Bab 15 Vektor

4.7 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:
Dalam rajah di bawah, PQRS ialah satu segi empat. PTSdan TUR ialah garis lurus.


Diberi bahawa
PQ =20 x ˜ ,   PT =8 y ˜ ,   SR =25 x ˜ 24 y ˜ ,   PT = 1 4 PS   dan   TU = 3 5 TR
(a)  Ungkapakan dalam sebutan x ˜  dan/ atau  y ˜ :
(i) QS
(ii) TR   
(b)  Tunjukkan titik Q, Udan S adalah segaris.
(c)  Jika | x ˜ |=2 dan | y ˜ |=3, cari | QS |

Penyelesaian:  
(a)   
QS = QP + PS QS =20 x ˜ +32 y ˜ Diberi  PT = 1 4 PS PS =4 PT =4( 8 y ˜ )=32 y ˜

(b)   
TR = TS + SR TR = 3 4 PS +25 x ˜ 24 y ˜ TR = 3 4 ( 32 y ˜ )+25 x ˜ 24 y ˜ TR =24 y ˜ +25 x ˜ 24 y ˜ TR =25 x ˜

(c)
QU = QP + PT + TU QU =20 x ˜ +8 y ˜ + 3 5 ( 25 x ˜ ) Diberi TU = 3 5 TR QU =20 x ˜ +8 y ˜ +15 x ˜ QU =5 x ˜ +8 y ˜

Dari (a)(i)  QS =20 x ˜ +32 y ˜ QS QU = 20 x ˜ +32 y ˜ 5 x ˜ +8 y ˜ QS QU = 4( 5 x ˜ +8 y ˜ ) ( 5 x ˜ +8 y ˜ ) QS QU =4 QS =4 QU
Oleh itu, Q, U dan S adalah segaris.

(d)
PS =32 y ˜ | PS |=32| y ˜ | | PS |=32×3=96 PQ =20 x ˜ | PQ |=20| x ˜ | | PQ |=20×2=40 Oleh itu | QS |= 96 2 + 40 2 | QS |=104

Bab 15 Vektor

4.7 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

Rajah di atas menunjukkan segi tiga OAB. Garis lurus AP bersilang dengan garis lurus OQpada titik R.
Diberi bahawa OP= 1 4 OB, AQ= 1 4 AB,  OP =4 b ˜  dan  OA =8 a ˜ . 
(a)    Ungkapakan dalam sebutan a ˜  dan  b ˜ :
            (i) AP
            (ii) OQ   
(b)   (i) Diberi bahawa AR =h AP , nyatakan  AR  dalam sebutan h,  a ˜  dan  b ˜ .  
(ii) Diberi bahawa RQ =k OQ , nyatakan  AR  dalam sebutan k,  a ˜  dan  b ˜ .
(c)    Dengan menggunakan AQ = AR + RQ  ,  cari nilai bagi h dan k.

Penyelesaian:
(a)(i)
AP = AO + OP AP = OA + OP AP =8 a ˜ +4 b ˜

(a)(ii)
OQ = OA + AQ OQ =8 a ˜ + 1 4 AB OQ =8 a ˜ + 1 4 ( AO + OB ) OQ =8 a ˜ + 1 4 ( 8 a ˜ +4 OP ) OQ =8 a ˜ + 1 4 ( 8 a ˜ +4( 4 b ˜ ) ) OQ =8 a ˜ 2 a ˜ +4 b ˜ OQ =6 a ˜ +4 b ˜

(b)(i)
AR =h AP AR =h( 8 a ˜ +4 b ˜ ) AR =8h a ˜ +4h b ˜

(b)(ii)
RQ =k OQ RQ =k( 6 a ˜ +4 b ˜ ) RQ =6k a ˜ +4k b ˜

(c)
AQ = AR + RQ AQ =8h a ˜ +4h b ˜ +( 6k a ˜ +4k b ˜ ) AO + OQ =8h a ˜ +4h b ˜ +6k a ˜ +4k b ˜ 8 a ˜ +6 a ˜ +4 b ˜ =8h a ˜ +4h b ˜ +6k a ˜ +4k b ˜ 2 a ˜ +4 b ˜ =8h a ˜ +4h b ˜ +6k a ˜ +4k b ˜

–2 = –8h + 6k
–1 = –4h + 3k   → (1)

4 = 4h + 4k
1 = h + k
k= 1 – h   → (2)

Gantikan (2) ke dalam (1),
–1 = –4h + 3 (1 – h)
–1 = –4h + 3 – 3h
–4 = –7h

h= 4 7 Daripada (2), k=1 4 7 = 3 7  

Bab 15 Vektor

4.5 Vektor dalam Satah Cartes
1.      Vektor unit mempunyai magnitud satu unit.
2.      Vektor i ˜  ialah vektor unit ke arah positif paksi-x.
Vektor j ˜  ialah vektor unit ke arah positif paksi-y.
3.    Suatu vektor dalam satah Cartes boleh ditulis dalam bentuk x i ˜ +y j ˜  atau vektor lajur ( x y ). 
4.      Magnitud bagi vektor unit ialah | i ˜ |=| j ˜ |=1. 
5.      Magnitud bagi vektor OA =x i ˜ +y j ˜  diberi oleh | OA |= x 2 + y 2 .


