Bab 5 Garis Lurus

5.6 Garis Lurus, SPM Praktis (Soalan Pendek)
Soalan 6:
Rajah di bawah menunjukkan suatu garis lurus RS dengan persamaan 3y = –px– 12, dengan p sebagai pemalar.

Diberi bahawa OR: OS = 3 : 2.
Cari nilai p.

Penyelesaian:
Kaedah 1:
Gantikan x= –6 dan y = 0 ke dalam 3y = –px– 12:
3(0) = –p (–6) – 12
0 = 6p – 12
–6p = –12
p = 2

Kaedah 2:
OR: OS = 3 : 2
OR OS = 3 2 6 OS = 3 2 OS=6× 2 3 =4 unit  
Koordinat titik S= (0, –4)
Kecerunan garis lurus RS = 4 6 = 2 3  

Diberi 3y= –px – 12
Menyusun semula persamaan dalam bentuk y = mx+ c
y= p 3 x4 Kecerunan garis lurus RS= P 3 P 3 = 2 3       P=2


Soalan 7:

Rajah di atas menunjukkan dua garis lurus, KL dan LM, pada satah Cartesan. Jarak KL ialah 10 unit dan kecerunan bagi LM ialah 2. Cari pintasan-x bagi LM.

Solution:

Katakan koordinat titik Nialah = (0, 2).
Guna rumus Pythagoras,
 LN = √102 – 62 = 8
Titik L = (0, 2 + 8) = (0, 10)
pintasan- y bagi LM = 10

Guna rumus kecerunan, m= pintasan-y pintasan-x 2=( 10 pintasan-x ) pintasan-x bagi LM= 10 2 =5


Bab 5 Garis Lurus

5.5 Garis Selari
(A)     Kecerunan Garis Selari
1.      Dua garis adalah selari jika kecerunannya adalah sama.
Jika PQ // RS,
maka mPQ= mRS

2.      Jika dua garis lurus mempunyai kecerunan yang sama, maka pasangan garis lurus tersebut adalah selari.
Jika mAB= mCD
maka AB // CD

Contoh 1:
Tentukan sama ada setiap pasangan garis lurus berikut adalah selari atau tidak.
(a)  2y – 4x = 6
y= 2x 5
(b)  2y = 3x 4
3y = 2x + 12

Penyelesaian:
(a)
2y – 4x = 6
2y = 6 + 4x
y= 2x + 3,   m1= 2
y= 2x 5,   m2 = 2
m1 = m2
Maka, dua garis lurus adalah selari.

(b)
2y=3x4 y= 3 2 x2,    m 1 = 3 2 3y=2x+12 y= 2 3 x+4,    m 2 = 2 3 m 1 m 2  Maka, dua garis lurus adalah tidak selari.


(B)     Persamaan Garis Selari

Langkah-langkah berikut diambil untuk mencari persamaan garis lurus yang melalui satu titik dan selari dengan garis lurus yang lain:
Langkah 1: Menyusun persamaan garis lurus dalam bentuk y = mx + c .
Langkah 2: Cari kecerunan garis lurus daripada persamaan garis lurus yang selari dengannya.
Langkah 3: Gantikan nilai kecerunan, m, koordinat-x dan koordinat-y bagi titik yang diberi ke dalam persamaan y = mx + c untuk mencari nilai pintasan-y, c.
Langkah 4: Tulis persamaan garis lurus dalam bentuk y = mx + c.

Contoh 2:
Cari persamaan bagi garis lurus yang melalui titik (–8, 2) dan selari dengan garis lurus 4y + 3x = 12.

Penyelesaian:
4y+3x=12 4y=3x+12 y= 3 4 x+3 m= 3 4

Pada (8,2),  gantikan m= 3 4 , x=8y=2 ke dalam: y=mx+c 2= 3 4 ( 8 )+c c=26 c=4  Persamaan garis lurus ialah y= 3 4 x4.


Bab 5 Garis Lurus

5.3 Pintasan
1.      Pintasan-x ialah koordinat-xbagi titik persilangan suatu garis lurus dengan paksi-x.
2.      Pintasan-y ialah koordinat-ybagi titik persilangan suatu garis lurus dengan paksi-y.


3.      Dalam rajah di atas, pintasan-x bagi garis lurus PQ ialah 6 dan pintasan-y bagi PQ ialah 5.
4.      Jika pintasan-x dan pintasan-y diberikan,
  Kecerunan, m= Pintasan-y Pintasan-x   

Bab 5 Garis Lurus

5.7 SPM Praktis (Soalan Panjang 2)
Soalan 4:


Dalam rajah di atas, PQRS ialah suatu segi empat selari. Cari
(a)  kecerunan SR,
(b)  persamaan QR,
(c)  pintasan-x bagi QR .

Penyelesaian:
(a)
PQadalah selari dengan SR, kecerunan PQ = kecerunan SR.
Kecerunan  S R = 6 3 = 2

(b) Kecerunan QR= 86 50 = 2 5 Gantikan m= 2 5  dan R (5,8) ke dalam y=mx+c 8= 2 5 ( 5 )+c c=6 Oeh itu, persamaan QR: y= 2 5 x+6

(c) Pada pintasan-xy=0 0= 2 5 x+6 x=15 Oleh itu, pintasan-x bagi QR=15.


