# Bab 15 Vektor

4.7 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:
Dalam rajah di bawah, PQRS ialah satu segi empat. PTSdan TUR ialah garis lurus.

Diberi bahawa
(a)  Ungkapakan dalam sebutan
(i) $\stackrel{\to }{QS}$
(ii) $\stackrel{\to }{TR}$
(b)  Tunjukkan titik Q, Udan S adalah segaris.
(c)  Jika

Penyelesaian:
(a)

(b)
$\begin{array}{l}\stackrel{\to }{TR}=\stackrel{\to }{TS}+\stackrel{\to }{SR}\\ \stackrel{\to }{TR}=\frac{3}{4}\stackrel{\to }{PS}+25\underset{˜}{x}-24\underset{˜}{y}\\ \stackrel{\to }{TR}=\frac{3}{4}\left(32\underset{˜}{y}\right)+25\underset{˜}{x}-24\underset{˜}{y}\\ \stackrel{\to }{TR}=24\underset{˜}{y}+25\underset{˜}{x}-24\underset{˜}{y}\\ \stackrel{\to }{TR}=25\underset{˜}{x}\end{array}$

(c)
$\begin{array}{l}\stackrel{\to }{QU}=\stackrel{\to }{QP}+\stackrel{\to }{PT}+\stackrel{\to }{TU}\\ \stackrel{\to }{QU}=-20\underset{˜}{x}+8\underset{˜}{y}+\frac{3}{5}\left(25\underset{˜}{x}\right)←\overline{)\begin{array}{l}\text{Diberi}\\ \stackrel{\to }{TU}=\frac{3}{5}\stackrel{\to }{TR}\end{array}}\\ \stackrel{\to }{QU}=-20\underset{˜}{x}+8\underset{˜}{y}+15\underset{˜}{x}\\ \stackrel{\to }{QU}=-5\underset{˜}{x}+8\underset{˜}{y}\end{array}$

Oleh itu, Q, U dan S adalah segaris.

(d)

# Bab 15 Vektor

4.7 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

Rajah di atas menunjukkan segi tiga OAB. Garis lurus AP bersilang dengan garis lurus OQpada titik R.
Diberi bahawa
(a)    Ungkapakan dalam sebutan
(i) $\stackrel{\to }{AP}$
(ii) $\stackrel{\to }{OQ}$
(b)   (i) Diberi bahawa
(ii) Diberi bahawa
(c)    Dengan menggunakan  cari nilai bagi h dan k.

Penyelesaian:
(a)(i)
$\begin{array}{l}\stackrel{\to }{AP}=\stackrel{\to }{AO}+\stackrel{\to }{OP}\\ \stackrel{\to }{AP}=-\stackrel{\to }{OA}+\stackrel{\to }{OP}\\ \stackrel{\to }{AP}=-8\underset{˜}{a}+4\underset{˜}{b}\end{array}$

(a)(ii)
$\begin{array}{l}\stackrel{\to }{OQ}=\stackrel{\to }{OA}+\stackrel{\to }{AQ}\\ \stackrel{\to }{OQ}=8\underset{˜}{a}+\frac{1}{4}\stackrel{\to }{AB}\\ \stackrel{\to }{OQ}=8\underset{˜}{a}+\frac{1}{4}\left(\stackrel{\to }{AO}+\stackrel{\to }{OB}\right)\\ \stackrel{\to }{OQ}=8\underset{˜}{a}+\frac{1}{4}\left(-8\underset{˜}{a}+4\stackrel{\to }{OP}\right)\\ \stackrel{\to }{OQ}=8\underset{˜}{a}+\frac{1}{4}\left(-8\underset{˜}{a}+4\left(4\underset{˜}{b}\right)\right)\\ \stackrel{\to }{OQ}=8\underset{˜}{a}-2\underset{˜}{a}+4\underset{˜}{b}\\ \stackrel{\to }{OQ}=6\underset{˜}{a}+4\underset{˜}{b}\end{array}$

(b)(i)
$\begin{array}{l}\stackrel{\to }{AR}=h\stackrel{\to }{AP}\\ \stackrel{\to }{AR}=h\left(-8\underset{˜}{a}+4\underset{˜}{b}\right)\\ \stackrel{\to }{AR}=-8h\underset{˜}{a}+4h\underset{˜}{b}\end{array}$

(b)(ii)
$\begin{array}{l}\stackrel{\to }{RQ}=k\stackrel{\to }{OQ}\\ \stackrel{\to }{RQ}=k\left(6\underset{˜}{a}+4\underset{˜}{b}\right)\\ \stackrel{\to }{RQ}=6k\underset{˜}{a}+4k\underset{˜}{b}\end{array}$

(c)
$\begin{array}{l}\stackrel{\to }{AQ}=\stackrel{\to }{AR}+\stackrel{\to }{RQ}\\ \stackrel{\to }{AQ}=-8h\underset{˜}{a}+4h\underset{˜}{b}+\left(6k\underset{˜}{a}+4k\underset{˜}{b}\right)\\ \stackrel{\to }{AO}+\stackrel{\to }{OQ}=-8h\underset{˜}{a}+4h\underset{˜}{b}+6k\underset{˜}{a}+4k\underset{˜}{b}\\ -8\underset{˜}{a}+6\underset{˜}{a}+4\underset{˜}{b}=-8h\underset{˜}{a}+4h\underset{˜}{b}+6k\underset{˜}{a}+4k\underset{˜}{b}\\ -2\underset{˜}{a}+4\underset{˜}{b}=-8h\underset{˜}{a}+4h\underset{˜}{b}+6k\underset{˜}{a}+4k\underset{˜}{b}\end{array}$

–2 = –8h + 6k
–1 = –4h + 3k   → (1)

4 = 4h + 4k
1 = h + k
k= 1 – h   → (2)

Gantikan (2) ke dalam (1),
–1 = –4h + 3 (1 – h)
–1 = –4h + 3 – 3h
–4 = –7h

# Bab 15 Vektor

4.5 Vektor dalam Satah Cartes
1.      Vektor unit mempunyai magnitud satu unit.
2.      Vektor $\underset{˜}{i}$ ialah vektor unit ke arah positif paksi-x.
Vektor $\underset{˜}{j}$ ialah vektor unit ke arah positif paksi-y.
3.    Suatu vektor dalam satah Cartes boleh ditulis dalam bentuk
4.      Magnitud bagi vektor unit ialah $|\underset{˜}{i}|=|\underset{˜}{j}|=1.$
5.      Magnitud bagi vektor

Contoh 1:
Jika  cari nilai k. Tentukan vektor unit dalam arah $\underset{˜}{r}$ bagi setiap nilai k.

Penyelesaian:

Contoh 2:
Diberi bahawa
(a) Cari
(b) Seterusnya, cari vektor unit dalam arah

Penyelesaian:
(a)

(b)

# Bab 15 Vektor

4.1  Pengenalan Vektor

(A) Kuantiti Vektor dan Kuantiti Skalar
1.      Vektor ialah kuantiti yang mempunyai maginitud dan arah.
2.      Skalar ialah kuantiti yang mempunyai magnitud sahaja.
3.      Misalnya, magnitud vektor $\stackrel{\to }{OA}$ ialah panjang OA dan arahnya adalah dari O ke A. $\stackrel{\to }{OA}$ boleh ditandakan sebagai $\underset{˜}{a}$ dan magnitudnya pula ditandakan sebagai

(B) Vektor sebagai Garis Terarah
1.      Vektor $\stackrel{\to }{AB}$ mewakili satu vektor yang mempunyai magnitud $\stackrel{\to }{AB}$ dan menghala dari A ke B. Magnitud $\stackrel{\to }{AB}$ ditulis sebagai $|\stackrel{\to }{AB}|$.

(C) Kesamaan Dua Vektor
1.      Dua vektor adalah sama jika kedua-duanya mempunyai magnitud dan arah yang sama. Misalnya,
2.      Vektor negatif bagi $\stackrel{\to }{AB}$ ialah vektor yang mempunyai magnitud yang sama dengan $\stackrel{\to }{AB}$ tetapi dalam arah yang bertentangan dengan arah $\stackrel{\to }{AB}$. Vektor negatif bagi $\stackrel{\to }{AB}$ boleh ditulis sebagai  . Vektor negatif bagi

3.      Vektor sifar, $\underset{˜}{0}$ , ialah vektor yang mempunyai magnitud sifar dan arahnya tidak tertakrif.

# Bab 15 Vektor

4.4 Pengungkapan Suatu Vektor sebagai Gabungan Linear Vektor yang lain

1. Hukum Poligon Vektor

$\stackrel{\to }{PQ}=\stackrel{\to }{PU}+\stackrel{\to }{UT}+\stackrel{\to }{TS}+\stackrel{\to }{SR}+\stackrel{\to }{RQ}$

2. Untuk membuktikan dua vector adalah selari, kita mesti mengungkapkan salah satu vector sebagai kuantiti scalar kepada vector yang lain.

Misalnya,

3. Untuk membuktikan titik P, Q dan R adalah segaris, buktikan salah satu daripada berikut:

Contoh:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah segiempat selari ABCD. Titik Q terletak pada garis lurus AB dan titik S terletak pada garis lurus DC. Garis lurus AS dipanjangkan ke titik Tdengan keadaan AS = 2ST.

Diberi bahawa AQ : QB = 3 : 1, DS : SC = 3 : 1,
(a) Ungkapan dalam sebutan
(b) Seterusnya, tunjukkan titik Q, C dan T adalah segaris.

Penyelesaian:
(a)(i)

(a)(ii)

(b)

# Bab 15 Vektor

4.2 Pendaraban Vektor dengan Kuantiti Skalar dan Keselarian Vektor

1. Hasil darab vektor $\underset{˜}{a}$dengan suatu scalar k ialah $k\underset{˜}{a}$.
2. Jika $\underset{˜}{b}=k\underset{˜}{a}$, vector $\underset{˜}{b}$adalah searah dengan vector $\underset{˜}{a}$dan magnitudnya, $|\underset{˜}{b}|=k|\underset{˜}{a}|.$
3. Vektor $\underset{˜}{a}$ adalah selari dengan vektor $\underset{˜}{b}$ jika dan hanya jika $\underset{˜}{b}=\lambda \underset{˜}{a}$, dengan keadaan λialah pemalar.
4. Jika vektor tidak selari dan $h\underset{˜}{a}=k\underset{˜}{b}$, maka h = 0 dan k = 0.

Contoh 1:
Jika vektor tidak selari dan $\left(k-7\right)\underset{˜}{a}=\left(5+h\right)\underset{˜}{b}$ , cari nilai k dan nilai h.

Penyelesaian:
Vektor tidak selari, maka
k – 7 = 0 → k= 7
5 + h = 0 → h = –5

# Bab 15 Vektor

4.3 Penambahan dan Penolakan Vektor

4.3.1 Penambahan Vektor
1. Penambahan dua vektor, , boleh ditulis sebagai $\underset{˜}{u}+\underset{˜}{v}$ . Hasil tambah ini merupakan suatu vektor, yang dinamakan vector paduan.
2. Apabila dua vektor yang sama ditambah, vector paduan yang terhasil mempunyai
(a) arah yang sama dengan kedua-dua vektor itu,
(b) magnitude yang sama dengan hasil tambah magnitud kedua-dua vektor itu.

(A) Penambahan Vektor Paduan Dua Vektor Tidak Selari
1. Penambahan dua vektor yang tidak selari, , boleh ditunjukkan dengan dua hukum.

(a)  Hukum Segitiga
Vektor paduan $\underset{˜}{u}+\underset{˜}{v}$ yang terhasil ialah AC.

(b)  Hukum Segiempat Selari
Vektor paduan $\underset{˜}{u}+\underset{˜}{v}$ yang terhasil ialah AC.

Contoh 1:

Cari
(a) vector paduan hasil tambah bagi dua vector selari yang di atas.

Penyelesaian:
(a)
= hasil tambah dua vektor
$=\stackrel{\to }{PQ}+\stackrel{\to }{RS}$

(b)

Contoh 2:

Rajah di atas menunjukkan suatu segiempat selari OABC.M adalah titik tengah BC. Vektor  Cari setiap vektor yang berikut dalam sebutan

Penyelesaian:
(a)

(b)

(c)

# Bab 15 Vektor

4.3 Penambahan dan Penolakan Vektor

4.3.2 Penolakan Dua Vektor
Penolakan vektor $\underset{˜}{b}$ dari vektor $\underset{˜}{a}$ditulis sebagai $\underset{˜}{a}-\underset{˜}{b}$ . Operasi ini juga merupakan penambahan vektor $\underset{˜}{a}$dengan vektor negative $\underset{˜}{b}$ . Oleh itu $\underset{˜}{a}-\underset{˜}{b}=\underset{˜}{a}+\left(-\underset{˜}{b}\right).$

Contoh 1:

Dalam rajah di atas, vektor  dan Q membahagikan PR dalam nisbah 2: 3. Cari vektor-vektor berikut dalam sebutan ,

Penyelesaian:
(a)

(b)

(c)

# Bab 15 Vektor

4.7 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 2:
Diberi
(a)  koordinat A,
(b)  vektor unit dalam arah $\stackrel{\to }{OA}$
(c)  nilai m jika CD selari dengan AB.

Penyelesaian:
(a)

(b)

(c)
7 = 14k
k= ½
m = 10k = 10 (½) = 5

# Bab 15 Vektor

4.6 Vektor, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 5:
Gunakan maklumat di atas untuk mencari nilai h dan nilai k apabila r= 2p – 3q.

Penyelesaian:
$\begin{array}{l}r=2p-3q\\ \left(h-1\right)\underset{˜}{a}+\left(h+k\right)\underset{˜}{b}=2\left(5\underset{˜}{a}-7\underset{˜}{b}\right)-3\left(-2\underset{˜}{a}+3\underset{˜}{b}\right)\\ \left(h-1\right)\underset{˜}{a}+\left(h+k\right)\underset{˜}{b}=10\underset{˜}{a}-14\underset{˜}{b}+6\underset{˜}{a}-9\underset{˜}{b}\\ \left(h-1\right)\underset{˜}{a}+\left(h+k\right)\underset{˜}{b}=16\underset{˜}{a}-23\underset{˜}{b}\end{array}$

Bandingkan vektor,
h– 1 = 16
h = 17
h+ k = –23
17 + k = –23
k = –40

Soalan 6:
Titik-titik P, Qdan R adalah segaris. Diberi bahawa , dengan keadaan kialah pemalar. Cari
(a)  nilai k,
(b)  nisbah PQ : QR.

Penyelesaian:
(a)

(b)
$\begin{array}{l}\stackrel{\to }{PQ}=m\stackrel{\to }{QR}\\ \stackrel{\to }{PQ}=\frac{4}{3}\stackrel{\to }{QR}\\ \frac{\stackrel{\to }{PQ}}{\stackrel{\to }{QR}}=\frac{4}{3}\\ \therefore PQ:QR=4:3\end{array}$

Soalan 7:
Diberi bahawa , cari nilai m jika vektor

Penyelesaian: