Bab 3 Set

3.4 Sets SPM Practis, Kertas 1 (Soalan Pendek)
Soalan 5:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah gambar rajah Venn dengan bilangan unsur dalam set P, set Q dan set R.
Diberi bahawa set semesta, ξ=PQR and n( Q' )=n( QR ).
Carikan nilai x.

Penyelesaian:
n(Q') = n(QR)
3 + 8 + 5 = x– 3 + 9
16 = x + 6
x = 10


Soalan 6:
Rajah di bawah ialah gambar rajah Venn yang menunjukkan bilangan peserta kuiz dalam set P, set Q dan set R.
Diberi bahawa set semesta, ξ=PQR , set P = { peserta kuiz Sains}, set Q = { peserta kuiz Matematik} dan set R = {peserta kuiz Sejarah}.


Jika bilangan peserta yang mengambil bahagian hanya satu kuiz sahaja ialah 76, cari jumlah semua peserta itu.

Penyelesaian:
Bilangan peserta yang mengambil bahagian hanya satu kuiz sahaja = 76
(5x – 2) + (x + 6) + (2x + 8) = 76
                                    8x + 12 = 76
8x = 64
x = 8

Jumlah semua peserta
= 76 + 7 + 4 + 5 + 3(8)
= 116


Soalan 7:
Rajah di bawah ialah gambar rajah Venn yang menunjukkan bilangan murid bagi set K, set L dan set M.
Diberi bahawa set semesta, ξ=KLM , set K = {Kelab Karate}, set L = {Kelab Lumba Basikal} dan set M = {Kelab Menembak}.


Jika bilangan murid yang menyertai kedua-dua Kelab Lumba Basikal dan Kelab Menembak adalah 8 orang, cari bilangan murid yang menyertai dua kelab sahaja.

Penyelesaian:
Bilangan murid yang menyertai kedua-dua Kelab Lumba Basikal dan Kelab Menembak = n(LM) = 2 + 2x
2 + 2x = 8
2x = 6
x = 3

Bilangan murid yang menyertai dua kelab sahaja
= x + 4 + 2x
= 3 + 4 + 2(3)
= 13

Posted in Set

Bab 4 Persamaan Serentak

4.2 SPM Praktis, Persamaan Serentak, (Soalan panjang)
Soalan 5:
Selesaikan persamaan serentak.
5y – 6x= 2 
4y x 3x y =4. 

Penyelesaian:
5y – 6x= 2 ----- (1)
4y x 3x y =4 ------- (2) Daripada (1), y= 2+6x 5 ------- (3)             

Gantikan (3) dalam (2),
4( 2+6x 5 ) x 3x ( 2+6x 5 ) =4 8+24x 5x 15x 2+6x =4 ( 8+24x )( 2+6x )( 15x )( 5x ) 5x( 2+6x ) =4

16 + 48x + 48x + 144x2 – 75x2 = 20x (2 + 6x)
69x2 + 96x + 16 = 40x + 120x2
51x2 – 56x – 16 = 0
(3x – 4)(17x + 4) = 0

3x – 4 = 0        atau     17x + 4 = 0
x= 4 3           atau          x= 4 17

Gantikan x= 4 3  dalam persamaan (3), y= 2+6( 4 3 ) 5 =2

Gantikan x= 4 17  dalam persamaan (3), y= 2+6( 4 17 ) 5 = 2 17

Maka penyelesaian ialah ( 4 3 ,2 )dan ( 4 17 , 2 17 ).


Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.3d Pembentukan Persamaan Kuadratik Baru daripada Persamaan Kuadratik yang diberi (Contoh Soalan)

Contoh:
Dineri punca-punca bagi x 2 – 3x 7 = 0 ialah αdan β, cari persamaan yang mempunyai punca-punca α2 β dan α β2.

Penyelesaian:
Bahagian 1 : Cari HTP dan HDP bagi persamaan kuadratik yang diberi

x 2 – 3x 7 = 0
a = 1, b = –3, c = –7
HTP: α + β→ (α, β ialah punca-punca persamaan kuadratik ax 2 + bx + c = 0)
= b a =( 3 1 )=3  

HDP:αβ= c a = 7 1 =7

Bahagian 2 : Bentukkan persamaan kuadratik baru dengan mencari HTP dan HDP 

Persamaan kuadratik baru mempunyai punca-punca α2 β dan α β2
HTP = α2 β + α β2
            = αβ (α + β)
            = –7 (3) = –21 → (Daripada bahagian 1, α + β = 3, αβ = –7)

HDP = α2 β (α β2)
            = α3 β3 = (α β)3
            = (–7)3 = –343

Untuk membentuk persamaan kuadratik baru,
x 2 – (HTP)x + HDP = 0
x 2 – (–21)x + (–343) = 0
x 2 + 21 x –343 = 0

Maka, persamaan yang mempunyai punca-punca α2 β dan α β2 ialah,
x 2 + 21 x –343 = 0

Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.1.2 Punca Persamaan Kuadratik
Punca persamaan kuadratik ialah nilai bagi pembolehubah yang memuaskan persamaan kuadratik itu.

Contoh 1:
Tentukan sama ada 1, 2, dan 3 ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik x2 − 5x + 6 = 0.

Penyelesaian:
Apabila x = 1,
x2 − 5x + 6 = 0
(1)2− 5(1) + 6 = 0
2 = 0 ← (tidak sama nilai di kedua-dua belah)
x = 1 bukan punca persamaan itu

Apabila x= 2,
x2 − 5x + 6 = 0
(2)2− 5(2) + 6 = 0
0 = 0 ← (sama nilai di kedua-dua belah)
x = 2 ialah punca persamaan itu.

Apabila x= 3
x2 − 5x + 6 = 0
(3)2− 5(3) + 6 = 0
0 = 0 ← (sama nilai di kedua-dua belah)
x = 3 ialah punca persamaan itu.

Kesimpulan:
1. 2 dan 3 memuaskan persamaan x2 − 5x + 6 = 0, maka ia adalah punca-punca bagi persamaan itu.
2. 1 tidak memuaskan persamaan x2 − 5x + 6 = 0, maka ia bukan punca-punca bagi persamaan itu.


Contoh 2 (Punca yang memuaskan suatu persamaan):
Peringatan: Punca persamaan kuadratik ialah nilai bagi pembolehubah yang memuaskan persamaan kuadratik itu.
(a) Diberi x= 3 adalah punca bagi persamaan kuadratik x 2 + 2x + p = 0, cari nilai p.
(b) Punca-punca bagi persamaan kuadratik 3x 2 + hx + k = 0 ialah
2 dan 4. Cari nilai h dan nilai k.

Penyelesaian:
(a)
x 2 + 2x + p = 0 
32+ 2(3) + p = 0 → ganti x = 3 (punca persamaan)
p = –15

(b)
3x 2 + hx + k = 0
x = 2 dan 4 ialah punca-punca persamaan,
3 ( 2)2+ h (2) + k = 0 → ambil x = 2
12 – 2h+ k = 0
2hk = 12 ------ (1)

3 (4 )2+ h (4) + k = 0 → ambil x = 4
48 + 4h + k = 0
4h + k= –48 ----- (2)

(1)   + (2),
6h = –36
h = –6
2 (–6) – k= 12
k = –24

Bab 13 Hukum Linear

2.7 Hukum Linear, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 3:
Gunakan kertas graf untuk menjawap soalan ini.
Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen.  Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y=qx+ p qx , dengan keadaan p dan q ialah pemalar.

x
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
y
1.0
2.7
4.1
6.5
6.8
8.0

Salah satu daripada nilai y salah direkodkan.
(a)    Berdasarkan jadual di atas, bina satu jadual bagi nilai-nilai x2 dan xy.
(b)   plot xy melawan x2 dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 unit pada kedua-dua paksi.
Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik.
(c)    Gunakan graf di (b) untuk menjawap soalan di bawah,
            (i)     Nyatakan nilai y yang salah direkodkan dan tentukan nilai sebenarnya.
            (ii)   Cari nilai p dan nilai q.

Penyelesaian:
(a)

(b)
(c)(i)
(c)(ii)



Bab 13 Hukum Linear

2.7 Hukum Linear, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 2:
Gunakan kertas graf untuk menjawap soalan ini.
Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen.  Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan a y = b x +1 , dengan keadaan k dan p ialah pemalar.

x
1.5
2
3
4
5
6
y
5.004
1.540
0.930
0.770
0.705
0.656

(a)    Berdasarkan jadual di atas, bina satu jadual bagi nilai-nilai 1 x  dan  1 y . 
(b)   plot 1 y  melawan  1 x ,  dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.1 unit pada paksi 1 x   dan skala 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi 1 y  ,
Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik.
(c)    Gunakan graf di (b) untuk mencari nilai
            (i)     a,
            (ii)   b,

Penyelesaian:
(a)

(b)


(c)(i)(ii)




Bab 13 Hukum Linear

2.7 Hukum Linear, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 1:

Gunakan kertas graf untuk menjawap soalan ini.
Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah x dan y, yang dihubungkan oleh persamaan y=5h x 2 + k h x , dengan keadaan h dan k ialah pemalar.

x
2
3
4
5
6
7
y
7.0
11.3
16.0
21.2
27.1
33.2

(a)    Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan skala 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi y x  , plot graf y x  melawan x.
Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik.
(b)   Gunakan graf di (a) untuk mencari nilai
            (i)     h,
            (ii)   k,
            (iii)  yapabila x = 6.

Penyelesaian:
(a)
Sediakan satu jadual yang memberikan nilai X (x) dan nilai Y  ( y x ). 


(b)

Cari kecerunan garis lurus penyuaian terbaik, m, dan pintasan-Y daripada graf.
(b)(i)(ii)
~ Tukar fungsi tak linear kepada bentuk linear melalui persamaan Y = mX + c.
~ Bandingkan dengan nilai-nilai m dan c di graf, cari nilai h dan nilai k


(b)(iii)
Nilai yapabila x = 6


Bab 13 Hukum Linear

2.5 Memperoleh Maklumat daripada Graf Garis Lurus Penyuaian Terbaik
Contoh 1:

Gunakan kertas graf untuk menjawap soalan ini.
Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah x dan y, yang dihubungkan oleh persamaan y = pk√x dengan keadaan p dan k ialah pemalar.

x
1
4
9
16
25
36
y
1.80
2.70
4.05
6.08
9.11
13.67

(a)    Plotkan log10 y melawan √x. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.
(b)   Gunakan graf anda dari (a) untuk mencari nilai pdan nilai k.

Penyelesaian:
(a)
Langkah 1: Sediakan suatu jadual yang memberikan nilai X (√x) dan nilai Y (log10 y).



Langkah 2: Dengan menggunakan skala yang sesuai, lukis garis lurus penyuaian terbaik dengan memplot graf Y (log10 y) melawan X (√x).



(b)
Langkah 3: Cari kecerunan garis lurus penyuaian terbaik, m, dan pintasan-Y daripada graf.



Langkah 4: Tukar fungsi tak linear kepada bentuk linear melalui persamaan Y = mX + c.



Langkah 5: Bandingkan dengan nilai-nilai m dan c di langkah 3, cari nilai p dan nilai k.  



Bab 13 Hukum Linear

2.6 Hukum Linear, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 6:
Dua pembolehubah, x dan y, dihubungkan oleh persamaan y2 = pxq. Apabila graf lgy melawan lgx diplotkan, graf garis lurus yang diperoleh mempunyai kecerunan –2 dan pintasan tegak ialah 0.5.  Cari nilai p dan nilai q.

Penyelesaian:






Soalan 7:
Dua pembolehubah, x dan y, dihubungkan oleh persamaan y= c dx .  Apabila graf y melawan xy diplotkan, graf garis lurus yang diperoleh mempunyai kecerunan 2.5 dan pintasan paksi-y ialah 1.25.  Cari nilai cdan nilai d.

Penyelesaian:



Bab 13 Hukum Linear

2.6 Hukum Linear, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 4:
Dua pembolehubah, x dan y, dihubung oleh rumus y = px3, dengan pialah pemalar. Cari nilai p dan nilai n.


Penyelesaian:




Soalan 5:
Rajah A menunjukkkan sebahagian daripada lengkung y = ax2 + bx. Rajah B menunjukkkan sebahagian daripada garis lurus yang diperoleh apabila y= ax2 + bx ditukar kepada bentuk linear. Cari
(a)    nilai a dan nilai b,
(b)   nilai p dan nilai q.

Rajah A

Rajah B

Penyelesaian: