7.3.5 Statistik, SPM Praktis (Kertas 1)


Soalan 10 (4 markah):
Satu set data terdiri daripada 2, 3, 4, 5 dan 6. Setiap nombor didarab dengan m dan ditambah dengan n, dengan keadaan m dan n adalah integer. Diberi bahawa min baharu ialah 17 dan sisihan piawai baharu ialah 4.242.
Cari nilai m dan nilai n.

Penyelesaian:

x =2+3+4+5+6=20 x 2 = 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 =90 Min= 20 5 =4 Sisihan piawai= x 2 n ( x ¯ ) 2   = 90 5 4 2 =2 Min baharu=17 4m+n=17 .......... ( 1 ) Sisihan piawai baharu=4.242 m× 2 =4.242 m= 4.242 2 =2.99953 Gantikan m=3 ke dalam ( 1 ): 4( 3 )+n=17 n=5


Soalan 11 (4 markah):
Jadual menunjukkan taburan markah bagi 40 orang murid dalam ujian Matematik Tambahan. Bilangan murid bagi selang kelas 40 – 59 tidak dinyatakan.

Jadual

(a) Nyatakan kelas mod.
(b) Puan Zainon, guru mata pelajaran, berhasrat untuk memberi ganjaran kepada sepuluh murid terbaik. Murid-murid yang mencapai markah minimum dalam kedudukan sepuluh terbaik akan dipertimbangkan untuk menerima ganjaran tersebut. Elina memperoleh 74 markah.
Adakah Elina layak dipertimbangkan untuk menerima ganjaran itu? Beri sebab anda.

Penyelesaian:
(a)
4 + 10 + x + 8 + 7 = 40
x + 29 = 40
x = 11

Kelas mod = 40 – 59

(b)
Kedudukan sepuluh terbaik adalah T 31 ,  T 32 ,  T 33 , ...  T 40 T 31 =59.5+ 5 8 ( 79.559.5 )     =59.5+12.5     =72 Murid perlu mencapai markah minimum 72. Elina layak dipertimbangkan untuk menerima ganjaran sebab markahnya > 72.

7.3.4 Statistik, SPM Praktis (Kertas 1)


Soalan 7:
Satu set data mengandungi dua belas nombor positif.
Diberi bahawa Σ ( x x ¯ ) 2 =600 dan Σ x 2 =1032.
Cari
(a) varians
(b) min

Penyelesaian:
(a)
Varians= Σ ( x x ¯ ) 2 N             = 600 12             =50

(b)
Varians= Σ x 2 N ( x ¯ ) 2         50= 1032 12 ( x ¯ ) 2      ( x ¯ ) 2 =8650             =36            x ¯ =36



Soalan 8 (2 markah):
Jadual menunjukkan maklumat tentang suatu set data.

Jadual

Nyatakan
(a) nilai p jika m = 20,
(b) nilai q jika p = 2.5.

Penyelesaian:
(a)
Sisihan piawai baharu = sisihan piawai asal × p
20 = 5 × p
p = 4

(b)
Median baharu = [median asal × p] + 1
q = 2p × 1
q = 2(2.5) + 1
q = 5 + 1
q = 6



Soalan 9 (3 markah):
Jadual menunjukkan taburan skor yang diperolehi sekumpulan murid dalam suatu pertandingan.

Jadual

(a)
 Nyatakan nilai minimum bagi x jika skor mod ialah 4.
(b) Cari min skor bagi taburan itu jika x = 1.
 
Penyelesaian:
(a)
Nilai minimum bagi x = 8

(b)
Min = 1( 3 )+2( 6 )+3( 7 )+4( 1 )+5( 1 ) 3+6+7+1+1 = 45 18 =2.5

7.3.3 Statistik, SPM Praktis (Kertas 1)


Soalan 5:
Satu set data terdiri daripada 9, 2, 7, x2 – 1 dan 4. Diberi min ialah 6, cari
(a) nilai positif bagi x,
(b) median dengan menggunakan nilai x di (a).

Penyelesaian:
(a)
Min=6 9+2+7+ x 2 1+4 5 =6 x 2 +21=30     x 2 =9  x=±3 Nilai positif bagi x=3.