Contoh 1:
Jika r ˜ =k i ˜ 8 j ˜  dan | r ˜ |=10, cari nilai k. Tentukan vektor unit dalam arah r ˜  bagi setiap nilai k.

Penyelesaian:
Diberi  | r ˜ | = 10 x 2 + y 2 = 10 k 2 + ( 8 ) 2 = 10 k 2 + 64 = 100 k = ± 6

Vektor unit,  r ˜ ^ = x i ˜ +y j ˜ x 2 + y 2 Apabila k=6,                         Apabila k=6 r ˜ ^ = 6 i ˜ 8 j ˜ 10 = 3 i ˜ 4 j ˜ 5              r ˜ ^ = 6 i ˜ 8 j ˜ 10 = 3 i ˜ 4 j ˜ 5 r ˜ ^ = 1 5 ( 3 i ˜ 4 j ˜ )                        r ˜ ^ = 1 5 ( 3 i ˜ 4 j ˜ )


Contoh 2:
Diberi bahawa a ˜ =( 6 3 ) dan  b ˜ =( 3 7 ). 
(a) Cari b ˜ a ˜  dan | b ˜ a ˜ |.  
(b) Seterusnya, cari vektor unit dalam arah b ˜ a ˜  .

Penyelesaian:
(a)
b ˜ a ˜ =( 3 7 )( 6 3 )        =( 36 73 )        =( 3  4 ) | b ˜ a ˜ |= ( 3 ) 2 + 4 2 = 9+16 = 25 =5


(b)
Vektor unit dalam arah  b ˜ a ˜ = 1 5 ( 3  4 ) =( 3 5   4 5 )


Bab 15 Vektor

4.1  Pengenalan Vektor

(A) Kuantiti Vektor dan Kuantiti Skalar
1.      Vektor ialah kuantiti yang mempunyai maginitud dan arah.
2.      Skalar ialah kuantiti yang mempunyai magnitud sahaja.
3.      Misalnya, magnitud vektor OA  ialah panjang OA dan arahnya adalah dari O ke A. OA  boleh ditandakan sebagai a ˜  dan magnitudnya pula ditandakan sebagai | OA | atau | a ˜ |.  

(B) Vektor sebagai Garis Terarah
1.      Vektor AB  mewakili satu vektor yang mempunyai magnitud AB  dan menghala dari A ke B. Magnitud AB  ditulis sebagai | A B | .




(C) Kesamaan Dua Vektor
1.      Dua vektor adalah sama jika kedua-duanya mempunyai magnitud dan arah yang sama. Misalnya,
                a ˜ = b ˜ Jika (a) | a ˜ |=| b ˜ |,         (b) arah  a ˜  dan  b ˜  sama.
2.      Vektor negatif bagi AB  ialah vektor yang mempunyai magnitud yang sama dengan AB  tetapi dalam arah yang bertentangan dengan arah AB . Vektor negatif bagi AB  boleh ditulis sebagai AB  atau  BA  . Vektor negatif bagi a ˜  ditulis sebagai a ˜ .

3.      Vektor sifar, 0 ˜  , ialah vektor yang mempunyai magnitud sifar dan arahnya tidak tertakrif.


Bab 15 Vektor

4.4 Pengungkapan Suatu Vektor sebagai Gabungan Linear Vektor yang lain

1. Hukum Poligon Vektor

PQ = PU + UT + TS + SR + RQ

2. Untuk membuktikan dua vector adalah selari, kita mesti mengungkapkan salah satu vector sebagai kuantiti scalar kepada vector yang lain.

Misalnya, AB =k CD  atau  CD =h AB . 

3. Untuk membuktikan titik P, Q dan R adalah segaris, buktikan salah satu daripada berikut: 
   PQ =k QR  atau  QR =h PQ    PR =k PQ  atau  PQ =h PR    PR =k QR  atau  QR =h PR



Contoh:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah segiempat selari ABCD. Titik Q terletak pada garis lurus AB dan titik S terletak pada garis lurus DC. Garis lurus AS dipanjangkan ke titik Tdengan keadaan AS = 2ST.

