Bab 14 Pengamiran


3.5.1 Pengamiran Sebagai Penghasiltambahan Luas (Contoh)

Contoh 1:
Cari luas rantau berlorek.


Penyelesaian:
Luas rantau berlorek, L
= a b y d x = 0 4 ( 6 x x 2 ) d x = [ 6 x 2 2 x 3 3 ] 0 4 = [ 3 ( 4 ) 2 ( 4 ) 3 3 ] 0 = 26 2 3 unit 2



Contoh 2:
Cari luas rantau berlorek.
 


Penyelesaian:
= x -----(1)
= 8yy2 -----(2)
Gantikan (1) ke dalam (2),
= 8yy2
y2 – 7y = 0
y (y – 7) = 0
= 0 atau 7
Dari (1), = 0 atau 7
Maka, titik persilangan antara lengkung dengan garis lurus ialah (0, 0) dan (7, 7).

Titik persilangan lengkung dengan paksi-y adalah,
= 8yy2
pada y-axis, x = 0
0 = 8yy2
y (y – 8) = 0
y = 0 atau 8

Luas kawasan berlorek = (A1) Luas segitiga + (A2) Luas di bawah lengkung dari y = 7 hingga y = 8.
= 1 2 × tapak × tinggi + 7 8 x d y = 1 2 × ( 7 ) ( 7 ) + 7 8 ( 8 y y 2 ) d y = 49 2 + [ 8 y 2 2 y 3 3 ] 7 8 = 24 1 2 + [ 4 ( 8 ) 2 ( 8 ) 3 3 ] [ 4 ( 7 ) 2 ( 7 ) 3 3 ] = 24 1 2 + 85 1 3 81 2 3 = 28 1 6 unit 2


3.7.5 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 1)


Soalan 14 (4 markah):
Rajah menunjukkan lengkung y = g(x). Garis lurus ialah tangen kepada lengkung itu.
Rajah

Diberi g’(x) = –4x + 8, cari persamaan lengkung itu.


Penyelesaian:
Diberi g'( x )=4x+8 Titik maximum apabila g'( x )=0 4x+8=0 4x=8 x=2 Maka, titik maximum ialah ( 2,11 ). g'( x )=4x+8 g'( x ) = ( 4x+8 ) dx g( x )= 4 x 2 2 +8x+c g( x )=2 x 2 +8x+c Gantikan ( 2,11 ) ke dalam g( x ): 11=2 ( 2 ) 2 +8( 2 )+c c=3 Maka, persamaan lengkung ialah g( x )=2 x 2 +8x+3



Soalan 15 (3 markah):
Diberi bahawa  5 ( 2x+3 ) n dx= p ( 2x+3 ) 5 +c , dengan keadaan c, n dan p ialah pemalar.
Cari nilai n dan nilai p.

Penyelesaian:
5 ( 2x+3 ) n dx= 5 ( 2x+3 ) n dx = 5 ( 2x+3 ) n+1 ( n+1 )×2 +c = 5 2( 1n ) × 1 ( 2x+3 ) n1 +c = 5 2( 1n ) ( 2x+3 ) n1 +c Bandingkan  5 2( 1n ) ( 2x+3 ) n1 dengan  p ( 2x+3 ) 5 n1=5 n=6 5 2( 1n ) =p 5 2( 16 ) =p 5 2( 5 ) =p p= 1 2

3.8.9 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 10 (10 markah):
Rajah menunjukkan lengkung y = 2x2 – 18 dan garis lurus PQ yang merupakan tangen kepada lengkung itu pada titik K.

Diberi bahawa kecerunan garis lurus PQ ialah 4.
(a) Cari koordinat titik K
(b) Hitung luas rantau berlorek.
(c) Apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung, paksi-x dan garis lurus y = h diputarkan melalui 180o pada paksi-y, isi padu kisaran ialah 65π unit3.  Cari nilai h.


Penyelesaian: 
(a)
y=2 x 2 18 dy dx =4x Kecerunan garis lurus PQ=4 4x=4 x=1 Apabila x=1,  y=2 ( 1 ) 2 18=16 Koordinat titik K=( 1,16 ).


