Bab 17 Pilir Atur dan Gabungan


Soalan 8:
Dalam sebuah kotak terdapat 10 biji gula-gula yang berlainan perisa.
Cari
(a)  Bilangan cara 3 biji gula-gula boleh dipilih dari kotak itu.
(b) Bilangan cara sekurang-kurangnya 8 biji gula-gula boleh dipilih dari kotak itu.

Penyelesaian:
(a)
Bilangan cara memilih 3 daripada 10 biji gula-gula
=   10 C 3 =120  

(b)
Bilangan cara memilih 8 biji gula-gula = 10 C 8  
Bilangan cara memilih 9 biji gula-gula = 10 C 9  
Bilangan cara memilih 10 biji gula-gula = 10 C 10

Oleh itu, bilangan cara sekurang-kurangnya 8 biji gula-gula boleh dipilih dari kotak
=   10 C 8 10 C 9 +   10 C 10 =56

 

Soalan 9 (4 markah):
Danya mempunyai sebuah kedai barangan perhiasan rumah. Pada suatu hari, Danya menerima 14 set cawan daripada seorang pembekal. Setiap set mengandungi 6 biji cawan yang berlainan warna.

(a)
Danya memilih 3 set cawan secara rawak untuk diperiksa.
Cari bilangan cara yang berlainan yang digunakan oleh Danya untuk memilih set-set cawan itu.

(b) Danya mengambil satu set cawan untuk dipamerkan dengan menyusunnya secara sebaris.
Cari bilangan cara yang berlainan cawan-cawan itu boleh disusun dengan keadaan cawan berwarna biru tidak diletak bersebelahan cawan berwarna merah.

Penyelesaian:
(a)
Bilangan cara yang berlainan yang digunakan oleh Danya untuk memilih 3 set cawan secara rawak untuk diperiksa
= 14C3
 =364

(b)


Bilangan cara (Cawan berwarna biru diletak bersebelahan cawan berwarna merah)
= 5! × 2!
= 240

Bilangan cara yang berlainan cawan berwarna biru tidak diletak bersebelahan cawan berwarna merah
= 6! – 240
= 720 – 240
= 480



Soalan 10 (2 markah):
( a ) Diberi  C 6 n >1, senaraikan semua nilai-nilai yang mungkin bagi n. ( b ) Diberi  C y m = C y n , ungkapkan y  dalam sebutan m dan n.

Penyelesaian:
(a)
n = 1, 2, 3, 4, 5

(b)
y = m + n

Bab 17 Pilir Atur dan Gabungan

6.1 Pilir Atur (Bahagian 2)

(C) Pilih Atur r Benda daripada n Benda
Jika nbenda yang berlainan hendak disusun pada satu baris dengan melibatkan rbenda pada sesuatu ketika, maka bilangan susunan atau pilihatur yang boleh dilakukan ialah,





Contoh 1:
Menilai setiap yang berikut:
(a)  5 P 2              (b)  7 P 3             (c)  9 P 4

Penyelesaian:
(a)   5 P 2 = 5! ( 52 )! = 5! 3!  = 5 ×4 ×3! 3! =5×4=20

b)   7 P 3 = 7! ( 73 )! = 7! 4!  = 7 ×6 ×5 ×4! 4! =7×6×5=210

(c)   9 P 4 = 9! ( 94 )! = 9! 5!  = 9 ×8 ×7 ×6 ×5! 5! =9×8×7×6=3024


Gunakan Kalkulator:




Bab 17 Pilir Atur dan Gabungan

Bab 6 Pilir Atur dan Gabungan

6.1 Pilir Atur (Bahagian 1)
(A) Prinsip Pendaraban
Jika suatu peristiwa A boleh berlaku dalam rcara dan suatu peristiwa B boleh berlaku dalam s cara, maka bilangan cara peristiwa A boleh berlaku diikuti dengan berlakunya peristiwa B ialah 
r× s cara yang berlainan.

Contoh 1:
Terdapat 3 jalan raya berlainan dari bandar P ke bandar Q dan 4 jalan raya berlainan dari bandar Q ke bandar R. Cari bilangan cara seorang pemandu teksi boleh memilih untuk mengangkut pelancong dari bandar P ke bandar R melalui bandar Q.  

