Bab 18 Kebarangkalian II

7.5 Kebarangkalian II, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 3:
Rajah di bawah menunjukkan dua kad huruf dalam kotak A dan tiga kad nombor di dalam kotak B.

Satu kad dipilih secara rawak daripada kotak A dan kemudian satu kad pula dipilih secara rawak daripada kotak B.
Dengan menyenaraikan sampel bagi semua kesudahan peristiwa yang mungkin, cari kebarangkalian
(a)    satu kad berlabel M dan kad nombor genap dipilih,
(b)   satu kad berlabel Q atau kad nombor gandaan 2 dipilih.

Penyelesaian:
Ruang sampel, S
= {(M, 2), (M, 3), (M, 6), (Q, 2), (Q, 3), (Q, 6)}
n(S) = 6

(a)
{(M, 2), (M, 6)}
P( M dan nombor genap )= 2 6 = 1 3

(b)
{(Q , 2), (Q, 3), (Q , 6), (M, 2), (M , 6)}
P( Q atau gandaan 2 )= 5 6



Soalan 4:
Jadual di bawah menunjukkan nama peserta daripada dua sekolah menengah yang menghadiri satu program latihan pengucapan awam.

Lelaki
Perempuan
Sekolah A
Karim
Rosita
Sally
Linda
Sekolah B
Ahmad
Billy
Nancy

Dua peserta dikehendaki memberi ucapan di akhir program itu.

(a)  Seorang peserta dipilih secara rawak daripada Sekolah Adan kemudian seorang peserta lagi dipilih secara rawak juga daripada Sekolah A.
(i)    Senaraikan semua kesudahan peristiwa yang mungkin dalam ruang sampel ini.
(ii) Seterusnya, cari kebarangkalian bahawa seorang lelaki dan seorang perempuan dipilih.
(b)  Seorang peserta dipilih secara rawak daripada kumpulan lelaki dan kemudian seorang peserta lagi dipilih secara rawak daripada daripada kumpulan perempuan.
(i)    Senaraikan semua kesudahan peristiwa yang mungkin dalam ruang sampel ini.
(ii) Seterusnya, cari kebarangkalian bahawa kedua-dua peserta yang dipilih adalah daripada Sekolah B.

Penyelesaian:
(a)(i)
Ruang sampel, S
= {(Karim, Rosita), (Karim, Sally), (Karim, Linda), (Rosita, Sally), (Rosita, Linda), (Sally, Linda)}
n(S) = 6

(a)(ii)
{(Karim, Rosita), (Karim, Sally), (Karim, Linda}
P (seorang lelaki dan seorang perempuan)
= 3 6 = 1 2

(b)(i)
Ruang sampel, S
= {(Karim, Rosita), (Karim, Sally), (Karim, Linda), (Karim, Nancy), (Ahmad, Rosita), (Ahmad, Sally), (Ahmad, Linda), (Ahmad, Nancy), (Billy, Rosita), (Billy, Sally), (Billy, Linda), (Billy, Nancy)}
n(S) = 12

(b)(ii)
{(Ahmad, Nancy), (Billy, Nancy)}
P (kedua-dua peserta daripada Sekolah B)
= 2 12 = 1 6


Bab 18 Kebarangkalian II

7.3 Kebarangkalian Peristiwa Bergabung
7.3b Mencari Kebarangkalian Peristiwa Bergabung (a) Aatau B (b) A dan B
1. Rumus yang berikut digunakan untuk mencari kebarangkalian peristiwa bergabung ‘A atau B’.

