Bab 13 Hukum Linear

13 Ulangkaji Konsep Penting (Garis Lurus)
(A)      Persamaan Garis lurus

                                 Rajah 1


Persamaan dalam bentuk kecerunan
y = mx + c
m = kecerunan
c = pintasan-y




(B)      Kecerunan Garis Lurus
                              Rajah 2

Dalam rajah 2, kecerunan garis lurus, m, melalui titik A (x1, yl) dan titik B (x2, y2) ialah
m= y 2 y 1 x 2 x 1

(C) Titik Tengah Garis lurus
Dalam rajah 2, titik tengah , M bagi titik A(xl, y1) dan titik B(x2, y2) ialah
M=( x 1 + x 2 2 , y 1 + y 2 2 )

(D) Jarak antara Dua Titik atas Garis Lurus
Dalam rajah 2, jarak antara titik A dan titik B
= ( x 2 x 1 ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2    


Bab 13 Hukum Linear

2.7 Hukum Linear, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 3:
Gunakan kertas graf untuk menjawap soalan ini.
Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen.  Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y=qx+ p qx , dengan keadaan p dan q ialah pemalar.

x
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
y
1.0
2.7
4.1
6.5
6.8
8.0

Salah satu daripada nilai y salah direkodkan.
(a)    Berdasarkan jadual di atas, bina satu jadual bagi nilai-nilai x2 dan xy.
(b)   plot xy melawan x2 dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 unit pada kedua-dua paksi.
Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik.
(c)    Gunakan graf di (b) untuk menjawap soalan di bawah,
            (i)     Nyatakan nilai y yang salah direkodkan dan tentukan nilai sebenarnya.
            (ii)   Cari nilai p dan nilai q.

Penyelesaian:
(a)

(b)
(c)(i)
(c)(ii)



Bab 13 Hukum Linear

2.7 Hukum Linear, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 2:
Gunakan kertas graf untuk menjawap soalan ini.
Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen.  Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan a y = b x +1 , dengan keadaan k dan p ialah pemalar.

x
1.5
2
3
4
5
6
y
5.004
1.540
0.930
0.770
0.705
0.656

(a)    Berdasarkan jadual di atas, bina satu jadual bagi nilai-nilai 1 x  dan  1 y . 
(b)   plot 1 y  melawan  1 x ,  dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.1 unit pada paksi 1 x   dan skala 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi 1 y  ,
Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik.
(c)    Gunakan graf di (b) untuk mencari nilai
            (i)     a,
            (ii)   b,

Penyelesaian:
(a)

(b)


(c)(i)(ii)




Bab 13 Hukum Linear

2.7 Hukum Linear, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 1:

Gunakan kertas graf untuk menjawap soalan ini.
Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah x dan y, yang dihubungkan oleh persamaan y=5h x 2 + k h x , dengan keadaan h dan k ialah pemalar.

x
2
3
4
5
6
7
y
7.0
11.3
16.0
21.2
27.1
33.2

(a)    Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan skala 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi y x  , plot graf y x  melawan x.
Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik.
(b)   Gunakan graf di (a) untuk mencari nilai
            (i)     h,
            (ii)   k,
            (iii)  yapabila x = 6.

Penyelesaian:
(a)
Sediakan satu jadual yang memberikan nilai X (x) dan nilai Y  ( y x ). 


(b)

Cari kecerunan garis lurus penyuaian terbaik, m, dan pintasan-Y daripada graf.
(b)(i)(ii)
~ Tukar fungsi tak linear kepada bentuk linear melalui persamaan Y = mX + c.
~ Bandingkan dengan nilai-nilai m dan c di graf, cari nilai h dan nilai k


(b)(iii)
Nilai yapabila x = 6


Bab 13 Hukum Linear

2.5 Memperoleh Maklumat daripada Graf Garis Lurus Penyuaian Terbaik
Contoh 1:

Gunakan kertas graf untuk menjawap soalan ini.
Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah x dan y, yang dihubungkan oleh persamaan y = pk√x dengan keadaan p dan k ialah pemalar.

x
1
4
9
16
25
36
y
1.80
2.70
4.05
6.08
9.11
13.67

(a)    Plotkan log10 y melawan √x. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.
(b)   Gunakan graf anda dari (a) untuk mencari nilai pdan nilai k.

Penyelesaian:
(a)
Langkah 1: Sediakan suatu jadual yang memberikan nilai X (√x) dan nilai Y (log10 y).



Langkah 2: Dengan menggunakan skala yang sesuai, lukis garis lurus penyuaian terbaik dengan memplot graf Y (log10 y) melawan X (√x).



(b)
Langkah 3: Cari kecerunan garis lurus penyuaian terbaik, m, dan pintasan-Y daripada graf.



Langkah 4: Tukar fungsi tak linear kepada bentuk linear melalui persamaan Y = mX + c.



Langkah 5: Bandingkan dengan nilai-nilai m dan c di langkah 3, cari nilai p dan nilai k.  



Bab 13 Hukum Linear

2.6 Hukum Linear, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 6:
Dua pembolehubah, x dan y, dihubungkan oleh persamaan y2 = pxq. Apabila graf lgy melawan lgx diplotkan, graf garis lurus yang diperoleh mempunyai kecerunan –2 dan pintasan tegak ialah 0.5.  Cari nilai p dan nilai q.

Penyelesaian:






Soalan 7:
Dua pembolehubah, x dan y, dihubungkan oleh persamaan y= c dx .  Apabila graf y melawan xy diplotkan, graf garis lurus yang diperoleh mempunyai kecerunan 2.5 dan pintasan paksi-y ialah 1.25.  Cari nilai cdan nilai d.

Penyelesaian:



Bab 13 Hukum Linear

2.6 Hukum Linear, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 4:
Dua pembolehubah, x dan y, dihubung oleh rumus y = px3, dengan pialah pemalar. Cari nilai p dan nilai n.


Penyelesaian:




Soalan 5:
Rajah A menunjukkkan sebahagian daripada lengkung y = ax2 + bx. Rajah B menunjukkkan sebahagian daripada garis lurus yang diperoleh apabila y= ax2 + bx ditukar kepada bentuk linear. Cari
(a)    nilai a dan nilai b,
(b)   nilai p dan nilai q.

Rajah A

Rajah B

Penyelesaian:




Bab 13 Hukum Linear

2.6 Hukum Linear, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 1:
Rajah di bawah menunjukkkan sebahagian daripada graf garis lurus diperoleh apabila y melawan x2.


Ungkapkan ydalam sebutan x.

Penyelesaian:




Soalan 2:
Rajah di bawah menunjukkkan sebahagian daripada graf garis lurus diperoleh apabila y x  melawan  x .  

Diberi persamaan tak linear yang asal ialah y=px+q x 3 2 , hitungkan nilai p dan nilai q.

Penyelesaian:




Soalan 3:
Rajah di bawah menunjukkkan graf garis lurus yang dihubungkan oleh persamaan x y = 2 x +3x. 


Cari nilai pdan nilai k.

Penyelesaian:



Bab 13 Hukum Linear

2.4 Menentukan Nilai Pemalar Bagi Persamaan Tak Linear

Contoh 1:
Tukarkan hubungan tak linear y = pxn-1, dengan keadaan k dan n adalah pemalar kepada persamaan linear. Nyatakan kecerunan dan pintasan pada paksi-y.

Penyelesaian:




Contoh 2:
Rajah di bawah menunjukkan graf garis lurus yang diperoleh dengan memplot y2melawan √x.


(a)    Cari persamaan garis lurus penyuaian terbaik.
(b)   Tentukan nilai bagi
            (i)     x apabila y = 4
            (ii)   y apabila x = 25.

Penyelesaian:





Contoh 3:
Pembolehubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y= P 3 x   dengan ksebagai pemalar.
Rajah di bawah menunjukkan garis lurus yang diperoleh dengan memplotkan log10y melawan x.


(a)    Ungkapkan persamaan y= P 3 x  dalam bentuk linear yang digunakan untuk memperoleh garis lurus di atas.
(b)   Cari nilai p.

Penyelesaian:



Bab 13 Hukum Linear

2.2 Penggunaan Hukum Linear Kepada Fungsi Tak Linear

Menukar persamaan Tak Linear kepada Bentuk Linear
1.      Suatu fungsi tak linear yang melibatkan pembolehubah x dan y boleh ditukarkan kepada bentuk linear melalui persamaan Y= mX + c, dengan X dan Y ialah fungsi x dan y masing-masing atau kedua-duanya.


    Y = mX + c ialah persamaan bagi garis lurus penyuaian terbaik
    dengan m = kecerunan garis lurus
      c = pintasan-Y


2.      Bagi hubungan tak linear, graf yang diperoleh apabila y diplotkan melawan x merupakan satu lengkung.

3.      Untuk mendapatkan satu graf garis lurus, langkah-langkah yang berikut boleh diambil.
      (i)     Tukar persamaan tak linear kepada bentuk linear Y= mX + c.
Misalnya:
Persamaan tak linear;
y=ax+ b x , a, b pemalar, ditukar kepada bentuk linear:
xy= a (x2) + b
dengan Y = xy , m =a, X = x2 dan c = b
      (ii)   Dengan menggunakan skala yang sesuai, plot graf Y(xy) melawan X (x2), maka satu graf garis lurus diperoleh.

4.      Pemalar-pemalar a dan b boleh ditentukan daripada kecerunan dan pintasan-Y graf garis lurus yang diperoleh. Bagi contoh di atas;
a= kecerunan garis lurus
b = pintasan-Y