Bab 15 Matriks

4.9 SPM Practis (Kertas 1)
Soalan 5:
Diberi bahawa ( 3   x )( x 1 )=( 18 ),  cari nilai x.

Penyelesaian:
( 3   x )( x 1 )=( 18 )
[3 × x + x (–1)] = (18)
3xx = 18
2x = 18
x = 9


Soalan 6:
( 3 4 2 3 )( 5 2 )= 


Penyelesaian:
( 3 4 2 3 ) ( 5 2 ) = ( ( 3 ) ( 5 ) + ( 4 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 5 ) + ( 3 ) ( 2 ) )                        = ( 15 8 10 6 )                        = ( 7 16 )



Soalan 7:
( 2 4 3 4 0 1 )( 1 3 )=

Penyelesaian:
Peringkat hasil darab dua matriks
=( 3 ×2 )( 2× 1 )=( 3×1 )

( 2 4 3 4 0 1 )( 1 3 )=( 2( 1 )+4( 3 ) ( 3 )( 1 )+0( 3 ) ( 4 )( 1 )+1( 3 ) )                      =( 212 3+0 43 )                      =( 10 3 1 )



Soalan 8:
( 1  1   2 )( 5 1 3 2 0 4 )=

Penyelesaian:
Peringkat hasil darab dua matriks
=( 1 ×3 )( 3× 2 )=( 1×2 )

( 1  1   2 )( 5 1 3 2 0 4 )=
= (1×5 + (–1)(–3) + (2)(2)  1×1 + (–1)(0) + (2)(4))
= (5 + 3 + 4   1 + 0 + 8)
= (12   9)


Bab 15 Matriks

4.7 Matriks Songsang
1.      Jika A ialah satu matriks segi empat sama, dan B ialah satu lagi matriks segi empat sama, dan A × B = B × A = I, maka matriks A adalah matriks songsang bagi matriks B dan sebaliknya.
2.      Matriks songsang bagi A ditulis sebagai A-1.
3.      Matriks songsang hanya wujud bagi matriks segi empat sama, tetapi bukan semua matriks segi empat sama mempunyai matriks songsang.
4.      Jika AB ≠ I atau BA ≠ I, maka A bukan matriks songsang bagi B dan Bbukan matriks songsang bagi A.

Contoh 1:
Tentukan sama ada matriks A=( 2 9 1 5 ) ialah matriks songsang bagi matriks B=( 5 9 1 2 ).  

Penyelesaian:
AB=( 2 9 1 5 )( 5 9 1 2 ) =( 2×5+9×1 2×9+9×2 1×5+5×1 1×9+5×2 ) =( 10+( 9 ) 18+18 5+( 5 ) 9+10 ) =( 1 0 0 1 )=I

AB=( 5 9 1 2 )( 2 9 1 5 ) =( 5×2+( 9 )×1 5×9+( 9 )×5 1×2+2×1 1×9+2×5 ) =( 10+( 9 ) 1818 2+2 9+10 ) =( 1 0 0 1 )=I

AB = BA = I
Maka A ialah matriks songsang bagi matriks B dan sebaliknya.


5.      Matriks songsang bagi suatu matriks boleh dicari melalui rumus.
Jika A=( a b c d ), maka matriks songsang bagi A, A-1, diberi melalui rumus yang berikut.
     A 1 = 1 adbc ( d b c a ), dan adbc0       

6.      ad – bc dikenali sebagai penentu bagi matriks A.
7.      Jika penentu adalah sifar, ad – bc = 0, maka A-1, tidak wujud.

Contoh 2:
Cari matriks songsang bagi A=( 6 1 9 1 ) dengan menggunakan rumus.

Penyelesaian:
A=( 6 1 9 1 ) a=6, b=1, c=9, d=1 A 1 = 1 adbc ( d b c a ) A 1 = 1 6×1( 1×9 ) ( 1 1 9 6 ) A 1 = 1 6+9 ( 1 1 9 6 ) A 1 = 1 3 ( 1 1 9 6 )=( 1 3 1 3 3 2 )


Contoh 3:
Matriks songsang bagi ( 7 2 9 2 ) ialah  r( 2 s 9 t ). Cari nilai bagi r, sdan t.

