Bab 8 Sukatan Membulat


Soalan 7 (4 markah):
Rajah menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O.

Rajah

PR
 dan QR masing-masing adalah tangen kepada bulatan itu pada titik P dan titik Q. Diberi bahawa panjang lengkok PQ ialah 4 cm dan  OR= 5 α  cm.  
Ungkapkan dalam sebutan α,
(a) jejari, r, bulatan itu,
(b) luas, A, kawasan berlorek.

Penyelesaian:
(a)
Diberi  s PQ =4             rα=4                r= 4 α  cm

(b)

PR= ( 5 α ) 2 ( 4 α ) 2 PR= 9 α 2 PR= 3 α A= Luas kawasan berlorek A= Luas segi empat OPRQ         Luas sektor OPQ =2( Luas  OPR ) 1 2 r 2 θ =2[ 1 2 × 3 α × 4 α ][ 1 2 × ( 4 α ) 2 ×α ] = 12 α 2 8 α = 128α α 2  cm 2



Soalan 8 (3 markah):
Rajah menunjukkan dua buah sektor AOD dan BOC bagi dua bulatan dengan pusat sepunya O.

Rajah

Sudut yang dicangkum pada pusat O oleh lengkok major AD ialah 7α radian dan perimeter seluruh rajah ialah 50 cm.
Diberi OB = r cm, OA = 2OB dan ∠BOC = 2α, ungkapkan r dalam sebutan α.

Penyelesaian:

Panjang lengkok major AOD =2r×7α =14rα Panjang lengkok minor BOC =r×2α =2rα Perimeter seluruh rajah =50 cm 14rα+2rα+r+r=50 16rα+2r=50 8rα+r=25 r( 8α+1 )=25 r= 25 8α+1

8.5.10 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 10 (8 markah):
Rajah menunjukkan bulatan dan sektor sebuah bulatan dengan pusat sepunya O. Jejari bulatan ialah r cm.

Diberi bahawa panjang lengkok PQ dan lengkok RS masing-masing ialah 2 cm dan 7 cm. QR = 10 cm.
[Guna θ = 3.142]
Cari
(a) nilai r dan nilai θ,
(b) luas, dalam cm2, kawasan yang berlorek.



Penyelesaian:

(a)
Panjang lengkok PQ=2 cm rθ=2 ................. ( 1 ) Panjang lengkok RS=7 cm ( r+10 )θ=7 rθ+10θ=7 ................. ( 2 ) Gantikan ( 1 ) ke dalam ( 2 ): 2+10θ=7 10θ=5 θ= 5 10 θ=0.5 rad Daripada( 1 ): Apabila θ=0.5 rad, r×0.5=2 r=4

(b)
OS=OR=4+10=14 cm Luas kawasan yang berlorek =luas ΔORS  luas OPQ =( 1 2 × 14 2 ×sin0.5 rad )( 1 2 × 4 2 ×0.5 ) =42.981  cm 2


8.5.9 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 9 (7 markah):
Persatuan matematik SMK Mulia menganjurkan satu pertandingan mencipta logo untuk persatuan itu.


Rajah 3 menunjukkan logo berbentuk bulatan yang dicipta oleh Adrian. Ketiga-tiga kawasan berwarna biru adalah kongruen. Diberi bahawa perimeter bagi kawasan berwarna biru ialah 20π cm.
[Guna π = 3.142]
Cari
(a) jejari, dalam cm, bagi logo itu kepada integer terhampir,
(b) luas, dalam cm2, bagi kawasan yang berwarna kuning.


Penyelesaian:
(a)
6 lengkok =20π 6jθ=20π 6j[ 60 o × π 180 o 3 ]=20π 2πj=20π j=10 cm

(b)

Luas kawasan berwarna kuning =3[ luas segi tiga OAB ]6[ luas tembereng ] =3[ 1 2 absinC ]6[ 1 2 j 2 ( θsinθ ) ] =3[ 1 2 ( 10 )( 10 )sin 120 o ] 6[ 1 2 ( 10 ) 2 ( θsinθ ) ] =3( 43.3013 )6[ 50( 1.0473sin1.0473 ) ] tukar kepada mod rad θ= 60 o × 3.142 180 o =1.0473 rad =129.90396( 9.0612 ) =129.903954.3672 =75.54  cm 2


8.5.8 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 8:
Rajah di bawah menunjukkan bulatan PQT yang berpusat O dan berjejari 7 cm.

QS ialah garis tangen kepada bulatan pada titik Q dan QSR adalah sukuan bagi bulatan berpusat Q. Q ialah titik tengah bagi OR dan QP adalah garis perentas. OQR dan SOP adalah garis lurus.
[Guna π = 3.142]
Hitung
(a) sudut θ, dalam radian,
(b) perimeter, dalam cm, bagi kawasan berlorek,
(c) luas, dalam cm2, bagi kawasan berlorek.


Penyelesaian:
(a)
OQ=QR=QS=7 cm tanθ=1  θ= 45 o    = 45 o × π 180 o    =0.7855 rad

(b)
Panjang lengkok RS =7×( 0.7855×2 ) π rad= 180 o 45 o =0.7855 rad 90 o =0.7855 ×2 rad =7×1.571 =10.997 cm Panjang lengkok QP =7×( 0.7855×3 ) =7×2.3565 =16.496 cm Panjang perentas QP = 7 2 + 7 2 2( 7 )( 7 )kos 135 o rujuk bab 10 tingkatan 4 (penyelesaian segi tiga) bagi rumus kosine = 167.30 =12.934 cm Perimeter bagi kawasan berlorek =7+7+10.997+16.496+12.934 =54.427 cm

(c)
Luas kawasan berlorek =( 1 2 × 7 2 ×1.571 )+( 1 2 × 7 2 ×2.3565 ) ( 1 2 ×7×7×sin 135 o ) rujuk bab 10 tingkatan 4 ( penyelesaian segi tiga ) bagi rumus luas segi tiga =38.4895+57.734317.3241 =78.8997  cm 2

8.5.7 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 7:
Rajah di bawah menunjukkan sektor QPR dengan pusat P dan sektor POQ, dengan pusat O.

Diberi bahawa OP = 17 cm dan PQ = 8.8 cm.
[Guna π = 3.142]
Hitung
(a) ∠OPQ, dalam radians,
(b) perimeter, dalam cm, sektor QPR,
(c) luas, dalam cm2, rantau berlorek.



Penyelesaian:

( a ) OPQ=OQP x+x+30=180    2x=150   x=75 OPQ= 75×3.142 180    =1.3092 radians

( b ) Panjang lengkok QR=jθ                                 =8.8×1.3092                                 =11.52 cm Perimeter sektor QPR =11.52+8.8+8.8 =29.12 cm

( c ) 30 o = 30×3.142 180 =0.5237 rad Luas tembereng PQ = 1 2 j 2 ( θsinθ ) = 1 2 × 17 2 ×( 0.5237sin30 ) = 1 2 ×289×( 0.52370.5 ) =3.4247  cm 2 Luas sektor QPR = 1 2 j 2 θ = 1 2 × 8.8 2 ×1.3092 =50.692  cm 2 Luas kawasan berlorek =3.4247+50.692 =54.1167  cm 2

8.5.6 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 6:
Rajah di bawah menunjukkan semi bulatan PTQ, dengan pusat O dan sukuan RST, dengan pusat R.

Hitung
(a) nilai θ, dalam radian,
(b) perimeter, dalam cm, seluruh rajah itu,
(c) luas, dalam cm2, kawasan berlorek itu.



Penyelesaian:
( a ) sinROT= 2.5 5  ROT= 30 o θ= 180 o 30 o = 150 o   =150× π 180   =2.618 rad

( b ) Panjang lengkok PT=jθ                                 =5×2.618                                 =13.09 cm Panjang lengkok ST= π 2 ×2.5                                =3.9275 cm O R 2 + 2.5 2 = 5 2           O R 2 = 5 2 2.5 2             OR=4.330 Perimeter=13.09+3.9275+2.5+4.330+5                =28.8475 cm

( c ) Luas kawasan berlorek =Luas sukuan RSTLuas sukuan RQT Luas sukuan RQT =Luas OQTLuas OTR = 1 2 ( 5 ) 2 ×( 30× π 180 ) 1 2 ( 4.33 )( 2.5 ) =1.1333  cm 2 Luas kawasan berlorek =Luas sukuan RSTLuas sukuan RQT = 1 2 ( 2.5 ) 2 ×( 90× π 180 )1.1333 =3.7661  cm 2

8.5.5 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 5:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah semi bulatan PTS, dengan pusat O dan jejari 8 cm. PTR ialah sector sebuah bulatan dengan pusat P dan Q ialah titik tengah OS.
[Guna π = 3.142]
Hitung
(a)TOQ, dalam radians,
(b) panjang, dalam cm , lengkok TR,
(c) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.


Penyelesaian:
(a)
kosTOQ= 4 8 = 1 2  TOQ= 60 o =60× π 180 =1.047 radians

(b)


TPO= 30 o   =30× π 180   =0.5237 P T 2 = 8 2 + 8 2 2( 8 )( 8 )kos120 P T 2 =192 PT= 192 PT=13.86 cm Panjang lengkok TR=13.86×0.5237 =7.258 cm

(c)
Luas sektor PTR = 1 2 × 13.86 2 ×0.5237 =50.30  cm 2 Panjang TQ = P T 2 P Q 2 = 13.86 2 12 2 =6.935 cm Luas  PTQ = 1 2 ×12×6.935 =41.61  cm 2 Luas kawasan berlorek =50.3041.61 =8.69  cm 2


Bab 8 Sukatan Membulat


8.5.4 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:


Dalam rajah di atas, AXB ialah lengkok sebuah bulatan berpusat O dan jejari 10cm dengan AOB = 0.82 radian. AYB ialah lengkok sebuah bulatan berpusat dan jejari 5cm dengan APB = θ. Hitung:

(a) Panjang perentas AB,
(b) nilai θ dalam radian,
(c) Perbezaan panjang antara lengkok AYB dan lengkok AXB.


Penyelesaian:
(a)
½ AB = sin 0.41 × 10 (tukar mode kalkulator kepada Rad)
½ AB = 3.99
Maka panjang perentas AB = 3.99 × 2 = 7.98cm.


(b)
Katakan ½θ = α, θ = 2α
sin α = 3.99 5
α = 0.924 rad
Maka θ = 0.924 × 2 = 1.848 rad


(c)
Guna s =
Lengkok AXB = 10 × 0.82 = 8.2 cm
Lengkok AYB = 5 × 1.848 = 9.24 cm
Perbezaan panjang antara lengkok AYB dan lengkok AXB
= 9.24 – 8.2
= 1.04 cm

Bab 8 Sukatan Membulat

8.5 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 3:
Rajah di bawah menunjukkan bulatan PQRT, berpusat Odan jejari 5 cm. AQB ialah tangen kepada bulatan itu di Q . Garis lurus, AO dan BO, bersilang dengan bulatan itu masing-masing  di P dan R. OPQR ialah sebuah rombus. ACB ialah lengkok sebuah bulatan berpusat O.
Hitungkan
(a) sudut x , dalam sebutan p,                                                                    
(b) panjang, dalam cm , lengkok ACB,                                                                 
(c) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.          

Penyelesaian:
(a)
Rombus ada 4 sisi sama, maka OP = PQ = QR = OR = 5 cm
OR ialah jejari kepada bulatan, maka OR = OQ = 5 cm

Segitiga OQR dan segitiga OPQ adalah segitiga sisi sama,
Maka, QOR= QOP = 60o
POR = 120o
x= 120 o × π 180 o x= 2π 3 rad  

(b)
cosAOQ= OQ OA cos 60 o = 5 OA OA=10cm  
Panjang lengkok, ACB,
s = jθ
Panjang ACB = (10) (2π / 3)
Panjang ACB = 20.94 cm

(c)
Luas kawasan berlorek
= ½ (θ – sinθ) (tukar mode kalkulator kepada Rad)
= 1 2 ( 10 ) 2 ( 2π 3 sin 2π 3 )
= 50 (2.094 – 0.866)
= 61.40 cm2


Bab 8 Sukatan Membulat


8.4.2 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 4:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O.


Panjang lengkok minor ialah 16 cm dan sudut bagi sector major AOB ialah 290o.
Guna  π = 3.142, cari
(a) nilai θ, dalam radian. (jawapan dalam empat angka bererti)
(b) panjang, dalam cm, jejari bulatan.

Penyelesaian:
(a)
Sudut sektor minor AOB
= 360o 290o
= 70o
= 70o × 3.142 180  
= 1.222 radian

(b)
Guna s =
j × 1.222 = 16
jejari, j = 13.09 cm


Soalan 5:
Rajah di bawah menunjukkan sektor OPQ dengan pusat dan sektor PXY berpusat P.

Diberi OQ = 8 cm, PY = 3 cm, ∠ XPY = 1.2 radian dan panjang lengkok PQ = 6cm,
hitung
(a) nilai θ, dalam radian,
(b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.

Penyelesaian:
(a)
s = jθ
6 = 8θ
θ = 0.75 rad

(b)
Luas kawasan berlorek
= Luas sektor OPQ – Luas sektor PXY 
= ½ (8)2(0.75) – ½ (3)2 (1.2)
= 24 – 5.4
= 18.6 cm2


Soalan 6:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O dan berjejari 10 cm.

Diberi bahawa  A, B dan C adalah titik dengan keadaan OA = AB dan ∠OAC = 90°, cari
[Guna π = 3.142]
(a) ∠BOC, dalam radian,
(b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.   

Penyelesaian:
(a)
Untuk ∆ OAC,
cos ∠AOC = 6/12
AOC = 1.047 rad (tukar mode kalkulator kepada RAD)
BOC = 1.047 rad

(b)
Luas kawasan berlorek
= Luas ∆ BOC – Luas ∆ AOC
= ½ (12)2(1.047) – ½ (6) (12) sin 1.047 (tukar mode kalkulator kepada RAD)
= 75.38 – 31.17
= 44.21 cm2