Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

2.2 Pemfaktoran Ungkapan Kuadratik

(A) Pemfaktoran ungkapan kuadratik yang berbentuk ax2+ bx + c, b = 0 atau c = 0
1.      Pemfaktoran ungkapan kuadratik ialah proses mencari dua ungkapan linear yang hasil darabnya sama dengan ungkapan kuadratik itu.
2.      Ungkapan-ungkapan kuadratik ax2 + c dan ax2 + bx yang mengandungi dua sebutan boleh difaktorkan dengan mencari faktor sepunya bagi kedua-dua sebutan itu.

Contoh 1:
Faktorkan setiap yang berikut:
(a)  2x2 + 6
(b)  7p2 – 3p
(c)  6x2 – 9x

Penyelesaian:
(a)  2x2 + 6 = 2(x2 + 3) ← (2 ialah faktor sepunya)
(b)  7p2 – 3p = p(7p – 3) ← (p ialah faktor sepunya)
(c)  6x2 – 9x = 3x (2x – 3) ← (3x ialah faktor sepunya)


(B) Memfaktorkan ungkapan kuadratik yang berbentuk ax2c , a dan c adalah nombor kuasa dua sempurna
Contoh 2:
(a) 9p2 – 16
(b) 25x2 – 1
(c) 1 4 1 25 x 2  

Penyelesaian:
(a)  9p2 – 16 = (3p)2 – 42 = (3p – 4) (3p + 4)
(b)  25x2 – 1 = (5x)2 – 12 = (5x – 1) (5x + 1)
(c) 
1 4 1 25 x 2 = ( 1 2 ) 2 ( 1 5 x ) 2               =( 1 2 1 5 x )( 1 2 + 1 5 x )  



(C) Memfaktorkan ungkapan kuadratik berbentuk ax2+ bx + c, di mana a ≠ 0, b ≠ 0 dan c ≠ 0
Contoh 3:
Faktorkan setiap yang berikut:
(a)  3y2 + 2y – 8
(b)  4x2 – 12x + 9

Penyelesaian:
Pemfaktoran dengan kaedah darab silang.
(a)

3y2+ 2y – 8 = (3y – 4) (y + 2)

(b)


4x2– 12x + 9 = (2x – 3) (2x – 3)

Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

2.1 Ungkapan Kuadratik

(A) Mengenal pasti ungkapan kuadratik
1.      Ungkapan kuadratik ialah ungkapan yang berbentuk ax2+ bx + c, dengan a, b dan c sebagai pemalar, a ≠ 0 dan x sebagai pemboleh ubah.
     2.      Ciri-ciri ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah:
           (a)  Kuasatertinggi bagi x ialah 2.
           (b)  Hanya mengandungi satu pemboleh ubah.
           (c)  Misalnya, 5x2 – 6x + 3 ialah satu ungkapan kuadratik.

Contoh 1:
Nyatakan sama ada setiap ungkapan yang berikut adalah ungkapan kuadratik atau tidak. Berikan alasan untuk jawapan anda.
     (a)  x2 – 5x + 3
     (b)  8p2 + 10
     (c)  5x + 6
     (d)  2x2 + 4y + 14
     (e) 2p+ 1 p +6    
     (f)   y3 – 3y + 1

Penyelesaian:
     (a)  Ya, x2 – 5x + 3 satu ungkapan kuadratik yang mengandungi satu pemboleh ubah x dan kuasa tertinggi x ialah 2.

     (b)  Ya, 8p2 + 10 satu ungkapan kuadratik yang mengandungi satu pemboleh ubah p dan kuasa tertinggi pialah 2.

     (c)  Tidak, 5x + 6 bukan satu ungkapan kuadratik kerana kuasa tertinggi x bukan 2.

     (d)  Tidak2x2 + 4y + 14 bukan satu ungkapan kuadratik kerana mengandungi dua pemboleh ubah x dan y.

     (e)  Tidak,   2p+ 1 p +6 bukan satu ungkapan kuadratik kerana kuasa tertinggi p bukan 2, 1 p = p 1

     (f)   Tidak, y3 – 3y + 1 bukan satu ungkapan kuadratik kerana kuasa tertinggi y bukan 2.


3.      Suatu ungkapan kuadratik dihasilkan dengan pendaraban dua ungkapan linear.
Misalnya, (2x + 3)(x – 3) = 2x2 – 3x – 9

Contoh 2:
Darabkan pasangan ungkapan linear yang berikut.
(a)  (4x + 3)(x – 2)
(b)  (y – 6)2
(c)  2x (x– 5)

Penyelesaian:
(a)  (4x + 3)(x – 2)
= (4x)(x) + (4x)( –2) +(3)(x) + (3)( –2)
= 4x2– 8x + 3x – 6
= 4x2– 5x – 6

(b)  (y – 6)2
= (y – 6)(y – 6)
= (y)(y) + (y)( –6) + (–6)(y) + (–6)( –6)
= y2– 6y – 6y + 36
= y2– 12y + 36

(c)  2x (x– 5)
= 2x(x) + 2x(–5)
= 2 x2– 10x

Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

2.4 Punca Persamaan Kuadratik
1.      Punca persamaan kuadratik ialah nilai bagi anu yang memuaskan persamaan kuadratik itu.
2.      Punca persamaan juga dikenali sebagai penyelesaianbagi persamaan tertentu.
3.      Menyelesaikan persamaan kuadratik dengan kaedah pemfaktoran.
Langkah 1: Tulis persamaan kuadratik dalam bentuk am ax2+ bx + c = 0.
Langkah 2: Faktorkan ungkapan kuadratik ax2 + bx + c= 0 dalam bentuk (mx + p
(nx+ q) = 0.
Langkah 3: Nyatakan mx + p= 0 atau nx + q = 0.
Langkah 4: Selesaikan dua persamaan dalam langkah 3.

mx+p=0      atau      nx+q=0     x= p m       atau          x= q n


Contoh 1:
Selesaikan persamaan kuadratik, 2 x 2 5 3 =3x 
Penyelesaian:
2 x 2 5 3 =3x

2x2– 5 = 9x
2x2– 9x – 5 = 0
(x – 5) (2x + 1) = 0
x – 5 = 0   atau   2x + 1 = 0
x = 5                         x = – ½


Contoh 2:
Selesaikan persamaan kuadratik, 4x2 – 12 = –13x.
Penyelesaian:
4x2– 12 = –13x
4x2+ 13x – 12 = 0
(4x – 3) (x + 4) = 0
4x – 3 = 0   atau   x + 4 = 0
x= ¾                    x = – 4


Contoh 3:
Selesaikan persamaan kuadratik, 5x2 = 3(x + 2) – 4.
Penyelesaian:
5x2= 3(x + 2) – 4
5x2= 3x + 6 – 4
5x2 – 3x – 2 = 0
(x – 1) (5x + 2) = 0
x – 1 = 0   atau   5x + 2 = 0
x= 1                      x= 2 5         


Contoh 4:
Selesaikan persamaan kuadratik, 3x(x3) 4 =x+3.
Penyelesaian:
3x(x3) 4 =x+3

3x2– 9x = –4x + 12
3x2 – 5x – 12 = 0
(x – 3) (3x + 4) = 0
x – 3 = 0   atau   3x + 4 = 0
x = 3                         x= 4 3       


Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

2.3 Persamaan Kuadratik
1.      Persamaan Kuadratik adalah persamaan yang memenuhi syarat-syarat berikut:
           (a)  Ia mengandungi tatatanda kesamaan, ‘=’
           (b)  Ia melibatkan hanya satu anu.
           (c)  Kuasa tertinggi anu terlibat ialah 2.

Contoh,


2.      Bentuk am bagi sesuatu persamaan kuadratik boleh ditulis sebagai:
           (a)  ax2 + bx + c = 0 ,
di mana a ≠ 0, b ≠ 0 dan c ≠ 0,
contoh: 4x2 + 13x – 12 = 0

           (b)  ax2 + bx = 0 ,
di mana a ≠ 0, b ≠ 0 tetapi c = 0,
contoh: 7x2 + 9x = 0

           (c)  ax2 + c = 0 ,
di mana a ≠ 0, c ≠ 0 tetapi b = 0,
contoh: 9x2 – 3 = 0

Contoh 1:
Tulis setiap persamaan kuadratik berikut dalam bentuk am.
(a)  x2 – 5x = 12
(b)  –2 + 5x2 – 6x = 0
(c)  7p2 – 3p = 4p2 + 4p – 3
(d)  (x – 2)(x + 6) = 0
(e)  3 – 13x = 4 (x2 + 2)
(f) 2y= 13y y (g)  p 4 = 2 p 2 3 10 (h)  y 2 +5 4 = y1 2 (i)  4p 7 =p(7p6)

Penyelesaian:
Bentuk am bagi sesuatu persamaan kuadratik ialah ax2 + bx + c = 0
(a)  x2 – 5x = 12
x2 – 5x -12 = 0

(b)  –2 + 5x2 – 6x = 0
5x2 – 6x –2 = 0

(c)  7p2 – 3p = 4p2 + 4p – 3
7p2 – 3p – 4p2 – 4p + 3 = 0
3p2 – 7p  + 3 = 0

(d)  (x – 2)(x + 6) = 0
x2 + 6x – 2x – 12 = 0
x2 + 4x – 12 = 0

(e)  3 – 13x = 4 (x2 + 2)
3 – 13x = 4x2 + 8
–4x2 – 8 + 3 – 13x = 0
–4x2 – 13x – 5 = 0
     4x2 + 13x + 5 = 0

(f) 2y= 13y y
2yy2 = 1 – 3y
2yy2 – 1 + 3y = 0
 – y2 + 3y – 1 = 0
y2 – 3y + 1 = 0

  (g)  p 4 = 2 p 2 3 10

10p = 8p2 – 12
–8p2 + 10p +12 = 0
8p2 – 10p – 12 = 0

(h)  y 2 +5 4 = y1 2

2y2 + 10 = 4y – 4
2y2 – 4y + 10 + 4 = 0
2y2 – 4y + 14 = 0

(i)  4p 7 =p(7p6)
4p = 7p (7p – 6)
4p = 49p2 – 42p
– 49p2 + 42p + 4p  = 0
49p2 – 46p = 0


Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

2.1 Ungkapan Kuadratik (Contoh Soalan)

Contoh 1:
Bentukkan suatu ungkapan kuadratik dengan mendarab setiap yang berikut.
(a)  (6p – 2)(2p – 1)
(b)  (m + 5)(4 – 7m)
(c)  (x + 2) (2x – 3)

Penyelesaian:
(a)  (6p – 2)(2p – 1)
= (6p)(2p) + (6p)( –1) + (–2)(2p) + (–2)( –1)
= 12p2– 6p – 4p + 2
= 12p2– 10p + 2

(b)  (m + 5)(4 – 7m)
= (m)(4) + (m)(-7m) + (5)(4) + (5)(-7m)
= 4m – 7m2 + 20 – 35m
= –7m2– 31m + 20

(c)  (x + 2) (2x – 3)
= (x)(2x) + (x)( –3) + (2)(2x) + (2)( –3)
= 2x2– 3x + 4x – 6
= 2x2 + x - 6

Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

SPM Praktis (Soalan Panjang)
Soalan 5:
Selesaikan persamaan kuadratik
(m + 2)(m – 4) = 7(m – 4).

Penyelesaian:
(m + 2)(m – 4) = 7(m – 4)
m2 – 4m + 2m – 8 = 7m – 28
m2 – 9m + 20 = 0
(m – 5)(m – 4) = 0
m= 5    or    m= 4   


Soalan 6:
Selesaikan persamaan kuadratik
6y2 y = 7 1y


Penyelesaian:
6 y 2 y = 7 1 y ( 6 y 2 ) ( 1 y ) = 7 y 6 y + 6 y 2 2 + 2 y 7 y = 0 6 y 2 11 y 2 = 0 ( 6 y + 1 ) ( y 2 ) = 0 6 y + 1 = 0         or         y = 2 y = 1 6


Soalan 7:
Selesaikan persamaan kuadratik
4m 7 =m( 8m9 )

Penyelesaian:
4m 7 =m( 8m9 ) 4m=7m( 8m9 ) 4m=56 m 2 63m 56 m 2 63m4m=0 56 m 2 67m=0 m(56m67)=0 m=0        or        56m67=0                                        m= 67 56


Soalan 8:

Rajah di atas menunjukkan sebuah segi empat tepat ABCD.
     (a)  Ungkapkan luas ABCD dalam sebutan x,
     (b)  Diberi luas ABCD ialah 60 cm2, cari panjang AB.

Penyelesaian:
(a)
Luas ABCD
= (n + 7) × n
= (n2+ 7n) cm2
(b)
Diberi luas ABCD= 60
n2 + 7n = 60
n2 + 7n – 60 = 0
(n – 5) (n + 12) = 0
n= 5    or    n = – 12 (tidak diterima)

Apabila n= 5,
Panjang AB = 5 + 7 = 12 cm

Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 1:
Selesaikan persamaan kuadratik, (y + 3)(y – 4) = 30

Penyelesaian:
(y + 3)(y – 4) = 30
y2 – 4y + 3y – 12 = 30
y2 y – 12 – 30 = 0
y2 y – 42 = 0
(y + 6)(y – 7) = 0
y+ 6 = 0, y = –6
y– 7 = 0
y = 7


Soalan 2:
Selesaikan persamaan kuadratik, 5x2 = 3( x – 2) + 8

Penyelesaian:
5x2= 3( x – 2) + 8
5x2= 3x – 6 + 8
5x2– 3x – 2 = 0
(5x + 2)(x – 1) = 0
5x + 2 = 0, x = 2 5
Or
x– 1 = 0
x= 1


Soalan 3:
Selesaikan persamaan kuadratik, 2 p 2 15 p =7

Penyelesaian:
2 p 2 15 p =7 

2p2– 15 = 7p
2p2–7p – 15 = 0
(2p + 3)(p – 5) = 0
2p + 3 = 0, p =  
p– 5 = 0
p= 5


Soalan 4:
Selesaikan persamaan kuadratik, y( y 9 2 )= 5 2

Penyelesaian:
y( y 9 2 )= 5 2 y 2 9y 2 = 5 2

(×2), 2y2– 9y = 5
2y2– 9y – 5 = 0
(2y + 1)(y – 5) = 0
2y + 1 = 0, y = ½
Or
y– 5 = 0
y = 5