Bab 2 Persamaan Kuadratik


Soalan 7 (4 markah):
(a) Diberi bahawa satu dari punca-punca bagi persamaan kuadratik x2 + (p +3)xp2 = 0, dengan keadaan p ialah pemalar, adalah negatif kepada yang satu lagi.
Cari nilai bagi hasil darab punca.

(b)
 Diberi bahawa persamaan kuadratik mx2 – 5nx + 4m = 0, dengan keadaan m dan n ialah pemalar, mempunyai dua punca yang sama.
Cari m : n.

Penyelesaian:
(a)
x 2 +( p+3 )x p 2 =0 a=1, b=p+3, c= p 2 Punca 1=α, Punca 2=α HTP= b a α+( α )= ( p+3 ) 1 ( p+3 )=0 p+3=0 p=3 HDP= c a = p 2 1 = ( 3 ) 2 =9

(b)
m x 2 5nx+4m=0 a=m, b=5n, c=4m b 2 =4ac ( 5n ) 2 =4( m )( 4m ) 25 n 2 =16 m 2 m 2 n 2 = 25 16 ( m n ) 2 = ( 5 4 ) 2 m n = 5 4 m:n=5:4

Bab 2 Persamaan Kuadratik


Soalan 5 (3 markah):
Diberi bahawa lengkung y = (p – 2)x2x + 7, dengan keadaan p ialah pemalar, bersilang dengan garis lurus y = 3x + 5 pada dua titik.
Cari julat nilai p.

Penyelesaian:
y=( p2 ) x 2 x+7 ......... ( 1 ) y=3x+5 ........................... ( 2 ) Gantikan ( 1 ) ke dalam ( 2 ): ( p2 ) x 2 x+7=3x+5 ( p2 ) x 2 4x+2=0 a=( p2 ), b=4, c=2 b 2 4ac>0 ( 4 ) 2 4( p2 )( 2 )>0 168p+16>0 8p>32 8p<32 p<4



Soalan 6 (3 markah):
Diberi bahawa persamaan kuadratik hx2 – 3x + k = 0, dengan keadaan h dan k ialah pemalar, mempunyai punca-punca β dan 2β.
Ungkapkan h dalam sebutan k.

Penyelesaian:
h x 2 3x+k=0 a=h, b=3, c=k HTP= b a = ( 3 ) h = 3 h HDP= c a = k h Diberi punca-punca=β dan 2β. HTP=β+2β=3β;  HDP=β( 2β )=2 β 2 3 h =3β β= 1 h  .............. ( 1 ) k h =2 β 2  ........... ( 2 ) Gantikan ( 1 ) ke dalam ( 2 ): k h =2 ( 1 h ) 2 k h = 2 h 2 h 2 h = 2 k h= 2 k

2.6.5 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 5:
Diberi α dan β adalah punca-punca persamaan kuadratik x (x – 3) = 2k – 4, dengan keadaan k ialah pemalar.
(a) Cari julat nilai jika αβ. (b) Diberi  α 2  dan  β 2  adalah punca-punca bagi satu lagi persamaan kuadratik      2 x 2 +tx4=0, dengan keadaan t ialah pemalar, cari nilai t dan nilai k.

Penyelesaian:
(a) x( x3 )=2k4 x 2 3x+42k=0 a=1, b=3, c=42k     b 2 4ac>0 ( 3 ) 2 4( 1 )( 42k )>0    916+8k>0 8k>7   k> 7 8

(b) Dari persamaan  x 2 3x+42k=0, α+β= b a          = 3 1          =3.............( 1 ) αβ= c a     = 42k 1     =42k.............( 2 ) Dari persamaan 2 x 2 +tx4=0, α 2 + β 2 = t 2 α+β=t.............( 3 ) α 2 × β 2 = 4 2 αβ=8.............( 4 ) Gantikan (1)=(3), 3=t t=3 Gantikan (2)=(4), 42k=8 4+8=2k k=6

Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.6 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 4:
Diberi 3t dan (t – 7) ialah punca-punca persamaan kuadratik 4x2 – 4x + m= 0 dengan m sebagai pemalar.
(a)  Cari nilai t dan nilai m.
(b)  Seterusnya, bentuk satu persamaan kuadratik dengan punca-punca 4t dan 2t + 6.

Penyelesaian:
(a)
Diberi 3t dan (t – 7) ialah punca-punca persamaan kuadratik 4x2 – 4x + m= 0
a = 4, b = – 4, c = m
Hasil tambah punca= b a 3t+( t7 )= 4 4  
3t + t– 7 = 1
4t = 8
t = 2

Hasil darab punca= c a 3t( t7 )= m 4  
4 [3(2) (2 – 7)] = m ← (gantikan t = 2)
4 [3(2) (2 – 7)] = m
4 (–30) = m
m = –120

(b)
t = 2
4t = 4(2) = 8
2t + 6 = 2(2) + 6 = 10

Hasil tambah punca = 8 + 10 = 18
Hasil darab punca = 8(10) = 80

Guna rumus, x2– (hasil tambah punca)x + hasil darab punca = 0
Oleh itu, persamaan kuadratik ialah
x 2 – 18x + 80 = 0

Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.6 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 3:
Jika α dan β ialah punca-punca persamaan kuadratik 3x2 + 2x– 5 = 0, bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca yang berikut.
(a)  2 α  dan  2 β (b) ( α+ 2 β ) dan ( β+ 2 α )  


Penyelesaian:
3x2 + 2x – 5 = 0
a = 3, b = 2, c = –5
Punca adalah α dan β.
α+β= b a = 2 3 αβ= c a = 5 3  

(a)
Punca-punca yang baru ialah 2 α dan 2 β . Hasil tambah punca-punca baru = 2 α + 2 β = 2β+2α αβ                  = 2( α+β ) αβ = 2( 2 3 ) 5 3 = 4 5  

Hasil darab punca-punca =( 2 α )( 2 β )= 4 αβ                  = 4 5 3 = 12 5

Guna rumus, x2 – (hasil tambah punca)x + hasil darab punca = 0
Persamaan kuadratik yang baru ialah
x 2 ( 4 5 )x+( 12 5 )=0
5x2 – 4x– 12 = 0

(b)
Punca-punca yang baru ialah ( α+ 2 β )dan( β+ 2 α ). Hasil tambah punca-punca baru =( α+ 2 β )+( β+ 2 α )  
=α+β+( 2 α + 2 β )=α+β+ 2α+2β αβ =α+β+ 2( α+β ) αβ = 4 5 + 2( 4 5 ) 12 5 = 4 5 2 3 = 2 15

Hasil darab punca-punca =( α+ 2 β )( β+ 2 α ) =αβ+2+2+ 4 αβ  
= 12 5 +4+ 4 12 5 = 12 5 +4 5 3 = 1 15  

Persamaan kuadratik yang baru ialah
x 2 ( 2 15 )x+( 1 15 )=0
15x2 – 2x– 1 = 0

Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.3d Pembentukan Persamaan Kuadratik Baru daripada Persamaan Kuadratik yang diberi (Contoh Soalan)

Contoh:
Dineri punca-punca bagi x 2 – 3x 7 = 0 ialah αdan β, cari persamaan yang mempunyai punca-punca α2 β dan α β2.

Penyelesaian:
Bahagian 1 : Cari HTP dan HDP bagi persamaan kuadratik yang diberi

x 2 – 3x 7 = 0
a = 1, b = –3, c = –7
HTP: α + β→ (α, β ialah punca-punca persamaan kuadratik ax 2 + bx + c = 0)
= b a =( 3 1 )=3  

HDP:αβ= c a = 7 1 =7

Bahagian 2 : Bentukkan persamaan kuadratik baru dengan mencari HTP dan HDP 

Persamaan kuadratik baru mempunyai punca-punca α2 β dan α β2
HTP = α2 β + α β2
            = αβ (α + β)
            = –7 (3) = –21 → (Daripada bahagian 1, α + β = 3, αβ = –7)

HDP = α2 β (α β2)
            = α3 β3 = (α β)3
            = (–7)3 = –343

Untuk membentuk persamaan kuadratik baru,
x 2 – (HTP)x + HDP = 0
x 2 – (–21)x + (–343) = 0
x 2 + 21 x –343 = 0

Maka, persamaan yang mempunyai punca-punca α2 β dan α β2 ialah,
x 2 + 21 x –343 = 0

Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.1.2 Punca Persamaan Kuadratik
Punca persamaan kuadratik ialah nilai bagi pembolehubah yang memuaskan persamaan kuadratik itu.

Contoh 1:
Tentukan sama ada 1, 2, dan 3 ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik x2 − 5x + 6 = 0.

Penyelesaian:
Apabila x = 1,
x2 − 5x + 6 = 0
(1)2− 5(1) + 6 = 0
2 = 0 ← (tidak sama nilai di kedua-dua belah)
x = 1 bukan punca persamaan itu

Apabila x= 2,
x2 − 5x + 6 = 0
(2)2− 5(2) + 6 = 0
0 = 0 ← (sama nilai di kedua-dua belah)
x = 2 ialah punca persamaan itu.

Apabila x= 3
x2 − 5x + 6 = 0
(3)2− 5(3) + 6 = 0
0 = 0 ← (sama nilai di kedua-dua belah)
x = 3 ialah punca persamaan itu.

Kesimpulan:
1. 2 dan 3 memuaskan persamaan x2 − 5x + 6 = 0, maka ia adalah punca-punca bagi persamaan itu.
2. 1 tidak memuaskan persamaan x2 − 5x + 6 = 0, maka ia bukan punca-punca bagi persamaan itu.


Contoh 2 (Punca yang memuaskan suatu persamaan):
Peringatan: Punca persamaan kuadratik ialah nilai bagi pembolehubah yang memuaskan persamaan kuadratik itu.
(a) Diberi x= 3 adalah punca bagi persamaan kuadratik x 2 + 2x + p = 0, cari nilai p.
(b) Punca-punca bagi persamaan kuadratik 3x 2 + hx + k = 0 ialah
2 dan 4. Cari nilai h dan nilai k.

