Bab 6 Geometri Koordinat

6.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 5:

Dalam rajah di atas, persamaan bagi garis lurus FMG ialah y = – 4. Satu titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari E adalah sentiasa separah jarak bagi E dari garis lurus FG. Cari
(a)   persamaan bagi lokus P,
(b)   koordinat-xbagi titik persilangan antara lokus dengan paksi-x.

Penyelesaian:
( a)
Kecerunan garis lurus FMG= 0
EM iadalah berserenjang dengan FMG, jadi kecerunan EM adalah juga = 0, persamaan EM adalah x = 2
Koordinat bagi titik M= (2, 4).

Katakan koordinat bagi titik P = (x, y).
Diberi PE = ½ EM
2PE = EM
2 ( x2 ) 2 +  ( y4 ) 2 = ( 22 ) 2 +  ( 4( 4 ) ) 2  
4 (x2– 4x + 4 + y2 – 8y +16) = (0 + 64) → (Kuasa duakan kedua-dua belah)
4x2– 16x + 16 + 4y2 – 32y + 64 = 64
4x2+ 4y2 – 16x – 32y + 16 = 0
x2 + y2 – 4x – 8y + 4 = 0

( b)
x2 + y2 – 4x – 8y + 4 = 0
pada paksi-x, y = 0.
x2 + 0 – 4x – 8(0) + 4 = 0
x2  – 4x+ 4 = 0
(x – 2) (x – 2) = 0
x = 2

Jadi, koordinat-x bagi titik persilangan antara lokus dengan paksi-x ialah 2.


Bab 6 Geometri Koordinat

6.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:
Rajah di atas menunjukkan segitiga LMN dengan keadaan L terletak di paksi-y. Persamaan garis lurus LKN dan MK adalah 2y – 3x + 6 = 0 dan 3y + x – 13 = 0 masing-masing. Cari
(a)   koordinat titik K
(b)   nisbah LK:KN

Penyelesaian:
(a)
2y – 3x + 6 = 0 ----(1)
3y + x – 13 = 0 ----(2)
x = 13 – 3y ----(3)

Gantikan persamaan (3) ke dalam (1),
2y – 3 (13 – 3y) + 6 = 0
2y – 39 + 9y + 6 = 0
11y = 33
y = 3

Gantikan y = 3 ke dalam persamaan (3),
x = 13 – 3 (3)
x = 4

Koordinat titik K = (4, 3).

(b)
Diberi persamaan LKNialah 2y – 3x + 6 = 0
Di paksi-y, x = 0,
2y – 3(0) + 6 = 0
2y = –6
y = –3
koordinat titik L= (0, –3).

Nisbah LK:KN
Samakan koordinat x,

LK(10)+KN(0) LK+KN =4 10LK=4LK+4KN 6LK=4KN LK KN = 4 6 LK KN = 2 3  

Nisbah LK:KN = 2 : 3

Bab 6 Geometri Koordinat

6.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:

Dalam rajah di atas, PRS dan QRT ialah garis lurus. Diberi Radalah titik tengah bagi PS dan QR : RT = 1 : 3, Cari
(a)   koordinat titik R,
(b)   koordinat titik T,
(c)    koordinat bagi titik persilangan antara garis PQ dan garis ST.

Penyelesaian:
(a)
Diberi R ialah titik tengah bagi PS.
R=( 3+7 2 , 2+6 2 ) R=( 5, 4 )

(b)
QR : RT = 1 : 3
Katakan koordinat titik T = (x, y)
( ( 1 )( x )+( 3 )( 4 ) 1+3 , ( 1 )( y )+( 3 )( 5 ) 1+3 )=( 5, 4 ) x+12 4 =5 x+12=20 x=8 y+15 4 =4  
y + 15 = 16
y = 1

T = (8, 1)

(c)
Kecerunan PQ= 52 43 =3
Persamaan PQ,
y – 2 = 3 (x – 3)
y – 2 = 3x – 9
y = 3x – 7 ---- (1)

Kecerunan ST= 61 78 =5
Persamaan ST,
y – 1 = –5 (x – 8)
y – 1 = –5x + 40
y = –5x + 41 ---- (2)

Gantikan (1) ke dalam (2),
3x – 7 = –5x + 41
8x = 48
x = 6

Dari (1),
y = 3(6) – 7 = 11

Koordinat bagi titik persilangan antara garis PQ dan garis ST = (6, 11).