  P(A atau B)=P(AB)                       = n(AB) n(S)   

2. Rumus yang berikut pula digunakan untuk mencari kebarangkalian peristiwa bergabung ‘A dan B’.

  P(A dan B)=P(AB)                      = n(AB) n(S)   


Contoh:
Kebarangkalian bahawa dua pelajar tingkatan 5, Farhana dan Wendy akan lulus ujian lisan Bahasa Inggeris ialah 1 3  dan  2 5  masing-masing. Hitung kebarangkalian bahawa
(a) kedua-dua Farhana dan Wendy lulus ujian lisan Bahasa Inggeris,
(b) kedua-dua Farhana dan Wendy gagal ujian lisan Bahasa Inggeris,
(c) salah seorang daripada mereka lulus ujian lisan Bahasa Inggeris,
(d) sekurang-kurangnya salah seorang daripada mereka lulus ujian lisan Bahasa Inggeris.  

Penyelesaian:
Katakan
F = Peristiwa bahawa Farhana lulus ujian lisan Bahasa Inggeris
W = Peristiwa bahawa Wendy lulus ujian lisan Bahasa Inggeris
Oleh itu,
F’ = Peristiwa bahawa Farhana gagal ujian lisan Bahasa Inggeris
W’ = Peristiwa bahawa Wendy gagal ujian lisan Bahasa Inggeris
P( F )= 1 3 ,         P( F' )= 2 3 P( W )= 2 5 ,         P( W' )= 3 5  

(a)
P (kedua-dua Farhana dan Wendy lulus ujian lisan Bahasa Inggeris)
= P (F W)
= P (F)  × P (W)
= 1 3 × 2 5 = 2 15

(b)
P (kedua-dua Farhana dan Wendy gagal ujian lisan Bahasa Inggeris)
= P (F’ W’)
= P (F’)  × P (W’)
= 2 3 × 3 5 = 2 5

(c)
P (salah seorang daripada mereka lulus ujian lisan Bahasa Inggeris)
= P (F W’) + P (F’ W)
= (P (F)  × P (W’)) + (P (F’)  × P (W))
=( 1 3 × 3 5 )+( 2 3 × 2 5 ) = 7 15

(d)
P (sekurang-kurangnya salah seorang daripada mereka lulus ujian lisan Bahasa Inggeris)
= 1 – P (kedua-duanya gagal) ← (Konsep peristiwa pelengkap)
= 1 – P (F’) ×  P (W’)
=1 2 5 = 3 5

Bab 18 Kebarangkalian II

7.5 Kebarangkalian II, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 1:

Tiga belas keping kad huruf seperti yang ditunjukkan dalam rajah di atas dimasukkan ke dalam sebuah kotak.
Dua keping kad dikeluarkan secara rawak daripada kotak itu, satu demi satu, tanpa pengembalian. Hitung kebarangkalian bahawa
(a)    kad pertama yang dikeluarkan ialah kad huruf Ndan kad kedua yang dikeluarkan ialah kad huruf I.
(b)   dua keping kad yang dikeluarkan adalah kad yang sama huruf.

Penyelesaian:
(a)
Terdapat 3 keping kad dengan huruf ‘N’ dan 1 keping kad huruf ‘I’.
P (kad pertama yang dikeluarkan ialah kad huruf Ndan kad kedua yang dikeluarkan ialah kad huruf I)
= 3 13 × 2 ( 131 ) = 3 13 × 2 12 = 1 26

(b)
P (dua keping kad yang dikeluarkan adalah kad yang sama huruf)
= P (II or NN or TT or AA)
= P (II) + P (NN) + P (TT) + P (AA)
=( 2 13 × 1 12 )+( 3 13 × 2 12 )+( 2 13 × 1 12 )+( 2 13 × 1 12 )                                             Terdapat 3 huruf 'N' = 2 156 + 6 156 + 2 156 + 2 156 = 12 156 = 1 13



Soalan 2:
Sempena Hari Kebangsaan, sekumpulan pelajar yang terdiri daripada 8 pelajar lelaki dan 5 orang pelajar perempuan mengambil bahagian dalam pertandingan nyanyian. Setiap hari, dua orang pelajar dipilih secara rawak daripada kumpulan pelajar itu untuk membuat persembahan khas.
(a)    Hitung kebarangkalian bahawa kedua-dua pelajar yang dipilih untuk membuat persembahan khas itu adalah lelaki.
(b)   Dua orang pelajar lelaki yang telah membuat persembahan khas itu dikecualikan daripada membuat persembahan khas pada hari kedua.
Hitung kebarangkalian bahawa dua orang pelajar yang dipilih untuk membuat persembahan khas dalam hari kedua terdiri daripada jantina yang sama.