Penyelesaian:
3 × 4 = 12


(B) Pilih Atur


Contoh 2:
Hitungkan setiap yang berikut:
(a)    7!                           (b) 4!6!                        (c) 0!5!
(d)  7! 5!                          (e)  8! 4!                          (f)  n! ( n2 )!
(g)  n!0! ( n1 )!                    (h)  3!( n+1 )! 2!n!

Penyelesaian:
(a)   7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
(b)   4!6! = (4 × 3 × 2 × 1)( 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 17280
(c)    0!5! = (1)( 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 120
(d)  7! 5! = 7 ×6 ×5! 5! =7×6=42 (e)  8! 4! = 8 ×7 ×6 ×5 ×4! 4! =8×7×6×5=1680 (f)  n! ( n2 )! = n( n1 )( n2 ) ( n2 ) =n( n1 )

(g)  n!0! ( n1 )! = n( n1 )( 1 ) ( n1 ) =n (h)  3!( n+1 )! 2!n! = 3×2!( n+1 )( n )( n1 ) 2!n( n1 ) =3( n+1 )


Gunakan Kalkulator:



Bab 17 Pilir Atur dan Gabungan

6.2 Gabungan
1.      Bilangan gabungan r objek daripada n objek

   n C r = n! r!(nr)!     

2.      Bilangan gabungan r objek daripada n objek yang berlainan ialah bilangan pilihan r objek daripada n objek dengan tanpa mengambil kira tertib susunan.

  Peringatan:   (i)   n C 0 =1   (ii)   n C n =1   (iii)   n C r = n C nr     

Contoh 1:
Hitung nilai  7 C 2 7 C 2 = 7! ( 72 )! ×2! = 7! 5! ×2! = 7 ×6 ×5! 5! ×2! = 7×6 2×1 =21




Contoh 2:
6 biji guli yang mempunyai warna yang berbeza akan dibahagikan sama rata kepada 2 orang kanak-kanak. Cari bilangan cara pembahagian guli tersebut dapat dibuat.

Penyelesaian:
Bilangan cara memberi 3 biji guli kepada kanak-kanak pertama = 6 C 3  
Bilangan cara memberi baki 3 biji guli kepada kanak-kanak kedua = 3 C 3  

Bilangan cara pembahagian guli sama rata kepada 2 orang kanak-kanak
=   6 C 3 ×   3 C 3 =20×1 =20

Bab 17 Pilir Atur dan Gabungan

6.3 Pilir Atur dan Gabungan, SPM praktis (Kertas 1)
Soalan 5:
Satu jawatankuasa yang terdiri daripada 6 orang ahli dipilih secara rawak daripada 5 orang guru dan 4 orang pelajar. Cari bilangan cara jawatankuasa itu boleh dibentuk jika
(a)    tiada sebarang syarat dikenakan,
(b)   bilangan guru lebih daripada bilangan pelajar.

Penyelesaian:
(a)        
Jumlah ahli jawatankuasa = 5 + 4 = 9
6 orang ahli dipilih secara rawak daripada 9 orang dengan tiada sebarang syarat dikenakan
= 9 C 6 =84

(b)    
Jika bilangan guru mesti lebih daripada bilangan pelajar, gabungan adalah seperti berikut
= 4 orang guru 2 orang pelajar + 5 orang guru seorang pelajar
=   5 C 4 ×   4 C 2 +   5 C 5 ×   4 C 1
= 30 + 4
= 34


Soalan 6:
Suatu jawatankuasa sekolah yang terdiri daripada enam orang dipilih secara rawak daripada 6 orang guru lelaki, 4 orang guru wanita dan seorang guru besar lelaki. Cari bilangan cara jawatankuasa itu boleh dibentuk jika
(a) guru besar adalah pengerusi jawatankuasa itu,
(b) jawatankuasa itu mengandungi tepat 2 orang guru wanita,
(c) jawatankuasa itu mengandungi bilangan guru lelaki yang tidak melebihi empat orang.

