Bab 6 Geometri Koordinat

6.4 Persamaan Garis Lurus (Bahagian 2)

(C) Pembentukan Persamaan Garis Lurus
Kes 1
1.      Kecerunandan koordinat-koordinat satu titik diberi.
2.      Persamaan garis lurus dengan kecerunan, mmelalui titik (x1, y1) ialah
      yy1 = m (xx1)

Soalan 1:
Suatu garis lurus dengan kecerunan –3 melalui titik (–1, 5). Cari persamaan garis itu.

Penyelesaian:
yy1 = m (xx1)
y – 5 = – 3 (x – (–1))
y – 5 = – 3x – 3
y= – 3x + 2


Kes 2
1.      Koordinat-koordinat dua titik diberi.
2.      Persamaan garis lurus yang melalui titik (x1, y1) dan titik (x2, y2) ialah
y y 1 x x 1 = y 2 y 1 x 2 x 1
Soalan 2:
Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (2, 4) dan titik (5, 6).

Penyelesaian:
y y 1 x x 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 Katakan ( x 1 , y 1 )=( 2, 4 ) dan ( x 2 , y 2 ) = ( 5, 6 ) y4 x2 = 64 52 y4 x2 = 2 3 3y12=2x4 3y=2x+8



Kes 3
1.      Pintasan-x dan pintasan-y diberi:
x a + y b =1 
a = pintasan-x
b = pintasan-y

Soalan 3:
Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (5, 0) dan titik (0, –6).

Penyelesaian:
Pintasan-x, a = 5, Pintasan-y, b = –6
Persamaan garis lurus
x a + y b =1 x 5 + y ( 6 ) =1 x 5 y 6 =1



(D)   Bentuk-bentuk Persamaan Garis Lurus
(a)  Bentuk Kecerunan

    Persamaan dalam bentuk kecerunan 
                    y = mx + c
                 m = kecerunan
                  c = pintasan-y

(b)  Bentuk Am

    Persamaan dalam bentuk am
                    ax2 + bx + c = 0

(c)    Bentuk Pintasan

    Persamaan dalam bentuk pintasan
                 x a + y b =1     
                 a = pintasan-x
                 b = pintasan-y


Bab 6 Geometri Koordinat

6.4 Persamaan Garis Lurus (Bahagian 1)

(A) Pintasan pada Paksi dan Kecerunan
1.      Kecerunan garis lurus melalui titik (x1, yl) dan titik (x2, y2) ialah
  m= y 2 y 1 x 2 x 1     

2.      Kecerunan garis lurus dengan pintasan-x dan pintasan-y diketahui ialah:
        m= pintasan y pintasan x

(B)          Titik-titik Segaris
Kecerunan garis lurus adalah sentiasa malar; iaitu kecerunan AB sama dengan kecerunan BC.


mAB = mBC = mAC


Contoh 1:
Kecerunan garis lurus yang melalui titik (k, 1 – k) dan titik (–3k, –3) ialah 5.  Cari nilai k.

Penyelesaian:
Kecerunan, m= y 2 y 1 x 2 x 1 3( 1k ) 3kk =5 31+k 4k =5 4+k=20k 21k=4 k= 4 21



Contoh 2:
Berdasarkan rajah di bawah, cari nilai kecerunan garis lurus.

Penyelesaian:
Kecerunan, m=( pintasan y pintasan x )                      =( 5 10 )                     = 1 2


Bab 6 Geometri Koordinat

6.3 Luas Poligon
(A)      Luas Segitiga


Rumus Luas Segitiga
= 1 2 | x 1     x 2     x 3    y 1     y 2     y 3    x 1 y 1 | = 1 2 | ( x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 )( y 1 x 2 + y 2 x 3 + y 3 x 1 ) |

1.   Apabila koordinat bucu ditulis dalam susunan lawan arah jam, luas yang terhasil adalah positif. Luas segitiga bernilai negatif jika susunan mengikut arah jam. Walau bagaimanapun luas jawapan mesti diberi dalam nilai positif.

Contoh 1:
Hitungkan luas ABC dengan bucu-bucu A(-5, 5), B (-2, -4), C (4, -1).

Penyelesaian:
Luas ∆ ABC
= 1 2 | 5   2      4    5     4   1   5   5 |
= ½│(–5)( –4) + (–2)( –1) + (4)(5) – (5)( –2) – (–4)(4) – (–1)( –5)│
= ½│20 + 2 + 20 + 10 + 16 – 5│
= ½│63│
= 31½ unit2


(B)      Luas Segiempat


Rumus Luas Segiempat, L
= 1 2   | x 1      x 2      x 3      x 4     y 1      y 2      y 3      y 4     x 1 y 1 | = 1 2 | ( x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 1 ) ( y 1 x 2 + y 2 x 3 + y 3 x 4 + y 4 x 1 ) |


(C)      Jika titik-titik A, Bdan C adalah segaris, maka luas ∆ABC adalah 0.
Contoh 2:
Cari nilai k jika titik-titik P (2, 1), Q (6, k) dan R (3k, 9/2) adalah segaris.

