**5.6 Indeks dan Logaritma, SPM Praktis (Soalan Panjang)**

**Soalan 1**

(a)
Cari nilai bagi

i.
2 log

_{2}12 + 3 log_{2}5 – log_{2}15 – log_{2}150.
ii.
log

_{8}32(b) Tunjukkan bahawa 5

^{n}^{ }+ 5^{n}^{ +}^{ }^{1 }+ 5^{n}^{ +}^{ }^{2 }boleh dibahagi dengan 31 bagi semua nilai*n*yang merupakan integer positif.

*Penyelesaian:***(a)(i)**

2 log

_{2}12 + 3 log_{2}5 – log_{2}15 – log_{2}150= log

_{2}12^{2}+ log_{2}5^{3}– log_{2}15 – log_{2}150$={\mathrm{log}}_{2}\frac{{12}^{2}\times {5}^{3}}{15\times 150}$

= log

_{2}8= log

_{2}2^{3}= 3

**(a)(ii)**

$\begin{array}{l}{\mathrm{log}}_{8}32=\frac{{\mathrm{log}}_{2}32}{{\mathrm{log}}_{2}8}\\ \text{}=\frac{{\mathrm{log}}_{2}{2}^{5}}{{\mathrm{log}}_{2}{2}^{3}}=\frac{5}{3}\end{array}$

**(b)**

5

^{n}^{ }+ 5^{n}^{ +}^{ }^{1 }+ 5^{n}^{ +}^{ }^{2}= 5

^{n}^{ }+ (5 × 5^{n}^{ }) + (5^{2}× 5^{n}^{ })= 5

^{n}^{ }(1 + 5 + 5^{2})= 31 × 5

^{n}^{ }Oleh itu, 5

^{n}^{ }+ 5^{n}^{ +}^{ }^{1 }+ 5^{n}^{ +}^{ }^{2 }boleh dibahagi dengan 31 bagi semua nilai*n*yang merupakan integer positif.**Soalan 2:**

(a)
Diberi log

_{10}*x*= 3 dan log_{10}*y*= –2. Tunjukkan bahawa 2*xy*– 10000*y*^{2}= 19.
(b)
Selesaikan persamaan log

_{3}*x*= log_{9}(*x*+ 6).

*Penyelesaian:***(a)**

log

_{10}*x*= 3 → (*x*= 10^{3})log

_{10}*y*= –2 → (*y*= 10^{-2})2

*xy*– 10000*y*^{2}= 19Sebelah kiri:

2

*xy*– 10000*y*^{2}= 2 × 10

^{3 }× 10^{-2 }– 10000 (10^{-2})^{2}= 20 – 10000 (10

^{-4})^{}= 20 – 1

= 19

= sebelah kanan

**(b)**

$\begin{array}{l}{\mathrm{log}}_{3}x={\mathrm{log}}_{9}\left(x+6\right)\\ {\mathrm{log}}_{3}x=\frac{{\mathrm{log}}_{3}\left(x+6\right)}{{\mathrm{log}}_{3}9}\\ {\mathrm{log}}_{3}x=\frac{{\mathrm{log}}_{3}\left(x+6\right)}{{\mathrm{log}}_{3}{3}^{2}}\\ {\mathrm{log}}_{3}x=\frac{{\mathrm{log}}_{3}\left(x+6\right)}{2}\end{array}$

2log

_{3}*x*= log_{3}(*x*+ 6)log

_{3}*x*^{2}= log_{3}(*x*+ 6)*x*

^{2}=

*x*+ 6

*x*

^{2}–

*x*– 6 = 0

(

*x*+ 2) (*x*– 3) = 0*x =*– 2 atau 3.

log

_{3 }(– 2) tidak wujud.Jadi,

*x =*3.