Bab 12 Janjang

1.4 Janjang, SPM Praktis (Soalan Panjang)
Soalan 2:
Satu bulatan, jejari 10 cm dibahagikan kepada 4 sektor dengan keadaan luas sektor-sektor itu adalah dalam janjang geometri. Diberi bahawa luas sector yang paling besar ialah 8 kali luas sektor yang paling kecil. Cari luas sektor yang paling besar itu.

Penyelesaian:
Katakan luas yang terkecil
= ½ (10)2θ ← (Luas sektor = ½ j2 θ)
= 50 θ
nisbah sepunya = r
janjang geometri ialah 50 θ, 50 θr, 50 θr2, 50 θr3.

diberi bahawa luas sektor yang paling besar ialah 8 kali luas sektor yang paling kecil,
50 θr3 = 8 (50 θ)
r3 = 8
r= 2

Jumlah luas semua sektor
= luas bulatan = πj2
= π (10)2 = 100π

S4 = 100π
50θ( r 4 1 ) r1 =100π 50θ( 2 4 1 ) 21 =100π 50θ( 15 )=100π θ= 2π 15

T4 = 50 θr3
T 4 =50( 2π 15 ) ( 2 ) 3  
T4 = 167.6 (π = 3.142)
Luas sektor terbesar = 167.6 cm2

Bab 12 Janjang

1.4 Janjang, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 1:
Rajah di bawah menunjukkan sebahagian daripada susunan batu-bata  yang sama saiz dalam suatu tapak pembinaan.



Bilangan bata pada garis yang paling bawah ialah 100 ketul. Bagi baris-baris yang berikutnya, bilangan bata adalah 2 ketul kurang daripada baris yang di bawahnya. Tinggi setiap ketul bata itu ialah 7 cm.
Rahman membina sebuah tembok dengan mneyusun bata mengikut susunan itu. Bilangan bata pada garis yang paling atas ialah 4 ketul.
Hitungkan
(a)    tinggi, dalam cm, tembok itu.
(b)   jumlah harga bata yang digunakan jika harga seketul bata ialah 50 sen.

Penyelesaian:
100, 98, 96, …, 4 adalah satu janjang aritmetik
a= 100 dan d = –2

(a)
Tn= 4
a + (n – 1) d = 4
100 + (n – 1)(–2) = 4
100 – 2n + 2 = 4
2n = 98
n= 49
Maka, tinggi tembok = 49 × 7 = 343 cm

(b)
Jumlah bata yang digunakan
= S49
= 49 2 ( 100+4 ) rumus,  S n = n 2 ( a+l )  
= 2548
Maka, jumlah harga = 2548 × RM0.50
                                     = RM1,274

Bab 12 Janjang

1.2.1 Janjang Geometri

(A) Ciri-ciri Janjang Geometri
Janjang Geometri (J.G.) ialah satu jujukan nombor yang setiap sebutan (kecuali sebutan pertama) diperoleh dengan mendarabkan satu pemalar kepada sebutan sebelumnya. Pemalar ini dekenal sebagai nisbah sepunya, r.

Contoh:
Tentukan sama ada jujukan nombor yang berikut ialah janjang geometri (J.G.) atau bukan janjang geometri.
(a) 1, 4, 16, 64, …..
(b) 10, –5, 2.5, –1.25, …..
(c) 2, 4, 12, 48, …..
 [Tip pintar: Bagi suatu janjang geometri, sentiasa darab satu nombor tetap untuk mendapat nombor seterusnya]

Penyelesaian:
(a)


Nisbah sepunya, r= T n T n1 T 3 T 2 = 16 4 =4,  T 2 T 1 = 4 1 =4 T 3 T 2 = T 2 T 1  
1, 4, 16, 64, …. ialah JG, a =1, r = 4.

(b)


Nisbah sepunya,  r= T 2 T 1 = 5 10 = 1 2  
10, –5, 2.5, –1.25, ….., ialah JG, a =1, r = – ½.

(c)



Nisbah sepunya,  r= T 2 T 1 = 4 2 =2 r= T 3 T 2 = 12 4 =3 T 2 T 1 T 3 T 2
2, 4, 12, 48, …..Bukan JG.
kerana nisbah antara nombor-nombor yang berturutan tidak sama.


