Bab 10 Penyelesaian Segitiga

Soalan 4:
Dalam rajah di bawah, ABCialah sebuah segi tiga. AGJB, AHC dan BKC ialah garis lurus. Garis lurus JK adalah berserenjang kepada BC.


Diberi bahawa BG = 40cm, GA = 33 cm, AH = 30 cm, GAH = 85o dan JBK= 45o.
      (a)    Hitung panjang, dalam cm, bagi
                          i.      GH
                        ii.      HC
      (b)   Luas segi tiga GAH adalah dua kali luas segi tiga JBK.
      Hitung panjang, dalam cm, bagi BK.
      (c)    Lakar segi tiga A’B’C’ yang mempunyai bentuk yang berlainan daripada segi tiga ABCdengan keadaan A’B’ = AB, A’C’ = AC dan sudut A’B’C’sudut ABC.

Penyelesaian:
(a)(i)
Guna petua kosinus,
GH2 = AG2 + AH2 – 2 (AG)(AH) kos sudut GAH
GH2= 332+ 302 – 2 (33)(30) kos 85o
GH2 = 1089 + 900 – 172.57
GH2 = 1816.43
GH = 42.62 cm

(a)(ii)
sudut ACD = 180o – 45o – 85o = 50o
Guna petua sinus,
AC sin 45 = 73 sin 50 AC= 73×sin 45 sin 50  
AC = 67.38 cm
Oleh itu, HC = 67.38 – 30 = 37.38 cm

(b)
Area of ∆ GAH½ (33)(30) sin 85o = 493.12 cm2
Katakan panjang BK= JK = x
2 × Area of ∆ JBK= Area of ∆ GAH
2 × [½ (x)(x)] = 493.12
                        x2 = 493.12
                        x = 22.21 cm
BK = 22.21 cm

(c)


Bab 10 Penyelesaian Segitiga

Soalan 3:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga ABC.

(a)    Hitungkan panjang, dalam cm, bagi AC.
(b)   Suatu sisi empat ABCD dibentuk dengan keadaan AC ialah pepenjuru, sudut ACD = 45° dan AD = 14 cm.
Hitung dua nilai yang mungkin bagi sudut ADC.
(c)    Dengan menggunakan sudut ADC yang tirus dari (b), hitungkan
                    i.            panjang, dalam cm, bagi CD,
                  ii.            luas, dalam cm2, sisi empat ABCD itu

Penyelesaian:
(a)
Guna petua kosinus,
AC2 = AB2 + BC2 – 2 (AB)(BC) kos sudut ABC
AC2 = 162 + 122 – 2 (16)(12) kos 70o
AC2 = 400 – 131.33
AC2 = 268.67
AC = 16.39 cm


(b)


Guna petua sinus, sinADC 16.39 = sin 45 14 sinADC= 16.39×sin 45 14
sin sudut ADC = 0.8278
sudut ADC = 55.87o atau (180o – 55.87o)
Sudut ADC = 55.87o atau 124.13o


(c)(i)
sudut tirus ADC = 55.87o
sudut CAD = 180o – 45o – 55.87o = 79.13o
CD sin 79.13 = 14 sin 45 CD= 14×sin 79.13 sin 45 =19.44 cm


(c)(ii)
Luas sisi empat ABCD
= Luas ∆ ABC + Luas ∆ ACD
= ½ (16)(12) sin 70o+ ½ (16.39)(14) sin79.13o
= 90.21 + 112.67
= 202.88 cm2


Bab 10 Penyelesaian Segitiga

10.4 Penyelesaian Segitiga, SPM Praktis (Kertas 2)
Contoh 2:

Rajah menunjukkan trapezium PQRS. PS adalah selari dengan QR dan ÐQRS ialah sudut cakah. Cari
     (a)  panjang, dalam cm, QS.
     (b)  panjang, dalam cm, RS.
     (c)  ÐQRS.
     (d)  luas, dalam cm2, segitiga QRS.

Penyelesaian:
(a)
QS sinP = PS sinQ QS sin 85 = 13.1 sin 28 QS= 13.1×sin 85 sin 28 QS=27.8 cm

(b)
ÐRQS = 180o– 85o – 28o
ÐRQS = 67o
Guna petua kosinus,
RS2 = QR2+ QS2 – 2 (QR)(QS) ÐRQS
RS2 = 6.42 + 27.82 – 2 (6.4)(27.8) cos 67o
RS2 = 813.8 – 139.04
RS2 = 674.76
RS = 25.98 cm

(c)
Guna petua kosinus,
QS2 = QR2+ RS2 – 2 (QR)(RS) ÐRQS
27.82 = 6.42+ 25.982 – 2 (6.4)(25.98) cosÐQRS
772.84 = 715.92 – 332.54 cosÐQRS
cosQRS= 715.92772.84 332.54  
cosÐQRS = –0.1712
ÐQRS = 99.86o

(d)
Luas segitiga QRS
= ½ (QR)(RS) sin R
= ½ (6.4) (25.98) sin 99.86o
= 81.91 cm2


Bab 10 Penyelesaian Segitiga

10.1 Petua Sinus
Dalam suatu segitiga ABC, huruf besar A, B, Cdigunakan untuk mewakili sudut di bucu-bucu A, B dan C masing-masing. Huruf kecil a, b, dan c untuk mewakili sisi BC, CA dan AB yang bertentangan dengan bucunya.



