Home › SPM Matematik Tambahan › Fungsi Kuadratik › Bab 3 Fungsi Kuadratik

Bab 3 Fungsi Kuadratik

Posted on by
3.7 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 3:
  
Rajah di atas menunjukkan graf fungsi kuadratik y = f(x). Garis lurus y = –4 ialah tangen kepada lengkung y = f(x).
(a)    Tulis persamaan paksi simetri untuk fungsi f(x).
(b)   Ungkapakan f(x) dalam bentuk (x + p)2 + q , dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
(c)    Cari julat nilai xsupaya
(i)     f(x) < 0,            (ii) f(x) ≥ 0.

Penyelesaian:
(a)
Koordinat-x titik minimum = titik tengah bagi (–2, 0) dan (6, 0)
= −2+6 2 =2 
Maka, persamaan paksi simetri untuk fungsi f(x) ialah x = 2.

(b)
Gantikan x = 2 dalam x + p = 0,
2 + p = 0
p = –2
dan q = –4 (nilai f(x) yang paling kecil)
Maka, f(x) = (x + p)2 + q
f(x) = (x – 2)2 – 4

(c)(i) Daripada graf, bagi f(x) < 0, julat nilai x ialah –2 < x < 6 ← (bahagian graf di bawah paksi-x).

(c)(ii) Daripada graf, bagi f(x) ≥ 0, julat nilai x ialah x ≤ –2 atau x ≥ 6 ← (bahagian graf di atas paksi-x).



Soalan 4:
  1. Cari julat nilai k supaya persamaan x2 – kx + 3k – 5 = 0 tidak mempunyai punca.
  2. Buktikan bahawa punca-punca persamaan kuadratik hx2 – (h + 3)x + 1 = 0 adalah nyata dan berbeza untuk semua nilai h.

Penyelesaian:
(a)
x 2 −kx+( 3k−5 )=0 Jika persamaan di atas tidak mempunyai punca, maka  b 2 −4ac<0. k 2 −4( 3k−5 )<0 k 2 −12k+20<0 ( k−2 )( k−10 )<0

Graf fungsi y = (k – 2)(k – 10) memotong paksi ufuk di k = 2 dan k = 10.
Graf melekung ke bawah untuk b2 – 4ac < 0.


Julat nilai k yang memuaskan ketaksamaan di atas ialah 2 < k < 10.

(b)
h x 2 −( h+3 )x+1=0 b 2 −4ac= ( h+3 ) 2 −4( h )( 1 ) = h 2 +6h+9−4h = h 2 +2h+9 = ( h+ 2 2 ) 2 − ( 2 2 ) 2 +9 = ( h+1 ) 2 −1+9 = ( h+1 ) 2 +8

Nilai minimum bagi (h + 1) + 8 ialah 8, satu nilai positif. Oleh itu, b2 – 4ac > 0 untuk semua nilai h.
Maka, punca-punca persamaan kuadratik hx2 – (h + 3)x + 1 = 0 adalah nyata dan berbeza untuk semua nilai h.