Diberi bahawa AQ : QB = 3 : 1, DS : SC = 3 : 1, AQ =6 a ˜  dan  AD = b ˜   
(a) Ungkapan dalam sebutan a ˜  dan  b ˜ : 
     (i)  AS                (ii)  QC
(b) Seterusnya, tunjukkan titik Q, C dan T adalah segaris.

Penyelesaian:
(a)(i)
AS = AD + DS     = AD + AQ AQ:QB= 3:1 dan  DS:SC= 3:1 AQ = DS     = b ˜ +6 a ˜     =6 a ˜ + b ˜

(a)(ii)
QC = QB + BC      = 1 3 AQ + AD AQ:QB= 3:1 AQ QB = 3 1 QB= 1 3 AQ bagi segiempat selari,  BC//AD, BC=AD       = 1 3 ( 6 a ˜ )+ b ˜      =2 a ˜ + b ˜


(b)
QT = QA + AT       =  QA + 3 2 AS AS=2ST AT=3ST= 3 2 AS      =6 a ˜ + 3 2 ( 6 a ˜ + b ˜ )       =3 a ˜ + 3 2 b ˜        = 3 2 ( 2 a ˜ + b ˜ )        = 3 2 QC Maka Q, C dan T adalah segaris.


Bab 15 Vektor

4.2 Pendaraban Vektor dengan Kuantiti Skalar dan Keselarian Vektor

1. Hasil darab vektor a ˜ dengan suatu scalar k ialah k a ˜ .
2. Jika b ˜ =k a ˜ , vector b ˜ adalah searah dengan vector a ˜ dan magnitudnya, | b ˜ |=k| a ˜ |.
3. Vektor a ˜  adalah selari dengan vektor b ˜  jika dan hanya jika  b ˜ =λ a ˜ , dengan keadaan λialah pemalar.
4. Jika vektor a ˜  dan  b ˜ tidak selari dan h a ˜ =k b ˜ , maka h = 0 dan k = 0.

Contoh 1:
Jika vektor a ˜  dan  b ˜ tidak selari dan ( k7 ) a ˜ =( 5+h ) b ˜  , cari nilai k dan nilai h.

Penyelesaian:
Vektor a ˜  dan  b ˜ tidak selari, maka
k – 7 = 0 → k= 7
5 + h = 0 → h = –5

Bab 15 Vektor

4.3 Penambahan dan Penolakan Vektor

4.3.1 Penambahan Vektor
1. Penambahan dua vektor, u ˜  dan  v ˜ , boleh ditulis sebagai u ˜ + v ˜ . Hasil tambah ini merupakan suatu vektor, yang dinamakan vector paduan.
2. Apabila dua vektor yang sama ditambah, vector paduan yang terhasil mempunyai
(a) arah yang sama dengan kedua-dua vektor itu,
(b) magnitude yang sama dengan hasil tambah magnitud kedua-dua vektor itu.


(A) Penambahan Vektor Paduan Dua Vektor Tidak Selari
1. Penambahan dua vektor yang tidak selari, u ˜  dan  v ˜ , boleh ditunjukkan dengan dua hukum.

(a)  Hukum Segitiga
Vektor paduan u ˜ + v ˜  yang terhasil ialah AC.


(b)  Hukum Segiempat Selari
Vektor paduan u ˜ + v ˜  yang terhasil ialah AC.



Contoh 1:

Cari
(a) vector paduan hasil tambah bagi dua vector selari yang di atas.
(b) magnitud bagi vector paduan.

Penyelesaian:
(a)
Vektor paduan
= hasil tambah dua vektor
= PQ + RS  

(b)
Magnitud bagi vector paduan

=| PQ |+| RS | =| 6 2 + 8 2 |+| 6 2 + 8 2 | =10+10 =20 units  



Contoh 2:

Rajah di atas menunjukkan suatu segiempat selari OABC.M adalah titik tengah BC. Vektor OA = a ˜  dan  OC = c ˜ . Cari setiap vektor yang berikut dalam sebutan a ˜  dan  c ˜ .
( a )  OB ( b )  MB ( c )  OM

Penyelesaian:
(a)
OB = OA + AB Hukum segitiga      = OA + OC AB = OC      = a ˜ + c ˜

(b)
MB = 1 2 CB M adalah titik tengah CB      = 1 2 OA      = 1 2 a ˜


(c)
OM = OC + CM Hukum segitiga       = OC + MB CM = MB       = c ˜ + 1 2 a ˜


Bab 15 Vektor

4.3 Penambahan dan Penolakan Vektor

4.3.2 Penolakan Dua Vektor
Penolakan vektor b ˜ dari vektor a ˜ ditulis sebagai a ˜ b ˜ . Operasi ini juga merupakan penambahan vektor a ˜ dengan vektor negative b ˜ . Oleh itu a ˜ b ˜ = a ˜ +( b ˜ ).