Petua sinus boleh digunakan untuk menyelesaikan sesuatu segitiga apabila
     (i)    dua sudut dan satu sisi diberikan, atau
     (ii) dua sisi dan satu sudut bukan kandung diberikan


(A) Jika 2 sudut dan 1 sisi diketahui Petua Sinus
Contoh:

Hitung panjang AB, dalam cm.

Penyelesaian:
ACB = 180o – (50o + 70o) = 60o
AB sin 60 o = 4 sin 50 o AB= 4×sin 60 o sin 50 o AB=4.522 cm

(B) Jika 2 sisi dan 1 sudut diketahui (bukan di antara sisi) Petua Sinus
Contoh:
Hitung ACB

Penyelesaian:
28 sin 54 o = 26 sinACB sinACB= 26×sin 54 o 28 sinACB=0.7512 ACB= 48.7 o  


(C) Mencari Sisi atau Sudut dalam Sesuatu Segitiga bagi Kes Berambiguiti
Contoh:
Hitung ACB, θ.

Penyelesaian:
Dalam kes ini, terdapat dua kemungkinan dalam bentuk sigitiga.
AB = 26cm         BC = 28 cm           BAC = 54o
26 sinθ = 28 sin 54 o
sin θ  = 0.7512
θ = sin -1 0.7512
θ = 48.7o, 180o – 48.7o
θ = 48.7o (sudut tirus), 131.3o (sudut cakah)




Bab 10 Penyelesaian Segitiga

10.2 Petua Kosinus
  

a2 = b2+ c2 – 2bc cosA
b2 = a2+ c2 – 2ac cosB
c2 = a2+ b2 – 2ab cosC

Petua kosinus boleh digunakan untuk menyelesaikan sesuatu segitiga apabila
     (i)    dua sisi dan satu sudut kandung diberikan, atau
     (ii) tiga sisi diberikan

(A) Jika 2 sisi dan 1 sudut kandung diberi Petua Kosinus
Contoh:


Hitung panjang AC, x, dalam cm bagi segitiga di atas.

Penyelesaian:
b2 = a2+ c2 – 2ac kosB
x2 = 42 + 72 – 2(4)(7) cos50o
x2 = 16 + 49 – 56 (0.6428)
x2 = 65 – 35.997
x2 = 29.003
x = 5.385 cm


(B) Jika 3 sisi diberi Petua Kosinus
Contoh:


HitungBAC

Penyelesaian:
cosA= b 2 + c 2 a 2 2bc cosBAC= 7 2 + 6 2 8 2 2(7)(6)
kosBAC = 0.25
BAC = kos -1 0.25
BAC = 75.52o

Bab 10 Penyelesaian Segitiga

10.4 Penyelesaian Segitiga, SPM Praktis (Kertas 2)

Contoh 1:
Rajah di bawah menunjukkan sisi empat ABCD.

Luas segitiga BCD ialah 12 cm2 dan BCD ialah tirus. Hitung
     (a)  BCD ,
     (b)  Panjang, dalam cm, bagi BD,
     (c)  ABD ,
     (d)  luas, dalam cm2, sisi empat ABCD.

Penyelesaian:
(a)
Diberi luas ∆ BCD = 12 cm2
½ (BC) (CD) sin C = 12
½ (7) (4) sin C= 12
14 sin C = 12
sin C = 12/14 = 0.8571
C = 59o
BCD = 59o

(b)
Guna petua sinus,
BD2 = CD2 + BC2 – 2 (4)(7) cos 59o
BD2 = 42 + 72 – 2 (4)(7) cos 59o
BD2 = 65 – 28.84
BD2 = 36.16
BD = 6.013 cm

(c)
Guna petua sinus,
AB sin 35 = 6.013 sinA 10 sin 35 = 6.013 sinA sinA= 6.013×sin 35 10
sin A = 0.3449
A = 20.18o
ABD = 180o– 35o – 20.18o
= 124.82o

(d)
Luas sisi empat ABCD
= Luas ∆ ABD + Luas ∆ BCD
= ½ (AB)(BD) sin B + 12 cm
= ½ (10) (6.013) sin 124.82 + 12
= 24.68 + 12
= 36.68 cm