Penyelesaian:
Let A=( 7 2 9 2 ) A 1 = 1 7×2( 9 )×2 ( 2 2 9 7 ) A 1 = 1 4 ( 2 2 9 7 ) r( 2 s 9 t )= 1 4 ( 2 2 9 7 ) Dengan perbandingan, r= 1 4 , s=2, t=7.

Bab 15 Matriks

4.6 Matriks Identiti
1.    Matriks identiti ialah suatu matriks segi empat sama. Ia biasanya diwakili oleh huruf I .
2.    Matriks identity berperingkat 2 × 2 dan 3 × 3 adalah ( 1 0 0 1 ) dan ( 1 0    0 0 0 1    0 0   1 ).  

3.     Jika Iialah matriks identity n × n dan Aialah matriks yang berperingkat sama, maka  IA = A dan AI = A


Contoh 1:
Tentukan sama ada setiap matriks yang berikut adalah matriks identity bagi ( 2 4 3 7 ).
(a)( 1 0 0 1 )         (b)( 0 1 1 0 )

Penyelesaian:
(a)( 2 4 3 7 )( 1 0 0 1 ) =( 2×1+4×0 2×0+4×1 3×1+7×0 3×0+7×1 ) =( 2 4 3 7 ) Maka, ( 1 0 0 1 ) ialah satu matriks identiti.


(b)( 2 4 3 7 )( 0 1 1 0 ) =( 2×0+4×1 2×1+4×0 3×0+7×1 3×1+7×0 ) =( 4 2 7 3 ) ( 2 4 3 7 ) Maka, ( 0 1 1 0 ) bukan satu matriks identiti.


Contoh 2:
Cari hasil darab bagi setiap pasangan matriks yang berikut dan tentukan sama ada matriks yang diberi  merupakan matriks identity atau tidak.

(a)( 3 2 5 7 )( 1 0 0 1 ) dan ( 1 0 0 1 )( 3 2 5 7 ) (b)( 0 0 1 1 )( 1 8 5 3 ) dan ( 1 8 5 3 )( 0 0 1 1 )

Penyelesaian:
(a) ( 3 2 5 7 )( 1 0 0 1 ) =( 3×1+2×0 3×0+2×1 5×1+7×0 5×0+7×1 )=( 3 2 5 7 ) ( 1 0 0 1 )( 3 2 5 7 ) =( 1×3+0×5 1×2+0×7 0×3+1×5 0×2+1×7 )=( 3 2 5 7 ) ( 1 0 0 1 ) ialah matriks identiti bagi ( 3 2 5 7 ).


(b) ( 0 0 1 1 )( 1 8 5 3 ) =( 0×1+0×5 0×8+0×3 1×1+1×5 1×8+1×3 )=( 0 0 6 11 ) ( 1 8 5 3 )( 0 0 1 1 ) =( 1×0+8×1 1×0+8×1 5×0+3×1 5×0+3×1 )=( 8 8 3 3 ) ( 0 0 1 1 ) BUKAN matriks identiti bagi ( 1 8 5 3 ).

Bab 15 Matriks

4.2 Matriks Sama
(A) Menentukan sama ada dua matriks adalah sama
1.      Dua matriks yang sama mempunyai peringkat yang sama dan setiap unsur sepadannya adalah juga sama.

Misalnya, ( a b c d )=( e f g h )  
Maka, a = e, b = f, c = g dan d = h.

Contoh 1:
Tentukan sama ada setiap pasangan matriks yang berikut adalah sama atau tidak.
(a) A=( 10 8 3 1 ) dan B=( 10 8 3 1 ) (b) P=( 2 4 10 ) dan Q=( 2 3 10 ) (c) M=( 3 5 ) dan N=( 4   7 )

Penyelesaian:
(a)  Sama
(b)  Tidak sama, kerana unsur-unsur sepadan tidak sama. -4 tidak sama dengan -3.
(c)  Tidak sama, kerana peringkat matriks tidak sama. M = peringkat 2 × 1, manakala N = matriks peringkat 1 × 2.


(B) Menyelesaikan masalah yang melibatkan matriks sama
1.      Nilai unsur yang tidak diketahui dalam dua matriks yang sama boleh ditentukan dengan menyamakan unsur-unsur yang sepadan.

Contoh 2:
Cari nilai anu dalam pasangan matriks sama yang berikut.
( 2x x+2y )=( 8 10 )

Penyelesaian:
( 2x x+2y )=( 8 10 ) 2x=8 x=4 x+2y=10 4+2y=10 2y=14 y=7

Bab 15 Matriks


4.1 Matriks
1.      Matriksialah nombor-nombor yang disusun dalam baris dan lajur untuk membentuk satu tatasusunan segi empat tepat.
2.      Matriks pada umumnya ditulis dalam tanda kurungan.
Misalnya, ( 2 0 3 1 ) ialah suatu matriks.

(A)   Menentukan billangan baris, bilangan lajur dan peringkat, sesuatu matriks
1.      Matriks yang mempunyai mbaris dan n lajurs dikenali sebagai matriks peringkat
m × n.

2.      Matriks baris ialah suatu matriks yang mempunyai hanya satu baris sahaja.
Misalnya:
( 4 ),          ( 2   6 ),      ( 3     8    5 )  1 ×1        1 ×2         1 ×3                                Hanya satu baris


3.      Matriks lajur ialah suatu matriks yang mempunyai hanya satu lajur sahaja.
Misalnya:
( 3 ),           ( 2 6 ),         ( 5 7 9 )   1× 1        2× 1         3× 1                                  Hanya satu lajur  


4.      Matriks segi empat sama ialah suatu matriks yang mempunyai bilangan baris dan bilangan lajur yang sama.
Misalnya:
( 3 ),         ( 7 0 2 5 ),       ( 1 3    9 0 6 4    1 3    5 )   1×1           2×2         3×3                        Bilangan baris = Bilangan lajur

Bab 15 Matriks

4.3 Penambahan dan Penolakan Matriks

(A) Mengenal Pasti Dua Matriks yang boleh ditambah atau ditolak
1.      Dua matriks boleh ditambah atau ditolak jika kedua-dua matriks itu mempunyai peringkat yang sama.
2.      Penambahan atau penolakan dua matriks yang sama peringkat ialah pembentukan satu matriks yang unsur-unsurnya merupakan hasil tambah (atau hasil tolak) unsur-unsur sepadan dalam dua matriks itu.


Contoh 1:
Tentukan sama ada pasangan matriks yang berikut boleh ditambah atau ditolak. Memberi sebab untuk jawapan anda.
(a) ( 2 3 ) dan ( 1   8 ) (b) ( 1 2 7 1 ) dan ( 10 0 3 1 ) (c) ( p  2   4 ) dan ( 2  6   q )
 
Penyelesaian:
(a)  Tidak boleh ditambah atau ditolak kerana peringkat dua matriks itu tidak sama.
(b)  Boleh ditambah atau ditolak kerana peringkat dua matriks adalah sama.
(c)  Boleh ditambah atau ditolak kerana peringkat dua matriks adalah sama.


Contoh 2:
Ungkapkan setiap yang berikut sebagai satu matriks tunggal.
Diberi A=( 3 2 ) dan B=( 5 1 ), cari (a) A+B, (b) BA

Penyelesaian:
(a)  A + B = ( 3 2 ) + ( 5 1 ) = ( 3 + 5 2 + 1 ) = ( 8 3 )

(b) BA=( 3 2 )( 5 1 ) =( 35 21 ) =( 2 1 )

Bab 15 Matriks


4.8 Penyelesaian Persamaan Linear Serentak dengan Kaedah Matriks
1.      Dua persamaan linear serentak  boleh ditulis dalam bentuk persamaan matriks.

Sebagai contoh, dalam persamaan linear serentak:
ax+ by = c
dx+ ey = f

boleh ditulis dalam format persamaan matriks seperti berikut:
( a b c d )( x y )=( e f ),

Di mana a, b, c, d, e dan fadalah pemalar manakala x dan y adalah anu.


