Bab 3 Set

3.4 Sets SPM Practis, Kertas 1 (Soalan Pendek)
Soalan 5:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah gambar rajah Venn dengan bilangan unsur dalam set P, set Q dan set R.
Diberi bahawa set semesta, ξ=PQR and n( Q' )=n( QR ).
Carikan nilai x.

Penyelesaian:
n(Q') = n(QR)
3 + 8 + 5 = x– 3 + 9
16 = x + 6
x = 10


Soalan 6:
Rajah di bawah ialah gambar rajah Venn yang menunjukkan bilangan peserta kuiz dalam set P, set Q dan set R.
Diberi bahawa set semesta, ξ=PQR , set P = { peserta kuiz Sains}, set Q = { peserta kuiz Matematik} dan set R = {peserta kuiz Sejarah}.


Jika bilangan peserta yang mengambil bahagian hanya satu kuiz sahaja ialah 76, cari jumlah semua peserta itu.

Penyelesaian:
Bilangan peserta yang mengambil bahagian hanya satu kuiz sahaja = 76
(5x – 2) + (x + 6) + (2x + 8) = 76
                                    8x + 12 = 76
8x = 64
x = 8

Jumlah semua peserta
= 76 + 7 + 4 + 5 + 3(8)
= 116


Soalan 7:
Rajah di bawah ialah gambar rajah Venn yang menunjukkan bilangan murid bagi set K, set L dan set M.
Diberi bahawa set semesta, ξ=KLM , set K = {Kelab Karate}, set L = {Kelab Lumba Basikal} dan set M = {Kelab Menembak}.


Jika bilangan murid yang menyertai kedua-dua Kelab Lumba Basikal dan Kelab Menembak adalah 8 orang, cari bilangan murid yang menyertai dua kelab sahaja.

Penyelesaian:
Bilangan murid yang menyertai kedua-dua Kelab Lumba Basikal dan Kelab Menembak = n(LM) = 2 + 2x
2 + 2x = 8
2x = 6
x = 3

Bilangan murid yang menyertai dua kelab sahaja
= x + 4 + 2x
= 3 + 4 + 2(3)
= 13

Posted in Set

Bab 3 Set

3.1 Set
1.      Set ialah himpunan benda-benda dengan ciri-ciri tertentu.
2.      Benda-benda dalam suatu set dikenali sebagai unsur.
3.      Set biasanya dilabelkan dengan menggunakan huruf adjad besar dan tatatanda digunakan untuk set ialah tanda kurung, {   }.
Misalnya:
A= {1, 3, 5, 7, 9}

4.      Dalam tatatanda set, simbol ϵ menunjukkan unsur bagi set.
5.      Simbol    menunjukkan bukan unsur bagi set.

Contoh 1:
Diberi bahawa P = {factor-faktor bagi 15} dan Q= {kuasa dua sempurna positif yang kurang daripada 28}. Dengan menggunakan simbol   atau  lengkapkan setiap yang berikut:
     (a)   5 ___  P      (b) 20 ___ P       (c) 25 ___ Q       (d)8 ___ Q

Penyelesaian:
P= {1, 3, 5, 15}, Q = {1, 4, 9, 16, 25}

(a) 5 P   5 ialah unsur set P  (b) 20  P   20 bukan unsur set P  (c) 25 Q   25 ialah unsur set Q  (d) 8  Q   8 bukan unsur set Q 


(A)      Mewakili set dengan gambar rajah Venn
6.      Sesuatu set boleh diwakilkan dengan gambar rajah Venn oleh bentuk geometri yang tertutup seperti bulatan, segi empat tepat, segi tiga, dan lain-lain.
7.      Satu titik di sebelah kiri bagi satu objek dalam gambar rajah Venn menunjukkan objek itu ialah satu unsurbagi set.
8.      Apabila gambar rajah Venn mewakili bilangan unsur dalam suatu set, tidak ada titik diletakkan di sebelah kiri nombor itu.

Contoh 2:
(a)  Lukis sebuah gambar rajah Venn untuk mewakili setiap set yang berikut.
(b)  Nyatakan bilangan unsur bagi setiap set yang berikut.
A= {2, 3, 5, 7}
B= {k, m, r, t, y}

Penyelesaian:
(a)
(b)
n(A) = 4
n(B) = 5


(A)      Menentukan sama ada sesuatu set adalah set kosong atau tidak
9.      Set kosong ialah set yang tidak mengandungi sebarang unsur.
10.      Set kosong diwakilkan dengan menggunakan simbol ϕ atau kurungan kosong, {  }.
Misalnya, jika set A ialah suatu set kosong, maka A = {  } atau A= ϕ dan n (A) = 0.
11.      Jika B = {0} atau {ϕ} tidak bermaksud B ialah suatu set kosong. B= {0} bermaksud terdapat unsur ‘0’ dalam set B. Manakala B = {ϕ} bermaksud terdapat unsur ‘ϕ’ dalam set B.

