Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.6 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 4:
Diberi 3t dan (t – 7) ialah punca-punca persamaan kuadratik 4x2 – 4x + m= 0 dengan m sebagai pemalar.
(a)  Cari nilai t dan nilai m.
(b)  Seterusnya, bentuk satu persamaan kuadratik dengan punca-punca 4t dan 2t + 6.

Penyelesaian:
(a)
Diberi 3t dan (t – 7) ialah punca-punca persamaan kuadratik 4x2 – 4x + m= 0
a = 4, b = – 4, c = m
Hasil tambah punca= b a 3t+( t7 )= 4 4  
3t + t– 7 = 1
4t = 8
t = 2

Hasil darab punca= c a 3t( t7 )= m 4  
4 [3(2) (2 – 7)] = m ← (gantikan t = 2)
4 [3(2) (2 – 7)] = m
4 (–30) = m
m = –120

(b)
t = 2
4t = 4(2) = 8
2t + 6 = 2(2) + 6 = 10

Hasil tambah punca = 8 + 10 = 18
Hasil darab punca = 8(10) = 80

Guna rumus, x2– (hasil tambah punca)x + hasil darab punca = 0
Oleh itu, persamaan kuadratik ialah
x 2 – 18x + 80 = 0

Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.6 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 3:
Jika α dan β ialah punca-punca persamaan kuadratik 3x2 + 2x– 5 = 0, bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca yang berikut.
(a)  2 α  dan  2 β (b) ( α+ 2 β ) dan ( β+ 2 α )  


Penyelesaian:
3x2 + 2x – 5 = 0
a = 3, b = 2, c = –5
Punca adalah α dan β.
α+β= b a = 2 3 αβ= c a = 5 3  

(a)
Punca-punca yang baru ialah 2 α dan 2 β . Hasil tambah punca-punca baru = 2 α + 2 β = 2β+2α αβ                  = 2( α+β ) αβ = 2( 2 3 ) 5 3 = 4 5  

Hasil darab punca-punca =( 2 α )( 2 β )= 4 αβ                  = 4 5 3 = 12 5

Guna rumus, x2 – (hasil tambah punca)x + hasil darab punca = 0
Persamaan kuadratik yang baru ialah
x 2 ( 4 5 )x+( 12 5 )=0
5x2 – 4x– 12 = 0

(b)
Punca-punca yang baru ialah ( α+ 2 β )dan( β+ 2 α ). Hasil tambah punca-punca baru =( α+ 2 β )+( β+ 2 α )  
=α+β+( 2 α + 2 β )=α+β+ 2α+2β αβ =α+β+ 2( α+β ) αβ = 4 5 + 2( 4 5 ) 12 5 = 4 5 2 3 = 2 15

Hasil darab punca-punca =( α+ 2 β )( β+ 2 α ) =αβ+2+2+ 4 αβ  
= 12 5 +4+ 4 12 5 = 12 5 +4 5 3 = 1 15  

Persamaan kuadratik yang baru ialah
x 2 ( 2 15 )x+( 1 15 )=0
15x2 – 2x– 1 = 0

Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.3d Pembentukan Persamaan Kuadratik Baru daripada Persamaan Kuadratik yang diberi (Contoh Soalan)

Contoh:
Dineri punca-punca bagi x 2 – 3x 7 = 0 ialah αdan β, cari persamaan yang mempunyai punca-punca α2 β dan α β2.

Penyelesaian:
Bahagian 1 : Cari HTP dan HDP bagi persamaan kuadratik yang diberi

x 2 – 3x 7 = 0
a = 1, b = –3, c = –7
HTP: α + β→ (α, β ialah punca-punca persamaan kuadratik ax 2 + bx + c = 0)
= b a =( 3 1 )=3  

HDP:αβ= c a = 7 1 =7

Bahagian 2 : Bentukkan persamaan kuadratik baru dengan mencari HTP dan HDP 

Persamaan kuadratik baru mempunyai punca-punca α2 β dan α β2
HTP = α2 β + α β2
            = αβ (α + β)
            = –7 (3) = –21 → (Daripada bahagian 1, α + β = 3, αβ = –7)

HDP = α2 β (α β2)
            = α3 β3 = (α β)3
            = (–7)3 = –343

Untuk membentuk persamaan kuadratik baru,
x 2 – (HTP)x + HDP = 0
x 2 – (–21)x + (–343) = 0
x 2 + 21 x –343 = 0

Maka, persamaan yang mempunyai punca-punca α2 β dan α β2 ialah,
x 2 + 21 x –343 = 0

Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.1.2 Punca Persamaan Kuadratik
Punca persamaan kuadratik ialah nilai bagi pembolehubah yang memuaskan persamaan kuadratik itu.

Contoh 1:
Tentukan sama ada 1, 2, dan 3 ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik x2 − 5x + 6 = 0.

Penyelesaian:
Apabila x = 1,
x2 − 5x + 6 = 0
(1)2− 5(1) + 6 = 0
2 = 0 ← (tidak sama nilai di kedua-dua belah)
x = 1 bukan punca persamaan itu

Apabila x= 2,
x2 − 5x + 6 = 0
(2)2− 5(2) + 6 = 0
0 = 0 ← (sama nilai di kedua-dua belah)
x = 2 ialah punca persamaan itu.

Apabila x= 3
x2 − 5x + 6 = 0
(3)2− 5(3) + 6 = 0
0 = 0 ← (sama nilai di kedua-dua belah)
x = 3 ialah punca persamaan itu.

Kesimpulan:
1. 2 dan 3 memuaskan persamaan x2 − 5x + 6 = 0, maka ia adalah punca-punca bagi persamaan itu.
2. 1 tidak memuaskan persamaan x2 − 5x + 6 = 0, maka ia bukan punca-punca bagi persamaan itu.


Contoh 2 (Punca yang memuaskan suatu persamaan):
Peringatan: Punca persamaan kuadratik ialah nilai bagi pembolehubah yang memuaskan persamaan kuadratik itu.
(a) Diberi x= 3 adalah punca bagi persamaan kuadratik x 2 + 2x + p = 0, cari nilai p.
(b) Punca-punca bagi persamaan kuadratik 3x 2 + hx + k = 0 ialah
2 dan 4. Cari nilai h dan nilai k.

Penyelesaian:
(a)
x 2 + 2x + p = 0 
32+ 2(3) + p = 0 → ganti x = 3 (punca persamaan)
p = –15

(b)
3x 2 + hx + k = 0
x = 2 dan 4 ialah punca-punca persamaan,
3 ( 2)2+ h (2) + k = 0 → ambil x = 2
12 – 2h+ k = 0
2hk = 12 ------ (1)

3 (4 )2+ h (4) + k = 0 → ambil x = 4
48 + 4h + k = 0
4h + k= –48 ----- (2)

(1)   + (2),
6h = –36
h = –6
2 (–6) – k= 12
k = –24

Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.6 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 2:
Diberi α dan β ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik (2x + 5)(x + 1) + p = 0 dengan keadaan αβ = 3 dan p ialah pemalar.
Cari nilai p, α dan β.

Penyelesaian:
(2x + 5)(x + 1) + p = 0
2x2 + 2x + 5x + 5 + p = 0
2x2 + 7x + 5 + p = 0
*Bandingkan dengan, x2 – (hasil tambah dua punca)x + hasil darab dua punca = 0
x 2 + 7 2 x+ 5+p 2 =0 bahagi kedua-dua belah dengan 2  
Hasil darab dua punca, αβ = 3
5+p 2 =3 
5 + p = 6
p = 1

Hasil tambah dua punca = 7 2  
  α+β= 7 2   (1) dan αβ=3   (2) daripada (2), β= 3 α    (3) Gantikan (3) ke dalam (1), α+ 3 α = 7 2  

2+ 6 = 7α  ← (darab kedua-dua belah dengan 2α)
2+ 7α + 6 = 0
(2α + 3)(α + 2) = 0
2α + 3 = 0      atau     α + 2 = 0
α= 3 2                        α = –2

Gantikan α= 3 2  dalam (3), β= 3 3 2 =3( 2 3 )=2  

Gantikan α = –2 dalam (3),

β= 3 2 Oleh itu, p=1, dan apabila α= 3 2 ,β=2 dan α=2,β= 3 2 .  


Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.6 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 1:
(a)  Cari nilai-nilai k supaya persamaan (1 – k) x2– 2(k + 5)x + k + 4 = 0 mempunyai punca yang sama.
Seterusnya, cari punca persamaan itu berdasarkan nilai-nilai k yang diperoleh.
(b)  Diberi lengkung y = 5 + 4x x2 mempunyai persamaan tangen dalam bentuk y = px + 9. Hitung nilai-nilai p yang mungkin.

Penyelesaian:
(a)
Bagi punca-punca yang sama,
b2 – 4ac = 0
[–2(k + 5)] 2 – 4(1 – k)( k + 4) = 0
4(k + 5) 2 – 4(1 – k)( k + 4) = 0
4(k2 + 10k + 25) – 4(4 – 3k k 2 ) = 0
4k2 + 40k + 100 – 16 + 12k + 4k2= 0
8k2 + 52k + 84 = 0
2k2 + 13k + 21 = 0
(2k + 7) (k + 3) = 0
k= 7 2 , 3

Jika k= 7 2 , persamaan ialah
( 1+ 7 2 ) x 2 2( 7 2 +5 )x 7 2 +4=0 9 2 x 2 3x+ 1 2 =0  

9x2 – 6x + 1 = 0
(3x – 1) (3x – 1) = 0
x

Jika k = –3, persamaan ialah
(1 + 3)x 2 – 2(–3 + 5)x – 3 + 4 = 0
4x2 – 4x + 1 = 0
(2x – 1) (2x – 1) = 0
x ½

(b)
y = 5 + 4x x2 ----- (1)
y = px + 9 ---------- (2)
(1)  = (2), 5 + 4x x2= px + 9
x 2 + px – 4x + 9 – 5 = 0
x 2 + (p – 4)x + 4 = 0

Persamaan tangen mempunyai hanya satu titik persilangan, puncanya adalah sama.
b2 – 4ac = 0
(p – 4)2 – 4(1)(4) = 0
p 2 – 8p + 16 – 16 = 0
p 2 – 8p = 0
p (p – 8) = 0
Maka, p = 0 dan p = 8.

Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.2b Penyempurnaan Kuasa Dua (Contoh Soalan)

(A) Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan menggunakan cara penyempurnaan kuasa dua.

pastikan pekali bagi x ialah 1.
Tulis semula persamaan ax 2 + bx + c = 0 dalam bentuk ax 2 + bx = –c  
Tambah  ( pekali bagi x 2 ) 2  pada kedua-dua belah persamaan.


Contoh:
Selesaikan setiap persamaan kuadratik berikut dengan cara penyempurnaan kuasa dua.
(a) 2x 2 5x 7 = 0
(b) x 2 +1= 10 3 x

Penyelesaian:






Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.2b Penyempurnaan Kuasa Dua

(A) Penyempurnaan Kuasa Dua
1.      Ungkapan x 2 + 2x + 1 boleh ditulis dalam bentuk (x + 1)2 yang dikenali sebagai ‘kuasa dua sempurna’. Sebagai contoh x 2 + 2x + 1 = (x + 1)2 .

Contoh:
Selesaikan setiap persamaan kuadratik yang berikut
(a) (x + 1)2 = 25
(b) x2 8x + 16 = 49

Penyelesaian:
(a)
(x + 1)2 = 25
(x + 1)2 = ±√25
x = −1 ± 5
x = 5  atau  x = −6

(b)
x 2 8x + 16 = 49
(x 4)2 = 49
(x 4) = ±√49
x = 4 ± 7
x = 11  atau  x = −3


(B) Selesaikan Persamaan Kuadratik dengan Cara Penyempurnaan Kuasa Dua

1. Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, kita membuat persamaan di sebelah kiri sebagai suatu kuasa dua sempurna.
2. Untuk membentuk sebarang ungkapan kuadratik x2 + px kepada suatu kuasa dua sempurna, kita menambahkan ( p 2 ) 2   ke dalam ungkapan itu untuk menjadikan x 2 +px= x 2 +px+ ( p 2 ) 2 = ( x+ p 2 ) 2
3. Langkah-langkah berikut diambil untuk menyelesaikan persamaan kuadratik ax2 + bx = – c dengan menggunakan cara penyempurnaan kuasa dua.
 (a) Tulis semula persamaan ax 2 + bx + c = 0 dalam bentuk ax2 + bx = – c.
 (b) Jika pekali a ≠ 1, tukarkannya kepada 1 (dengan pembahagian).
 (c) Tambah ( p 2 ) 2   iaitu ( pekali bagi x 2 ) 2   pada kedua-dua belah persamaan.
 (d) Tulis ungkapan pada sebelah kiri sebagai kuasa dua sempurna.
 (e) Selesaikan persamaan itu .


Contoh:
Selesaikan persamaan kuadratik x 2 6x 3 = 0 dengan cara penyempurnaan kuasa dua.

Penyelesaian:
x 2 6x 3 = 0 ← (pekali bagi x 2 = 1)
x 2 6x = 3 ← (pekali bagi x = b = 6)
x 2 6x + [½ × (6)]2 = 3 + [½ × (6)]2 ← [tambah ( pekali bagi x 2 ) 2   iaitu (½ × (6)2, pada kedua-dua belah persamaan]
x 2 6x + (3)2 = 3 + (–3)2
(x 3)2 = 12
x 3 = ±√12
x = 3 ± √12
x = 3 + √12   atau   3 – √12 
x = 6.464      atau   –0.464   

Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.2a Pemfaktoran
1. Secara amnya, jika
(x – p)(x – q) = 0
Maka
x – p = 0   atau  x – q = 0
      x = p   atau        x = q
p dan q  adalah punca-punca persamaan.

Perhatian:
1. Pastikan persamaan ditulis dalam bentuk amnya ax2 + bx+ c = 0 sebelum pemfaktoran.
2. Kaedah ini hanya boleh digunakan sekiranya ungkapan kuadratik itu boleh difaktorkan sepenuhnya.


Contoh 1:
Cari punca-punca persamaan kuadratik berikut:
(a) x (2x− 8) = 0 
(b) x2 −16x = 0
(c) 3x2 − 75x = 0
(d) 5x2 − 100x = 25x

Penyelesaian:
(a) 
x (2x − 8) = 0 
x = 0  atau  2x − 8 = 0
2x − 8 = 0
2x = 8
x = 4
x = 0  atau  x = 4

(b)
x2 −16x = 0
x (x − 16) = 0 
x = 0  atau x − 16 = 0
x = 0  atau  x = 16

(c) 
3x2 − 75x = 0
3x (x− 25) = 0  
3x = 0   atau x − 25 = 0
x = 0  atau  x = 25

(d)  
5x2 − 100x = 25x
5x2 − 100x − 25x = 0
5x2− 125x = 0
x (5x − 125) = 0 
x = 0  atau  5x − 125 = 0
5x = 125
x = 25
x = 0  atau x = 25


Contoh 2:
Selesaikan persamaan kuadratik yang berikut
(a) x 2 4x 5 = 0
(b) 1 5x + 2x 2 = 4


Penyelesaian:
(a) 
x 2 4x 5 = 0
(x – 5) (x + 1) = 0
x – 5 = 0  atau  x + 1 = 0
x = 5  atau  x = –1

(b)
1 5x + 2x 2 = 4
2x 2 5x + 1 – 4 = 0
2x 2 5x – 3 = 0
(2x + 1) (x – 3) = 0
2x + 1= 0  atau  x – 3 = 0
2x = –1  atau  x = 3
x = –½  atau  x = 3

Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.2 Penyelesaian Persamaan Kuadratik
1.Menyelesaikan sesuatu persamaan kuadratik bermakna mencari punca-punca persamaan itu.

Contoh:
Cari punca-punca persamaan kuadratik berikut:
(a) x 2 = 9
(b) 2x 2 98 = 0

Penyelesaian:
(a) x 2 = 9
     x= ±√9
     x= ±3

(b) 2x 2 98 = 0
            2x 2 = 98
            x 2 = 98/2 = 49
            x= ±√49 =  ±7

2. Persamaan kuadratik boleh diselesaikan dengan salah satu kaedah berikut:
(a) pemfaktoran,
(b) penyempurnaan kuasa dua,
(c) penggunaan rumus