Bab 6 Geometri Koordinat

6.7 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 6:
Titik M ialah (-3, 5) dan titik N ialah (4, 7). Titik P bergerak dengan keadaan PM: PN= 2: 3. Cari persamaan lokus bagi P.

Penyelesaian:
Katakan P = (x, y)
PM : PN = 2 : 3
PM PN = 2 3 3PM=2PN 3 ( x( 3 ) ) 2 + ( y5 ) 2 =2 ( x4 ) 2 + ( y7 ) 2   

Menguasa dua kedua-dua belah untuk menghapuskan punca kuasa dua.
9[x2+ 6x + 9 + y2 – 10y + 25] = 4 [x2 – 8x + 16 + y2 – 14y + 49]
9x2+ 54x + 9y2 – 90y + 306 = 4x2 – 32x + 4y2– 56y + 260
5x2+ 5y2 + 86x – 34y + 46 = 0

Oleh itu, persamaan lokus bagi titik P ialah
5x2 + 5y2 + 86x – 34y + 46 = 0


Soalan 7:
Diberi titik A (0,2) dan titik B (6,5). Cari persamaan lokus bagi suatu titik bergerak P dengan keadaan APB sentiasa bersudut tegak di P.
Penyelesaian:
Katakan P = (x, y)
Diberi segi tiga APB = 90o, maka AP adalah berserenjang dengan PB.
Oleh itu, (mAP)(mPB) = –1.

(mAP)(mPB) = –1
( y2 x0 )( y5 x6 )=1 
(y – 2)(y – 5) = – x(x – 6)
y2 – 7y + 10 = –x2 + 6x
y2 + x2 – 6x – 7y + 10 = 0

Persamaan lokus bagi titik P ialah,
y2 + x2 – 6x – 7y + 10 = 0


Soalan 8:
Cari persamaan pembahagi dua sama serenjang bagi garis lurus yang menyambungkan titik (–4, 3) dengan titik (2, 4).

Penyelesaian:
Kecerunan garis, m1= 43 2( 4 ) = 1 6  

Kecerunan garis serenjang, m2 = 1 m 1 =6 
Titik tengah =( 4+2 2 , 3+4 2 )                    =( 1, 7 2 )  

Jadi, persamaan pembahagi dua sama serenjang ialah
y 7 2 =6( x( 1 ) ) y 7 2 =6x6  
2y – 7 = –12x – 12
12x + 2y + 5 = 0

Bab 15 Vektor

4.7 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:
Dalam rajah di bawah, PQRS ialah satu segi empat. PTSdan TUR ialah garis lurus.


Diberi bahawa
PQ =20 x ˜ ,   PT =8 y ˜ ,   SR =25 x ˜ 24 y ˜ ,   PT = 1 4 PS   dan   TU = 3 5 TR
(a)  Ungkapakan dalam sebutan x ˜  dan/ atau  y ˜ :
(i) QS
(ii) TR   
(b)  Tunjukkan titik Q, Udan S adalah segaris.
(c)  Jika | x ˜ |=2 dan | y ˜ |=3, cari | QS |

Penyelesaian:  
(a)   
QS = QP + PS QS =20 x ˜ +32 y ˜ Diberi  PT = 1 4 PS PS =4 PT =4( 8 y ˜ )=32 y ˜

(b)   
TR = TS + SR TR = 3 4 PS +25 x ˜ 24 y ˜ TR = 3 4 ( 32 y ˜ )+25 x ˜ 24 y ˜ TR =24 y ˜ +25 x ˜ 24 y ˜ TR =25 x ˜

(c)
QU = QP + PT + TU QU =20 x ˜ +8 y ˜ + 3 5 ( 25 x ˜ ) Diberi TU = 3 5 TR QU =20 x ˜ +8 y ˜ +15 x ˜ QU =5 x ˜ +8 y ˜

Dari (a)(i)  QS =20 x ˜ +32 y ˜ QS QU = 20 x ˜ +32 y ˜ 5 x ˜ +8 y ˜ QS QU = 4( 5 x ˜ +8 y ˜ ) ( 5 x ˜ +8 y ˜ ) QS QU =4 QS =4 QU
Oleh itu, Q, U dan S adalah segaris.

