Bab 8 Bulatan III

8.4 SPM Praktis, Bulatan III (Kertas 1)
Soalan 9:
Dalam rajah di atas, ABC ialah tangen kepada bulatan berpusat O , di titik B.
Cari nilai y.

Penyelesaian:
ABO = 90o
BOE = 2 × 40o = 80o
Dalam segi empat AEOB,
AEO= 360 ABO  BOE – 35o
= 360– 90o – 80o – 35o= 155o
yo + AEO = 180
yo + 155o = 180o
yo = 180o  – 155o
y o = 25


Soalan 10:


Dalam rajah di atas, ABC ialah tangen kepada bulatan berpusat O, di titik B.
Nilai x ialah

Penyelesaian:
OBC = 90
BOD = 2 × 50o = 100o
Dalam segi empat BODC,
xo = 360BOD OBC – 120o
= 360– 100o – 90o – 120o
= 50

Bab 8 Bulatan III

8.3 Tangen Sepunya
Tangen sepunya kepada dua bulatan ialah suatu garis lurus yang menyentuh kedua-dua bulatan itu masing-masing pada satu titik sahaja.

1.     Bersilang di dua titik
     (a) Bulatan sama saiz

Bilangan Tangen Sepunya
Sifat-sifat Tangen Sepunya
Dua tangen sepunya:
AB dan CD
AC = BD
AB = CD
AB selari dengan OR selari dengan CD


     (b) Bulatan saiz berbeza


Bilangan Tangen Sepunya
Sifat-sifat Tangen Sepunya
Dua tangen sepunya:
ABE dan CDE
AB = CD
BE = DE
OA // RB
OC // RD


2.     Bersilang di satu titik
     (a) Bulatan sama saiz

Bilangan Tangen Sepunya
Sifat-sifat Tangen Sepunya
Tiga tangen sepunya:
AB, CD dan PQ
AC = PQ = BD
AB = OR = CD
AB // OR // CD
AC // PQ // BD
PQ berserenjang dengan OR


     (b) Bulatan saiz berbeza
     (i)    Bersentuh di luar bulatan

Bilangan Tangen Sepunya
Sifat-sifat Tangen Sepunya
Tiga tangen sepunya:
ABE, CDE dan PQ
AB = CD
BE = DE
OA // RB
OC // RD
PQ berserenjang dengan ORE


     (ii) Bersentuh di dalam bulatan


Bilangan Tangen Sepunya
Sifat-sifat Tangen Sepunya
Satu tangen sepunya:
PQR
ONQ berserenjang dengan PR



3.     Tidak bersilang
     (a) Bulatan sama saiz

Bilangan Tangen Sepunya
Sifat-sifat Tangen Sepunya
Empat tangen sepunya:
AB, CD, PS and RQ
AB = CD = OV
PS = RQ
AB // OV // CD


     (b) Bulatan saiz berbeza


Bilangan Tangen Sepunya
Sifat-sifat Tangen Sepunya
Empat tangen sepunya:
AB, CD, PS dan RQ
AB = CD
BT = DT
PS = RQ
OA // VB
OC // VD


Bab 8 Bulatan III

8.2 Sudut di antara Tangen dengan Perentas (Contoh Soalan)

Contoh 2:
Dalam rajah, PQRialah tangen kepada bulatan QSTU di titik Q.

Cari nilai bagi y.

Penyelesaian:
QUT = 180o– 98o (sudut bertentangan dalam sisi empat kitaran QSTU)
                     = 82o
QTU = 75o  (sudut dalam tembereng selang-seli)
Therefore y= 180o – (82o + 75o (Jumlah sudut dalaman ∆ QTU)
                    = 23o

Contoh 3:
Dalam rajah, PQRialah tangen kepada bulatan QSTU di titik Q.

Cari nilai bagi
      (a)  x                      (b) y

Penyelesaian:
(a)
UTS+ UQS= 180o  ← (sudut bertentangan dalam sisi empat kitaran QSTU)
105o + UQS = 180o
UQS= 75o

x+ 75o + 20o = 180o  ← (Jumlah sudut garis lurus PQR = 180o)
x+ 95o = 180o
x = 85o

(b)
PQU= QSU  ← (sudut dalam tembereng selang-seli)
85o = 35o + y
y = 50o

Contoh 4:

Dalam rajah, ABCialah tangen kepada bulatan BDE dengan pusat O, di titik B.
Cari nilai bagi x.

Penyelesaian:


BED=CBD= 54 BDE = 180 54 2 = 63 Segi tiga kaki sama EBD=EDB

ABE = BDE = 63o
Dalam ∆ABE,
xo + 45o + 63o = 180o
xo + 108o = 180o
x = 72

Bab 8 Bulatan III

8.2 Sudut di antara Tangen dengan Perentas


1.      Dalam rajah, ABC ialah tangen kepada bulatan di titik B.
2.      Perentas PB membahagikan bulatan kepada dua tembereng, iaitu tembereng minor PRB dan tembereng major PQB.
3.      Sudut dalam tembereng selang-seli yang dicangkum oleh perentas PB yang melalui titik sentuhan tangen ialah BQP.
4.       Manakala, sudut dalam tembereng selang-seli yang dicangkum oleh perentas BQ yang melalui titik sentuhan tangen ialah BPQ.
5.      Sudut di antara tangen dengan perentas yang melalui titik sentuhan tangen adalah sama dengan sudut dalam tembereng selang-seli yang dicangkum oleh perentas itu.
6.      Hubungan antara sudut-sudut adalah berikut:
ABP = BQP
CBQ = BPQ

Contoh 1:

Dalam rajah di atas, ABC ialah tangen kepada bulatan BDEdi titikt B.
Panjang lengkok BDadalah sama dengan panjang lengkok DE.
Cari nilai bagi p.

Penyelesaian:
BED = 82o  ← (sudut dalam tembereng selang-seli)
DBE = 82o  ← (Lengkok BD = Lengkok DE, BDE ialah segi tiga kaki sama)
Oleh itu p= 180o – 82o – 82o
                  = 16o

Bab 8 Bulatan III

8.1 Tangen kepada Bulatan
1.      Tangen kepada bulatan ialah garis lurus yang menyentuh bulatan itu pada satu titik sahaja. Titik tersebut dipanggil titik sentuhan.



2.      Jejariyang melalui titik sentuhan tangen adalah berserenjang dengan tangen itu.

Jika ABC ialah tangen kepada bulatan di B, maka ABO = CBO = 90o.


8.1.1 Sifat-sifat Berkaitan dengan Dua Tangen kepada Suatu Titik di Luar Bulatan

Dalam rajah di atas, BA dan BC ialah dua tangen dari satu titik luar B. Sifat-sifat bagi tangennya adalah berikut.  
  ( a ) BA=BC   ( b ) ABO=CBO= x o   ( c ) AOB=COB= y o   ( d ) OAB=OCB=  90 o   ( e ) AOC+ABC=  180 o   ( f )  Δ AOB dan ΔCOB adalah kongruen  

Contoh 1:

Rajah di atas menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O. ABC dan CDE ialah dua tangen kepada bulatan di titik B dan D masing-masing. Cari panjang OC

Penyelesaian:
OC2 = OB2 + BC2(Teori Pythagoras)
        = 62+ 82
        = 100
OC = √100 = 10 cm


Contoh 2:

Dalam rajah di atas, AB dan BC ialah dua tangen kepada bulatan dengan pusat O.Hitung nilai bagi
     (a)  x                                  (b) y

Penyelesaian:
(a)  AB= BC
7 + x = 12
x = 5
(b)
OBA = OCB = 21o
OCB = 90o ← (OC berserenjang dengan CB)
yo = 180o – 21o – 90o
y = 69


Contoh 3:

Dalam rajah di atas, ABC ialah tangen kepada bulatan dengan pusat O di titikt B. CDE  ialah garis lurus. Cari nilai bagi x.

Penyelesaian: 
CBO = 90o ← (OB berserenjang dengan BC)
Dalam ∆ BCE,
xo = 180o – 30o – 50o – 90o
x = 10o

Bab 8 Bulatan III

8.3 Tangen Sepunya (Contoh Soalan)

Contoh 1:

Dalam rajah di atas, O dan F ialah pusat bagi dua bulatan yang bersilang. ABG dan CDG ialah tangen-tangen sepunya kepada bulatan-bulatan itu. Cari nilai
     (a)  x,                     (b) y,               (c) z

Penyelesaian:
(a)
Dalam ∆ BFG,
BFG = ½ × 56o = 28o
FBG= 90o ← (jejari berserenjang dengan tangen)
xo+ 28o + 90o = 180o
xo= 180o – 118o
xo= 62o
x = 62

(b)
AOF= xo = 62o ← (AO // BF)
yo= 2 × 62o
yo= 124o
y = 124

(c)
Sudut luaran bagi AOC = 360o – 124o = 236o
EOC = ½ × 236o = 118o
zo= (180o – 118o) × ½  ← (∆ EOC ialah segitiga kaki sama, OEC = OCE)
zo= 31o
z = 31

Bab 8 Bulatan III

Soalan 5:
Dalam rajah di atas, PAQ ialah tangen kepada bulatan ABCD di titik A. AEC dan BED ialah garis lurus. Nilai bagi y ialah

Penyelesaian:
ABD = ACD = 40o
ACB = PAB = 60o
y= 180 ACBCBD ABD
y= 180– 60o – 25o– 40o = 55o


Soalan 6:
Dalam rajah di atas, KPL ialah tangen kepada bulatan PQRSdi titik P. Nilai bagi x ialah

Penyelesaian:
PQS = SPL= 55o
SPQ = 180– 30o – 55o= 95o
Dalam sisi empat kitaran,
SPQ + SRQ = 180o
95o+ xo = 180o
x = 85o


Soalan 7:
Dalam rajah di atas, APB ialah tangen kepada bulatan PQRdi titik P. QRB ialah garis lurus. Nilai bagi x ialah

Penyelesaian:
PQR = RPB= 45o
QPR = (180– 45o) ÷ 2 = 67.5o
PQR + BPQ + xo = 180o
45o+ (67.5o + 45o) + xo = 180o
x = 22.5o


Soalan 8:

Rajah di atas menunjukkan dua bulatan berpusat di O dan V. AB ialah tangen sepunya kepada bulatan-bulatan itu. OPRV ialah garis lurus. Panjang PR, dalam cm, ialah

Penyelesaian:


cos 86 o = OM OV 0.070= 1 OV OV= 1 0.070 OV=14.29cm PR=14.2954           =5.29cm

Bab 8 Bulatan III

Soalan 1:

Dalam rajah di atas, FAD ialah tangen kepada bulatan berpusat O. AEB dan OECD ialah garis lurus. Nilai bagi y ialah

Penyelesaian:
OAD = 90o
AOD= 180– 90o – 34o= 56o
yo = 56÷ 2 = 28o


Soalan 2:
Dalam rajah di atas, PQR ialah tangen kepada bulatanQSTU di Q dan TUPV ialah garis lurus. Nilai bagi y ialah

Penyelesaian:
QTS= RQS=  40 o SQT= QTS=  40 o ( Segitiga kaki sama ) PQT=  180 o    40 o   40 o =  100 o TPQ=  180 o    115 o =  65 o y o =  180 o    100 o   65 o =1 5 o


Soalan 3:
Dalam rajah di atas, ABC ialah tangen kepada bulatan BDE berpusat O, di B.
Cari nilai bagi y.

Penyelesaian:
BOD= 2×BED             = 2× 35 o = 70 o ODB=OBD             =( 180 o  70 o )÷2= 55 o EDB=EBA= 75 o   y o + ODB= 75 o y o +  55 o = 75 o y=20


Soalan 4:
Dalam rajah di atas, ABCD ialah tangen kepada bulatan CEF di titik C. EGC ialah garis lurus. Nilai bagi y ialah

Penyelesaian:
CEF=DCF= 70 AEG+ 70 + 210 = 360 AEG= 80 Dalam sisi empat kitaran ABGE, ABG+AEG= 180 y + 80 = 180 y=100