Bab 7 Statistik

7.4 Statistik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 5:
Jadual 1 menunjukkan taburan kekerapan longgokan bagi skor 80 kanak-kanak dalam suatu pertandingan.
Skor
<20
<30
<40
<50
<60
<70
<80
<90
Bilangan kanak-kanak
1
7
25
34
59
69
79
80
Jadual 1

(a) Berdasarkan Jadual 1 di atas, salin dan lengkapkan Jadual 2.
Skor
10-19







Kekerapan








Jadual 2

(b) Tanpa melukis ogif, cari julat antara kuartil bagi taburan itu.

Penyelesaian:
(a)
Skor
10-19
20-29
30-39
40-49
50-59
60-69
70-79
80-89
Kekerapan
1
6
18
9
25
10
10
1
Kekerapan longgokan
1
7
25
34
59
69
79
80

(b)
Julat antara kuartil = Kuartil ketiga – Kuartil pertama

Kelas kuartil ketiga, k3 = ¾ × 80 = 60
Maka kelas kuartil ketiga ialah kelas 60 – 69.

Kelas kuartil pertama, k1 = ¼ × 80 = 20
Maka kelas kuartil pertama ialah kelas 30 – 39.

Julat antara kuartil
= L Q 3 +( 3N 4 F f Q 3 )c L Q 1 +( N 4 F f Q 1 )c =59.5+( 3 4 ( 80 )59 10 )1029.5+( 1 4 ( 80 )7 18 )10 =59.5+1( 29.5+7.22 ) =23.78


Bab 7 Statistik

7.4 Statistik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:
Min bagi data 1, a, 2 a, 8, 9 dan 15 setelah disusun mengikut tertib menaik ialah b. Jika setiap nombor dalam data ditolak dengan 3, median baru ialah 4 7 b Cari
(a) nilai a dan b,
(b) varians bagi data baru.

Penyelesaian:
(a)
Min  x ¯ =b 1+a+2a+8+9+15 6 =b
33 + 3a = 6b
3a = 6b – 33
a = 2b – 11 ---- (1)

Median baru = 4b 7 ( 2a3 )+( 83 ) 2 = 4b 7 2a+2 2 = 4b 7
14a + 14 = 8b
7a = 4b – 7 ---- (2)

Gantikan (1) ke dalam (2),
7(2b – 11) = 4b – 7
14b – 77 = 4b – 7
10b = 70
b = 7

Dari (1),
a = 2(7) – 11 = 3

(b)
Data baru ialah (1 – 3), (3 – 3), (6 – 3), (8 – 3), (9 – 3), (15 – 3)
Maka data baru ialah – 2, 0, 3, 5, 6, 12

Varians,  σ 2 = x 2 N x ¯ 2 σ 2 = ( 2 ) 2 + ( 0 ) 2 + ( 3 ) 2 + ( 5 ) 2 + ( 6 ) 2 + ( 12 ) 2 6           ( 2+0+3+5+6+12 6 ) 2 σ 2 = 218 6 16=20.333



Soalan 4:
Satu set data mengandungi 20 nombor. Min bagi nombor itu ialah 8 dan sisihan piawai ialah 3.
(a) Hitungkan  ∑x  dan  ∑x2.
(b) Hasil tambah nombor tertentu ialah 72 dengan min ialah 9 dan hasil tambah kuasa dua nombor-nombor itu ialah 800, dikeluarkan dari set 20 nombor itu. Hitung min dan sisihan piawai baki nombor.

Penyelesaian:
(a)
Min  x ¯ = x N 8= x 20 x=160  

Sisihan piawai, σ= x 2 N x ¯ 2 3= x 2 N x ¯ 2 9= x 2 20 8 2 x 2 20 =73 x 2 =1460

(b)
Hasil tambah nombor tertentu, M ialah 72 dengan min 9,
72 M =9 M=8

Min baki nombor
= 16072 208 =7 1 3

Varians baki nombor
= 1460800 12 ( 7 1 3 ) 2 =5553 7 9 =1 2 9


Bab 7 Statistik

7.4 Statistik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:
Jadual di bawah menunjukkan umur 40 orang pelancong melawat suatu tempat pelancongan.

Umur
Pelancong
10 – 19
4
20 – 29
m
30 – 39
n
40 – 49
10
50 – 59
8

Diberi umur median ialah 35.5, cari nilai m dan n.

Penyelesaian:
Diberi umur median ialah 35.5,

Umur
Kekerapan
 Kekerapan longgokan
10 – 19
4
4
20 – 29
m
4 + m
30 – 39
Kelas median
n
4 + m + n
40 – 49
10
14 + m + n
50 – 59
8
22 + m + n

22 + m + n = 40
n = 18 – m -----(1)
Diberi umur median = 35.5, maka kelas median ialah 30 – 39.
35.5=29.5+( 20( 4+m ) n )×10 6=( 16m n )×10  
6n = 160 – 10m
3n = 80 – 5m -----(2)

Gantikan (1) ke dalam (2).
3 (18 – m) = 80 – 5m
54 – 3m = 80 – 5m
2m = 26
m = 13

Ganti m = 13 ke dalam (1).
n = 18 – 13
n = 5
Dengan itu, m = 13, n= 5.


Soalan 2:
Satu set markah ujian x1, x2, x3, x4, x5, x6 mempunyai min 6 dan sisihan piawai 2.4.
(a) Cari
        (i) hasil tambah markah itu, ∑x,
        (ii) hasil tambah kuasa dua markah itu, ∑x2.
(b) Setiap markah itu didarab dengan 2 dan kemudian ditambah dengan 3. Cari bagi set markah baru itu,
        (i) min,
        (ii) varians.

Penyelesaian:
(a)(i)
Diberi min = 6 Σ x 6 = 6 Σ x = 36  

(a)(ii)
Diberi σ=2.4 σ 2 = 2.4 2 Σ x 2 n X ¯ 2 =5.76 Σ x 2 6 6 2 =5.76 Σ x 2 6 =41.76 Σ x 2 =250.56

(b)(i)
Markah min baru
= 6(2) + 3
= 15

(b)(ii)
Varians bagi set markah asal
 = 2.42 = 5.76

Varians bagi set markah baru
= 22 (5.76)
= 23.04

Bab 7 Statistik

7.3 Statistik, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 3:
Min bagi lima nombor ialah p . hasil tambah bagi kuasa dua nombor-nombor itu ialah  120 dan sisihan piawai ialah 2q. Ungkap p dalam sebutan q.

Penyelesaian:
Min  x ¯ = x N p = x 5 x=5 p Sisihan piawai, σ= x 2 N x ¯ 2 2q= 120 5 ( p ) 2 4 q 2 =24p p=244 q 2


Soalan 4:
Satu set integer positif terdiri daripada 1, 4 dan p. Varians bagi set integer ini ialah 6. Cari nilai p.

Penyelesaian:
Varians,  σ 2 = x 2 N x ¯ 2 6= 1 2 + 4 2 + p 2 3 ( 1+4+p 3 ) 2 6= 17+ p 2 3 ( 5+p 3 ) 2 6= 17+ p 2 3 [ 25+10p+ p 2 9 ] 6= 51+3 p 2 2510p p 2 9
2p2 – 10p + 26 = 54
2p2 – 10p + 28 = 0
p2 – 5p + 14 = 0
(p – 7)(p + 2) = 0
p= –2 (tidak diterima)
Maka p = 7

Bab 7 Statistik

7.3 Statistik, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 1:
Sisihan piawai bagi lima nombor ialah 6 dan hasil tambah bagi kuasa dua nombor-nombor itu ialah 260. Cari min bagi set nombor itu.

Penyelesaian:
Diberi σ=6Σ x 2 =260. σ=6 Σ x 2 n X ¯ 2 =6 Σ x 2 n X ¯ 2 =36 260 5 X ¯ 2 =36 X ¯ 2 =16 X ¯ =±4 min = ±4



Soalan 2:
Kedua-dua min dan sisihan piawai bagi set nombor 1, 3, 7, 15, m dan n ialah 6.  Cari
(a) nilai m+ n,
(b) nilai yang mungkin bagi n.

Penyelesaian:
(a)
Diberi min = 6 Σx n =6 Σx 6 =6  
1 + 3 + 7 + 15 + m + n= 36
26 + m + n = 36
m + n = 10

(b)
σ=6 σ 2 =36 Σ x 2 n X ¯ 2 =36 1+9+49+225+ m 2 + n 2 6 6 2 =36 284+ m 2 + n 2 6 36=36 284+ m 2 + n 2 6 =72  
284 + m2 + n2 = 432
m2 + n2 = 148
Daripada (a), m = 10 – n
(10 – n)2 + n2 = 148
100 – 20n + n2+ n2 = 148
2n2 – 20n – 48 = 0
n2 – 10n – 24 = 0
(n – 6)(n + 4) = 0
n = 6   atau   n = –4 

Bab 7 Statistik

7.1c Median
1.      Median ialah nilai yang terletak di tengah-tengah sesuatu set data setelah set data itu disusun mengikut tertib tertentu.

(A)      Data Tak Terkumpul

               Median, m=Cerapa n n+1 2    

Contoh 1:
Cari median bagi setiap set data yang berikut.
(a) 15, 18, 21, 25, 20, 18
(b) 13, 6, 9, 17, 11

Penyelesaian:
(a)
Susun data mengikut tertib menaik
15, 18, 18, 20, 21, 25

Median =Cerapa n n+1 2 =Cerapa n 6+1 2 =Cerapa n 3 1 2 = 18+20 2 =19  

(b)
6, 9, 11, 13, 17

Median =Cerapa n n+1 2 =Cerapa n 5+1 2 =Cerapa n 3 =11  


(B)  Data Terkumpul (tanpa Selang Kelas)

                 Median, m=Cerapa n n+1 2    

Contoh 2:
Jadual kekerapan yang berikut menunjukkan markah ujian biologi bagi 40 orang pelajar.

Markah
50
55
60
65
70
Bilangan Pelajar
6
8
15
10
1
Hitung markah median.

Penyelesaian:
Median =Cerapa n n+1 2 =Cerapa n 40+1 2 =Cerapa n 20 1 2 =60(Cerapan ke-20 1 2  ialah 60 markah)



(C)      Data Terkumpul (dengan Selang Kelas)

m = median
L = sempadan bawah kelas median
N = jumlah kekerapan
F = kekerapan longgokan sebelum kelas median
fm = kekerapan kelas median
c = saiz kelas median (Sempadan atas kelas – sempadan bawah kelas)

1.  Median boleh ditentukan daripada jadual kekerapan longgokan dan ogif.

Contoh 3:
Jadual yang berikut menunjukkan taburan skor yang diperoleh 100 orang pelajar tingkatan 4 dalam satu pertandingan.

Skor
Kekerapan
5 – 9
4
10 – 14
10
15 – 19
19
20 – 24
26
25 – 29
21
30 – 34
12
35 – 39
8
Cari median.

Penyelesaian:
Kaedah 1: guna rumus
Skor
Kekerapan
Kekerapan Longgokan
5 – 9
4
4
10 – 14
10
14
15 – 19
19
33 (F)
20 – 24
Kelas median
26 (fm)
59
cerapan ke-50 berada di sini
25 – 29
21
80
30 – 34
12
92
35 – 39
8
100










Langkah 1:
Kelas median = Cerapa n n 2 = Cerapa n 100 2 =Cerapa n 50 Maka kelas median berada di 2024

Langkah 2:
m=L+( N 2 F f m )c m=19.5+( 100 2 33 26 )5 m=19.5+3.269=22.77

Bab 7 Statistik

7.2 Sukatan Serakan (Bahagian 3)

7.2c Varians dan Sisihan Piawai
1. Varians ialah sukatan minbagi kuasa dua sisihan-sisihan daripada min.
2. Sisihan piawai merujuk kepada punca kuasa dua positif bagi varians.

(A) Data Tak Terkumpul
Varians,  σ 2 = x 2 N x ¯ 2  

Sisihan piawai, σ =  varians  

Contoh 1:
Cari varians dan sisihan piawai bagi set data,
15, 17, 21, 24 dan 31

Penyelesaian:
Varians,  σ 2 = x 2 N x ¯ 2 σ 2 = 15 2 + 17 2 + 21 2 + 24 2 + 31 2 5          ( 15+17+21+24+31 5 ) 2 σ 2 = 2492 5 21.6 2 σ 2 =31.84 Sisihan piawai, σ =  varians σ =  31.84 σ = 5.642  



(B) Data Terkumpul (tanpa Selang Kelas)

Varians,  σ 2 = f x 2 f x ¯ 2  

Sisihan piawai, σ =  varians

Contoh 2:
Data di bawah menunjukkan bilangan kanak-kanak oleh 30 keluarga:

Bilangan kanak-kanak
2
3
4
5
6
7
8
Kekerapan
6
8
5
3
3
3
2




Cari varians dan sisihan piawai bagi set data.

Penyelesaian:
Min  x ¯ = fx f = ( 6 )( 2 )+( 8 )( 3 )+( 5 )( 4 )+( 3 )( 5 )+( 3 )( 6 )+( 3 )( 7 )+( 2 )( 8 ) 6+8+5+3+3+3+2 = 126 30 =4.2 f x 2 f = ( 6 ) ( 2 ) 2 +( 8 ) ( 3 ) 2 +( 5 ) ( 4 ) 2 +( 3 ) ( 5 ) 2 +( 3 ) ( 6 ) 2 +( 3 ) ( 7 ) 2 +( 2 ) ( 8 ) 2 6+8+5+3+3+3+2 = 634 30 =21.13


Varians,  σ 2 = f x 2 f x ¯ 2 σ 2 =21.133 4.2 2 σ 2 =3.493 Sisihan piawai, σ =  varians σ =  3.493 σ = 1.869



(C) Data Terkumpul (dengan Selang Kelas)
Varians,  σ 2 = f x 2 f x ¯ 2  

Sisihan piawai, σ =  varians

Contoh 3:

Gaji harian (RM)
Bilangan pekerja
5 – 9
4
10 – 14
10
15 – 19
19
20 – 24
26
25 – 29
21
30 – 34
12
35 – 39
8

Hitung min gaji harian dan sisihan piawai.

Penyelesaian:

Gaji harian (RM)
Bilangan pekerja, f
Nilai tengah, x
fx
fx2
10 – 14
40
12
480
5760
15 – 19
25
17
425
7225
20 – 24
15
22
330
7260
25 – 29
12
27
324
8748
30 – 34
8
32
256
8192
Total
100

1815
37185

Min  x ¯ = fx f Min gaji harian= 1815 100 =18.15  


Varians,  σ 2 = f x 2 f x ¯ 2 Sisihan piawai, σ =  varians σ 2 = 37185 100 18.15 2 σ 2 =42.43 σ =  42.43 σ = 6.514


Bab 7 Statistik

7.2 Sukatan Serakan (Bahagian 2)

7.2b Julat antara Kuartil 2
(C) Julat antara Kuartil untuk Data Terkumpul (dengan Selang Kelas)

Julat antara kuartil bagi data terkumpul boleh ditentukan melalui Kaedah 1 (guna jadual kekerapan longgokan) atau Kaedah2 (ogif).

Kuartil pertama,  k 1 = L 1 +( 1 4 N F 1 f k 1 )C Kuartil ketiga,  k 3 = L 3 +( 3 4 N F 3 f k 3 )C  

*Rumus-rumus ini diubahsuai daripada rumus median.



Contoh 1:
Jadual yang berikut menunjukkan taburan markah yang diperoleh sekumpulan pelajar tingkatan 4 dalam satu ujian matematik.

Markah
Kekerapan
20 – 29
4
30 – 39
8
40 – 49
20
50 – 59
16
60 – 69
9
70 – 79
3

Anggarkan julat antara kuartil.

Penyelesaian:
Kaedah 1: Melalui Jadual Kekerapan Longgokan

Langkah 1:
Kuartil pertama, k1 = cerapan ke- ¼ (60)
                             = cerapan ke-15
Kuartil ketiga, k3 = cerapan ke- ¾ (60)
                          = cerapan ke- 45

Markah
Kekerapan
Kekerapan
longgokan
20 – 29
4
4
30 – 39
8
12
40 – 49
20
32  (k1 terletak di sini)
50 – 59
16
48 (k3 terletak di sini)
60 – 69
9
57
70 – 79
3
60

Langkah 2:
Kuartil pertama,  k 1 = L 1 +( 1 4 N F 1 f k 1 )C                              =39.5+( 1512 20 )10                              =39.5+1.5                              =41

Langkah 3:
Kuartil ketiga,  k 3 = L 3 +( 3 4 N F 3 f k 3 )C                                =49.5+( 4532 16 )10                                =49.5+8.125                                =57.625  

Langkah 4:
Julat antara kuartil
= kuartil ketiga – Kuartil pertama
= k3k1
= 57.625 – 41
= 16.625


Bab 7 Statistik

7.2 Sukatan Serakan (Bahagian 1)

7.2b Julat antara Kuartil 1
(A) Julat antara Kuartil untuk Data Tak Terkumpul


Contoh 1:
Cari julat antara kuartil bagi setiap set data yang berikut.
(a) 7, 5, 1, 3, 6, 11, 8
(b) 12, 4, 6, 18, 9, 16, 2, 14

Penyelesaian:
(a)
Susun semula data mengikut tertib menaik.
1        3        5        6        7        8        11
          ↑                  ↑                  ↑
      kuartil          median          kuartil
pertama                               ketiga

Julat antara kuartil
= kuartil ketiga – Kuartil pertama
= 8 – 3
= 5

(b)
2        4    ⁞    6        9    ⁞    12        14    ⁞     16        18
                ↑                   ↑                       ↑
             kuartil          median               kuartil
       pertama                                    ketiga

Julat antara kuartil
= kuartil ketiga – Kuartil pertama
= 14+16 2 4+6 2  
= 15 – 5
= 10


(B) Julat antara Kuartil untuk Data Terkumpul (tanpa Selang Kelas)

Contoh 2:
Jadual yang berikut menunjukkan taburan markah yang diperoleh sekumpulan pelajar tingkatan 4 dalam satu ujian sains.

Markah
1
2
3
4
5
Bilangan pelajar
4
7
5
2
6

Tentukan julat antara kuartil bagi taburan itu.

Penyelesaian:
Kuartil pertama, k1 = cerapan ke- ¼ (24)
                               = cerapan ke- 6
                               = 2

Kuartil ketiga, k3 = cerapan ke- ¾ (24)
                               = cerapan ke- 18
                               = 4

Markah
kekerapan
Kekerapan
longgokan
1
4
4
2
7
11 (k1 terletak di sini)
3
5
16
4
2
18 (k3 terletak di sini)
5
6
24

Julat antara kuartil
= kuartil ketiga – Kuartil pertama
= k3k1
= 4 – 2
= 2

Bab 7 Statistik

7.2 Sukatan Serakan (Bahagian 1)
7.2a Julat

(A) Julat untuk Data Tak Terkumpul

   Julat
   = nilai cerapan terbesar – nilai cerapan terkecil

Contoh 1:
Cari julat bagi set data 2, 4, 7, 10, 13, 16 dan 18.
Penyelesaian:
Julat = nilai cerapan terbesar – nilai cerapan terkecil
        = 18 – 2
        = 16


(B) Julat untuk Data Terkumpul (dengan Selang Kelas)

Julat
= nilai tengah kelas tertinggi – nilai tengah kelas terendah

Contoh 2:
Jadual yang berikut menunjukkan taburan kekerapan skor yang diperoleh 100 pelajar dalam suatu pertandingan.

Skor
Kekerapan
5 – 9
4
10 – 14
10
15 – 19
19
20 – 24
26
25 – 29
21
30 – 34
12
35 – 39
8

Cari julat bagi set data.

Penyelesaian:
Julat=nilai tengah kelasnilai tengah kelas                   tertinggi                   terendah Julat= 35+39 2 5+9 2            =377            =30