(b)
Mengatur nombor dalam susunan menaik
2, 4, 7, 8, 9
Median = 7


Soalan 6:
Suatu set mempunyai tujuh nombor dengan sisihan piawai 3 dan suatu set lain mempunyai tiga nombor dengan sisihan piawai 4. Kedua-dua set nombor itu mempunyai min yang sama.
Jika dua set nombor tersebut digabungkan, cari varians.

Penyelesaian:
X ¯ 1 = Σ X 1 n 1 m= Σ X 1 7 Σ X 1 =7m m= Σ X 2 3 Σ X 2 =3m σ= Σ X 2 N ( X ¯ ) 2 σ 2 = Σ X 2 N ( X ¯ ) 2 9= Σ X 1 2 7 m 2 63=Σ X 1 2 7 m 2 Σ X 1 2 =7 m 2 +63

16= Σ X 2 2 3 m 2 48=Σ X 2 2 3 m 2 Σ X 2 2 =48+3 m 2 Σ Y 2 =Σ X 1 2 +Σ X 2 2 Σ Y 2 =7 m 2 +63+3 m 2 +48   =10 m 2 +111 ΣY=Σ X 1 +Σ X 2 ΣY=7m+3m=10m Varians Gabungan: σ 2 = Σ Y 2 N ( ΣY N ) 2 σ 2 = 10 m 2 +111 10 ( 10m 10 ) 2 = 10 m 2 +111 10 m 2 = 10 m 2 +11110 m 2 10 = 111 10 =11.1

Bab 7 Statistik

7.4 Statistik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 5:
Jadual 1 menunjukkan taburan kekerapan longgokan bagi skor 80 kanak-kanak dalam suatu pertandingan.
Skor
<20
<30
<40
<50
<60
<70
<80
<90
Bilangan kanak-kanak
1
7
25
34
59
69
79
80
Jadual 1

(a) Berdasarkan Jadual 1 di atas, salin dan lengkapkan Jadual 2.
Skor
10-19







Kekerapan








Jadual 2

(b) Tanpa melukis ogif, cari julat antara kuartil bagi taburan itu.

Penyelesaian:
(a)
Skor
10-19
20-29
30-39
40-49
50-59
60-69
70-79
80-89
Kekerapan
1
6
18
9
25
10
10
1
Kekerapan longgokan
1
7
25
34
59
69
79
80

(b)
Julat antara kuartil = Kuartil ketiga – Kuartil pertama

Kelas kuartil ketiga, k3 = ¾ × 80 = 60
Maka kelas kuartil ketiga ialah kelas 60 – 69.

Kelas kuartil pertama, k1 = ¼ × 80 = 20
Maka kelas kuartil pertama ialah kelas 30 – 39.

Julat antara kuartil
= L Q 3 +( 3N 4 F f Q 3 )c L Q 1 +( N 4 F f Q 1 )c =59.5+( 3 4 ( 80 )59 10 )1029.5+( 1 4 ( 80 )7 18 )10 =59.5+1( 29.5+7.22 ) =23.78


Bab 7 Statistik

7.4 Statistik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:
Min bagi data 1, a, 2 a, 8, 9 dan 15 setelah disusun mengikut tertib menaik ialah b. Jika setiap nombor dalam data ditolak dengan 3, median baru ialah 4 7 b Cari
(a) nilai a dan b,
(b) varians bagi data baru.

Penyelesaian:
(a)
Min  x ¯ =b 1+a+2a+8+9+15 6 =b
33 + 3a = 6b
3a = 6b – 33
a = 2b – 11 ---- (1)

Median baru = 4b 7 ( 2a3 )+( 83 ) 2 = 4b 7 2a+2 2 = 4b 7
14a + 14 = 8b
7a = 4b – 7 ---- (2)

Gantikan (1) ke dalam (2),
7(2b – 11) = 4b – 7
14b – 77 = 4b – 7
10b = 70
b = 7

Dari (1),
a = 2(7) – 11 = 3

(b)
Data baru ialah (1 – 3), (3 – 3), (6 – 3), (8 – 3), (9 – 3), (15 – 3)
Maka data baru ialah – 2, 0, 3, 5, 6, 12

Varians,  σ 2 = x 2 N x ¯ 2 σ 2 = ( 2 ) 2 + ( 0 ) 2 + ( 3 ) 2 + ( 5 ) 2 + ( 6 ) 2 + ( 12 ) 2 6           ( 2+0+3+5+6+12 6 ) 2 σ 2 = 218 6 16=20.333



Soalan 4:
Satu set data mengandungi 20 nombor. Min bagi nombor itu ialah 8 dan sisihan piawai ialah 3.
(a) Hitungkan  ∑x  dan  ∑x2.
(b) Hasil tambah nombor tertentu ialah 72 dengan min ialah 9 dan hasil tambah kuasa dua nombor-nombor itu ialah 800, dikeluarkan dari set 20 nombor itu. Hitung min dan sisihan piawai baki nombor.

Penyelesaian:
(a)
Min  x ¯ = x N 8= x 20 x=160  

Sisihan piawai, σ= x 2 N x ¯ 2 3= x 2 N x ¯ 2 9= x 2 20 8 2 x 2 20 =73 x 2 =1460

(b)
Hasil tambah nombor tertentu, M ialah 72 dengan min 9,
72 M =9 M=8

Min baki nombor
= 16072 208 =7 1 3

Varians baki nombor
= 1460800 12 ( 7 1 3 ) 2 =5553 7 9 =1 2 9


Bab 7 Statistik

7.4 Statistik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:
Jadual di bawah menunjukkan umur 40 orang pelancong melawat suatu tempat pelancongan.

Umur
Pelancong
10 – 19
4
20 – 29
m
30 – 39
n
40 – 49
10
50 – 59
8

Diberi umur median ialah 35.5, cari nilai m dan n.

Penyelesaian:
Diberi umur median ialah 35.5,

Umur
Kekerapan
 Kekerapan longgokan
10 – 19
4
4
20 – 29
m
4 + m
30 – 39
Kelas median
n
4 + m + n
40 – 49
10
14 + m + n
50 – 59
8
22 + m + n

22 + m + n = 40
n = 18 – m -----(1)
Diberi umur median = 35.5, maka kelas median ialah 30 – 39.
35.5=29.5+( 20( 4+m ) n )×10 6=( 16m n )×10  
6n = 160 – 10m
3n = 80 – 5m -----(2)

Gantikan (1) ke dalam (2).
3 (18 – m) = 80 – 5m
54 – 3m = 80 – 5m
2m = 26
m = 13

Ganti m = 13 ke dalam (1).
n = 18 – 13
n = 5
Dengan itu, m = 13, n= 5.


Soalan 2:
Satu set markah ujian x1, x2, x3, x4, x5, x6 mempunyai min 6 dan sisihan piawai 2.4.
(a) Cari
        (i) hasil tambah markah itu, ∑x,
        (ii) hasil tambah kuasa dua markah itu, ∑x2.
(b) Setiap markah itu didarab dengan 2 dan kemudian ditambah dengan 3. Cari bagi set markah baru itu,
        (i) min,
        (ii) varians.

Penyelesaian:
(a)(i)
Diberi min = 6 Σ x 6 = 6 Σ x = 36  

(a)(ii)
Diberi σ=2.4 σ 2 = 2.4 2 Σ x 2 n X ¯ 2 =5.76 Σ x 2 6 6 2 =5.76 Σ x 2 6 =41.76 Σ x 2 =250.56

(b)(i)
Markah min baru
= 6(2) + 3
= 15

(b)(ii)
Varians bagi set markah asal
 = 2.42 = 5.76

Varians bagi set markah baru
= 22 (5.76)
= 23.04

Bab 7 Statistik

7.3 Statistik, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 3:
Min bagi lima nombor ialah p . hasil tambah bagi kuasa dua nombor-nombor itu ialah  120 dan sisihan piawai ialah 2q. Ungkap p dalam sebutan q.

Penyelesaian:
Min  x ¯ = x N p = x 5 x=5 p Sisihan piawai, σ= x 2 N x ¯ 2 2q= 120 5 ( p ) 2 4 q 2 =24p p=244 q 2


Soalan 4:
Satu set integer positif terdiri daripada 1, 4 dan p. Varians bagi set integer ini ialah 6. Cari nilai p.

Penyelesaian:
Varians,  σ 2 = x 2 N x ¯ 2 6= 1 2 + 4 2 + p 2 3 ( 1+4+p 3 ) 2 6= 17+ p 2 3 ( 5+p 3 ) 2 6= 17+ p 2 3 [ 25+10p+ p 2 9 ] 6= 51+3 p 2 2510p p 2 9
2p2 – 10p + 26 = 54
2p2 – 10p + 28 = 0
p2 – 5p + 14 = 0
(p – 7)(p + 2) = 0
p= –2 (tidak diterima)
Maka p = 7

Bab 7 Statistik

7.3 Statistik, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 1:
Sisihan piawai bagi lima nombor ialah 6 dan hasil tambah bagi kuasa dua nombor-nombor itu ialah 260. Cari min bagi set nombor itu.

Penyelesaian:
Diberi σ=6Σ x 2 =260. σ=6 Σ x 2 n X ¯ 2 =6 Σ x 2 n X ¯ 2 =36 260 5 X ¯ 2 =36 X ¯ 2 =16 X ¯ =±4 min = ±4



Soalan 2:
Kedua-dua min dan sisihan piawai bagi set nombor 1, 3, 7, 15, m dan n ialah 6.  Cari
(a) nilai m+ n,
(b) nilai yang mungkin bagi n.

Penyelesaian:
(a)
Diberi min = 6 Σx n =6 Σx 6 =6  
1 + 3 + 7 + 15 + m + n= 36
26 + m + n = 36
m + n = 10

(b)
σ=6 σ 2 =36 Σ x 2 n X ¯ 2 =36 1+9+49+225+ m 2 + n 2 6 6 2 =36 284+ m 2 + n 2 6 36=36 284+ m 2 + n 2 6 =72  
284 + m2 + n2 = 432
m2 + n2 = 148
Daripada (a), m = 10 – n
(10 – n)2 + n2 = 148
100 – 20n + n2+ n2 = 148
2n2 – 20n – 48 = 0
n2 – 10n – 24 = 0
(n – 6)(n + 4) = 0
n = 6   atau   n = –4 

Bab 7 Statistik

7.1c Median
1.      Median ialah nilai yang terletak di tengah-tengah sesuatu set data setelah set data itu disusun mengikut tertib tertentu.

(A)      Data Tak Terkumpul

               Median, m=Cerapa n n+1 2    

Contoh 1:
Cari median bagi setiap set data yang berikut.
(a) 15, 18, 21, 25, 20, 18
(b) 13, 6, 9, 17, 11

Penyelesaian:
(a)
Susun data mengikut tertib menaik
15, 18, 18, 20, 21, 25

Median =Cerapa n n+1 2 =Cerapa n 6+1 2 =Cerapa n 3 1 2 = 18+20 2 =19  

(b)
6, 9, 11, 13, 17

Median =Cerapa n n+1 2 =Cerapa n 5+1 2 =Cerapa n 3 =11  


(B)  Data Terkumpul (tanpa Selang Kelas)

                 Median, m=Cerapa n n+1 2    

Contoh 2:
Jadual kekerapan yang berikut menunjukkan markah ujian biologi bagi 40 orang pelajar.

Markah
50
55
60
65
70
Bilangan Pelajar
6
8
15
10
1
Hitung markah median.

Penyelesaian:
Median =Cerapa n n+1 2 =Cerapa n 40+1 2 =Cerapa n 20 1 2 =60(Cerapan ke-20 1 2  ialah 60 markah)



(C)      Data Terkumpul (dengan Selang Kelas)

m = median
L = sempadan bawah kelas median
N = jumlah kekerapan
F = kekerapan longgokan sebelum kelas median
fm = kekerapan kelas median
c = saiz kelas median (Sempadan atas kelas – sempadan bawah kelas)

1.  Median boleh ditentukan daripada jadual kekerapan longgokan dan ogif.

Contoh 3:
Jadual yang berikut menunjukkan taburan skor yang diperoleh 100 orang pelajar tingkatan 4 dalam satu pertandingan.