Soalan 5:


Dalam rajah di atas, suatu garis lurus 5x +7y + 35 = 0 bersilang pada paksi-x di Rdan paksi-y di S. Tentukan
(a)  Kecerunan garis lurus RS.
(b)  pintasan-x bagi garis lurus RS.
(c)  Jarak RS.

Penyelesaian:
(a) 5x+7y+35=0 7y=5x35 y= 5 7 x5  Kecerunan garis lurus RS= 5 7 .

(b) Pada pintasan-xy=0 0= 5 7 x5 5 7 x=5 x=7  pintasan-x garis lurus RS=7.

(c) Titik R=( 7,0 ) dan titik S=( 0,5 ) Jarak RS= ( 70 ) 2 + ( 0( 5 ) ) 2                 = 49+25                  = 74  unit

Soalan 6:


Dalam rajah di atas, O ialah asalan pada satah Cartesan. AOB ialah garis lurus dan OA= AC. Cari
(a)  Koordinat bagi titik C.
(b)  nilai h.
(c)  persamaan BC.

Penyelesaian:
(a)   
Koordinat xbagi titik C = –3 × 2 = –6
Oleh itu, koordinat bagi titik C = (–6, 0).

(b) Kecerunan AO= kecerunan OB 0( 4 ) 0( 3 ) = h0 60 4 3 = h 6 h=8

(c) Kecerunan BC= 80 6( 6 ) = 8 12 = 2 3 Pada titik C( 6,0 ), 0= 2 3 ( 6 )+c c=4 Persamaan BC ialah, y= 2 3 x+4


Bab 5 Garis Lurus

5.7 SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 1:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah trapezium, ABCD yang dilukis pada satah Cartesan. . BC selari dengan AD dan O ialah asalan. Persamaan garis lurus BC ialah 3y = kx + 7 dan persamaan garis lurus AD ialah y= 1 2 x+3.

Cari
(a)  nilai k,
(b)  pintasan-x bagi garis lurus BC.

Penyelesaian:
(a)
Persamaan BC:
3y = kx + 7
y= k 3 x+ 7 3 Kecerunan BC= k 3 Persamaan AD: y= 1 2 x+3 Kecerunan AD= 1 2

Kecerunan BC= kecerunan AD k 3 = 1 2 k= 3 2

(b)
Persamaan, 3y= 3 2 x+7
Pada pintasan-x, y = 0
3(0)= 3 2 x+7 3 2 x=7 x= 14 3
Oleh itu, pintasan-x bagi garis lurus BC = 14 3



Soalan 2:
Dalam rajah di bawah, O ialah asalan. Garis lurus MNadalah selari dengan garis lurus OK.


Cari
(a)  persamaan bagi garis lurus MN,
(b)  pintasan-x bagi garis lurus MN.

Penyelesaian:
(a)  Kecerunan MN = kecerunan OK
= 50 30 = 5 3
Gantikan = 5/3 dan (–2, 5) ke dalam y = mx+ c
5= 5 3 ( 2 )+c
15 = –10 + 3c
3c = 25
c= 25/3
Oleh itu, persamaan MN: y= 5 3 x+ 25 3

(b)   
Pada pintasan-x, y = 0
0= 5 3 x+ 25 3 5 3 x= 25 3
5x = –25
x= –5
Oleh itu, pintasan-x bagi MN = –5.


Soalan 3:
Rajah di bawah menunjukkan suatu garis lurus JK dan garis lurus ST dilukis pada satah Cartesan. JKadalah selari dengan ST.

Cari
(a)  persamaan bagi garis lurus ST,
(b)  pintasan-x bagi garis lurus ST.

Penyelesaian:
(a)
JKadalah selari dengan ST, kecerunan JK = kecerunan ST.
= 80 04 =2  
Gantikan m= –2 dan S (5, 6) ke dalam y = mx+ c
6 = –2 (5) + c
c= 16
Oleh itu, persamaan ST: y = –2x + 16

(b)
Pada pintasan-x, y = 0
0 = –2x + 16
2x = 16
x = 8
Oleh itu, pintasan-x bagi ST = 8.

Bab 5 Garis Lurus

5.6 SPM Praktis (Soalan Pendek)

Soalan 1:
Rajah di bawah menunjukkan suatu garis lurus RS yang dilukis pada satah Cartesan.

Cari kecerunan RS.
Penyelesaian:
Guna formula kecerunan  y 2 y 1 x 2 x 1 Kecerunan RS= 31 5( 1 ) = 2 6 = 1 3


Soalan 2:
Dalam rajah di bawah, PQ adalah suatu garis lurus dengan kecerunan –½ .

Cari pintasan-x bagi garis lurus PQ.
Penyelesaian:
m= pintasan-y pintasan-x 1 2 =( 3 pintasan-x ) pintasan-x=3×( 2 )=6


Soalan 3:
Rajah di bawah menunjukkan suatu garis lurus RS yang dilukis pada satah Cartesan.

Diberi jarak antara RS ialah 10 unit.
Cari kecerunan RS.

Penyelesaian:
RS=10 unit, OS=6 unit OR= 10 2 ( 6 ) 2 =8 unit pintasan-y bagi RS=6 pintasan-x of RS=8

m= pintasan-y pintasan-x  Kecerunan RS=( 6 8 )= 3 4


Soalan 4:
Kecerunan bagi garis lurus 3x – 4y = 24 ialah

Penyelesaian:
Menyusun semula persamaan dalam bentuk y = mx+ c
3x – 4y = 24
4y = 3x – 24
y= 3 4 x6 

Oleh itu, kecerunan garis lurus = 3 4 .  


Soalan 5:
Tentukan pintasan-y bagi garis lurus 3x + 2y = 5

Penyelesaian:
Bagi pintasan-y, x = 0
3(0) + 2y = 5
           y= 5 2 Oleh itu, pintasan-y= 5 2 .


Bab 5 Garis Lurus

5.5 Garis Selari (Contoh Soalan)

Soalan 1:

Dalam rajah di atas, garis lurus MN dan PQ adalah selari. Cari nilai q.
Penyelesaian:
Garis lurus yang selari mempunyai kecerunan yang sama.
m1 = m2
mMN = mPQ

Guna formula kecerunan  y 2 y 1 x 2 x 1 94 5( 1 ) = q( 5 ) 5( 7 ) 5 6 = q+5 12
60 = 6q + 30
6q = 30
q= 5

Bab 5 Garis Lurus

5.4 Persamaan Garis Lurus (Contoh Soalan)

Soalan 1:
Diberi persamaan bagi suatu garis lurus ialah 4x + 6y – 3 = 0. Apakah kecerunan garis lurus ini?
Penyelesaian:
4x+6y3=0 6y=4x+3 y= 4x 6 + 3 6 y= 2 3 x+ 1 2 y=mx+c kecerunan, m= 2 3

Soalan 2:
Diberi persamaan bagi suatu garis lurus ialah y = – 7x + 3. Cari pintasan-ybagi garis ini.
Penyelesaian:
y= mx + c, c ialah pintasan- y garis lurus.
Oleh itu, bagi garis lurus y = – 7x + 3,
Pintasan-yialah 3


Soalan 3:

Cari persamaan bagi garis lurus MN jika kecerunannya ialah 3.
Penyelesaian:
Diberi m = 3
Gantikan nilai m= 3 dan (–2, 5) ke dalam y = mx + c.
5 = 3 (–2) + c
5 = –6 + c
c= 11

Oleh itu, persamaan bagi garis lurus MN ialah y = 3x + 11.

Bab 5 Garis Lurus

5.4 Persamaan Garis Lurus
1.      Jika nilai kecerunan, m, dan pintasan-y, cdiberi, maka satu persamaan garis lurus y= mx + c boleh dibentuk.
2.      Jika suatu garis lurus diwakili oleh persamaan berbentuk y = mx + c, maka
          (a)  m ialah kecerunan,
          (b)  c ialah pintasan-y

Contoh 1:
Diberi persamaan bagi suatu garis lurus ialah y = 3 – 4x. Cari kecerunan dan pintasan-ybagi garis ini.
Penyelesaian:
y= 3 – 4x
y= – 4x + 3 ← (y = mx + c)
Oleh itu, kecerunan, m = – 4
pintasan-y, c = 3

3.      Jika suatu persamaan garis lurus ditulis dalam bentuk ax + by + c = 0, maka tukarnya kepada bentuk y = mx+ c untuk mencari nilai kecerunan dan pintasan-y.

Contoh 2:
Diberi persamaan bagi suatu garis lurus ialah 4x + 6y– 3 = 0. Cari kecerunan dan pintasan-ybagi garis ini.
Penyelesaian:
4x + 6y – 3 = 0
6y = –4 x + 3
y= 2 3 x+ 1 2 y=mx+c  Kecerunan m= 2 3      pintasan-y, c= 1 2

Bab 5 Garis Lurus

5.3 Pintasan (Contoh Soalan)

Soalan 1:

Pintasan-x bagi garis lurus ST ialah
Penyelesaian:
Koordinat-x bagi titik persilangan pada garis lurus dengan paksi-x ialah –0.4.
Oleh itu, pintasan-x bagi garis lurus ST ialah –0.4.

Soalan 2:
Cari pintasan-x bagi garis lurus 2x + 3y+ 6 = 0.
Penyelesaian:
2x + 3y + 6 = 0
Pada pintasan-x, y = 0
2x + 3(0) + 6 = 0
2x = –6
x= –3

Soalan 3:
Cari pintasan-y bagi garis lurus 12x – 15y = 60.
Penyelesaian:
12x – 15y = 60
Pada pintasan-y, x = 0
12(0) – 15y= 60
–15y = 60
y = –4