(d)
PS =32 y ˜ | PS |=32| y ˜ | | PS |=32×3=96 PQ =20 x ˜ | PQ |=20| x ˜ | | PQ |=20×2=40 Oleh itu | QS |= 96 2 + 40 2 | QS |=104

Bab 15 Vektor

4.7 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

Rajah di atas menunjukkan segi tiga OAB. Garis lurus AP bersilang dengan garis lurus OQpada titik R.
Diberi bahawa OP= 1 4 OB, AQ= 1 4 AB,  OP =4 b ˜  dan  OA =8 a ˜ . 
(a)    Ungkapakan dalam sebutan a ˜  dan  b ˜ :
            (i) AP
            (ii) OQ   
(b)   (i) Diberi bahawa AR =h AP , nyatakan  AR  dalam sebutan h,  a ˜  dan  b ˜ .  
(ii) Diberi bahawa RQ =k OQ , nyatakan  AR  dalam sebutan k,  a ˜  dan  b ˜ .
(c)    Dengan menggunakan AQ = AR + RQ  ,  cari nilai bagi h dan k.

Penyelesaian:
(a)(i)
AP = AO + OP AP = OA + OP AP =8 a ˜ +4 b ˜

(a)(ii)
OQ = OA + AQ OQ =8 a ˜ + 1 4 AB OQ =8 a ˜ + 1 4 ( AO + OB ) OQ =8 a ˜ + 1 4 ( 8 a ˜ +4 OP ) OQ =8 a ˜ + 1 4 ( 8 a ˜ +4( 4 b ˜ ) ) OQ =8 a ˜ 2 a ˜ +4 b ˜ OQ =6 a ˜ +4 b ˜

(b)(i)
AR =h AP AR =h( 8 a ˜ +4 b ˜ ) AR =8h a ˜ +4h b ˜

(b)(ii)
RQ =k OQ RQ =k( 6 a ˜ +4 b ˜ ) RQ =6k a ˜ +4k b ˜

(c)
AQ = AR + RQ AQ =8h a ˜ +4h b ˜ +( 6k a ˜ +4k b ˜ ) AO + OQ =8h a ˜ +4h b ˜ +6k a ˜ +4k b ˜ 8 a ˜ +6 a ˜ +4 b ˜ =8h a ˜ +4h b ˜ +6k a ˜ +4k b ˜ 2 a ˜ +4 b ˜ =8h a ˜ +4h b ˜ +6k a ˜ +4k b ˜

–2 = –8h + 6k
–1 = –4h + 3k   → (1)

4 = 4h + 4k
1 = h + k
k= 1 – h   → (2)

Gantikan (2) ke dalam (1),
–1 = –4h + 3 (1 – h)
–1 = –4h + 3 – 3h
–4 = –7h

h= 4 7 Daripada (2), k=1 4 7 = 3 7  

Bab 5 Indeks dan Logaritma

5.3 Persamaan yang Melibatkan Indeks (Contoh Soalan)

Contoh 5 [Asas tidak sama – tukar kepada bentuk lagaritma biasa (log10) bagi kedua-dua belah]:
Selesaikan setiap persamaan yang berikut.
(a) 3x + 1 = 7 
(b) 2 (3x ) = 5 
(c) 2x .3x = 9x 4  
(d) 5x 1.3x + 2 = 10 

Penyelesaian:






Bab 5 Indeks dan Logaritma

5.2 Logaritma


N = ax   ↔   loga N = x

 
loga N = x ialah bentuk logaritma manakala N = ax ialah bentuk index.