Contoh 1:
Tuliskan persamaan linear serentak berikut dalam bentuk persamaan matriks.
y– 6x – 19 = 0
2y + 3x + 22 = 0

Penyelesaian:
– 6x + y = 19
3x + 2y = – 22
Persamaan matriks ialah:
( 6 1 3 2 )( x y )=( 19 22 )


2.      Persamaan matriks dalam bentuk ( a b c d )( x y )=( e f ) dapat diselesaikan bagi anu x dan y seperti berikut.
(a)  Katakan A=( a b c d ) dan cari A-1.
(b)  Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan A-1.
A 1 ( a b c d )( x y )= A 1 ( e f )
(c)  A 1 A( x y )= A 1 ( e f )              I( x y )= A 1 ( e f )          A 1 A=I=( 1 0 0 1 )              ( x y )= A 1 ( e f )              ( x y )= 1 adbc ( d b c a )( e f )

Contoh 2:
Selesaikan persamaan linear serentak berikut dalam bentuk persamaan matriks.
2x = 5 – 3y
7x = 1 – 5y

Penyelesaian:
2x + 3y = 5
7x + 5y = 1 
( 2 3 7 5 )( x y )=( 5 1 ) Tulis persamaan serentak dalam bentuk matriks.
Katakan A=( 2 3 7 5 ) A 1 = 1 adbc ( d b c a ) A 1 = 1 1021 ( 5 3 7 2 ) A 1 = 1 11 ( 5 3 7 2 )

( x y )= 1 11 ( 5 3 7 2 )( 5 1 ) ( x y )= A 1 ( e f )
( x y )= 1 11 ( 5×5+( 3 )×1 7×5+2×1 ) ( x y )= 1 11 ( 22 33 ) ( x y )=( 22 11 33 11 )=( 2 3 ) x=2, y=3.

Bab 15 Matriks


4.5 Pendaraban Dua Matriks (Contoh Soalan)

Soalan 1:
Cari hasil darab bagi setiap pasangan matriks yang berikut.
(a) ( 1   5   2 )( 2 4 3 ) (b) ( 2 8 3 1 )( 1 0 4 2 )
(c) ( 3 5 )( 2   6 ) (d) ( 0 4 1 3 )( 7 2 ) (e) ( 7   4 )( 2 0 1 3 )

Penyelesaian:
(a)  ( 1   5   2 )( 2 4 3 ) Analisis matriks 1×3 dan 3×1               = matriks 1×1 =( 1×2  5×4  2×3 ) =( 2+20+6 ) =( 28 )

(b)  ( 2 8 3 1 )( 1 0 4 2 ) Analisis matriks 2×2 dan 2×2               =matriks 2×2 =( 2×1+8×4   2×0+8×2 3×1+1×4   3×0+1×2 ) =( 34 16 1 2 )

(c) ( 3 5 )( 2   6 ) Analisis matriks 2×1 dan 1×2               =matriks 2×2 =( 3×2   3×6 5×2      5×6 ) =( 6 18 10 30 )

(d) ( 0 4 1 3 )( 7 2 ) Analisis matriks 2×2 dan 2×1               =matriks 2×1 =( 0×7+4×2 1×7+3×2 ) =( 8 13 )

(e) ( 7   4 )( 2 0 1 3 ) Analisis matriks 1×2 dan 2×2               =matriks 1×2 =( 7×2+( 4×1 )       7×0+( 4×3 ) ) =( 14+4     012 ) =( 10   12 )



Contoh 2:
Cari nilai mdan nilai n dalam setiap persamaan matriks yang berikut:
(a)( 3 m )( 1   n )=( 3 12 2 8 )
(b)( m 2 3 1 )( 2 n )=( 12 4+2n )
(c)( m 3 1 1 )( 1 2 4 n )=( 14 11 5 3 )

Penyelesaian:
(a) ( 3 m )( 1   4 )=( 3 12 2 n ) ( 3 12 m 4m )=( 3 12 2 n )
m= –2,
4m = n
4 (–2) = n
n= –8

(b) ( m 2 3 1 )( 2 n )=( 12 4+2n ) ( 2m+2n 6+n )=( 12 4+2n )  
–6 + n = 4 + 2n
n= –10
2m + 2n = 12
2m + 2 (–10) = 12
2m – 20 = 12
2m = 32
m = 16

(c) ( m 3 1 1 )( 1 2 4 n )=( 14 11 5 3 ) ( m+(12) 2m+(3n) 1+4 2+n )=( 14 11 5 3 )
m – 12 = –14
m = –2
m = 2
–2 + n = 3
n = 5

Bab 15 Matriks

4.5 Pendaraban Dua Matriks
1.      Dua matriks hanya boleh didarab apabila bilangan lajur matriks pertama sama dengan bilangan baris matriks kedua.
2.      Contohnya, jika Aialah suatu matriks m × n dan Bialah suatu matriks n × t, maka hasil darab matriks AB = P. P ialah suatu matriks, m× t.

Contoh:
(a)( a   b ) ( c d )=( ac  + bd )      1×2    2×1       1×1 (b)( a b c d )( e f )=( ae+bf ce+df )        2×2     2×1         2×1

(c)( a b c d )( e f g h )=( ae+bg af+bh ce+dg cf+dh )         2×2      2×2                   2×2 (d)( a b )( c   d )=( ac ad bc bd )      2×1    1×2        2×2

(e)( a   b   c )( d e f )=( ad  + be+cf )          1×3     3×1          1×1 (f)( a b c e d f )( g h )=( ag+bh cg+dh eg+fh )          3×2     2×1          3×1


Contoh 1:
Tentukan sama ada hasil darab matriks yang berikut boleh dialakukan atau tidak. Jika boleh, nyatakan peringkat matriks yang terhasil.
(a)( 3 5 1 2 )( 3   7 ) (b)( 2 9 1 3 )( 8 6 ) (c)( 10   6 ) ( 7 2 ) (d)( 8 6 )( 2 9 1 3 ) (e)( 7 3 )( 2   10 )

Penyelesaian:
(a)( 3 5 1 2 )( 3   7 )        2× 2       1 ×2   2 1  Tidak boleh didarab.

b)( 2 9 1 3 ) ( 8 6 )        2× 2     2 ×1   2 = 2  Boleh didarab.                             Peringkat matriks yang terhasil=2×1

(c)( 10   6 ) ( 7 2 )          1× 2        2 ×1   2 = 2  Boleh didarab.                             Peringkat matriks yang terhasil =1×1

(d)( 8 6 )( 2 9 1 3 )        2× 1       2 ×2   1 2  Tidak boleh didarab.

(e)( 7 3 )( 2   10 )     2× 1      1 ×2     1 = 1  Boleh didarab.                            Peringkat matriks yang terhasil =2×2

Bab 15 Matriks

4.4 Pendaraban Matriks dengan Nombor (Contoh Soalan)

Contoh 1:
Ungkapkan setiap yang berikut sebagai satu matriks tunggal.
(a) 3( 1 4 3 2 )+2( 3 1 3 4 )
(b) 2( 1 0 9 4 )4( 2 2 3 6 ) 1 3 ( 9 3 6 15 )
 
Penyelesaian:
(a) 3( 1 4 3 2 )+2( 3 1 3 4 ) =( 3×1 3×(4) 3×(3) 3×2 )+( 2×(3) 2×1 2×3 2×(4) ) =( 3 12 9 6 )+( 6 2 6 8 ) =( 3+(6) 12+2 9+6 6(8) ) =( 3 10 3 14 )

(b) 2( 1 0 9 4 )4( 2 2 3 6 ) 1 3 ( 9 3 6 15 ) =( 2 0 18 8 )( 8 8 12 24 )( 1 3 ×(9) 1 3 ×(3) 1 3 ×(6) 1 3 ×15 ) =( 2 0 18 8 )( 8 8 12 24 )( 3 1 2 5 ) =( 2(8)(3) 08(1) 1812(2) 8(24)5 ) =( 9 7 10 11 )