1.4.4 Janjang, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 4:
Sebutan ketiga dan keenam suatu janjang geometri masing-masing ialah 24 dan $7\frac{1}{9}$ . Cari
(a) Sebutan pertama dan nisbah sepunya,
(b) Hasil tambah lima sebutan pertama,
(c) Hasil tambah n sebutan pertama dengan n yang cukup besar hingga rⁿ ≈ 0.

Penyelesaian:
(a)
$\begin{array}{l}\text{Diberi }{T}_3=24\\ a{r}^2=24\mathrm{...........}\left(1\right)\\ \text{Diberi }{T}_6=7\frac{1}{9}\\ a{r}^5=\frac{64}{9}\mathrm{...........}\left(2\right)\\ \frac{\left(2\right)}{\left(1\right)}:\frac{a{r}^5}{a{r}^2}=\frac{\frac{64}{9}}{24}\\ r^3=\frac{8}{27}\\ r=\frac{2}{3}\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{Gantikan }r=\frac{2}{3}\text{ ke dalam }\left(1\right)\\ a{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=24\\ a\left(\frac{4}{9}\right)=24\\ a=24\times \frac{9}{4}\\ =54\\ \text{Jadi, sebutan pertama ialah 54 dan}\\ \text{nisbah sepunya ialah }\frac{2}{3}.\end{array}$

(b)
$\begin{array}{l}{S}_5=\frac{54\left[1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^5\right]}{1-\frac{2}{3}}\\ =54\times \frac{211}{243}\times \frac{3}{1}\\ =140\frac{2}{3}\\ \\ \text{Jadi, hasil tambah lima sebutan pertama }\\ \text{ialah }140\frac{2}{3}.\end{array}$

(c)
$\begin{array}{l}\text{Apabila }-1<r<1\text{ dan }n\text{ menjadi }\\ \text{cukup besar sehingga }{r}^n\approx 0,\\ \text{maka }{S}_n=\frac{a}{1-r}\\ =\frac{54}{1-\frac{2}{3}}\\ =162\end{array}$

Jadi, hasil tambah n sebutan pertama dengan n yang cukup besar sehingga rⁿ ≈ 0 ialah 162.