Skor
Kekerapan
5 – 9
4
10 – 14
10
15 – 19
19
20 – 24
26
25 – 29
21
30 – 34
12
35 – 39
8
Cari median.

Penyelesaian:
Kaedah 1: guna rumus
Skor
Kekerapan
Kekerapan Longgokan
5 – 9
4
4
10 – 14
10
14
15 – 19
19
33 (F)
20 – 24
Kelas median
26 (fm)
59
cerapan ke-50 berada di sini
25 – 29
21
80
30 – 34
12
92
35 – 39
8
100










Langkah 1:
Kelas median = Cerapa n n 2 = Cerapa n 100 2 =Cerapa n 50 Maka kelas median berada di 2024

Langkah 2:
m=L+( N 2 F f m )c m=19.5+( 100 2 33 26 )5 m=19.5+3.269=22.77

Bab 7 Statistik

7.2 Sukatan Serakan (Bahagian 3)

7.2c Varians dan Sisihan Piawai
1. Varians ialah sukatan minbagi kuasa dua sisihan-sisihan daripada min.
2. Sisihan piawai merujuk kepada punca kuasa dua positif bagi varians.

(A) Data Tak Terkumpul
Varians,  σ 2 = x 2 N x ¯ 2  

Sisihan piawai, σ =  varians  

Contoh 1:
Cari varians dan sisihan piawai bagi set data,
15, 17, 21, 24 dan 31

Penyelesaian:
Varians,  σ 2 = x 2 N x ¯ 2 σ 2 = 15 2 + 17 2 + 21 2 + 24 2 + 31 2 5          ( 15+17+21+24+31 5 ) 2 σ 2 = 2492 5 21.6 2 σ 2 =31.84 Sisihan piawai, σ =  varians σ =  31.84 σ = 5.642  



(B) Data Terkumpul (tanpa Selang Kelas)

Varians,  σ 2 = f x 2 f x ¯ 2  

Sisihan piawai, σ =  varians

Contoh 2:
Data di bawah menunjukkan bilangan kanak-kanak oleh 30 keluarga:

Bilangan kanak-kanak
2
3
4
5
6
7
8
Kekerapan
6
8
5
3
3
3
2




Cari varians dan sisihan piawai bagi set data.

Penyelesaian:
Min  x ¯ = fx f = ( 6 )( 2 )+( 8 )( 3 )+( 5 )( 4 )+( 3 )( 5 )+( 3 )( 6 )+( 3 )( 7 )+( 2 )( 8 ) 6+8+5+3+3+3+2 = 126 30 =4.2 f x 2 f = ( 6 ) ( 2 ) 2 +( 8 ) ( 3 ) 2 +( 5 ) ( 4 ) 2 +( 3 ) ( 5 ) 2 +( 3 ) ( 6 ) 2 +( 3 ) ( 7 ) 2 +( 2 ) ( 8 ) 2 6+8+5+3+3+3+2 = 634 30 =21.13


Varians,  σ 2 = f x 2 f x ¯ 2 σ 2 =21.133 4.2 2 σ 2 =3.493 Sisihan piawai, σ =  varians σ =  3.493 σ = 1.869



(C) Data Terkumpul (dengan Selang Kelas)
Varians,  σ 2 = f x 2 f x ¯ 2  

Sisihan piawai, σ =  varians

Contoh 3:

Gaji harian (RM)
Bilangan pekerja
5 – 9
4
10 – 14
10
15 – 19
19
20 – 24
26
25 – 29
21
30 – 34
12
35 – 39
8

Hitung min gaji harian dan sisihan piawai.

Penyelesaian:

Gaji harian (RM)
Bilangan pekerja, f
Nilai tengah, x
fx
fx2
10 – 14
40
12
480
5760
15 – 19
25
17
425
7225
20 – 24
15
22
330
7260
25 – 29
12
27
324
8748
30 – 34
8
32
256
8192
Total
100

1815
37185

Min  x ¯ = fx f Min gaji harian= 1815 100 =18.15  


Varians,  σ 2 = f x 2 f x ¯ 2 Sisihan piawai, σ =  varians σ 2 = 37185 100 18.15 2 σ 2 =42.43 σ =  42.43 σ = 6.514