Penyelesaian:
(a)
x 2 + 2x + p = 0 
32+ 2(3) + p = 0 → ganti x = 3 (punca persamaan)
p = –15

(b)
3x 2 + hx + k = 0
x = 2 dan 4 ialah punca-punca persamaan,
3 ( 2)2+ h (2) + k = 0 → ambil x = 2
12 – 2h+ k = 0
2hk = 12 ------ (1)

3 (4 )2+ h (4) + k = 0 → ambil x = 4
48 + 4h + k = 0
4h + k= –48 ----- (2)

(1)   + (2),
6h = –36
h = –6
2 (–6) – k= 12
k = –24

Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.6 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 2:
Diberi α dan β ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik (2x + 5)(x + 1) + p = 0 dengan keadaan αβ = 3 dan p ialah pemalar.
Cari nilai p, α dan β.

Penyelesaian:
(2x + 5)(x + 1) + p = 0
2x2 + 2x + 5x + 5 + p = 0
2x2 + 7x + 5 + p = 0
*Bandingkan dengan, x2 – (hasil tambah dua punca)x + hasil darab dua punca = 0
x 2 + 7 2 x+ 5+p 2 =0 bahagi kedua-dua belah dengan 2  
Hasil darab dua punca, αβ = 3
5+p 2 =3 
5 + p = 6
p = 1

Hasil tambah dua punca = 7 2  
  α+β= 7 2   (1) dan αβ=3   (2) daripada (2), β= 3 α    (3) Gantikan (3) ke dalam (1), α+ 3 α = 7 2  

2+ 6 = 7α  ← (darab kedua-dua belah dengan 2α)
2+ 7α + 6 = 0
(2α + 3)(α + 2) = 0
2α + 3 = 0      atau     α + 2 = 0
α= 3 2                        α = –2

Gantikan α= 3 2  dalam (3), β= 3 3 2 =3( 2 3 )=2  

Gantikan α = –2 dalam (3),

β= 3 2 Oleh itu, p=1, dan apabila α= 3 2 ,β=2 dan α=2,β= 3 2 .  


Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.6 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 1:
(a)  Cari nilai-nilai k supaya persamaan (1 – k) x2– 2(k + 5)x + k + 4 = 0 mempunyai punca yang sama.
Seterusnya, cari punca persamaan itu berdasarkan nilai-nilai k yang diperoleh.
(b)  Diberi lengkung y = 5 + 4x x2 mempunyai persamaan tangen dalam bentuk y = px + 9. Hitung nilai-nilai p yang mungkin.

Penyelesaian:
(a)
Bagi punca-punca yang sama,
b2 – 4ac = 0
[–2(k + 5)] 2 – 4(1 – k)( k + 4) = 0
4(k + 5) 2 – 4(1 – k)( k + 4) = 0
4(k2 + 10k + 25) – 4(4 – 3k k 2 ) = 0
4k2 + 40k + 100 – 16 + 12k + 4k2= 0
8k2 + 52k + 84 = 0
2k2 + 13k + 21 = 0
(2k + 7) (k + 3) = 0
k= 7 2 , 3

Jika k= 7 2 , persamaan ialah
( 1+ 7 2 ) x 2 2( 7 2 +5 )x 7 2 +4=0 9 2 x 2 3x+ 1 2 =0  

9x2 – 6x + 1 = 0
(3x – 1) (3x – 1) = 0
x

Jika k = –3, persamaan ialah
(1 + 3)x 2 – 2(–3 + 5)x – 3 + 4 = 0
4x2 – 4x + 1 = 0
(2x – 1) (2x – 1) = 0
x ½

(b)
y = 5 + 4x x2 ----- (1)
y = px + 9 ---------- (2)
(1)  = (2), 5 + 4x x2= px + 9
x 2 + px – 4x + 9 – 5 = 0
x 2 + (p – 4)x + 4 = 0

Persamaan tangen mempunyai hanya satu titik persilangan, puncanya adalah sama.
b2 – 4ac = 0
(p – 4)2 – 4(1)(4) = 0
p 2 – 8p + 16 – 16 = 0
p 2 – 8p = 0
p (p – 8) = 0
Maka, p = 0 dan p = 8.

Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.2b Penyempurnaan Kuasa Dua (Contoh Soalan)

(A) Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan menggunakan cara penyempurnaan kuasa dua.

pastikan pekali bagi x ialah 1.
Tulis semula persamaan ax 2 + bx + c = 0 dalam bentuk ax 2 + bx = –c  
Tambah  ( pekali bagi x 2 ) 2  pada kedua-dua belah persamaan.


Contoh:
Selesaikan setiap persamaan kuadratik berikut dengan cara penyempurnaan kuasa dua.
(a) 2x 2 5x 7 = 0
(b) x 2 +1= 10 3 x

Penyelesaian: