Bab 6 Geometri Koordinat

6.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 6:
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak akan diterima.
Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga OPQ.  Titik S terletak pada garis PQ.

(a)   Suatu titik Y bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik S adalah sentiasa 5 uint.
      Cari persamaan lokus Y.   
            (b)   Diberi bahawa titik P dan titik Q terletak pada lokus Y.
Hitung
            (i)     nilai k,
            (ii)   koordinat Q.
(c)    Seterusnya, cari luas, dalam uint2, bagi segi tiga OPQ.

Penyelesaian:
(a)
Katakan koordinat titik Yialah (x, y), dan YS = 5 unit
( x5 ) 2 + ( y3 ) 2 =5 
x2 – 10x + 25 + y2 – 6y + 9 = 25
x2 + y2 – 10x – 6y + 9 = 0

(b)(i)
Diberi titik P (2,k) terletak pada lokus Y
(2)2 + (k)2– 10 (2) – 6 (k) + 9 = 0
4 + k2 – 20 – 6k + 9 = 0
k2 – 6k – 7 = 0
(k – 7) (k + 1) = 0
k = 7  atau  k = –1
Berdasarkan rajah, k = 7  

(b)(ii)
Diberi P dan Q terletak pada lokus Y, Sialah titik tengah PQ. P = (2, 7), S = (5, 3)
Katakan koordinat Q = (x, y),
( 2+x 2 , 7+y 2 )=( 5,3 ) 2+x 2 =5       dan        7+y 2 =3  
2 + x = 10       dan   7 + y= 6
       x = 8        dan         y = –1

Koordinat Q = (8, –1).

(c)
Luas ∆ OPQ
= 1 2 | 0     8     2    0  1     7   0 0 | = 1 2 |0+( 8 )( 7 )+00( 1 )( 2 )0| = 1 2 | 58| =29  unit 2

Bab 6 Geometri Koordinat

6.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 5:

Dalam rajah di atas, persamaan bagi garis lurus FMG ialah y = – 4. Satu titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari E adalah sentiasa separah jarak bagi E dari garis lurus FG. Cari
(a)   persamaan bagi lokus P,
(b)   koordinat-xbagi titik persilangan antara lokus dengan paksi-x.

Penyelesaian:
( a)
Kecerunan garis lurus FMG= 0
EM iadalah berserenjang dengan FMG, jadi kecerunan EM adalah juga = 0, persamaan EM adalah x = 2
Koordinat bagi titik M= (2, 4).

Katakan koordinat bagi titik P = (x, y).
Diberi PE = ½ EM
2PE = EM
2 ( x2 ) 2 +  ( y4 ) 2 = ( 22 ) 2 +  ( 4( 4 ) ) 2  
4 (x2– 4x + 4 + y2 – 8y +16) = (0 + 64) → (Kuasa duakan kedua-dua belah)
4x2– 16x + 16 + 4y2 – 32y + 64 = 64
4x2+ 4y2 – 16x – 32y + 16 = 0
x2 + y2 – 4x – 8y + 4 = 0

( b)
x2 + y2 – 4x – 8y + 4 = 0
pada paksi-x, y = 0.
x2 + 0 – 4x – 8(0) + 4 = 0
x2  – 4x+ 4 = 0
(x – 2) (x – 2) = 0
x = 2

Jadi, koordinat-x bagi titik persilangan antara lokus dengan paksi-x ialah 2.


Bab 6 Geometri Koordinat

6.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:
Rajah di atas menunjukkan segitiga LMN dengan keadaan L terletak di paksi-y. Persamaan garis lurus LKN dan MK adalah 2y – 3x + 6 = 0 dan 3y + x – 13 = 0 masing-masing. Cari
(a)   koordinat titik K
(b)   nisbah LK:KN

Penyelesaian:
(a)
2y – 3x + 6 = 0 ----(1)
3y + x – 13 = 0 ----(2)
x = 13 – 3y ----(3)

Gantikan persamaan (3) ke dalam (1),
2y – 3 (13 – 3y) + 6 = 0
2y – 39 + 9y + 6 = 0
11y = 33
y = 3

Gantikan y = 3 ke dalam persamaan (3),
x = 13 – 3 (3)
x = 4

Koordinat titik K = (4, 3).

(b)
Diberi persamaan LKNialah 2y – 3x + 6 = 0
Di paksi-y, x = 0,
2y – 3(0) + 6 = 0
2y = –6
y = –3
koordinat titik L= (0, –3).

Nisbah LK:KN
Samakan koordinat x,

LK(10)+KN(0) LK+KN =4 10LK=4LK+4KN 6LK=4KN LK KN = 4 6 LK KN = 2 3  

Nisbah LK:KN = 2 : 3

Bab 6 Geometri Koordinat

6.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:

Dalam rajah di atas, PRS dan QRT ialah garis lurus. Diberi Radalah titik tengah bagi PS dan QR : RT = 1 : 3, Cari
(a)   koordinat titik R,
(b)   koordinat titik T,
(c)    koordinat bagi titik persilangan antara garis PQ dan garis ST.

Penyelesaian:
(a)
Diberi R ialah titik tengah bagi PS.
R=( 3+7 2 , 2+6 2 ) R=( 5, 4 )

(b)
QR : RT = 1 : 3
Katakan koordinat titik T = (x, y)
( ( 1 )( x )+( 3 )( 4 ) 1+3 , ( 1 )( y )+( 3 )( 5 ) 1+3 )=( 5, 4 ) x+12 4 =5 x+12=20 x=8 y+15 4 =4  
y + 15 = 16
y = 1

T = (8, 1)

(c)
Kecerunan PQ= 52 43 =3
Persamaan PQ,
y – 2 = 3 (x – 3)
y – 2 = 3x – 9
y = 3x – 7 ---- (1)

Kecerunan ST= 61 78 =5
Persamaan ST,
y – 1 = –5 (x – 8)
y – 1 = –5x + 40
y = –5x + 41 ---- (2)

Gantikan (1) ke dalam (2),
3x – 7 = –5x + 41
8x = 48
x = 6

Dari (1),
y = 3(6) – 7 = 11

Koordinat bagi titik persilangan antara garis PQ dan garis ST = (6, 11).

Bab 6 Geometri Koordinat

6.7 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 6:
Titik M ialah (-3, 5) dan titik N ialah (4, 7). Titik P bergerak dengan keadaan PM: PN= 2: 3. Cari persamaan lokus bagi P.

Penyelesaian:
Katakan P = (x, y)
PM : PN = 2 : 3
PM PN = 2 3 3PM=2PN 3 ( x( 3 ) ) 2 + ( y5 ) 2 =2 ( x4 ) 2 + ( y7 ) 2   

Menguasa dua kedua-dua belah untuk menghapuskan punca kuasa dua.
9[x2+ 6x + 9 + y2 – 10y + 25] = 4 [x2 – 8x + 16 + y2 – 14y + 49]
9x2+ 54x + 9y2 – 90y + 306 = 4x2 – 32x + 4y2– 56y + 260
5x2+ 5y2 + 86x – 34y + 46 = 0

Oleh itu, persamaan lokus bagi titik P ialah
5x2 + 5y2 + 86x – 34y + 46 = 0


Soalan 7:
Diberi titik A (0,2) dan titik B (6,5). Cari persamaan lokus bagi suatu titik bergerak P dengan keadaan APB sentiasa bersudut tegak di P.
Penyelesaian:
Katakan P = (x, y)
Diberi segi tiga APB = 90o, maka AP adalah berserenjang dengan PB.
Oleh itu, (mAP)(mPB) = –1.

(mAP)(mPB) = –1
( y2 x0 )( y5 x6 )=1 
(y – 2)(y – 5) = – x(x – 6)
y2 – 7y + 10 = –x2 + 6x
y2 + x2 – 6x – 7y + 10 = 0

Persamaan lokus bagi titik P ialah,
y2 + x2 – 6x – 7y + 10 = 0


Soalan 8:
Cari persamaan pembahagi dua sama serenjang bagi garis lurus yang menyambungkan titik (–4, 3) dengan titik (2, 4).

Penyelesaian:
Kecerunan garis, m1= 43 2( 4 ) = 1 6  

Kecerunan garis serenjang, m2 = 1 m 1 =6 
Titik tengah =( 4+2 2 , 3+4 2 )                    =( 1, 7 2 )  

Jadi, persamaan pembahagi dua sama serenjang ialah
y 7 2 =6( x( 1 ) ) y 7 2 =6x6  
2y – 7 = –12x – 12
12x + 2y + 5 = 0

Bab 6 Geometri Koordinat

6.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 2:

Rajah menunjukkan trapezium PQRS. Diberi persamaan PQialah 2y x – 5 = 0, cari
(a)   nilai w,
(b)   persamaan PS dan seterusnya cari koordinat P,
(c)    lokus M supaya segitiga QMS adalah sentiasa berserenjang di M.

Penyelesaian:
(a)
Persamaan PQ,
2yx – 5 = 0
2y = x + 5
y= 1 2 x+ 5 2 m PQ = 1 2 In a trapizium,  m PQ = m SR 1 2 = 0(3) w4 w4=6 w=10

(b)
m PQ = 1 2 m PS = 1 m PQ = 1 1 2 =2
Titik S = (4, –3), m = –2
yy1 = m (xx1)
y – (–3) = –2 (x – 4)
y + 3 = –2x + 8
y = –2x + 5
Persamaan PS ialah y = –2x + 5

PS is y = –2x + 5-----(1)
PQ is 2y = x + 5-----(2)
Gantikan (1) ke dalam (2)
2 (–2x + 5) = x + 5
–4x + 10 = x + 5
–5x = –5
x = 1
Dari (1), y = –2(1) + 5
y = 3
Koordinat titik P = (1, 3).

(c)
Katakan M = (x, y)
Diberi ∆QMS berserenjang di M
Oleh itu, ∆QMS = 90o
(mQM) (mMS) = –1
( y5 x5 )( y( 3 ) x4 )=1
(y – 5) (y + 3)  = –1(x– 5) (x – 4)
y2 + 3y – 5y – 15 = –1(x2 – 4x – 5x + 20)
y2 – 2y – 15 = –x2 + 9x – 20
x2 + y2– 9x – 2y + 5 = 0

Jadi, persamaan lokus titik M ialah
x2 + y2 – 9x – 2y + 5 = 0.


Bab 6 Geometri Koordinat

6.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 1:
Rajah menunjukkan garis lurus PQ bertemu dengan garis lurus RSdi titik Q. Titik P terletak pada paksi-y.
(a)   Tuliskan persamaan RS dalam bentuk pintasan.
(b)   Diberi 2RQ = QS, cari koordinat Q.
(c)    Diberi PQ berserenjang dengan RS, cari pintasan-y bagi PQ.

Penyelesaian:
(a)
x 12 + y 6 =1 x 12 y 6 =1  

(b)
Diberi 2RQ = QS
RQ QS = 1 2 Katakan koordinat Q=(x, y) ( ( 0 )( 2 )+( 12 )( 1 ) 1+2 , ( 6 )( 2 )+( 0 )( 1 ) 1+2 )=( x, y ) x= 12 3 =4 y= 12 3 =4 Q=(4,4)

(c)
Kecerunan RS,  m RS =( 6 12 )= 1 2 m PQ = 1 m RS = 1 1 2 =2

Titik Q = (4, –4), m = –2
Guna y = mx+ c
–4 = –2 (4) + c
c = 4
Maka, pintasan-y bagi PQ = 4

Bab 6 Geometri Koordinat

6.7 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Soalan Pendek)
Soalan 3
Persamaan garis lurus CD dan EF adalah 5x + y – 4 = 0 dan x 7 y h =1 . Jika CD dan EF adalah selari, cari nilai h.

Penyelesaian:
Dua garis selari mempunyai kecerunan yang sama.
5x + y – 4 = 0 
y = –5x + 4, mCD = –5   

Bagi garis lurus EF,
x 7 y h =1 m EF =( pintasan-y pintasan-x )=( h 7 )= h 7 m CD = m EF 5= h 7 h=35



Soalan 4
Garis lurus x 5 + y p =1 mempunyai pintasan-y bernilai 3 dan selari dengan garis lurus y + qx = 0. Tentukan nilai p dan nilai q.

Penyelesaian:
Diberi pintasan-ygaris lurus x 5 + y p =1 adalah 3,
Maka p = 3
Kecerunan garis lurus = 3 5  
Bagi garis y + qx = 0, y = –qx
Dua garis selari mempunyai kecerunan yang sama,
q= 3 5 q= 3 5



Soalan 5
Persamaan dua garis lurus y 7 + x 4 =1 dan 7y = 4x+ 21. Tentukan sama ada pasangan garis lurus  adalah berserenjang antara satu sama lain.

Penyelesaian:
Bagi garis lurus  y 7 + x 4 =1,  kecerunan= 7 4 Bagi garis lurus 7y=4x+21, y= 4 7 x+3,  kecerunan = 4 7 7 4 × 4 7 =1 
Maka, pasangan garis lurus  adalah berserenjang antara satu sama lain.

