Home › 2020 › May › Page 23

Monthly Archives: May 2020

3.6.5 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Posted on by

Soalan 10 (3 markah):
Rajah menunjukkan graf y = a (x – p)2 + q, dengan keadaan a, p dan q ialah pemalar. Garis lurus y = –8 ialah tangen kepada lengkung pada titik H.

Rajah

(a) Nyatakan koordinat H.
(b) Cari nilai a.

Penyelesaian:
(a)
Koordinat x bagi H = −1+7 2 = 6 2 =3 Maka, koordinate bagi H=( 3,−8 ).

(b)
y=a ( x−p ) 2 +q y=a ( x−3 ) 2 +( −8 ) y=a ( x−3 ) 2 −8 ......... ( 1 ) Gantikan ( 7,0 ) ke dalam ( 1 ): 0=a ( 7−3 ) 2 −8 0=16a−8 16a=8 a= 1 2



Soalan 11 (3 markah):
Faizal mempunyai sekeping papan lapis berbentuk segi empat tepat yang berukuran 3x meter panjang dan 2x meter lebar. dia memotong sebahagian daripada papan lapis itu kepada bentuk segi empat sama yang bersisi x meter untuk membuat permukaan meja.
Cari julat nilai x jika luas papan lapis yang tinggal adalah sekurang-kurangnya (x2 + 4) meter2.

Penyelesaian:


Luas papan berlapis – luas segi empat sama ≥ (x2 + 4)
3x(2x) – x2 ≥ x2 + 4
6x2 – x2 – x2 ≥ 4
4x2 ≥ 4
x2 – 1 ≥ 0
(x + 1)(x – 1) ≥ 0
x ≤ –1 or x ≥ 1
Maka, x ≥ 1 (panjang > 0)




Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on by

Soalan 7 (4 markah):
(a) Diberi bahawa satu dari punca-punca bagi persamaan kuadratik x2 + (p +3)x – p2 = 0, dengan keadaan p ialah pemalar, adalah negatif kepada yang satu lagi.
Cari nilai bagi hasil darab punca.

(b) Diberi bahawa persamaan kuadratik mx2 – 5nx + 4m = 0, dengan keadaan m dan n ialah pemalar, mempunyai dua punca yang sama.
Cari m : n.

Penyelesaian:
(a)
x 2 +( p+3 )x– p 2 =0 a=1, b=p+3, c=− p 2 Punca 1=α, Punca 2=−α HTP=− b a α+( −α )=− ( p+3 ) 1 −( p+3 )=0 p+3=0 p=−3 HDP= c a = − p 2 1 =− ( −3 ) 2 =−9

(b)
m x 2 −5nx+4m=0 a=m, b=−5n, c=4m b 2 =4ac ( −5n ) 2 =4( m )( 4m ) 25 n 2 =16 m 2 m 2 n 2 = 25 16 ( m n ) 2 = ( 5 4 ) 2 m n = 5 4 m:n=5:4

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on by

Soalan 5 (3 markah):
Diberi bahawa lengkung y = (p – 2)x2 – x + 7, dengan keadaan p ialah pemalar, bersilang dengan garis lurus y = 3x + 5 pada dua titik.
Cari julat nilai p.

Penyelesaian:
y=( p−2 ) x 2 −x+7 ......... ( 1 ) y=3x+5 ........................... ( 2 ) Gantikan ( 1 ) ke dalam ( 2 ): ( p−2 ) x 2 −x+7=3x+5 ( p−2 ) x 2 −4x+2=0 a=( p−2 ), b=−4, c=2 b 2 −4ac>0 ( −4 ) 2 −4( p−2 )( 2 )>0 16−8p+16>0 −8p>−32 8p<32 p<4



Soalan 6 (3 markah):
Diberi bahawa persamaan kuadratik hx2 – 3x + k = 0, dengan keadaan h dan k ialah pemalar, mempunyai punca-punca β dan 2β.
Ungkapkan h dalam sebutan k.

Penyelesaian:
h x 2 −3x+k=0 a=h, b=−3, c=k HTP=− b a =− ( −3 ) h = 3 h HDP= c a = k h Diberi punca-punca=β dan 2β. HTP=β+2β=3β;  HDP=β( 2β )=2 β 2 3 h =3β β= 1 h  .............. ( 1 ) k h =2 β 2  ........... ( 2 ) Gantikan ( 1 ) ke dalam ( 2 ): k h =2 ( 1 h ) 2 k h = 2 h 2 h 2 h = 2 k h= 2 k

1.5.8 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Posted on by

Soalan 22 (3 markah):
Rajah menunjukkan graf bagi fungsi f : x → |1 – 2x| untuk domain –2 ≤ x ≤ 4.

