dan jejari 10cm dengan AOB = 0.82 radian. AYBialah lengkok sebuah bulatan berpusat Pdan jejari 5cm dengan APB = θ. Hitung:
(a) Panjang perentas AB,
(b) nilai θ dalam radian,
(c) Perbezaan panjang antara lengkok AYB dan lengkok AXB.

Penyelesaian:
(a)
½ AB = sin 0.41 × 10
½ AB = 3.99
Maka panjang perentas AB = 3.99 × 2 = 7.98cm.

(b)
Katakan ½θ = α, θ = 2α
sinα= 3.99 5
α = 0.924 rad
Maka θ = 0.924 × 2 = 1.848 rad

(c)
Guna s =
Lengkok AXB = 10 × 0.41 = 4.1 cm
Lengkok AYB = 5 × 1.848 = 9.24 cm

Perbezaan panjang antara lengkok AYB dan lengkok AXB
= 9.24 – 4.1
= 5.14 cm

Bab 8 Sukatan Membulat

8.5 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 3:
Rajah di bawah menunjukkan bulatan PQRT, berpusat Odan jejari 5 cm. AQB ialah tangen kepada bulatan itu di Q . Garis lurus, AO dan BO, bersilang dengan bulatan itu masing-masing  di P dan R. OPQR ialah sebuah rombus. ACB ialah lengkok sebuah bulatan berpusat O.
Hitungkan
(a) sudut x , dalam sebutan p,                                                                    
(b) panjang, dalam cm , lengkok ACB,                                                                 
(c) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.          

Penyelesaian:
(a)
Rombus ada 4 sisi sama, maka OP = PQ = QR = OR = 5 cm
OR ialah jejari kepada bulatan, maka OR = OQ = 5 cm

Segitiga OQR dan segitiga OPQ adalah segitiga sisi sama,
Maka, QOR= QOP = 60o
POR = 120o
x= 120 o × π 180 o x= 2π 3 rad  

(b)
cosAOQ= OQ OA cos 60 o = 5 OA OA=10cm  
Panjang lengkok, ACB,
s = jθ
Panjang ACB = (10) (2π / 3)
Panjang ACB = 20.94 cm

(c)
Luas kawasan berlorek
= ½ (θ – sinθ) (tukar mode kalkulator kepada Rad)
= 1 2 ( 10 ) 2 ( 2π 3 sin 2π 3 )
= 50 (2.094 – 0.866)
= 61.40 cm2


Bab 8 Sukatan Membulat

8.4 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 4:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O.


Panjang lengkok minor ialah 16 cm dan sudut bagi sector major AOB ialah 290o.
Guna  p = 3.142, cari
(a) nilai q, dalam radian. (jawapan dalam empat angka bererti)
(b) panjang, dalam cm, jejari bulatan.

Penyelesaian:
(a)
Sudut sektor minor AOB
= 360o 290o
= 70o
= 70o × 3.142 180  
= 1.222 radian

(b)
Guna s =
j × 1.222 = 16
jejari, j = 13.09 cm


Soalan 5:
Rajah di bawah menunjukkan sektor OPQ dengan pusat Odan sektor PXY berpusat P.
Diberi OQ = 8 cm, PY = 3 cm, XPY = 1.2 radian dan panjang lengkok PQ = 6cm,
hitung
(a) nilai q, dalam radian,
(b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.

Penyelesaian:
(a)
s = jθ
6 = 8θ
θ = 0.75 rad

(b)
Luas kawasan berlorek
= Luas sektor OPQ– Luas sektor PXY 
½ (8)2(0.75) – ½ (3)2 (1.2)
= 24 – 5.4
= 18.6 cm2


Soalan 6:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O dan berjejari 10 cm.

Diberi bahawa  A, B dan C adalah titik dengan keadaan OA = AB dan OAC= 90°, cari
[Guna p = 3.142]
(a) BOC, dalam radian,
(b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.                                                                      

Penyelesaian:
(a)
Untuk ∆ OAC,
cos AOC = 6/12
AOC = 1.047 rad (tukar mode kalkulator kepada RAD)
BOC = 1.047 rad

(b)
Luas kawasan berlorek
= Luas ∆ BOC – Luas ∆ AOC
½ (12)2(1.047) – ½ (6) (12) sin 1.047 (tukar mode kalkulator kepada RAD)
= 75.38 – 31.17
= 44.21 cm2


Bab 8 Sukatan Membulat

8.5 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 2:
Rajah di bawah menunjukkan dua bulatan. Bulatan yang lebih besar berpusat A dan berjejari 20 cm. Bulatan yang lebih kecil berpusat B dan berjejari 12 cm. Kedua-dua bulata bersentuh di titik  R. Garis lurus PQ ialah tangen sepunya kepada kedua –dua bulatan itu di titik P dan titik Q.


[Guna p = 3.142]
Diberi bahawa PAR = q radians,
(a) tunjukkan bahawa q = 1.32 ( kepada dua tempat perpuluhan),                                                    
(b) hitung panjang, dalam cm, lengkok minor QR,                                                    
(c) hitung luas, dalam cm2, kawasan berlorek.

Penyelesaian:
(a)
Dalam BSA cosθ= 8 32 = 1 4       θ=1.32 rad (2 t.p.)  

(b)
QBR = 3.142 – 1.32 = 1.822 rad
Panjang lengkok minor QR
= 12 × 1.822
= 21.86 cm

(c)
PQ= 32 2 8 2 =30.98 cm

Luas kawasan berlorek
= Luas trapezium PQBA– Luas sektor QBR – Luas sektor PAR
= (12 + 20) (30.98) – (12)2 (1.822) – (20)2(1.32) 
= 495.68 – 131.18 – 264
= 100.5 cm2

Bab 8 Sukatan Membulat

8.4 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 1:

Rajah di atas menunjukkan sektor OCB yang berjejari 13 cm dan berpusat O. panjang lengkok CB = 5.2 cm. Cari
(a)    COB in radian,
(b)   perimeter kawasan berlorek.

Penyelesaian:
(a)
s = jθ
5.2 = 13 (COB)
COB = 0.4 radian

(b)
cosCOB= OA OC cos0.4= OA 13  (tukar kalkulator kepada mode Rad) OA=11.97 cm AB=1311.97=1.03 cm CA= 13 2 11.97 2 CA=5.07 cm
Perimeter kawasan berlorek = 5.07 + 1.03 + 5.2 = 11.3 cm.


Soalan 2:

Rajah menunjukkan sektor AOB suatu bulatan, berpusat O dan berjejari 5 cm. Panjang lengkok AB ialah 6cm. Cari luas
(a) sektor AOB,
(b) kawasan berlorek.

Penyelesaian:
(a)
Lengkok AB = 6cm
s = jθ
6 = 5θ
θ = 6/5 rad
Luas sektor AOB
= 1 2 r 2 θ= 1 2 ( 5 ) 2 ( 6 5 )=15c m 2  

(b)
Luas kawasan berlorek
= 1 2 r 2 ( θsinθ ) ( tukar kalkulator kepada mode Rad ) = 1 2 ( 5 ) 2 ( 6 5 sin 6 5 ) =3.35  cm 2


Soalan 3:
Rajah di bawah menunjukkan sektor QOR bagi sebuah bulatan berpusat O.

Diberi bahawa PS = 8 cm dan QP = PO = OS= SR = 5 cm.
Cari
(a)    panjang, dalam cm, lengkok QR,
(b)   luas, dalam cm2, kawasan berlorek.

Penyelesaian:
(a)   Panjang lengkok QR = rθ = 10 (1.75) = 17.5 cm

(b)
Luas kawasan berlorek
= Luas sektor QOR– Luas segitiga POS
= ½ (10)2(1.75) – ½ (5) (5) sin 1.75 (Kalkulator ditukar kepada mode RAD)
= 87.5 – 12.30
= 75.2 cm2

Bab 8 Sukatan Membulat

8.5 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 1:
Rajah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O dan berjejari 8 cm terterap dalam sektor SPTbagi sebuah bulatan berpusat P.  Garis lurus SP dan garis lurus TP adalah tangen kepada bulatan masing-masing di titik Q dan titik R.

[Guna p= 3.142]
Hitung
(a) panjang, dalam cm, lengkok ST,
(b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.          

Penyelesaian:
(a)
Bagi segitiga OPQ,
sin 30 = 8 OP OP= 8 sin 30 =16 cm
Jejari bagi sektor SPT = 16 + 8 = 24 cm
SPT=60× 3.142 180 =1.047 radian
Panjang lengkok ST = 24 × 1.047 = 25.14 cm

(b)
Bagi segitiga OPQ,
tan 30 = 8 QP PQ= 8 tan 30 =13.86 cm
QOR = 2(60o) = 120o
Sudut refleks QOR = 360o – 120o = 240o
240 = 3.142 180 × 240 =4.189 radian

Luas kawasan berlorek
= (Luas sektor SPT) – (Luas sector major OQR) – (Luas ∆ OPQ dan ∆ OPR)
= ½ (24)2 (1.047) – ½ (8)2 (4.189) – 2 (½ × 8 × 13.86)
= 301.54 – 134.05 – 110.88
= 56.61 cm2

Bab 8 Sukatan Membulat

8.2 Panjang Lengkok Sesuatu Bulatan

(A)     Rumus Panjang Lengkok dan Luas Bulatan


j = jejari    L= luas    s = panjang lengkok    θ = sudut dalam radian    l = panjang perentas 

(B)      Panjang Lengkok Sesuatu Bulatan



Contoh 1:
Suatu lengkok AB, yang berjejari 5 cm mencangkuk sudut 1.5 radian pada pusat bulatan. Cari panjang lengkok AB.

Penyelesaian:
s =
Panjang lengkok AB = (5)(1.5) = 7.5 cm



Contoh 2:
Suatu lengkok PQ, yang berjejari 12 cm mencangkuk sudut 30o pada pusat bulatan. Cari panjang lengkok PQ.

Penyelesaian:
Panjang lengkok PQ
=12× 30 × π 180 =6.283 cm



Contoh 3:
Bagi rajah di atas, cari
(a)    panjang lengkok minor AB
(b)   panjang lengkok major APB

Penyelesaian:
(a)    
panjang lengkok minor AB = jθ
= (7)(0.354)
= 2.478 cm

(b)    
360o = 2π radian, sudut refleks AOB
= (2π – 0.354) radian.

Panjang lengkok major APB
= 7 × (2π – 0.354)
= 7 × [(2)(3.1416) – 0.354]
= 7 × 5.9292
= 41.5044 cm


Bab 8 Sukatan Membulat

8.3 Luas Sektor Sesuatu Bulatan

(A)       Luas Sektor Sesuatu Bulatan
1.      Jika sesuatu bulatan dibahagikan kepada dua sektor yang berlainan saiz, sektor yang lebih kecil dikenali sebagai sektor minor manakala sektor yang lebih besar dikenali sebagai sektor major.


2.      Jika AOB ialah luas sektor suatu bulatan yang berjejari j, dan sudut θ radian yang tercangkum pada pusat bulatan O, maka


Contoh 1:
Dalam rajah di atas, cari luas sektor OAB.

Penyelesaian:
Luas sektor OAB
= ½ j2θ
= ½ (10)2(0.354)
= 17.7 cm2


(B)         Mencari Luas Tembereng Sesuatu Bulatan


Contoh 2:

  
Rajah di atas menunjukkan sebuah sector bulatan yang berpusat O yang mempunyai jejari 6 cm. panjang lengkok AB ialah 8 cm. Cari
(i)     AOB
(ii)   luas tembereng berlorek.

Penyelesaian:
(i)     Panjang lengkok AB = 8 cm
= 8
6θ = 8
                                    θ = 1.333 radian
AOB = 1.333 radian

(ii)    
Luas tembereng berlorek
= ½ j2 (θ – sinθ)
= ½ (6)2 (1.333 – sin1.333)
= ½ (36) (1.333 – 0.972)
= 6.498 cm2

Bab 10 Penyelesaian Segitiga

10.4 Penyelesaian Segitiga, SPM Praktis (Kertas 2)
Contoh 2:

Rajah menunjukkan trapezium PQRS. PS adalah selari dengan QR dan ÐQRS ialah sudut cakah. Cari
     (a)  panjang, dalam cm, QS.
     (b)  panjang, dalam cm, RS.
     (c)  ÐQRS.
     (d)  luas, dalam cm2, segitiga QRS.

Penyelesaian:
(a)
QS sinP = PS sinQ QS sin 85 = 13.1 sin 28 QS= 13.1×sin 85 sin 28 QS=27.8 cm

(b)
ÐRQS = 180o– 85o – 28o
ÐRQS = 67o
Guna petua kosinus,
RS2 = QR2+ QS2 – 2 (QR)(QS) ÐRQS
RS2 = 6.42 + 27.82 – 2 (6.4)(27.8) cos 67o
RS2 = 813.8 – 139.04
RS2 = 674.76
RS = 25.98 cm

(c)
Guna petua kosinus,
QS2 = QR2+ RS2 – 2 (QR)(RS) ÐRQS
27.82 = 6.42+ 25.982 – 2 (6.4)(25.98) cosÐQRS
772.84 = 715.92 – 332.54 cosÐQRS
cosQRS= 715.92772.84 332.54  
cosÐQRS = –0.1712
ÐQRS = 99.86o

(d)
Luas segitiga QRS
= ½ (QR)(RS) sin R
= ½ (6.4) (25.98) sin 99.86o
= 81.91 cm2