Penyelesaian:
(a)
P (kedua-dua orang pelajar adalah lelaki)
= P (LL)
= 8 13 × 7 12 = 7 24

(b)
P (kedua-dua orang pelajar adalah daripada jantina yang sama)
= P (LL) +  P (PP)
=( 6 11 × 5 10 )+( 5 11 × 4 10 ) 11 orang pelajar tinggal dalam kumpulan dalam hari kedua selepas dua orang pelajar lelaki dikecualikan. = 3 11 + 2 11 = 5 11


Bab 18 Kebarangkalian II

7.4 Kebarangkalian II, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 1:
Sebuah beg mengandungi 36 biji guli yang berwarna hitam dan putih. Diberi bahawa kebarangkalian sebiji guli hitam dipilih daripada beg ialah 5 9 .
Hitung bilangan guli putih perlu diambil keluar daripada beg supaya kebarangkalian sebiji guli hitam dipilih ialah 5 8 .

Penyelesaian:
Bilangan guli hitam dalam beg
= 5 9 ×36=20

Katakan y ialah bilangan guli yang tinggal dalam beg.
y× 5 8 =20 y=20× 8 5 =32

Bilangan guli putih yang perlu diambil keluar daripada beg
= 36 – 32
= 4


Soalan 2:
Jadual di bawah menunjukkan bilangan bola berwarna di dalam tiga beg.


Hijau
Perang
Ungu
Beg A
3
1
6
Beg B
5
3
4
Beg C
4
6
2

Jika sebuah beg dipilih secara rawak dan kemudian sebiji bola dipilih secara rawak daripada beg itu, apakah kebarangkalian sebiji bola ungu dipilih?

Penyelesaian:
Kebarangkalian memilih sebuah beg =
Kebarangkalian memilih sebiji bola ungu daripada beg A = 6 10 = 3 5
Kebarangkalian memilih sebiji bola ungu daripada beg B = 4 12 = 1 3
Kebarangkalian memilih sebiji bola ungu daripada beg C = 2 12 = 1 6

P( bola ungu )=( 1 3 × 3 5 )+( 1 3 × 1 3 )+( 1 3 × 1 6 )                             = 1 5 + 1 9 + 1 18                             = 11 30

Bab 18 Kebarangkalian II

7.3 Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

7.3a Mencari kebarangkalian secara menyenaraikan kesudahan peristiwa bergabung
1.     Peristiwa bergabung ialah peristiwa yang dihasilkan daripada kesatuan atau persilangan dua peristiwa atau lebih.
2.     Kesatuan peristiwa bergabung ‘A atau B’ = A υ B
3.     Persilangan peristiwa bergabung ‘A dan B’ = A B

Contoh:
Rajah di bawah menunjukkan lima keping kad huruf.


Semua kad dimasukkan ke dalam sebuah kotak. Suatu kod dua-huruf hendak dibentuk dengan menggunakan mana-mana dua daripada kad ini. Dua kad dipilih secara rawak, satu persatu, tanpa dikembalikan.
(a) Senaraikan ruang sampel.
(b) Senaraikan semua kesudahan peristiwa dan cari kebarangkalian bahawa
(i) kod itu bermula dengan huruf P.
(ii) kod itu terdiri daripada dua vocal atau dua konsonan.

Penyelesaian:
(a)
Ruang sampel, S
= {(G, R), (G, A), (G, P), (G, E), (R, G), (R, A), (R, P), (R, E), (A, G), (A, R),
     (A, P), (A, E), (P, G), (P, R), (P, A), (P, E), (E, G), (E, R), (E, A), (E, P)}

(b)
n(S) = 20
Katakan
A = Peristiwa memilih suatu kod bermula dengan huruf P
B = Peristiwa memilih suatu kod yang terdiri daripada dua vocal atau dua konsonan.

(i)
A = {(P, G), (P, R), (P, A), (P, E)}
n(A) = 4
P( A )= 4 20 = 1 5  

(ii)
B = {(G, R), (G, P), (R, G), (R, P), (A, E), (P, G), (P, R), (E, A)}
n(B) = 8
P( B )= 8 20 = 2 5

Bab 18 Kebarangkalian II

7.2 Kebarangkalian Peristiwa Pelengkap
1. Peristiwa pelengkap bagi peristiwa A dalam satu ruang sampel, S, adalah terdiri daripada semua kesudahan S yang bukan kesudahan  A.

2. Bagi peristiwa A, A’ ialah pelengkap kepada peristiwa A

   
    P (A’) = 1 – P (A)


Contoh:
Satu nombor dipilih secara rawak daripada satu set nombor bulat dari 1 hingga 40. Hitung kebarangkalian bahawa nombor yang dipilih bukan satu kuasa dua sempurna.

Penyelesaian:
Katakan
A = Peristiwa memilih satu nombor kuasa dua sempurna.
A’ = Peristiwa memilih satu nombor bukan kuasa dua sempurna.
A = {1, 4, 9, 16, 25, 36}
n(A) = 6
P( A )= n( A ) n( S )         = 6 40 = 3 20 P( A' )=1P( A )         =1 3 20 = 17 20    

Oleh itu, kebarangkalian bahawa nombor yang dipilih bukan satu kuasa dua sempurna ialah 17 20 .   

Bab 18 Kebarangkalian II


7.1 Kebarangkalian suatu Peristiwa

1.      Ruang sampel, S, mengandungi semua kesudahan yang mungkin berlaku.
2.      Kebarangkalian bagi suatu peristiwa  A, P(A) berlaku diberi oleh

   P(A)= bilangan kesudahan A bilangan kesudahan S        P(A)= n(A) n(S)    dengan keadaan 0P(A)1

3.      Jika P(A) = 0, maka peristiwa A pasti tidak berlaku.
4.      Jika P(A) = 1, maka peristiwa A pasti berlaku.

Contoh 1:
Sebuah kotak mengandungi 9 pen merah dan 13 pen biru. Tom memasukkan lagi 4 pen merah dan 2 pen biru ke dalam kotak. Sebatang pen dipilih secara rawak daripada kotak itu. Apakah kebarangkalian sebatang pen merah akan dipilih?

Penyelesaian:
n(S) = 9 + 13 + 4 + 2 = 28
katakan M = Peristiwa sebatang pen merah dipilih.
n(M) = 9 + 4 = 13
P( M )= n( M ) n( S )            = 13 28  



Contoh 2:
Sebuah beg mengandungi 45 keping kad hijau dan kad kuning. Sekeping kad dipilih secara rawak daripada bag itu. Kebarangkalian sekeping kad hijau dipilih ialah 1 5  .
Berapa bilangan kad hijau yang perlu ditambah ke dalam beg itu supaya kebarangkalian sekeping kad hijau dipilih ialah ½ ?

Penyelesaian:
n(S) = 45
Katakan
x = bilangan kad hijau dalam bag.
A = Peristiwa memilih sekeping kad hijau secara rawak.
n(A) = x
P( A )= n( A ) n( S )       1 5  = x 45       x= 45 5       x=9

Katakan y ialah bilangan kad hijau yang ditambah ke dalam beg.
9+y 45+y = 1 2
2 (9 + y) = 45 + y
 18 + 2y= 45 + y
    2yy = 45 – 18
            y = 27