Penyelesaian:
(a)
Jika guru besar adalah pengerusi jawatankuasa, bilangan jawatankuasa yang tinggal terdiri daripada 5 ahli.
Maka, bilangan cara jawatankuasa itu boleh dibentuk daripada 6 orang guru lelaki dan 4 orang guru wanita
=   10 C 5 =252

(b)
Tepat 2 orang guru wanita dalam jawatankuasa
4 C 2 ×   7 C 4 =210

(c)
Jawatankuasa mengandungi bilangan guru lelaki yang tidak melebihi empat orang
= 4 orang guru lelaki 2 orang guru wanita + 3 orang guru lelaki 3 orang guru wanita + 2 orang guru lelaki 4 orang guru wanita
=   7 C 4 ×   4 C 2 +   7 C 3 ×   4 C 3 +   7 C 2 ×   4 C 4  
= 210 + 140 + 21
= 371


Soalan 7:
Jawatankuasa pengawas sebuah sekolah terdiri daripada 6 orang ahli dipilih secara rawak daripada 6 orang pelajar Melayu, 5 orang pelajar Cina dan 4 orang pelajar India. Cari bilangan cara jawatankuasa itu boleh dibentuk jika jawatankuasa itu mempunyai bilangan pelajar Melayu, Cina dan India yang sama.

Penyelesaian:
Bilangan cara jawatankuasa itu boleh dibentuk adalah terdiri daripada 2 pelajar Melayu, 2 pelajar Cina dan 2 pelajar India
=   6 C 2 ×   5 C 2  ×   4 C 2 =900

Bab 17 Pilir Atur dan Gabungan

6.3 Pilir Atur dan Gabungan, SPM praktis (Kertas 1)
Soalan 1:
Rajah di bawah menunjukkan lima keping kad huruf yang berlainan.
R      E      A      C      T
(a)    Cari bilangan cara susunan yang mungkin, dalam satu baris, semua kad itu.
(b)   Carikan bilangan cara susunan itu dengan keadaan huruf E dan huruf  A adalah bersebelahan.

Penyelesaian:
(a)
Bilangan cara susunan yang mungkin = 5! = 120

(b)
Jika huruf Edan huruf  A hendaklah disusun bersebelahan, EA dianggap sebagai satu unit.
Bersama-sama huruf-huruf ‘R’, ‘C’ dan ‘T’, kesemuanya 4 unit.
EA        R        C        T
Bilangan cara susunan = 4!

Huruf ‘E’ dan ‘A’ boleh juga disusun antaranya dalam kumpulan sendiri.
Bilangan cara susunan = 2!

Oleh itu, bilangan cara susunan perkataan ‘REACT’ dengan keadaan huruf E dan huruf  A adalah bersebelahan
= 4! × 2!
= 24 × 2
= 48


Soalan 2:
Sekumpulan 4 orang pelajar lelaki dan 3 orang pelajar perempuan akan duduk sebaris dalam suatu sesi mengambil gambar. Jika pelajar lelaki dan pelajar perempuan akan duduk secara alternatif (lelaki-perempuan-lelaki-perempuan…), hitung bilangan cara susunan itu boleh dibuat.

Penyelesaian:
Susunan 4 orang pelajar lelaki dan 3 orang pelajar perempuan duduk secara alternatif adalah berikut:
L        P        L        P        L       P      L
Bilangan cara menyusun tempat duduk untuk 4 pelajar lelaki = 4!
Bilangan cara menyusun tempat duduk untuk 3 pelajar perempuan = 3!

Oleh itu, bilangan cara untuk menyusun tempat duduk pelajar lelaki dan pelajar perempuan
= 4! × 3! = 144


Soalan 3:
Ahmad mempunyai 6 biji durian, 5 biji tembikai dan 2 biji betik. Jika dia ingin menyusun buah-buahan itu dalam satu baris dan buah-buahan yang sama jenis hendaklah dikumpul bersama, hitung bilangan cara susunan boleh dibuat. Saiz semua buah-buahan adalah berbeza.

Penyelesaian:
Bilangan cara menyusun buah-buahan yang sama jenis = 3!
DDDDDD        TTTTT        BB       
Bilangan cara menyusun 6 biji durian = 6!
Bilangan cara menyusun 5 biji tembikai = 5!
Bilangan cara menyusun 2 biji betik = 2!

Oleh itu, bilangan cara menyusun jenis buah-buahan yang sama dalam sebaris
= 3! × 6! × 5! × 2!
= 1036800


Soalan 4:
Cari bilangan susunan yang dapat diperoleh, tanpa ulangan, daripada perkataan `SOMETHING'  dengan syarat huruf pertama ialah huruf vokal.

Penyelesaian:
Huruf pertama boleh diisi oleh mana-mana huruf vokal O, E atau I = 3 P 1  
Susunan bagi huruf-huruf yang seterusnya = 7!
Oleh itu, bilangan susunan bagi perkataan `SOMETHING' yang huruf pertama ialah huruf vocal
3 P 1 ×7! =15120