Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.1.1 Persamaan Kuadratik
1.      Persamaan Kuadratik (misalnya, 2x2 + 5x + 6 = 0) adalah persamaan yang memenuhi syarat-syarat berikut:
            (a)   Ia mengandungi tatatanda kesamaan, ‘=’
            (b)   Ia melibatkan hanya satu pembolehubah x.
            (c)    Kuasa tertinggi bagi x ialah 2.

Contoh Persamaan Kuadratik
Berikut adalah contoh-contoh persamaan kuadratik
·         2x2 + 3x + 4 = 0
·         t2 = 24
·         y (6y − 3) = 5

Contoh Persamaan Bukan Kuadratik
·         2x + 1 = 0, (Sebab: Kuasa tertinggi bagi x ≠ 2.)
·         2x3 + 1 = x, (Sebab: Kuasa tertinggi bagi x ≠ 2.)
     t 2 + 5 t =3, (Sebab:  5 t =5 t 1 ) 

Bentuk Am Persamaan Kuadratik
Bentuk am persamaan kuadratik ialah
ax2 + bx + c = 0
dengan a, b, dan c ialah pemalar dan a  0.


Contoh 1 (Cari nilai bagi a, b dan c):
Tulis semula setiap persamaan kuadratik berikut dalam bentuk am. Cari nilai a, b, dan c.
(a) (3x − 5)2 = 0
(b) (x − 8) (x + 8) = 10


Penyelesaian:





Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.4 Syarat untuk Jenis Punca Persamaan Kuadratik

2.4.1 Jenis-jenis Punca Persamaan Kuadratik
Jenis-jenis punca persamaan kuadratik ditentukan oleh nilai ungkapan b2 – 4 ac


   b2 – 4ac > 0   ↔  dua punca nyata yang berbeza
   b2 – 4ac = 0   ↔  dua punca nyata yang sama
   b2 – 4ac < 0   ↔  tiada punca nyata
   b2 – 4ac ≥ 0   ↔  punca nyata


Contoh:
Tentukan jenis punca bagi setiap persamaan kuadratik yang berikut. 
(a) 5x 2 – 7x + 3 = 0
(b) x 2 – 4x + 4 = 0
(c) –2x 2 + 5x 9 = 0

Penyelesaian:



Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.3c Cari Hasil Tambah Punca (HTP) dan Cari Hasil Darab Punca (HDP) bagi suatu Persamaan Kuadratik (Contoh)

Contoh:
Punca-punca bagi 2x 2 + 3x 1 = 0 adalah αdan β. Cari nilai-nilai berikut:
(a) ( α+1 )( β+1 ) (b)  1 α + 1 β (c)  α 2 β+α β 2 (d)  α β + β α [ Petunjuk: α 2 + β 2 = ( α+β ) 2 2αβ ]

Penyelesaian:





Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.3b Cari Hasil Tambah Punca (HTP) dan Cari Hasil Darab Punca (HDP) bagi suatu Persamaan Kuadratik


Contoh:
Cari hasil tambah punca dan hasil darab punca bagi persamaan yang berikut:
(a) x 2 + 7x 3 = 0
(b) x (x 1) = 5 (1 x)

Penyelesaian:
(a) x 2 + 7x 3 = 0
a = 1, b = 7, c = –3,

Hasil Tambah Punca (HTP) α+β= b a = 7 1 =7 Hasil Darab Punca (HDP) αβ= c a = 3 1 =3

(b)
x (x 1) = 5 (1 x)
x 2 x = 5 – 5x
x 2 x – 5 + 5x = 0
x 2 + 4x – 5 = 0
a = 1, b = 4, c = –5,

Hasil Tambah Punca (HTP) α+β= b a = 4 1 =4 Hasil Darab Punca (HDP) αβ= c a = 5 1 =5


Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.2c Penyelesaian Persamaan Kuadratik – Rumus Kuadratik

(A) Rumus Kuadratik
Persamaan kuadratik ax 2 + bx + c = 0 boleh diselesaikan dengan menggunakan rumus kuadratik.
  x= b± b 2 4ac 2a   
Contoh:
Selesaikan setiap persamaan yang berikut dengan menggunakan rumus. 
(a) x 2 + 5x 24 = 0
(b) x (x + 4 ) = 10

Penyelesaian:
(a) Bagi persamaan x 2 + 5x 24 = 0
a = 1, b = 5, c = 24,

Dari x= b± b 2 4ac 2a x= ( 5 )± ( 5 ) 2 4( 1 )( 24 ) 2( 1 ) x= 5± 121 2 x=8  or  x=3

