Bab 1 Fungsi

          1.2.2    Fungsi

(C) Domain, Kodomain, Objek, Imej, dan Julat bagi Suatu Fungsi
Contoh 3:
Gambar rajah anak panah di atas mewakili satu fungsi f : x → 2 x2 – 5. Nyatakan
(a)    domain,
(b)   julat,
(c)    imej bagi –2,
(d)   objek bagi,
            (i)     –3,
            (ii)   –5.

Penyelesaian:
(a)    Domain = {–2, –1, 0, 1, 2}.
(b)   Julat = {–5, –3, 3}.
(c)    Imej bagi –2 ialah 3.
(d)   (i) Objek bagi –3 ialah 1 dan –1.
            (ii)   Objek bagi –5 ialah 0.


(D)  Fungsi Nilai Mutlak
1.      Tanda |  | menandakan nilai mutlak bagi suatu nombor. Secara amnya, nilai mutlak bagi nombor x, iaitu | x|, ditakrifkan seperti berikut.

| x |={ x jika x0 x jika x<0  

2.      Ini bermakna tanda bagi suatu nilai mutlak sentiasa positif.
3.      | x | dibaca sebagai modulus bagi x.
4.      Nilai mutlak bagi fungsi f( x) ialah nilai berangka bagi f(x) dan ditandakan sebagai | f(x)|.

| f(x) |={ f(x) jika f(x)0 f(x) jika f(x)<0

Contoh 4:
Diberi fungsi f: x|x + 2|.
(a)    Cari imej bagi –4, –3, 0, dan 2.
(b)   Lakarkan graf bagi f (x) bagi domain –4 ≤ x ≤ 2.
Seterusnya, nyatakan nilai julat f (x) berdasarkan domain yang diberi.

Penyelesaian:
(a)
Diberi f (x) = |x + 2|
Imej bagi –4 ialah f(–4) = | –4 + 2| = | –2| = 2
Imej bagi –3 ialah f(–3) = | –3 + 2| = | –1| = 1
Imej bagi 0 ialah f(0) = | 0 + 2| = | 2 | = 2
Imej bagi 2 ialah f(2) = | 2 + 2| = | 4 | = 4

(b)
Daripada (a),
f(–4) = 2
f(–3) = 1
f(0) = 2
f(2) = 4
Tentukan titik supaya graf menyentuh paksi-x.
Pada paksi-x,f (x) = 0
|x + 2| = 0
x+ 2 = 0
x= –2

Oleh itu, julat bagi nilai f (x) ialah 0 ≤ f(x) ≤ 4.


Bab 1 Fungsi

1.2.1 Fungsi

(A)      Fungsi Sebagai Sejenis Hubungan Khas
1.      Dalam sesuatu fungsi, semua objek dalam domain mesti dipadankan dengan hanya satu unsur dalam kodomain. Tetapi, semua unsur dalam kodomain tidak semestinya dipadankan dengan unsur dalam domain.
2.      Fungsi ialah hubungan khas dengan setiap objek dalam domain mempunyai hanya satu imej . Bukan semua hubungan ialah fungsi.
3.      Hubungan satu kepada satu dan hubungan banyak kepada satu ialah fungsi


Contoh:





(B) Tatatanda Fungsi
Dalam tatatanda fungsi, sesuatu fungsi boleh diwakili oleh huruf abjad seperti f, g, hdan sebagainya. Misalnya, fungsi fyang memetakan objek x dalam domain kepada imej y dalam julat doleh ditulis sebagai
f : xy
atau     f(x) = y

Seperti yang ditunjukkan dalam rajah di atas, fungsi f : XY, setiap unsur x dalam domain Xmempunyai satu imej yang unik dalam kodomain Y.

Contoh 1:
Diberi fungsi f : x → 5x + 1, cari nilai bagi
(a) f (2)
(b) f (–3)
(c) f( 2 5 ) 

Penyelesaian:
(a)
 f (x) = 5x + 1
 f(2) = 5(2) + 1 = 11

(b)
 f (x) = 5x + 1
 f (– 3) = 5(–3) + 1 = –14

(c)
f (x) = 5x + 1
f( 2 5 )=5( 2 5 )+1=3  

Contoh 2:
Suatu fungsi x ditakrifkan sebagai
f:x 5 2x1 ,xk.    
Cari nilai k.

Penyelesaian:
f( x )= 5 2x1 , xk f( x ) tidak tertakrif apabila 2x1=0 oleh itu, 2x10                    2x1                      x 1 2 Maka k= 1 2  


Bab 1 Fungsi

1.1a Hubungan
1.      Hubungan memasangkan unsur-unsur dalam set A (domain) dengan unsur-unsur dalam set B mengikut definasi hubungan itu.
2.      Hubungan boleh diwakilkan dalam 3 bentuk:
(a)   Pasangan bertertib
(b)    Gambar rajah anak panah
(c)    Graf




Bab 1 Fungsi

1.1b Domain and Kodomain
  1. Dalam hubungan antara satu set dengan set yang lain, set pertama dikenali sebagai  domain dan set kedua dikenali sebagai kodomain.
  2. Unsur-unsur dalam domain dinamakan objek, manakala unsur-unsur dalam kodomain dipadankan dengan objek dinamakan imej.
  3. Unsur-unsur dalam kodomain tidak dipadankan dengan objek adalah bukan imejnya.
  4. Semua imej dalam kodomain boleh ditulis sebagai satu set dinamakan julat.

Contoh:
Domain = {3, 4, 5}
Kodomain = {7, 9, 12, 15}
Julat = {9, 12, 15} [7 bukan satu imej kerana ia tidak dipadankan dengan sebarang objek]

3 ialah objek bagi 9, 12 dan 15.
4 ialah object bagi 12.
5 ialah object bagi 15.

9, 12 dan 15 ialah imej bagi 3.
12 ialah imej bagi 4.
15 ialah imej bagi 5.


Bab 1 Fungsi

1.4 Fungsi Songsangan
Untuk mencari fungsi songsangan, f −1 (x) atau f (x) 
• Letakkan fungsi sama dengan y.
• Susun semula untuk menjadikan x dalam sebutan y.
• Tulis semula f −1 (x) dengan menggantikan y oleh x.

Contoh 1:
Diberi f (x) = 5x − 4, cari fungsi songsangan.

Penyelesaian:




Contoh 2:
Cari fungsi songsangan bagi setiap fungsi yang berikut
(a) f (x ) → 4 – 7x
(b) f(x)= 2x+5 3  

Penyelesaian:




Contoh 3:
Cari fungsi songsangan bagi setiap fungsi yang berikut
(a) f(x)= 5 7x (b) f(x)= 2 3x  

Penyelesaian:



Bab 1 Fungsi

1.3d Cari Fungsi Baru dengan Menggunakan Fungsi Gubahan yang  diberi(Kes B : Fungsi kedua diberiSoalan susah. Pastikan anda cuba!
Contoh 1 (Kaedah Penggantian):
Suatu fungsi f ditakrifkan oleh f : x x + 2.
Cari fungsi g jika  gf: xx2 + 3x + 5.
[
Perhatian: Fungsi kedua f diberi, gantikan y = x + 2]

Penyelesaian:



Contoh 2 (Kaedah Penggantian):
Suatu fungsi f ditakrifkan oleh f : x x – 1.
Cari fungsi g jika  gf:x 4 x+2 ,x2.
[
Perhatian: Fungsi kedua f diberi, gantikan y = x – 1]

Penyelesaian:



Bab 1 Fungsi

1.3c Cari Fungsi Baru dengan Menggunakan Fungsi Gubahan yang  diberi (kes A : Fungsi pertama diberi)

Contoh 1:
Suatu fungsi f ditakrifkan oleh f : x 2x + 5 . 
Cari fungsi g jika fg : x
3x 8 .
[Perhatian: Fungsi pertama f diberi]

Penyelesaian:




Contoh 2:
Suatu fungsi f ditakrifkan oleh f:x 2 x . 
Cari fungsi g jika  fg : x
x 2 + 1 .
[Perhatian: Fungsi pertama f diberi]

Penyelesaian:



Bab 1 Fungsi

1.3b Fungsi Gubahan (Kaedah Perbandingan) Contoh Soalan

Contoh 1:
Diberi f : xhx + k, g : x → (x + 1)2 + 4 dan fg : x→ 2(x + 1)2 + 5. Cari
(a) nilai g 2 (2),
(b) nilai h dan nilai k.

Penyelesaian:



Contoh 2:
Diberi f : x → 1 – x dan g : xpx2 + q. Jika fungsi gubahan gf ditakrifkan oleh gf : x→ 3x2 – 6x + 5, cari
(a) nilai p dan nilai q,
(b) nilai g 2 (−1).

Penyelesaian:



Bab 1 Fungsi

1.3a Fungsi Gubahan


  Jika fungsi f : XY,
  dan fungsi g : YZ,
  maka, fungsi gubahan gf: XZ





Soalan 1:
Diberi fungsi f : x → 2x + 5 dan g : xx2 – 1, cari gf (2)

Penyelesaian:
f (x) = 2x + 5
f (2) = 2(2) + 5 = 9
gf (2) = g [f (2)] = g (9)

g(x) = x2– 1
gf(2) = g(9) = 92 – 1 = 80


Soalan 2:
Jika f : xx + 5 dan g : xx2+2x + 3, cari
(a) nilai gf (2),
(b) nilai fg (2 ),
(c) fungsi gubahanfg,
(d) fungsi gubahan gf,
(e) fungsi gubahan
  g 2 ,
(f) fungsi gubahan
  f 2 .

Penyelesaian:



Bab 1 Fungsi

1.1c Jenis Hubungan
1. Hubungan boleh dikelaskan kepada 4 jenis, iaitu:
(a)  Hubungan satu kepada satu
(b)  Hubungan satu kepada banyak
(c)  Hubungan banyak kepada satu
(d)  Hubungan banyak kepada banyak