Contoh 1:

Dalam rajah di atas, vektor OP = p ˜ OR = r ˜  dan Q membahagikan PR dalam nisbah 2: 3. Cari vektor-vektor berikut dalam sebutan p ˜  dan  r ˜ ,
( a )  PR ( b )  OQ ( c )  QM  jika M ialah titik tengah OR.

Penyelesaian:
(a)
PR = PO + OR      = OP + OR      = p ˜ + r ˜

(b)
OQ = OP + PQ      = OP + 2 5 PR      = p ˜ + 2 5 ( p ˜ + r ˜ )      = p ˜ 2 5 p ˜ + 2 5 r ˜      = 3 5 p ˜ + 2 5 r ˜

(c)
QM = QO + OM      = OQ + OM      = OQ + 1 2 OR      =( 3 5 p ˜ + 2 5 r ˜ )+ 1 2 r ˜      = 3 5 p ˜ 2 5 r ˜ + 1 2 r ˜      = 3 5 p ˜ + 1 10 r ˜


Bab 15 Vektor

4.7 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 2:
Diberi AB =( 10 14 ),  OB =( 4 6 ), dan  CD =( m 7 ), carikan
(a)  koordinat A,
(b)  vektor unit dalam arah OA
(c)  nilai m jika CD selari dengan AB.       

Penyelesaian:  
(a)
AB =( 10 14 ),  OB =( 4 6 ) CD =( m 7 ) AB = AO + OB ( 10 14 )=( x y )+( 4 6 ) ( x y )=( 10 14 )( 4 6 ) AO =( 6 8 ) OA =( 6 8 ) A=( 6,8 )

(b)
| OA |= ( 6 ) 2 + ( 8 ) 2 | OA |= 100 =10 the unit vector in the direction of  OA = OA | OA | = ( 6 8 ) 10 = 1 10 ( 6 8 ) =( 3 5 4 5 )

(c)
Given  CD  parallel  AB   CD =k AB ( m 7 )=k( 10 14 ) ( m 7 )=( 10k 14k )
7 = 14k
k= ½
m = 10k = 10 (½) = 5

Bab 15 Vektor

4.6 Vektor, SPM Praktis (Kertas 1) 
Soalan 5:
  p=5 a ˜ 7 b ˜   q=2 a ˜ +3 b ˜   r=( h1 ) a ˜ +( h+k ) b ˜   dengan keadaan h dan k adalah pemalar  
Gunakan maklumat di atas untuk mencari nilai h dan nilai k apabila r= 2p – 3q.

Penyelesaian:
r=2p3q ( h1 ) a ˜ +( h+k ) b ˜ =2( 5 a ˜ 7 b ˜ )3( 2 a ˜ +3 b ˜ ) ( h1 ) a ˜ +( h+k ) b ˜ =10 a ˜ 14 b ˜ +6 a ˜ 9 b ˜ ( h1 ) a ˜ +( h+k ) b ˜ =16 a ˜ 23 b ˜

Bandingkan vektor,
h– 1 = 16
h = 17
h+ k = –23
17 + k = –23
k = –40


Soalan 6:
Titik-titik P, Qdan R adalah segaris. Diberi bahawa PQ =4 a ˜ 2 b ˜  dan  QR =3 a ˜ +( 1+k ) b ˜ , dengan keadaan kialah pemalar. Cari
(a)  nilai k,
(b)  nisbah PQ : QR.

Penyelesaian:
(a)
Jika P, Q dan R adalah segaris, PQ =m QR 4 a ˜ 2 b ˜ =m[ 3 a ˜ +( 1+k ) b ˜ ] 4 a ˜ 2 b ˜ =3m a ˜ +m( 1+k ) b ˜ Bandingan vektor: a ˜ : 4=3m         m= 4 3 b ˜ : 2=m( 1+k ) 2= 4 3 ( 1+k ) 1+k= 6 4 k= 3 2 1 k= 5 2

(b)
PQ =m QR PQ = 4 3 QR PQ QR = 4 3 PQ:QR=4:3

Soalan 7:
Diberi bahawa x ˜ =3 i ˜ +m j ˜  dan  y ˜ =4 i ˜ 3 j ˜ ,, cari nilai m jika vektor x ˜  selari dengan vektor  y ˜ .

Penyelesaian:
Jika vektor  x ˜  selari dengan vektor  y ˜ x ˜ =h y ˜ ( 3 i ˜ +m j ˜ )=h( 4 i ˜ 3 j ˜ ) 3 i ˜ +m j ˜ =4h i ˜ 3h j ˜ Bandingkan vektor: i ˜ :  3=4h         h= 3 4 j ˜ :  m=3h         m=3( 3 4 )= 9 4