Posted in Set

Bab 3 Set

3.4 SPM Practis (Soalan Panjang)

Soalan 3:
(a)  Gambar rajah Venn di ruang jawapan menunjukkan set Pdan set Q dengan keadaan set semesta, ξ=PQ
Lorek set PQ.
(b)  Gambar rajah Venn di ruang jawapan menunjukkan set X, set Y dan set Z dengan keadaan set semesta, ξ=XYZ
Lorek set (XZ)Y.

Penyelesaian:
(a)   

·        PQ menunjukkan persilangan rantau P dengan rantau Q.

(b)   

·        (XZ) bermaksud kesatuan rantau X dengan rantau Z.
·        Persilangan rantau ini dengan rantau Y untuk membentuk (XZ)Y.


Soalan 4:
Gambar rajah Venn di ruang jawapan menunjukkan set P, set Q dan set R dengan keadaan set semesta, ξ=PQR
Pada rajah di ruang jawapan, lorekkan
(a)  P R’,
(b) P'(QR).
Penyelesaian:
(a)  PR

(b) P'(QR).


Posted in Set

Bab 3 Set

3.4 SPM Practis (Soalan Panjang)

Soalan 1:
Gambar rajah Venn di ruang jawapan menunjukkan set X, set Y dan set Z dengan keadaan set semesta, ξ=XYZ
Pada rajah di ruang jawapan, lorekkan
(a) X'Y, (b) ( XY' )Z
Penyelesaian:
(a)  X’ ∩ Y menunjukkan persilangan rantau di luar set X dengan rantau set Y.

(b)   
·        Cari rantau (XY')
·        (XY') bermaksud kesatuan rantau X dengan rantau di luar Y.
·        Persilangan rantau ini dengan rantau Z untuk membentuk (XY')Z 



Soalan 2:
Gambar rajah Venn di ruang jawapan menunjukkan set P, set Q dan set R dengan keadaan set semesta, ξ=PQR
Pada rajah di ruang jawapan, lorekkan
(a)  Q R,
(b) (P'R)Q.
Penyelesaian:
(a)  QR menunjukkan persilangan rantau Q dengan rantau R.

(b)   
·        Cari rantau (P’ ∩ R).
·        (P’ ∩ R) bermaksud persilangan rantau di luar Pdengan rantau R.
·        Kesatuan rantau ini dengan rantau Q untuk membentuk (P'R)Q.


Posted in Set

Bab 3 Set

3.4 SPM Practis (Soalan Pendek)

Soalan 1:
Senaraikan semua subset bagi set P = {r, s}.

Penyelesaian:
Terdapat 2 unsur dalam set P, jadi bilangan subset bagi set P ialah 2n = 22= 4.
Set P = {r, s}
Maka subset bagi set P = {r}, {s}, {r, s}, { }


Soalan 2:

Rajah di atas menunjukkan gambar rajah Venn dengan set semesta, ξ = U  P. Senaraikan semua subset bagi set P.

Penyelesaian:
Terdapat 3 unsur dalam set P, jadi bilangan subset bagi set P ialah 2n = 23 = 8.
Set P = {2, 3, 5}
Maka subset bagi set P = { }, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}.


Soalan 3:
Diberi bahawa set semesta, ξ = {x : 30 ≤ x < 42, x ialah integer} dan set P= {x : x ialah nombor dengan keadaan hasil tambah dua digitnya ialah nombor genap}.
Carikan set P’.

Penyelesaian:
ξ = {30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41}
P = {31, 33, 35, 37, 39, 40}

Maka P’= {30, 32, 34, 36, 38, 41}


Soalan 4:
Diberi bahawa set semesta, ξ = {x : 3 < x ≤ 16, x ialah integer},
Set A = {4, 11, 13, 16},
Set B = {x : x ialah nombor ganjil} dan
Set C = {x : x ialah gandaan bagi 3}.
Unsur bagi set (AC)'B  ialah

Penyelesaian:
ξ = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}
A = {4, 11, 13, 16}
B = {5, 7, 9, 11, 13, 15}
C = {6, 9, 12, 15}

(AC)'={5, 6, 7, 8, 10, 14} Maka (AC)'B={5, 7}

Posted in Set

Bab 3 Set

3.3b Kesatuan Set
1.      Kesatuan dua set, A dan B, diwakilkan sebagai A U B, ialah satu set yang unsur-unsurnya terdiri daripada semua unsur dalam set A atau set B atau kedua-dua set itu.
Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan A U B:



2.      Kesatuan tiga set, A, B dan C, diwakilkan sebagai A U B U C, ialah satu set yang unsur-unsurnya terdiri daripada semua unsur dalam set A, set B atau set C atau ketiga-tiga set itu.
Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan A U B U C:



Contoh 1:
Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan bilangan unsur dalam set semesta, ξ, set P , set Q dan set R .

Diberi n(Q) = n (P U R)’, cari n (ξ).

Penyelesaian:
n(Q) = n (P U R)’
2x + 6 + 1 + 5 = 2x + 2x
2x + 12 = 4x
2x = 12
x= 6

n(ξ) = 2x + 2x + x + 7 + 6 + 1 + 5
        = 5x + 19
        = 5(6) + 19
        = 30 + 19
        = 49

Contoh 2:
Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan set semesta, ξ = {Pelajar-pelajar tingkatan 3}, set A = {Pelajar-pelajar yang memain piano} dan set B = { Pelajar-pelajar yang memain biola}.

Diberi n(ξ) = 60, n(A) = 25, n(B) = 12 dan n(AB) = 8, cari bilangan pelajar yang tidak memain kedua-dua jenis alat muzik.

Penyelesaian:
Pelajar-pelajar yang tidak memain kedua-dua jenis alat muzik adalah diwakilkan oleh rantau berlorek, (A U B)’  di bawah .


Bilangan pelajar yang tidak memain kedua-dua jenis alat muzik
= n(A U B)
= 60 – 17 – 8 – 4
= 31

Posted in Set

Bab 3 Set

3.3 Operasi ke Atas Set

3.3a Persilangan Set
1.      Persilangan dua set, P dan Q, diwakilkan sebagai PQ, ialah satu set yang unsur-unsurnya terdiri daripada semua unsur sepunya set P dan set Q.
2.      Persilangan bagi set P, set Q dan set R, diwakilkan sebagai PQ R, ialah satu set yang unsur-unsurnya terdiri daripada semua unsur sepunya set P, set Q dan set R.
3.      Mewakilkan persilangan set dengan menggunakan gambar rajah Venn seperti berikut.
      (a)   PQ

      (b) QP, maka PQ=Q


      (c)   PQ = ϕ
            Tidak ada persilangan antara set P dan set Q.


      (d)  PQ R


Contoh 1:
Diberi  A = {3, 4, 5, 6, 7}, B = {4, 5, 7, 8, 9, 12} dan C = {3, 5, 7, 8, 9, 10}.
(a)  Cari A B C.
(b)  Lukis sebuah gambar rajah Venn untuk mewakilkan A B C.
Penyelesaian:
(a)  A B C = {5, 7}

(b)   

4.      Set pelengkap bagi persilangan dua set, P dan Q, diwakilkan sebagai (PQ)’, ialah satu set yang mengandungi semua unsur dalam set semesta, ξ, yang bukan unsur PQ.
5.      Set pelengkap (PQ)’ diwakilkan oleh rantau berlorek yang ditunjukkan dalam gambar rajah Venn di bawah.




Posted in Set

Bab 3 Set

3.2c Set Pelengkap
1.      Set pelengkap bagi set B dalam set semesta, ξ ialah satu set yang mengandungi semua unsur dalam set semesta yang bukan unsur B.
2.      Set pelengkap bagi set B diwakilkan dengan menggunakan symbol B’.
Contoh:
Jika ξ = {17, 18, 19, 20, 21, 22, 23} dan
B= {17, 20, 21}
B’ = {18, 19, 22, 23}


3.      Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan hubunganantara B, B’dan set semesta, ξ.


Set pelengkap bagi set B diwakilkan oleh rantau berlorek dalam set semesta, ξ, tetapi di luar set B.

Posted in Set

Bab 3 Set

3.2b Set Semesta
1.      Set semesta ialah set yang mengandungi semua unsur yang menjadi bahan perbincangan.
2.      Set semesta diwakilkan dengan menggunakan symbol, ξ.

Contoh:
Diberi set semesta, ξ = {nombor bulat kurang daripada 9}, A = {nombor perdana} dan B = {gandaan bagi 4}.
      (a)  Senaraikan semua unsur bagi set A dan set B.
      (b)  Lukiskan gambar rajah Venn untuk mewakilkan hubungan antara set-set yang berikut.
(i)    ξ dan A
(ii) ξ, A dan B

Penyelesaian:
(a)  ξ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A= {2, 3, 5, 7}
B= {4, 8}

(b)(i)

(b)(ii)


Posted in Set

Bab 3 Set

3.2 Subset, Set Semesta, dan Set Pelengkap

3.2a Subset
1.      Set A ialah subset bagi set B jika semua unsur dalam set Aterdapat dalam set B.
2.      Hubungan ‘set A ialah subset bagi set B’ ditulis sebagai AB.
Contoh:
A= {11, 12, 13} dan B = {10, 11, 12, 13, 14}
Semua unsur set Aterdapat dalam set B.
Oleh itu AB.

3.      AB boleh digambarkan dengan menggunakan gambar rajah Venn berikut:


4.      Simbol  diguna untuk menandakan ‘bukan subset kepada’.
5.      Set kosong adalah subsetbagi semua set.
Misalnya, ϕA

6.      Set itu sendiri adalah subset.
Misalnya, BB

7.      Bilangan unsur, n bagi suatu subset adalah 2n.
Misalnya, jika A = {3, 7}
Maka n = 2, bilangan subset bagi set A = 22 = 4
Semua subset bagi set A ialah { }, {3}, {7} and {3, 7}.


Posted in Set