Bab 3 Fungsi Kuadratik

3.7 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 2:
  
Rajah di atas menunjukkan graf fungsi kuadratik y = f(x). Garis lurus y = –4 ialah tangen kepada lengkung y = f(x).
(a)    Tulis persamaan paksi simetri untuk fungsi f(x).
(b)   Ungkapakan f(x) dalam bentuk (x + p)2 + q , dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
(c)    Cari julat nilai xsupaya
(i)     f(x) < 0,            (ii) f(x) ≥ 0.

Penyelesaian:
(a)
Koordinat-x titik minimum = titik tengah bagi (–2, 0) dan (6, 0)
= 2+6 2 =2 
Maka, persamaan paksi simetri untuk fungsi f(x) ialah x = 2.

(b)
Gantikan x = 2 dalam x + p = 0,
2 + p = 0
p = –2
dan q = –4 (nilai f(x) yang paling kecil)
Maka, f(x) = (x + p)2 + q
f(x) = (x – 2)2 – 4

(c)(i) Daripada graf, bagi f(x) < 0, julat nilai x ialah –2 < x < 6 ← (bahagian graf di bawah paksi-x).

(c)(ii) Daripada graf, bagi f(x) ≥ 0, julat nilai x ialah x ≤ –2 atau x ≥ 6 ← (bahagian graf di atas paksi-x).

Bab 3 Fungsi Kuadratik

3.7 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 1:
Tanpa menggunakan kaedah pembezaan atau melukis graf, cari nilai maksimum atau nilai minimum bagi fungsi y = 2 + 4x – 3x2. Seterusnya, cari persamaan paksi simetri bagi graf fungsi itu.

Penyelesaian:
Menyempurnakan kuasa dua bagi fungsi y dalam bentuk y = a(x+ p)2 + q untuk mencari nilai maksimum  atau nilai minimum bagi fungsi y.

y = 2 + 4x – 3x2
y = – 3x2 + 4x + 2 ← (Tulis dalam bentuk am)
y=3[ x 2 4 3 x 2 3 ] y=3[ x 2 4 3 x+ ( 4 3 × 1 2 ) 2 ( 4 3 × 1 2 ) 2 2 3 ] y=3[ ( x 2 3 ) 2 ( 2 3 ) 2 2 3 ]  

y=3[ ( x 2 3 ) 2 4 9 6 9 ] y=3[ ( x 2 3 ) 2 10 9 ] y=3 ( x 2 3 ) 2 + 10 3 Bentuk a (x+p) 2 +q

Didapati a = –3 < 0,
maka fungsi y mempunyai nilai maksimum 10 3 . 
x 2 3 =0 x= 2 3
Persamaan paksi simetri bagi graf fungsi itu ialah x= 2 3 .  


Bab 3 Fungsi Kuadratik

3.2 Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Fungsi Kuadratik

Titik Maksimum dan Titik Minimum

1.      Suatu fungsi kuadratik  f ( x ) = ax 2 + bx + c  boleh diungkapkan dalam bentuk f ( x ) = a ( x + p ) 2   + q  dengan cara menyempurnakan kuasa dua.
2.      Titik maksimum atau titik minimum boleh ditentukan daripada persamaan f (x ) = a (x + p )2 + q  .

(A) Titik Minimum
1. Fungsi kuadratik f (x ) mempunyai nilai minimum jika a ialah positif
2. Fungsi kuadratik f (x ) mempunyai nilai minimum apabila (x + p) = 0.
3. Nilai minimum ialah q.
4. Titik minimum ialah (p, q).

(B) Titik Maksimum
1. Fungsi kuadratik f (x ) mempunyai nilai maksimum jika a ialah negatif .
2. Fungsi kuadratik f (x ) mempunyai nilai maksimum apabila (x + p) = 0.
3. Nilai maksimum ialah q.
4. Titik maksimum ialah (p, q).


Contoh:
Cari titik maksimum atau titik minimum bagi setiap persamaan kuadratik yang berikut.
(a) f (x ) = (x 3)2 + 7
(b) f (x ) = 5 3(x + 15)2

Penyelesaian:
(a) f (x ) = (x 3)2 + 7
a = 1, p = 3, q = 7

a > 0, fungsi kuadratik mempunyai titik minimum.
Titik minimum = (p, q) = (3, 7)

(b) f (x ) = 5 3(x + 15)2
a = 3 , p = 15, q = 5

a < 0, fungsi kuadratik mempunyai titik maksimum.
Titik maksimum = ( p, q) = ( –15 , 5 )

Bab 3 Fungsi Kuadratik

3.4 Ketaksamaan Kuadratik (Bahagian 1)

(A) Menyelesaikan Ketaksamaan Kuadratik
1.      Penyelesaian bagi suatu ketaksamaan kuadratik adalah nilai-nilai julat yang memuaskan ketaksamaan itu.
2.      Terdapat dua acara untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik.
(a) Kaedah graf
(b) Kaedah garis nombor

(B)(i) Langkah-langkah untuk menyelesaikan suatu ketaksamaan kuadratik (Kaedah graf)

Langkah 1
 : Tulis semula ketaksamaan kuadratik dengan sifar di satu belah dan pastikan a > 0.
Langkah 2 : Selesaikan persamaan y = 0 untuk mencari titik persilangan graf dengan paksi-x.
Langkah 3 : Lakarkan graf dan lorekkan kawasan itu untuk mencari julat nilai x.


Contoh 1:
Cari julat nilai x bagi setiap ketaksamaan kuadratik yang berikut:
(a) x 2 4x + 3 < 0
(b) 12 + 10x –2x2 < 0

Penyelesaian:





Bab 3 Fungsi Kuadratik

3.5b Jenis Punca Persamaan Kuadratik (Contoh Soalan)

Contoh 2 (Garis Lurus Bersilang dengan Lengkung di Dua Titik Berlainan)
Garis lurus y = 2k+ 1 bersilang dengan  y=x+ k 2 x  di dua titik berlainan.  Cari julat nilai k.

Penyelesaian:




Contoh 3 (Garis Lurus Tidak Bersilang dengan Lengkung)
Cari julat nilai m dengan keadaan garis lurus y = mx+ 6 tidak bersilang dengan lengkung 2x2xy = 3.

Penyelesaian:




Bab 3 Fungsi Kuadratik

3.5a Jenis Punca Persamaan Kuadratik (Contoh Soalan)

Contoh 1 (Garis Lurus adalah Tangen kepada Lengkung)
Cari nilai p jika 8y= x + 2p adalah tangen kepada lengkung 2y2 = x+ p.


Penyelesaian:




Bab 3 Fungsi Kuadratik

3.5 Jenis Punca Persamaan Kuadratik
1.      Jenis punca persamaan kuadratik ax2  + bx + c= 0 ditentukan oleh nilai b2 − 4ac. Nilai b2 − 4ac memberi maklumat terhadap bilangan titik persilangan.

(a)  Apabila graf menyentuh garis lurus pada satu titik, iaitu terdapat hanya satu punca nyata bagi persamaan ax2  + bx + c = 0, maka b2  − 4ac = 0.




(b)  Apabila graf bersilang dengan garis lurus pada dua titik, iaitu terdapat dua punca nyata dan berbeza bagi persamaan ax2  + bx + c = 0, maka b2  − 4ac > 0.





(c)  Apabila graf tidak bersilang dengan garis lurus (tiada titik persilangan), iaitu tidak terdapat punca nyata bagi persamaan ax2  + bx + c = 0, maka b2  − 4ac < 0.



Bab 3 Fungsi Kuadratik

3.4 Ketaksamaan Kuadratik (Bahagian 2)

(C) Ketaksamaan Linear
Contoh 1:
(a) Diberi x= 6y 3 , cari julat nilai x untuk y > 9.
(b) Diberi 2x + 3y – 6 = 0, cari julat nilai x untuk y < 4.

Penyelesaian:






(D) Ketaksamaan Kuadratik
Contoh 2:
Cari julat nilai x yang memuaskan setiap ketaksamaan kuadratik yang berikut:
(a) (2x+ 1) (3x – 1) < 14
(b) (x – 2) (5x – 4) + 1 > 0

Penyelesaian:





Bab 3 Fungsi Kuadratik

3.2c Cari Titik Maksimum atau Titik Minimum suatu Fungsi Kuadratik dengan Kaedah Penyempurnaan Kuasa Dua (Contoh Soalan)

Contoh:
Dengan menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua, nyatakan nilai maksimum atau nilai minimum bagi setiap fungsi kuadratik yang berikut.
Seterusnya, cari titik maksimum atau titik minimum dan nyatakan paksi simetri yang sepadan.
(a) f (x ) = x 2 + 6x + 7
(b) f (x ) = 2x 2 6x + 7
(c) f (x ) = 5 2x x 2
(d) f (x ) = 4 + 12x 3x 2

Penyelesaian:









Bab 3 Fungsi Kuadratik

3.2b Cari Titik Maksimum atau Titik Minimum suatu Fungsi Kuadratik dengan Kaedah Penyempurnaan Kuasa Dua

Langkah-langkah untuk menukarkan bentuk am fungsi kuadratik kepada bentuk penyempurnaan kuasa dua:
Bentuk am fungsi kuadratik: f (x ) = ax 2 + bx + c  
Bentuk penyempurnaan kuasa dua: f (x ) = a (x + p )2 + q.

Langkah 1: Pastikan pekali x2 adalah 1, dan lakukan pemfaktoran jika pekali x2  bukan 1.
Langkah 2: Tambah  + ( pekali x 2 ) 2 ( pekali x 2 ) 2
Langkah 3: Menyempurnakan kuasa dua [tukar  f (x) = ax2 + bx + c kepadaf (x) = a (x + p)2 + q].