Takrif Logaritma:
1.      Jika aialah nombor positif, maka axjuga nombor positif. Logaritma bagi nombor negatif adalah tidak tertakrif.
2.      Logaritma yang asasnya 10 dikenali sebagai logaritma biasa. Simbolnya ialah log10, singkatannya lg.
3.      Nilai logaritma biasa dapat dicari dengan menggunakan kalkulator saintifik.
4.      Bagi asas logaritma bukan 10, asanya perlu dinyatakan, misalnya log381.
5.      Logaritma boleh berasas sebarang nombor positif, kecuali 1,
(a)    loga1 = 0
(b)   logaa= 1


Contoh 1:
Cari persamaan-persamaan berikut:
(a) log2 64
(b) log3 1
(c) log5 5
(d) log½ 4
(e) log8 0.25

Penyelesaian:






Contoh 2:
Cari persamaan-persamaan berikut:
(a) log3 5x = 2
(b) logx + 1 81 = 2
(c) logx 5x – 6 = 2

Penyelesaian:





Bab 15 Vektor

4.5 Vektor dalam Satah Cartes
1.      Vektor unit mempunyai magnitud satu unit.
2.      Vektor i ˜  ialah vektor unit ke arah positif paksi-x.
Vektor j ˜  ialah vektor unit ke arah positif paksi-y.
3.    Suatu vektor dalam satah Cartes boleh ditulis dalam bentuk x i ˜ +y j ˜  atau vektor lajur ( x y ). 
4.      Magnitud bagi vektor unit ialah | i ˜ |=| j ˜ |=1. 
5.      Magnitud bagi vektor OA =x i ˜ +y j ˜  diberi oleh | OA |= x 2 + y 2 .


Contoh 1:
Jika r ˜ =k i ˜ 8 j ˜  dan | r ˜ |=10, cari nilai k. Tentukan vektor unit dalam arah r ˜  bagi setiap nilai k.

Penyelesaian:
Diberi  | r ˜ | = 10 x 2 + y 2 = 10 k 2 + ( 8 ) 2 = 10 k 2 + 64 = 100 k = ± 6

Vektor unit,  r ˜ ^ = x i ˜ +y j ˜ x 2 + y 2 Apabila k=6,                         Apabila k=6 r ˜ ^ = 6 i ˜ 8 j ˜ 10 = 3 i ˜ 4 j ˜ 5              r ˜ ^ = 6 i ˜ 8 j ˜ 10 = 3 i ˜ 4 j ˜ 5 r ˜ ^ = 1 5 ( 3 i ˜ 4 j ˜ )                        r ˜ ^ = 1 5 ( 3 i ˜ 4 j ˜ )


Contoh 2:
Diberi bahawa a ˜ =( 6 3 ) dan  b ˜ =( 3 7 ). 
(a) Cari b ˜ a ˜  dan | b ˜ a ˜ |.  
(b) Seterusnya, cari vektor unit dalam arah b ˜ a ˜  .

Penyelesaian:
(a)
b ˜ a ˜ =( 3 7 )( 6 3 )        =( 36 73 )        =( 3  4 ) | b ˜ a ˜ |= ( 3 ) 2 + 4 2 = 9+16 = 25 =5


(b)
Vektor unit dalam arah  b ˜ a ˜ = 1 5 ( 3  4 ) =( 3 5   4 5 )


Bab 15 Vektor

4.1  Pengenalan Vektor

(A) Kuantiti Vektor dan Kuantiti Skalar
1.      Vektor ialah kuantiti yang mempunyai maginitud dan arah.
2.      Skalar ialah kuantiti yang mempunyai magnitud sahaja.
3.      Misalnya, magnitud vektor OA  ialah panjang OA dan arahnya adalah dari O ke A. OA  boleh ditandakan sebagai a ˜  dan magnitudnya pula ditandakan sebagai | OA | atau | a ˜ |.  

(B) Vektor sebagai Garis Terarah
1.      Vektor AB  mewakili satu vektor yang mempunyai magnitud AB  dan menghala dari A ke B. Magnitud AB  ditulis sebagai | A B | .




(C) Kesamaan Dua Vektor
1.      Dua vektor adalah sama jika kedua-duanya mempunyai magnitud dan arah yang sama. Misalnya,
                a ˜ = b ˜ Jika (a) | a ˜ |=| b ˜ |,         (b) arah  a ˜  dan  b ˜  sama.
2.      Vektor negatif bagi AB  ialah vektor yang mempunyai magnitud yang sama dengan AB  tetapi dalam arah yang bertentangan dengan arah AB . Vektor negatif bagi AB  boleh ditulis sebagai AB  atau  BA  . Vektor negatif bagi a ˜  ditulis sebagai a ˜ .

3.      Vektor sifar, 0 ˜  , ialah vektor yang mempunyai magnitud sifar dan arahnya tidak tertakrif.