Rajah

Nyatakan
(a) objek bagi 7,
(b) imej bagi 3,
(c) domain bagi 0 ≤ f(x) ≤ 5.

Penyelesaian:
(a)
Objek bagi 7 ialah 4.

(b)
f (x) = |1 – 2x|
f (3) = |1 – 2(3)|
= |1 – 6|
= |–5|
= 5

Imej bagi 3 ialah 5.

(c)
|1 – 2x| = 5
1 – 2x = ±5
Diberi apabila f(x) = 5, x = –2.

Apabila f(x) = –5
1 – 2x = –5
2x = 6
x = 3

Domain: –2 ≤ x ≤ 3.



Soalan 23 (4 markah):
Diberi fungsi g : x → 2x – 8, cari
( a )  g −1 ( x ), ( b ) nilai p dengan keadaan  g 2 ( 3p 2 )=30.

Penyelesaian:
(a)
Katakan y=g( x ) =2x−8 2x−8=y  2x=y+8    x= y+8 2 Maka,  g −1 ( x )= x+8 2

(b)
g( x )=2x−8 g 2 ( x )=g[ g( x ) ]  =g( 2x−8 )  =2( 2x−8 )−8  =4x−16−8  =4x−24 g 2 ( 3p 2 )=30 4( 3p 2 )−24=30 6p=54 p=9

7.3.5 Statistik, SPM Praktis (Kertas 1)

Posted on by

Soalan 10 (4 markah):
Satu set data terdiri daripada 2, 3, 4, 5 dan 6. Setiap nombor didarab dengan m dan ditambah dengan n, dengan keadaan m dan n adalah integer. Diberi bahawa min baharu ialah 17 dan sisihan piawai baharu ialah 4.242.
Cari nilai m dan nilai n.

Penyelesaian:

∑ x =2+3+4+5+6=20 ∑ x 2 = 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 =90 Min= 20 5 =4 Sisihan piawai= ∑ x 2 n − ( x ¯ ) 2   = 90 5 − 4 2 =2 Min baharu=17 4m+n=17 .......... ( 1 ) Sisihan piawai baharu=4.242 m× 2 =4.242 m= 4.242 2 =2.9995≈3 Gantikan m=3 ke dalam ( 1 ): 4( 3 )+n=17 n=5


Soalan 11 (4 markah):
Jadual menunjukkan taburan markah bagi 40 orang murid dalam ujian Matematik Tambahan. Bilangan murid bagi selang kelas 40 – 59 tidak dinyatakan.

Jadual

(a) Nyatakan kelas mod.
(b) Puan Zainon, guru mata pelajaran, berhasrat untuk memberi ganjaran kepada sepuluh murid terbaik. Murid-murid yang mencapai markah minimum dalam kedudukan sepuluh terbaik akan dipertimbangkan untuk menerima ganjaran tersebut. Elina memperoleh 74 markah.
Adakah Elina layak dipertimbangkan untuk menerima ganjaran itu? Beri sebab anda.

Penyelesaian:
(a)
4 + 10 + x + 8 + 7 = 40
x + 29 = 40
x = 11

Kelas mod = 40 – 59

(b)
Kedudukan sepuluh terbaik adalah T 31 ,  T 32 ,  T 33 , ...  T 40 T 31 =59.5+ 5 8 ( 79.5−59.5 )     =59.5+12.5     =72 Murid perlu mencapai markah minimum 72. Elina layak dipertimbangkan untuk menerima ganjaran sebab markahnya > 72.

10.4.10 Penyelesaian Segitiga, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on by

Soalan 10 (10 markah):
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima.
Rajah menunjukkan sisi empat PQRS pada suatu satah mengufuk.


VQSP ialah sebuah piramid dengan keadaan PQ = 12 m dan V adalah 5 m tegak di atas P.
Cari
(a) ∠QSR,
(b) panjang, dalam m, bagi QS,
(c) luas, dalam m2, bagi satah condong QVS.


Penyelesaian: 
(a)
sin∠QSR 20.5 = sin 64 o 22 sin∠QSR= sin 64 o 22 ×20.5 sin∠QSR=0.8375 ∠QSR= 56 o 52'


(b)
∠QRS= 180 o − 64 o − 56 o 52'   = 59 o 8' QS sin 59 o 8' = 22 sin 64 o QS= 22 sin 64 o ×sin 59 o 8' QS=21.01 m


(c)

Q V 2 =P Q 2 +V P 2 QV= 12 2 + 5 2 QV=13 m S V 2 =P S 2 +V P 2 SV= 10 2 + 5 2 SV= 125  m QS=21.01 m 21.01 2 = 13 2 + ( 125 ) 2 −2( 13 )( 125 )kosθ 26( 125 )kosθ=169+125−441.42 kosθ= 169+125−441.42 26( 125 ) kosθ=−0.5071 θ= 120 o 28' Luas Δ QVS = 1 2 ×13× 125 ×sin 120 o 28' =62.64  m 2


10.4.9 Penyelesaian Segitiga, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on by

Soalan 9 (10 markah):
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima.
Rajah 8 menunjukkan prisma lutsinar dengan tapak PQRS berbentuk segi empat tepat. Permukaan condong PQUT ialah segi empat sama dengan sisi 12 cm dan permukaan condong RSTU ialah segi empat tepat. PTS ialah keratan rentas seragam bagi prisma itu. QST ialah satah berwarna hijau di dalam prisma itu.
Diberi bahawa ∠PST = 37o dan ∠TPS = 45o.
Cari
(a) panjang, dalam cm, bagi ST,
(b) luas, dalam cm2, satah berwarna hijau.
(c) panjang terdekat, dalam cm, dari titik T ke garis lurus QS.


Penyelesaian:
(a)



ST sin 45 o = 12 sin 37 o ST= 12 sin 37 o ×sin 45 o ST=14.1 cm


(b)
Q T 2 =Q P 2 +P T 2 Q T 2 = 12 2 + 12 2 QT= 12 2 + 12 2 =16.97 cm ∠PTS= 180 o − 45 o − 37 o = 98 o PS sin 98 o = 12 sin 37 o PS= 12 sin 37 o ×sin 98 o PS=19.75 cm Q S 2 =Q P 2 +P S 2 QS= Q P 2 +P S 2 QS= 12 2 + 19.75 2 QS=23.11 cm



Q S 2 =Q T 2 +S T 2 −2( QT )( ST )kos∠QTS 23.11 2 = 16.97 2 + 14.1 2 −2( 16.97 )( 14.1 )kos∠QTS kos∠QTS= 16.97 2 + 14.1 2 − 23.11 2 2( 16.97 )( 14.1 ) kos∠QTS=− 47.28 478.55 ∠QTS= 95.67 o Oleh itu, luas satah berwarna hijau QTS = 1 2 ( 16.97 )( 14.1 )sin 95.67 o =119.05  cm 2


(c)



Katakan panjang terdekat dari titik T ke garis QS ialah h. Luas ΔQTS=119.05 1 2 ( h )( 23.11 )=119.05 h=10.3 cm


11.3.6 Nombor Indeks, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on by

Soalan 6 (10 markah):
Jadual 2 menunjukkan harga dan indeks harga bagi tiga jenis bahan P, Q dan R, yang digunakan dalam penghasilan sejenis mi segera.


(a) Harga bahan Q menokok sebanyak 20% dari tahun 2014 hingga tahun 2016.
(i) Nyatakan nilai x.
(ii) Cari nilai y.

(b) Hitung indeks gubahan bagi kos membuat mi segera pada tahun 2016 berasaskan tahun 2014.

(c) Diberi bahawa indeks gubahan bagi kos membuat mi segera meningkat sebanyak 40% dari tahun 2012 hingga tahun 2016.
(i) Hitung indeks gubahan bagi kos membuat mi segera pada tahun 2014 berasaskan tahun 2012.
(ii) Kos membuat satu pakit mi segera ialah 10 sen dalam tahun 2012.
Cari bilangan maksimum pakit mi segera yang boleh dihasilkan menggunakan peruntukan sebanyak RM80 pada tahun 2016.


Penyelesaian: 
(a)(i)
x = 120

(a)(ii)
P 2016 P 2014 ×100=120 3.00 y ×100=120 y= 3.00 120 ×100 y=2.50


(b)
Indeks gubahan bagi kos membuat mi segera pada tahun 2016 berasaskan tahun 2014,  I ¯ I ¯ = ∑IW ∑W I ¯ = ( 132.8 )( 50 )+( 120 )( 20 )+( 190 )( 1 ) 50+20+1 I ¯ = 9230 71 I ¯ =130


(c)(i)
Diberi  I 2016 I 2012 ×100=140→  I 2016 I 2012 = 140 100 dan  I 2016 I 2014 ×100=130→  I 2016 I 2014 = 130 100 Index gubahan bagi kos membuat mi segera  pada tahun 2014 berasaskan tahun 2012, I ¯ = I 2014 I 2012 ×100 I ¯ = I 2014 I 2016 × I 2016 I 2012 ×100 I ¯ = 100 130 × 140 100 ×100 I ¯ =107.69


(c)(ii)
P 2016 P 2012 ×100=140 P 2016 10 ×100=140 P 2016 = 140×10 100 P 2016 =14 sen bilangan pakit mi segera yang boleh dihasilkan = RM80 RM0.14 =571.4 bilangan maksimum pakit mi segera yang boleh dihasilkan=571.