(b) Bagi persamaan, x (x + 4 ) = 10
                                    x2 + 4x – 10 = 0
a = 1, b= 4, c = –10

Dari x= b± b 2 4ac 2a x= ( 4 )± ( 4 ) 2 4( 1 )( 10 ) 2( 1 ) x= 4± 56 2 x=1.742  or  x=5.742


Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.3a Pembentukan Persamaan Kuadratik daripada Punca

Apabila diberi α dan β ialah punca-punca bagi persamaan ax 2 + bx + c = 0, maka


x = α                atau     x = β
x α = 0         atau     x β = 0
(x α) (x β) = 0
x 2 – ( α + β ) x + αβ = 0

Kesimpulan:
x 2 – (hasil tambah punca ) x + (hasil darab punca) = 0

Contoh:
Bentukkan persamaan kuadratik apabila punca-puncanya adalah seperti berikut:
(a)  3, 1
(b) 2, ¼
(c) , ¼
(d) 3m,2m

Penyelesaian:





Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.5 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Pendek)
Soalan 3:
Diberi bahawa 3 dan s + 4 ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik
x 2 + (t – 1)x + 6 = 0, dengan keadaan sdan t ialah pemalar.
Cari nilai s dan nilai t.

Penyelesaian:
x 2 + (t – 1)x + 6 = 0
x 2 – (1 – t)x+ 6 = 0
a = 1, b = (1 – t), dan c = 6

3 dan s + 4 ialah punca-punca bagi persamaan.
Guna Hasil darab punca untuk mencari nilai s.
3×( s+4 )= c a
3 (s + 4) = 6
s + 4 = 2
s = –2  

Guna Hasil tambah punca untuk mencari nilai t.
3+( s+4 )= b a
3 + s + 4 = 1 – t
3 + (–2) + 4 1= – t
4 = – t
t = 4


Soalan 4:
Diberi satu daripada punca persamaan kuadratik x2– 9x + m = 0 ialah setengah kali punca yang satu lagi. Cari nilai bagi m.

Penyelesaian:
Katakan α dan β ialah dua punca bagi x2 – 9x + m = 0.
Bandingkan x2 – 9x + m = 0 dengan persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0.
a = 1, b = –9, dan c = m.

Hasil tambah dua punca,
α+β= b a =( 9 1 )=9

Katakan,  β= α 2 punca kedua ialah setengah daripada punca pertama Dari α+β=9 α+ α 2 =9 3α 2 =9 α=6

Hasil darab dua punca,
αβ= c a α( α 2 )=m m= α 2 2 = 6 2 2 =18

Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.5 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Pendek)
Soalan 1:
Diberi persamaan kuadratik
mx 2 + (3 – 2m)x+ m – 5 = 0.
Cari nilai m atau julat nilai m bagi setiap kes yang berikut.
(i)    Jika persamaan kuadratik mempunyai dua punca yang nyata dan sama.
(ii) Jika persamaan kuadratik tidak mempunyai punca yang nyata.

Penyelesaian:
(i)
mx 2 + (3 – 2m)x+ m – 5 = 0
a = m, b = 32m, dan c = m – 5

Bagi dua punca yang nyata dan sama,
b2 – 4ac = 0
(3 – 2m)2 – 4m (m – 5) = 0
9 – 12m + 4m2– 4m2 + 20m = 0
                                           8m= –9
                                            m= 9 8
(ii)
Bagi dua punca nyata yang tidak wujud
b2 – 4ac < 0
(3 – 2m)2 – 4m (m – 5) < 0
9 – 12m + 4m2– 4m2 + 20m < 0
                                    8m + 9 < 0
                                             m< 9 8


Soalan 2:
Cari nilai m jika garis lurus y = 5xm ialah satu tangen kepada lengkung y = x2+ 2x + 1.

Penyelesaian: 
Diberi
y = 5xm -------- (1)
y = x2 + 2x + 1 --- (2)

Gantikan (1) ke dalam (2)
5xm = x2 + 2x + 1
x 2 – 3x + 1 + m = 0 ----- (3)
a = 1, b = –3, dan c = 1 + m

Tangen kepada lengkung mempunyai satu punca, iaitu
b2 – 4ac = 0
(–3)2– 4(1) (1 + m) = 0
9 – 4 – 4m = 0
5 – 4m = 0
4m = 5
m= 5 4