(B) Langkah-langkah untuk membuktikan sama ada jujukan nombor yang diberi ialah satu janjang geometri.

Langkah 1: Senaraikan tiga sebutan yang berturutan. [Contoh: T1, T2, T3.]
Langkah 2: Hitung nilai bagi  T 3 T 2  dan  T 2 T 1 .   
Langkah 3: Jika T 3 T 2 = T 2 T 1 =r, maka jujukan nombor itu ialah satu janjang geometri.
Langkah 4: Jika T 3 T 2 T 2 T 1 , maka jujukan nombor itu bukan satu janjang geometri.

Bab 12 Janjang

1.1 Janjang Aritmetik

(A) Ciri-ciri Janjang Aritmetik
1.      Jujukan ialah suatu set nombor yang mengikut suatu pola tertentu.Misalnya: 4, 7, 10, 13, … ialah satu jujukan.
2.      Setiap nombor dalam suatu jujukan dikenali sebagai sebutan.
3.      Janjang aritmetik (J.A.) ialah satu jujukan nombor yang setiap sebutan (kecuali sebutan pertama) diperoleh dengan menambahkan satu pemalar kepada sebutan sebelumnya. Pemalar ini dikenal sebagai beza sepunya, d.


d = Tn – Tn-1   atau  d = Tn+1 – Tn


Contoh: 
Tentukan sama ada jujukan nombor yang berikut ialan janjang aritmetik (J.A.) atau bukan janjang aritmetik.
(a) –5, –3, –1, 1, …
(b) 10, 7, 4, 1, -2, …
(c) 2, 8, 15, 23, …
(d) 3, 6, 12, 24, …
Tip pintar: Bagi suatu janjang aritmetik, anda sentiasa tambah atau tolak satu nombor tetap.


Penyelesaian:




(B) Langkah-langkah untuk membuktikan sama ada jujukan nombor yang diberi ialah satu janjang aritmetik

Langkah1: Senaraikan tiga sebutan yang berturutan. [Contoh: T1 , T2 , T3 .]
Langkah 2: Hitung nilai bagi T3  T2 dan T2  T1 .
Langkah 3: Jika T3  T2 = T2  T1 = d, maka jujukan nombor itu ialah satu janjang aritmetik.

Contoh:
Buktikan sama ada jujukan nombor yang berikut ialah satu janjang aritmetik (J.A.).
(a) 7, 10, 13, …
(b) –20, –15, –9, …

Penyelesaian:
(a)
7, 10, 13 ← (Langkah 1: Senaraikan T1 , T2 , T3 )
T3 T2 = 13 – 10 = 3(Langkah 2: Cari T3 T2 dan T2 T1)
T2 T1 = 10 – 7 = 3(Langkah 2: Cari T3 T2 dan T2 T1)
T3 T2 = T2 T1
Maka, ) 7, 10, 13, … ialah J.A.

(b)
 –20, –15, –9
T3 T2 = –9 – (–15) = 6
T2 T1 = –15 – (–20) = 5
T3 T2T2 T1
Maka. –20, –15, –9, … bukan satu J.A.

Bab 12 Janjang

1.2.5 Hasil Tambah Janjang Geometri Sehingga Ketakterhinggaan

(G) Mencari Hasil Tambah Janjang Geometri Sehingga Ketakterhinggaan
  S= a 1r , 1<r<1    
a = sebutan pertama
r = nisbah sepunya
S∞ = hasil tambah sehingga ketakterhinggaan

Contoh:
Cari hasil tambah setiap siri yang berikut sehingga ketakterhinggaan.
(a) 8, 4, 2, ...
(b)  2 3 ,  2 9 ,  2 27 , .....
(c) 3, 1, , ….

Penyelesaian:
(a)
8, 4, 2, ….
a = 2, r = 4/8 = ½
S∞ = 8 + 4 + 2 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 + 0.03125 + …..
S= a 1r = 2 1 1 2 =4

(b)
2 3 ,  2 9 ,  2 27 , ..... a= 2 3 , r= 2/9 2/3 = 1 3 S= a 1r S= 2 3 1 1 3 =1

(c)
3, 1,  1 3 , ..... a=3, r= 1 3 S= a 1r S= 3 1 1 3 = 3 2/3 = 9 2



(H) Perpuluhan Jadi Semula

Contoh bagi perpuluhan jadi semula:
2 9 =0.2222222222222..... 8 33 =0.242424242424..... 41 333 =0.123123123123.....

Perpuluhan jadi semula boleh ditukar kepada pecahan dengan menggunakan rumus hasil tambah sehingga ketakterhinggaan
  S= a 1r     
Contoh (Tukar perpuluhan jadi semula kepada pecahan)
Ungkapkan setiap perpuluhan jadi semula yang berikut sebagai suatu pecahan dalam bentuk yang paling ringkas.
(a) 0.8888 ...
(b) 0.171717...
(c) 0.513513513 ….

Penyelesaian:
(a)
0.8888 = 0.8 + 0.08 + 0.008 +0.0008 + ….. (perpuluhan jadi semula )
JG, a=0.8, r= 0.08 0.8 =0.1 S = a 1r S = 0.8 10.1 S = 0.8 0.9 S = 8 9 Semakan kalkulator     8 9 =0.888888....

(b)
0.17171717 …..
= 0.17 + 0.0017 + 0.000017 + 0.00000017 + …..
JG, a=0.17, r= 0.0017 0.17 =0.01 S = a 1r S = 0.17 10.01 = 0.17 0.99 = 17 99 Peringatan: semak jawapan  dengan kalkulator

(c)
0.513513513…..
= 0.513 + 0.000513 + 0.000000513 + …..
JG, a=0.513, r= 0.00513 0.513 =0.001 S = a 1r S = 0.513 10.001 = 0.513 0.999 = 513 999 = 19 37  


Bab 12 Janjang

1.2.4 Hasil Tambah Suatu Janjang Geometri

(F) Hasil Tambah n sebutan pertama suatu Janjang Geometri
   S n = a( r n 1) r1 , r>1      S n = a(1 r n ) 1r , r<1
a = sebutan pertama
r = nisbah sepunya
n = bilangan sebutan
Sn  = hasil tambah n sebutan pertama

Contoh 1:
Cari hasil tambah bagi setiap janjang geometri yang berikut.
(a) 1, 2, 4, ...  sehingga 7 sebutan pertama
(b) 9, 3,   1,   ,   ...  sehingga 6 sebutan pertama
(c) 12, 3, ....,  3 64 [Tip pintar: bilangan sebutan,n dalam suatu janjang aritmetik dapat dicari jika sebutan terakhir diketahui]

Penyelesaian:






Bab 12 Janjang

1.2.3 Menetukan Sebutan Tertentu dan Bilangan Sebutan dalam Suatu Janjang Geometri (Contoh Soalan)

Contoh 1:
Sebutan ke-6 dan sebutan ke-3 dalam suatu janjang geometri masing-masing ialah 32 dan 4. Hitung sebutan pertama dan nisbah sepunya.

Penyelesaian:
T6   = 32
ar5  = 32 ----- (1)
T3   = 4
ar2  = 4 ----- (2)
(1) (2) = a r 5 a r 2 = 32 4  

r3 =
r = 2
Gantikan r = 2 ke dalam (2),
a (2)2= 4
a = 1


Contoh 2:
Dalam suatu janjang geometri, hasil tambah sebutan ke-2 dan sebutan ke-3 ialah 12 dan hasil tambah sebutan ke-3 dan sebutan ke-4 ialah 4, cari sebutan pertama dan nisbah sepunya.

Penyelesaian:
T2 + T3 = 12
ar + ar2  = 12
ar (1 + r) = 12 ----- (1) ← (Pemfaktoran)

T3 + T4 = 4
ar2 + ar3  = 4

ar2 (1 + r) = 4 ----- (2)


Contoh 3:
Untuk janjang geometri 3, 12, 48, , ... Cari nilai terkecil n supaya sebutan ke-n melebihi   1 000 000.

Penyelesaian:
3, 12, 48, ..... JG, a=3, r= T 2 T 1 = 12 3 =4 T n >1000000 ( 3 ) ( 4 ) n1 >1000000 ( 4 ) n1 > 1000000 3  [ ( 3 ) ( 4 ) n1 12 n1 ] log 4 n1 >log 1000000 3  (Letak log di                                               kedua-dua belah) ( n1 )lg4>lg 1000000 3  ( log a m n =n log a m )
(n – 1)(0.6021) > 5.523
n – 1 > 9.17
n > 10.17
n = 11 ← (n ialah integer)

Semakan:
T11  = (3)(4)10
T11  = 3 145 728 > 1 000 000

Bab 12 Janjang

1.2.2 Menetukan Sebutan Tertentu dan Bilangan Sebutan dalam Suatu Janjang Geometri

(C) Sebutan Tertentu dalam Suatu Janjang Geometri


     Tn = arn-1


a = sebutan pertama 
r = nisbah sepunya
n = bilangan sebutan
Tn = sebutan ke-n

Contoh:
Cari sebutan yang diberi bagi setiap janjang geometri yang berikut.
(a) 8 ,4 ,2 ,...... T8
(b)  16 27 ,  8 9 ,  4 3 ,..... , T6

Penyelesian:
Tn = arn-1
T1 = ar1-1 = ar0 = a ← (sebutan pertama)
T2 = ar2-1 = ar1 = ar ← (sebutan kedua)
T3 = ar3-1 = ar2 ← (sebutan ketiga)
T4 = ar4-1 = ar3 ← (sebutan keempat)

(a)
8, 4, 2, ..... a=8, r= 4 8 = 1 2 T 8 =a r 7 T 8 =8 ( 1 2 ) 7 = 1 16

(b)
16 27 ,  8 9 ,  4 3 , ..... a= 16 27 r= T 2 T 1 = 16 27 8 9 = 2 3 T 6 =a r 5 = 16 27 ( 2 3 ) 5 = 512 6561



(D) Bilangan Sebutan dalam Suatu Janjang Geometri
Tip pintar: Bilangan sebutan dalam suatu janjang geometri dapat dicari jika sebutan terakhir diketahui.

Contoh:
Cari bilangan sebutan bagi setiap janjang geometri yang berikut.
(a) 2, 4, 8, ….., 8192
(b) 1 4 ,  1 6 ,  1 9 , .....,  16 729   
(c)  ½, 1, 2, ….., 64

Penyelesian:
(a)
2, 4, 8, ….., 8192 ← (sebutan terakhir diberi)
a = 2
r= T 2 T 1 = 4 2 =2 
Tn= 8192
arn-1 = 8192 ← Tn = arn-1
(2)(2)n-1  = 8192
 2n-1  = 4096
2n-1  = 212  
n– 1 = 12
n = 13

(b)
1 4 ,  1 6 ,  1 9 , .....,  16 729 a= 1 4 ,r= 1 6 1 4 = 2 3 T n = 16 729 a r n1 = 16 729 ( 1 4 ) ( 2 3 ) n1 = 16 729 ( 2 3 ) n1 = 16 729 ×4 ( 2 3 ) n1 = 64 729 ( 2 3 ) n1 = ( 2 3 ) 6 n1=6 n=7

(c)
  1 2 , 1, 2,....., 64 a= 1 2 , r= 2 1 =2 T n =64 a r n1 =64 ( 1 2 ) ( 2 ) n1 =64
Tn= 64
arn-1 = 64
(–½ )(–2)n-1  = 64
 (–2)n-1  = 64 × –2
(–2)n-1  = –128
(–2)n-1  = (–2)7
n– 1 = 7
n = 8


(E) Tiga sebutan Berturutan dalam suatu janjang geometri (J.G.)
Jika e, fdan g adalah 3 sebutan berturutan dalam suatu janjang geometri (JG), maka
   g f = f e   

Contoh:
Jika p + 20,   p − 4,    p −20 adalah 3 sebutan berturutan dalam suatu janjang geometri, cari niali p.

Penyelesian:
p20 p4 = p4 p+20  
(p + 20)(p – 20) = (p – 4)(p – 4)
p2– 400 = p2 – 8p + 16
8p = 416
p = 52

Bab 12 Janjang

1.1.2a Menetukan Sebutan Tertentu dalam Suatu Janjang Aritmetik (Contoh Soalan)
Contoh 1:
Jika sebutan ke-20 dalam suatu janjang aritmetik ialah 14 dan sebutan ke-40 ialah 6,
Cari
(a) sebutan pertama dan beza sepunya,
(b) sebutan ke-10.

Penyelesian:
(a)
T20 = 14
a + 19d = 14 ----- (1) (Tn = a + (n– 1) d
T40 = – 6
a + 39d = – 6 ----- (2)
(2) – (1),
20d = – 20 
d = – 1 
Gantikan d = – 1 ke dalam (1),
a + 19 (– 1) = 14
a = 33

(b)
T10 = a + 9d
T10 = 33 + 9 (– 1)
T10 = 24



Contoh 2:
Sebutan ke-3 dan sebutan ke-7 dalam suatu janjang aritmetik ialah 20 dan 12 masing-masing.
(a) Hitung sebutan ke-20.
(b) Cari sebutan dengan nilainya ialah 34.

Penyelesian:
(a)
T3 = 20
a + 2d = 20 ----- (1) ← (Tn= a + (n – 1) d
T7 = 12
a + 6d = 12 ----- (2)
(2) – (1),
4d = – 8 
d = – 2 
Gantikan d = – 2 ke dalam (1),
a + 2 (– 2) = 20
a = 24
T20 = a + 19d
T20 = 24 + 19 (– 2)
T20 = –4

(b)
Tn = –34
a + (n – 1) d = –34
24 + (n – 1) (–2) = –34
(n – 1) (–2) = –58
n – 1 = 29
n = 30


Contoh 3:
Tiga sebutan pertama dalam suatu janjang aritmetik ialah 72, 65 dan 58.  
Sebutan ke-n bagi janjang ini adalah negatif.
Cari nilai terkecil n.

Penyelesian:
72, 65, 58
JA, a = 72, d = 65 – 72 = –7

Sebutan ke-n adalah negatif,
Tn < 0
a + (n – 1) d < 0
72 + (n – 1) (–7) < 0
(n – 1) (–7) < –72
n – 1 > –72/ –7
n – 1 > 10.28
n > 11.28
n mestilah satu integer, n = 12, 13, 14, ….
Maka nilai terkecil n = 12.

Bab 12 Janjang

(F) Hasil Tambah n Sebutan Pertama suatu Janjang Aritmetik

Hasil Tambah n Sebutan Pertama suatu Janjang Aritmetik 
   S n = n 2 [ 2a+( n1 )d ]      S n = n 2 ( a+l )
a = sebutan pertama
d = beza sepunya
n = bilangan sebutan
Sn = hasil tambah nsebutan pertama


Contoh:
Hitung hasil tambah bagi setiap janjang aritmetik yang berikut:
(a) –11, –8, –5, ... sehingga 15 sebutan pertama.
(b) 8,   10½,   13,...   sehingga 15 sebutan pertama.
(c) 5, 7, 9,....., 75 [Tip pintar: bilangan sebutan,n dalam suatu janjang aritmetik dapat dicari jika sebutan terakhir diketahui]

Penyelesaian:
(a)
–11, –8, –5, ...Cari S15
a = –11
d = –8 – (–11) = 3
S 15 = 15 2 [ 2a+14d ] S 15 = 15 2 [ 2( 11 )+14( 3 ) ]=150

(b)
8,   10½,   13,...   Cari S13
a = 8
d=10 1 2 8= 5 2 S 13 = 13 2 [ 2a+12d ] S 13 = 13 2 [ 2( 8 )+12( 5 2 ) ]=299

(c)
5, 7,  9,..., 75 ← (sebutan terakhir l ialah 75)
a = 5
d = 7 – 5 = 2
sebutan terakhir l= 75
Tn = 75
a + (n – 1)d = 75
5 + (n – 1)(2) = 75
(n – 1)(2) = 70
n – 1 = 35
n = 36
S n = n 2 ( a+l ) S 36 = 36 2 ( 5+75 )=1440