Bab 6 Geometri Koordinat

6.6 Persamaan Lokus yang Melibatkan Jarak di antara Dua Titik
1.      Persamaan lokus bagi suatu titik bergerak P (x, y) supaya jaraknya(r) dari suatu titik tetap (x1, y1) adalah malar
      (x x1)2 + ( yy1) 2= r2

2.      Persamaan lokus bagi suatu titik bergerak P (x, y) supaya jaraknya sentiasa malar dari dua titik tetap (x1, y1) dan (x1, y1) dengan nisbah m : n ialah

   

3.      Persamaan lokus bagi suatu titik bergerak P (x, y) supaya jaraknya sentiasa malardari dua titik tetap A dan B adalah pembahagi dua sama serenjang garis AB .


Contoh 1:
Cari persamaan lokus bagi titik bergerak P (x, y) supaya jaraknya sentiasa 5 unit dari suatu titik tetap Q (2, 4).

Penyelesaian:
(xx1)2+ (yy1)2 = r2
(x – 2)2 + (y – 4)2 = 52
x2 – 4x + 4 + y2 – 8y + 16 = 25
x2 + y2– 4x – 8y – 5 = 0


Contoh 2:
Cari persamaan lokus bagi titik bergerak P (x, y) supaya jaraknya dari titik A(2, 3) dan titik B (4, –1) adalah sama.

Penyelesaian:
PA = PB
( x( 2 ) ) 2 + ( y3 ) 2 = ( x4 ) 2 + ( y( 1 ) ) 2  
Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan
(x + 2)2 + (y – 3)2 = (x – 4)2+ (y + 1)2
x2 + 2x + 4 + y2 – 6y + 9 = x2 – 8x + 16 + y2 + 2y + 1
10x – 8y – 4 = 0
Jadi, persamaan lokus titik P ialah
10x – 8y – 4 = 0


Contoh 3:
A (2, 0) dan B (0, -2) adalah dua titik tetap. Titik P bergerak dengan nisbah supaya AP:PB = 1: 2.  Cari persamaan lokus bagi titik bergerak P.

Penyelesaian:
AP: PB = 1: 2
AP PB = 1 2 2AP=PB 2 ( x2 ) 2 + ( y0 ) 2 = ( x0 ) 2 + ( y( 2 ) ) 2
Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan
4[(x – 2)2 + y2] = x2 + (y + 2)2
4 (x2 – 4x + 4 + y2) = x2 + y2+ 4y + 4
4x2 – 16x + 16 + 4y2 = x2 + y2 + 4y + 4
3x2 + 3y2– 16x – 4y +12 = 0
Jadi, persamaan lokus titik P ialah
3x2 + 3y2 – 16x – 4y +12 = 0

Bab 6 Geometri Koordinat

6.5 Garis Lurus Selari dan Garis Lurus Serenjang

(A)       Garis Lurus Selari
1.   Jika dua garis lurus adalah selari, maka kecerunannyaadalah sama


Dalam rajah di atas, jika garis lurus L1 adalah selaridengan garis lurus L2, maka kecerunan L= kecerunan L2.
  m1 = m2

Contoh 1:
Diberi persamaan suatu garis lurus adalah selari dengan x + 8y= 40 dan melalui titik A (2, 3k) dan titik B (–6, 4k2), cari nilai k.

Penyelesaian:
x + 8y= 40
8y = –x+ 40
y = –⅛ x + 5
Kecerunan m1 = –

Diberi garis lurus melalui titik A and titik B adalah selari dengan x + 8y= 40,
maka m1 = m
1 8 = 4 k 2 3k 62
8 = 32k2 – 24k
1 = 4k2 – 3k
4k2 – 3k – 1 = 0
(4k + 1)(k – 1) = 0
4k + 1 = 0    atau    k – 1 = 0
k = –¼                        k = 1 


(B)      Garis Lurus Serenjang
1. Jika dua garis lurus berserenjang antara satu sama lain, maka hasil darab kecerunan-kecerunannya adalah –1.


Dalam rajah di atas, jika garis lurus L1 adalah berserenjang dengan garis lurus L2, maka kecerunan L× kecerunan L2 = –1.

  m1 × m2 = –1

Contoh 2:
Diberi titik-titik P(–2, 4), Q (4, 2), R (–1, –3) dan S (2, 6), tunjukkan PQ berserenjang dengan RS.

Penyelesaian:
m PQ = 24 4( 2 ) = 1 3 m RS = 6( 3 ) 2( 1 ) =3 ( m PQ )( m RS )=( 1 3 )( 3 )=1

Maka, PQ berserenjang dengan RS.