11.3.5 Nombor Indeks, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on by

Soalan 5 (10 markah):
Jadual 2 menunjukkan maklumat berkaitan empat bahan, J, K, L dan M, yang digunakan dalam pembuatan satu jenis minuman bertenaga.


Kos pengeluaran bagi minuman bertenaga ini ialah RM47600 pada tahun 2017.
(a) Jika harga bahan K pada tahun 2013 ialah RM4.20, cari harganya pada tahun 2017.

(b) Peratus penggunaan bagi beberapa bahan diberikan dalam Jadual 2.
Hitung kos pengeluaran yang sepadan pada tahun 2013.

(c) Kos pengeluaran dijangka meningkat sebanyak 50% dari tahun 2017 ke tahun 2019.
Hitung peratus perubahan dalam kos pengeluaran dari tahun 2013 ke tahun 2019.


Penyelesaian:
(a)
P 2017 P 2013 ×100=120 P 2017 4.20 ×100=120 P 2017 = 4.20 100 ×120 P 2017 =RM5.04


(b)
Peratus penggunaan bagi bahan L =( 100−10−10−50 )% =30% Nombor indeks gubahan bagi kos pengeluaran pada  tahun 2017 berasaskan tahun 2013,  I ¯ I ¯ = ∑IW ∑W I ¯ = ( 140 )( 10 )+( 120 )( 10 )+( 160 )( 30 )+( 90 )( 50 ) 10+10+30+50 I ¯ = 11900 100 I ¯ =119 P 2017 P 2013 ×100=119 47600 P 2013 ×100=119 P 2013 =47600× 100 119 P 2013 =RM40000 Kos pengeluaran pada tahun 2017 ialah RM40000.


(c)
tahun 2013  → +19%  tahun 2017  → +50%  tahun 2019 ∴ Indeks gubahan jangkaan pada tahun 2019  berasaskan tahun 2013,   I ¯ =119× 150 100 =178.5 Peratus perubahan =[ 178.5−100 ]% =78.5%


3.8.9 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on by

Soalan 10 (10 markah):
Rajah menunjukkan lengkung y = 2x2 – 18 dan garis lurus PQ yang merupakan tangen kepada lengkung itu pada titik K.

Diberi bahawa kecerunan garis lurus PQ ialah 4.
(a) Cari koordinat titik K
(b) Hitung luas rantau berlorek.
(c) Apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung, paksi-x dan garis lurus y = h diputarkan melalui 180o pada paksi-y, isi padu kisaran ialah 65π unit3.  Cari nilai h.


Penyelesaian: 
(a)
y=2 x 2 −18 dy dx =4x Kecerunan garis lurus PQ=4 4x=4 x=1 Apabila x=1,  y=2 ( 1 ) 2 −18=−16 Koordinat titik K=( 1,−16 ).


(b)
Pada paksi-x, y=0 ∴2 x 2 −18=0 2 x 2 =18 x 2 =9 x=±3 Lengkung itu memotong paksi-x di titik ( −3,0 ) dan titik ( 3,0 ). Luas rantau berlorek = Luas Δ−Luas rantau yang dibatasi oleh lengkung = 1 2 ( 5−1 )( 16 )− ∫ 1 3 ydx =32− ∫ 1 3 ( 2 x 2 −18 )dx =32−| [ 2 x 3 3 −18x ] 1 3 | =32−| ( 2 ( 3 ) 3 3 −18( 3 ) )−( 2 ( 1 ) 3 3 −18( 1 ) ) | =32−| ( 18−54− 2 3 +18 ) | =32−| −18 2 3 | =32−18 2 3 =13 1 3  unit 2


(c)
Isipadu kisaran=65π π ∫ h 0 x 2 dy =65π π ∫ h 0 ( y 2 +9 )dx =65π← y=2 x 2 −18 x 2 = y 2 +9 [ y 2 4 +9y ] h 0 =65 0−( h 2 4 +9h )=65 − h 2 4 −9h=65 h 2 +36h+260=0 ( h+10 )( h+26 )=0 h=−10   or   h=−26 ( ditolak ) Maka, h=−10