Penyelesaian:
Luas ∆ PQR = 0
1 2  | 2     6      3k      1      k       9 2   2 1 |=0
½│2k + 27 + 3k –6 – 3k2 – 9│= 0
│–3k2 + 5k + 12│= 0
3k2 – 5k – 12 = 0
(3k + 4)(k – 3) = 0

Bab 6 Geometri Koordinat

6.2 Pembahagian Tembereng Garis
(A)       Titik Tengah di antara Dua Titik


Rumus titik tengah, Mbagi titik A(xl, y1) dan titik B(x2, y2) ialah
M=( x 1 + x 2 2 , y 1 + y 2 2 ) 

Contoh 1:
Diberi B (m – 4, 3) ialah titik tengah bagi garis lurus yang menyambungkan A (–1, n) dan C (5, 8). Cari nilai m dan nilai n.

Penyelesaian:
B ialah titik tengah AC
( m4, 3 )=( 1+5 2 ,  n+8 2 ) ( m4, 3 )=( 2,  n+8 2 ) m4=2         dan         n+8 2 =3 m=6                dan          n+8=6                                               n=2


(B) Titik yang Membahagikan dalam Sesuatu Tembereng Garis dengan Nisbah m : n


Rumus untuk titik terletak atas AB dengan keadaan AP : PB = m : n ialah
P=( n x 1 +m x 2 m+n , n y 1 +m y 2 m+n )

Contoh 2:
Koordinat R (2, –1) membahagi dalam garis AB dengan nisbah 3 : 2. jika koordinat A ialah (–1, 2), cari koordinat B.

Penyelesaian:

Katakan titik B = (p, q)
( 2( 1 )+3p 3+2 ,  2( 2 )+3q 3+2 )=( 2,1 ) ( 2+3p 5 ,  4+3q 5 )=( 2,1 )

Menyamakan koordinat-koordinat x,
2+3p 5 =2
–2 + 3p = 10
3p = 12
p = 4

Menyamakan koordinat-koordinat y,
4+3q 5 =1
4 + 3q = –5
3q = –9
q = –3

Maka, koordinat-koordinat titik B = (4, –3)

Bab 6 Geometri Koordinat

6.1 Jarak di antara Dua Titik

A(x1, y1) dan C (x2, y2) adalah dua titik atas satah koordinat seperti ditunjukkan di bawah. BC selari dengan paksi-x dan AB selari dengan paksi-y. Seterusnya  ∆ABC= 90°.


Jarak antara titik A dan titik C
= ( x 2 x 1 ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2

Contoh:
Cari jarak di antara titik P (2, –2) dan titik Q (–4, –5).

Penyelesaian:
Katakan P (2, –2) = (x1, y1 ) dan Q (–4, –5) = (x2, y2 ).
Jarak PQ = ( x 2 x 1 ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2 = ( 42 ) 2 + ( 5( 2 ) ) 2 = 36+9 = 45 = 9×5 =3 5  or ( 6.71 ) unit


Bab 6 Geometri Koordinat

6.7 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Soalan 1:
Bucu-bucu sebuah segitiga ialah P (6, 1), Q (5, 6) dan R (m, –1). Diberi luas segitiga itu ialah 31 unit2, cari nilai-nilai m.

Penyelesaian:
Luas segitiga PQR = 31
1 2  | 6     5      m      1     6    1   6 1 |=31
│(6)(6) + (5)( –1) + (m)(1) – (1)(5) – (6)(m) – (–1)(6)│= 62
│36 – 5 + m – 5 – 6m + 6│= 62
│32 – 5m│= 62
32 – 5m = ±62
–5m = 62 – 32           atau     –5m = –62 – 32
m = –6                                    m= 94 5  



Soalan 2:
Titik-titik P(3m, m), Q(t, u) dan R(3t, 2u) terletak pada satu garis lurus. Q membahagi dalam PR dengan nisbah 3: 2.
Ungkap t dalam sebutan u.

Penyelesaian:
( ( 3m )( 2 )+( 3t )( 3 ) 3+2 , ( m )( 2 )+( 2u )( 3 ) 3+2 )=( t,u ) 6m+9t 5 =t 6m+9t=5t 6m=4t m= 2 3 t(1)

2 m + 6 u 5 = u 2 m + 6 u = 5 u 2 m = u Daripada (1), 2 ( 2 t 3 ) = u t = 3 4 u