(b)
Pada paksi-xy=0 2 x 2 18=0 2 x 2 =18 x 2 =9 x=±3 Lengkung itu memotong paksi-x di titik ( 3,0 ) dan titik ( 3,0 ). Luas rantau berlorek = Luas ΔLuas rantau yang dibatasi oleh lengkung = 1 2 ( 51 )( 16 ) 1 3 ydx =32 1 3 ( 2 x 2 18 )dx =32| [ 2 x 3 3 18x ] 1 3 | =32| ( 2 ( 3 ) 3 3 18( 3 ) )( 2 ( 1 ) 3 3 18( 1 ) ) | =32| ( 1854 2 3 +18 ) | =32| 18 2 3 | =3218 2 3 =13 1 3  unit 2


(c)
Isipadu kisaran=65π π h 0 x 2 dy =65π π h 0 ( y 2 +9 )dx =65π y=2 x 2 18 x 2 = y 2 +9 [ y 2 4 +9y ] h 0 =65 0( h 2 4 +9h )=65 h 2 4 9h=65 h 2 +36h+260=0 ( h+10 )( h+26 )=0 h=10   or   h=26 ( ditolak ) Maka, h=10


3.8.8 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 9 (10 markah):
Rajah menunjukkan garis lurus 4y = x – 2 menyentuh lengkung x = y2 + 6 pada titik P.

Rajah
Cari
(a) koordinat P,
(b) luas kawasan berlorek,
(c) isi padu kisaran, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung dan garis lurus x = 8 dikisarkan melalui 180o pada paksi-x.


Penyelesaian:
(a)
4y=x2.........(1) x= y 2 +6.........(2) Gantikan (2) ke dalam (1): 4y=( y 2 +6 )2 y 2 4y+4=0 ( y2 )( y2 )=0 y2=0 y=2 Gantikan y=2 ke dalam (2): x= ( 2 ) 2 +6 x=10 Oleh itu, P=( 10, 2 ).

(b)
Pada paksi-x, y=0 4y=x2 0=x2 x=2 Luas kawasan berlorek = Luas segi tigaLuas rantau yang dibatasi oleh lengkung = 1 2 ( 102 )( 2 ) 6 10 ydx =8 6 10 x6 dx x= y 2 +6 y= x6 =8 6 10 ( x6 ) 1 2 dx =8 [ ( x6 ) 1 2 +1 1 2 +1 ] 6 10 =8 [ 2 ( x6 ) 3 2 3 ] 6 10 =8[ 2 ( 106 ) 3 2 3 2 ( 66 ) 3 2 3 ] =8 16 3 = 8 3  unit 2

(c)
Isipadu kisaran =π 6 8 y 2 dx =π 6 8 ( x6 )dx x= y 2 +6 y 2 =x6 =π [ x 2 2 6x ] 6 8 =π[ ( 3248 )( 1836 ) ] =2π  unit 3



3.8.7 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 8:
Rajah di bawah menunjukkan lengkung y= 4 x 2 dan garis lurus y = mx + c. Garis lurus y = mx + c ialah tangen kepada lengkung pada (2, 1).
(a) Cari nilai m dan nilai c.

(b) Hitung luas kawasan berlorek.

(c) Diberi bahawa isi padu kisaran apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung, paksi-x, garis lurus x = 2 dan x = h diputarkan melalui 360o pada paksi-x ialah  38π 81  unit 3 .
Cari nilai h, dengan keadaan h > 2.


Penyelesaian:
(a)
y= 4 x 2 =4 x 2 dy dx =8 x 3 = 8 x 3 At x=2, dy dx = 8 2 3 =1 Persamaan tangen: y y 1 =m( x x 1 ) y1=1( x2 ) y=x+2+1 y=x+3 m=1, c=3


(b)
Pada paksi-xy=0 Dari garis lurus y=x+3,x=3 Luas kawasan berlorek =Luas bawah lengkungLuas segi tiga = 2 4 y dx 1 2 ×1×1 = 2 4 ( 4 x 2 ) dx 1 2 = [ 4 x 1 1 ] 2 4 1 2 = [ 4 x ] 2 4 1 2 =[ 4 4 ( 4 2 ) ] 1 2 = 1 2  unit 2


(c)
Isipadu kisaran= 38π 81 π 2 h y 2  dx = 38π 81 2 h ( 4 x 2 ) 2 d x= 38 81 2 h ( 16 x 4 )dx = 38 81 2 h ( 16 x 4 )dx = 38 81 [ 16 x 3 3 ] 2 h = 38 81 [ 16 3 x 3 ] 2 h = 38 81 16 3 h 3 ( 16 3 ( 2 ) 3 )= 38 81 16 3 h 3 = 16 24 38 81 16 3 h 3 = 16 81 3 h 3 =81 h 3 =27 h=3

3.8.6 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 7:
Rajah di bawah menunjukkan suatu lengkung y= 1 4 x 2 +3 yang menyilang suatu garis lurus y = x + 6 pada titik A.

(a) Cari koordinat A.
(b) ) hitung
(i) luas rantau berlorek M,
(ii) isipadu kisaran, dalam sebutan π, apabila rantau berlorek N diputarkan melalui 360o pada paksi-y.


Penyelesaian:
(a)
y= 1 4 x 2 +3..........( 1 ) y=x+6..........( 2 ) Gantikan (2) ke dalam (1), x+6= 1 4 x 2 +3 4x+24= x 2 +12 x 2 4x12=0 ( x+2 )( x6 )=0 x=2   or   x=6 ( ditolak ) Apabila x=2 y=2+6=4 Oleh itu, A=( 2,4 ).


(b)(i)
Pada paksi-xy=0 Dari y=x+6,x=6 Luas kawasan berlorek M =Luas segi tiga+Luas di bawah lengkung = 1 2 ×( 62 )×4+ 2 0 y dx =8+ 2 0 ( 1 4 x 2 +3 ) dx =8+ [ x 3 4( 3 ) +3x ] 2 0 =8+[ 0( ( 2 ) 3 12 +3( 2 ) ) ] =8+[ 0( 8 12 6 ) ] =8+[ 0( 20 3 ) ] =14 2 3  unit 2


(b)(ii)
pada paksi-yx=0,  y= 1 4 ( 0 )+3 y=3 y= 1 4 x 2 +3 4y= x 2 +12 x 2 =4y12 Isipadu N π 3 4 x 2 dy π 3 4 ( 4y12 )dy π 3 4 ( 2 y 2 12y )dy =π [ ( 2 y 2 12y ) ] 3 4 =π[ ( 2 ( 4 ) 2 12( 4 ) )( 2 ( 3 ) 2 12( 3 ) ) ] =π( 16+18 ) =2π  unit 3


3.7.5 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 1)


Soalan 11:
Diberi= 2 5 g(x)dx=2 . Cari (a) nilai bagi  5 2 g(x)dx, (b) nilai bagi m jika  2 5 [ g(x)+m( x ) ]dx=19

Penyelesaian:
(a)  5 2 g(x)dx= 2 5 g(x)dx  =( 2 )  =2

(b)  2 5 [ g(x)+m( x ) ]dx=19   2 5 g(x)dx+m 2 5 xdx=19   2+m [ x 2 2 ] 2 5 =19    m 2 [ x 2 ] 2 5 =21     m 2 [ 254 ]=21 21m=42 m=2



Soalan 12:
a) Cari nilai bagi  1 1 ( 3x+1 ) 3 dx. (b) Nilaikan  3 4 1 2x4  dx.

Penyelesaian:
a)  1 1 ( 3x+1 ) 3 dx=[ ( 3x+1 ) 4 4( 3 ) ] 1 1    = [ ( 3x+1 ) 4 12 ] 1 1    = 1 12 [ 4 4 ( 2 ) 4 ]    = 1 12 ( 25616 )    =20

(b)  3 4 1 2x4  dx= 3 4 1 ( 2x4 ) 1 2  dx = 3 4 ( 2x4 ) 1 2  dx = [ ( 2x4 ) 1 2 +1 1 2 ( 2 ) ] 3 4 = [ 2x4 ] 3 4 =[ 2( 4 )4 2( 3 )4 ] =2 2



Soalan 13:
Diberi y= x 2 2x1 , tunjukkan dy dx = 2x( x1 ) ( 2x1 ) 2 . Seterusnya, nilaikan  2 2 x( x1 ) 4 ( 2x1 ) 2  dx .

Penyelesaian:
y= x 2 2x1 dy dx = ( 2x1 )( 2x )x( 2 ) ( 2x1 ) 2     = 4 x 2 2x2 x 2 ( 2x1 ) 2     = 2 x 2 2x ( 2x1 ) 2     = 2x( x1 ) ( 2x1 ) 2  ( tertunjuk ) 2 2 2x( x1 ) ( 2x1 ) 2  dx = [ x 2 2x1 ] 2 2 1 8 2 2 2x( x1 ) ( 2x1 ) 2  dx = 1 8 [ x 2 2x1 ] 2 2 1 4 2 2 x( x1 ) ( 2x1 ) 2  dx = 1 8 [ ( 2 2 2( 2 )1 )( ( 2 ) 2 2( 2 )1 ) ]                            = 1 8 [ ( 4 3 )( 4 5 ) ]                            = 1 8 ( 32 15 )                            = 4 15

3.7.4 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 1)


Soalan 8:
Diberi  2 3 g(x)dx=4 , dan  2 3 h(x)dx=9 , cari nilai bagi (a)  2 3 5g(x)dx, (b) m jika  2 3 [ g(x)+3h( x )+4m ]dx=12

Penyelesaian:
(a)
2 3 5g(x)dx=5 2 3 g(x)dx                  =5×4                  =20

(b)
2 3 [ g(x)+3h( x )+4m ]dx=12 2 3 g(x)dx+3 2 3 h( x )dx+ 2 3 4mdx=12 4+3( 9 )+4m [ x ] 2 3 =12        4m[ 3( 2 ) ]=19                       20m=19                           m= 19 20



Soalan 9:
Diberi y= 5x x 2 +1  dan  dy dx =g( x ), cari nilai bagi  0 3 2g( x )dx.

Penyelesaian:
Memandangkan dy dx =g( x ), maka y= g( x ) dx 0 3 2g( x )dx=2 0 3 g( x )dx   =2 [ y ] 0 3   =2 [ 5x x 2 +1 ] 0 3   =2[ 5( 3 ) 3 2 +1 0 ]   =2( 15 10 )   =3



Soalan 10:
Cari  5 k ( x+1 )dx, dalam sebutan k.

Penyelesaian:
5 k ( x+1 )dx=[ x 2 2 +x ] 5 k   =( k 2 2 +k )( 5 2 2 +5 )   = k 2 +2k 2 35 2   = k 2 +2k35 2

3.7.3 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 1)


Soalan 5:
Diberi  ( 6 x 2 +1 )dx=m x 3 +x +c,  dengan keadaan m dan c ialah pemalar, cari (a) nilai m. (b) nilai c jika  ( 6 x 2 +1 )dx=13 apabila x=1.

Penyelesaian:
(a)
( 6 x 2 +1 )dx=m x 3 +x +c 6 x 3 3 +x+c=m x 3 +x+c 2 x 3 +x+c=m x 3 +x+c Banding kedua-dua belah, Maka, m=2

(b)
( 6 x 2 +1 )dx=13 apabila x=1. 2 ( 1 ) 3 +1+c=13            3+c=13                 c=10



Soalan 6:
Diberi bahawa  5 k g(x)dx=6 , dan  5 k [ g( x )+2 ]dx =14, cari nilai k.

Penyelesaian:
5 k [ g( x )+2 ]dx =14 5 k g( x )dx + 5 k 2dx =14                6+ [ 2x ] 5 k =14                 2( k5 )=8                      k5=4                           k=9



Soalan 7:
Diberi  k 2 (4x+7)dx=28 , hitung nilai yang mungkin bagi k.

Penyelesaian:
k 2 (4x+7)dx=28 [ 2 x 2 +7x ] k 2 =28 8+14( 2 k 2 +7k )=28 222 k 2 7k=28 2 k 2 +7k+6=0 ( 2k+3 )( k+2 )=0 k= 3 2  atau k=2

Bab 14 Pengamiran

3.1 Pengamiran Sebagai Songsangan Pembezaan

1. Pengamiran ialah process songsangan pembezaan.

Jika  dy dx =f( x ), maka  f( x )dx=y.


(A)      Pengamiran Pemalar
a dx =ax+c
Contoh:
2 dx =2x+c


(B)      Pengamiran axn
a x n dx = a x n+1 n+1 +c


Contoh 1:
2 x 3 dx = 2 x 4 4 +c= x 4 2 +c

Contoh 2:
2 3 x 5 dx = 2 3 x 5 dx = 2 3 ( x 4 4 )+c = 2 3 ( x 4 4 )+c = x 4 6 +c


(C)      Pengamiran Fungsi berbentuk Hasil Tambah Sebutan Algebra
(u±v)dx = udx± vdx u dan v adalah fungsi dalam x


Contoh 1:
3 x 2 +2xdx = 3 x 2 dx + 2xdx = 3 x 3 3 + 2 x 2 2 +c = 3 x 3 3 + 2 x 2 2 +c = x 3 + x 2 +c


Contoh 2:
(x+2)(3x+1)dx = 3 x 2 +7x+2dx = 3 x 2 dx + 7xdx + 2dx = 3 x 3 3 + 7 x 2 2 +2x+c = x 3 + 7 x 2 2 +2x+c


Contoh 3:
3 x 3 + x 2 x x dx = ( 3 x 2 +x1 )dx = 3 x 2 dx + xdx 1dx = 3 x 3 3 + x 2 2 x+c = x 3 + x 2 2 x+c