8.5.10 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 10 (8 markah):
Rajah menunjukkan bulatan dan sektor sebuah bulatan dengan pusat sepunya O. Jejari bulatan ialah r cm.

Diberi bahawa panjang lengkok PQ dan lengkok RS masing-masing ialah 2 cm dan 7 cm. QR = 10 cm.
[Guna θ = 3.142]
Cari
(a) nilai r dan nilai θ,
(b) luas, dalam cm², kawasan yang berlorek.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} Panjang lengkok P Q = 2 cm \\ r θ = 2 ................. (1) \\ Panjang lengkok R S = 7 cm \\ (r + 10) θ = 7 \\ r θ + 10 θ = 7 ................. (2) \\ Gantikan (1) ke dalam (2) : \\ 2 + 10 θ = 7 \\ 10 θ = 5 \\ θ = \frac{5}{10} \\ θ = 0.5 rad \\ Daripada (1) : \\ Apabila θ = 0.5 rad, \\ r \times 0.5 = 2 \\ r = 4 \end{array}

(b)

\begin{array}{l} O S = O R = 4 + 10 = 14 cm \\ Luas kawasan yang berlorek \\ = luas Δ O R S - luas O P Q \\ = (\frac{1}{2} \times 14^{2} \times \sin 0.5 rad) - (\frac{1}{2} \times 4^{2} \times 0.5) \\ = 42.981 {cm}^{2} \end{array}

8.5.9 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 9 (7 markah):
Persatuan matematik SMK Mulia menganjurkan satu pertandingan mencipta logo untuk persatuan itu.

Rajah 3 menunjukkan logo berbentuk bulatan yang dicipta oleh Adrian. Ketiga-tiga kawasan berwarna biru adalah kongruen. Diberi bahawa perimeter bagi kawasan berwarna biru ialah 20π cm.
[Guna π = 3.142]
Cari
(a) jejari, dalam cm, bagi logo itu kepada integer terhampir,
(b) luas, dalam cm², bagi kawasan yang berwarna kuning.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} 6 lengkok = 20 π \\ 6 j θ = 20 π \\ 6 j [60^{o} \times \frac{π}{{180^{o}}^{3}}] = 20 π \\ 2 π j = 20 π \\ j = 10 cm \end{array}

(b)

\begin{array}{l} Luas kawasan berwarna kuning \\ = 3 [luas segi tiga O A B] - 6 [luas tembereng] \\ = 3 [\frac{1}{2} a b \sin C] - 6 [\frac{1}{2} j^{2} (θ - \sin θ)] \\ = 3 [\frac{1}{2} (10) (10) \sin 120^{o}] \\ - 6 [\frac{1}{2} {(10)}^{2} (θ - \sin θ)] \\ = 3 (43.3013) - 6 [50 (1.0473 - \sin 1.0473)] \\ \begin{array}{l} tukar kepada mod rad \\ θ = 60^{o} \times \frac{3.142}{180^{o}} = 1.0473 rad \end{array} \\ = 129.9039 - 6 (9.0612) \\ = 129.9039 - 54.3672 \\ = 75.54 {cm}^{2} \end{array}

6.8.10 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 10 (7 markah):
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima.
Rajah 3 menunjukkan kedudukan bagi bandar M dan bandar N yang dilukis pada suatu satah Cartes.

PQ ialah jalan raya lurus dengan keadaan jarak dari bandar M dan bandar N ke mana-mana titik pada jalan raya adalah sentiasa sama.
(a) Cari persamaan bagi PQ.

(b) Satu lagi jalan raya lurus, ST dengan persamaan y = 2x + 7 akan dibina.
(i) Lampu isyarat akan dipasang di persimpangan kedua-dua jalan raya itu.
Cari koordinat bagi lampu isyarat itu.
(ii) Antara dua jalan raya itu, yang manakah melalui bandar L

(- \frac{4}{3}, 1) ?

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} T (x, y) adalah satu titik pada P Q . \\ T M = T N \\ \sqrt{[x - {(- 4)}^{2}] + {[y - (- 1)]}^{2}} = \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} \\ \sqrt{{(x + 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} = \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} \\ {(x + 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} \\ x^{2} + 8 x + 16 + y^{2} + 2 y + 1 \\ = x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} - 2 y + 1 \\ 8 x + 2 y + 17 + 4 x + 2 y - 5 = 0 \\ 12 x + 4 y + 12 = 0 \\ 3 x + y + 3 = 0 \\ Persamaan P Q : 3 x + y + 3 = 0 \end{array}

(b)(i)

\begin{array}{l} y = 2 x + 7 ............ (1) \\ 3 x + y + 3 = 0 ............ (2) \\ Gantikan (1) ke dalam (2) : \\ 3 x + 2 x + 7 + 3 = 0 \\ 5 x = - 10 \\ x = - 2 \\ Apabila x = - 2, \\ D a r i (1), \\ y = 2 (- 2) + 7 = 3 \\ Koordinat bagi lampu isyarat = (- 2, 3) . \end{array}

(b)(ii)

\begin{array}{l} L (- \frac{4}{3}, 1) : x = - \frac{4}{3}, y = 1 \\ Persamaan S T : y = 2 x + 7 \\ Sebelah kiri: y = 1 \\ Sebelah kanan: 2 (- \frac{4}{3}) + 7 = 4 \frac{1}{3} \\ Oleh itu, jalan raya y = 2 x + 7 tidak \\ melalui L . \\ Persamaan P Q : 3 x + y + 3 = 0 \\ Sebelah kiri: \\ 3 x + y + 3 = 3 (- \frac{4}{3}) + 1 + 3 \\ = - 4 + 4 = 0 \\ Sebelah kanan = 0 \\ Sebelah kiri = Sebelah kanan \\ Oleh itu, jalan raya 3 x + y + 3 = 0 \\ melalui L . \end{array}

6.8.9 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 9 (6 markah):
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima.
Rajah 1 menunjukkan segi tiga OCD.

Rajah 1

(a) Diberi luas segi tiga OCD ialah 30 unit², cari nilai h.
(b) Titik Q (2, 4) terletak pada garis lurus CD.
(i) Cari CQ : QD.
(ii) Titik P bergerak dengan keadaan PD = 2 PQ.
Cari persamaan lokus P.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} Diberi luas △ O C D = 30 \\ \frac{1}{2} | \begin{array}{l} 0 h - 6 \\ 0     2      8 \end{array} \begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array} | = 30 \\ | (0) (2) + (h) (8) + (- 6) (0) - (0) (h) - (2) (- 6) - (8) (0) | = 60 \\ | 0 + 8 h + 0 - 0 + 12 - 0 | = 60 \\ | 8 h + 12 | = 60 \\ 8 h + 12 = 60 \\ 8 h = 48 \\ h = 6 \\ atau \\ 8 h + 12 = - 60 \\ 8 h = - 72 \\ h = - 9 (a b a i k a n) \end{array}

(b)(i)

\begin{array}{l} [\frac{6 (m) + (- 6) (n)}{m + n}, \frac{2 (m) + (8) (n)}{m + n}] = (2, 4) \\ \frac{6 m - 6 n}{m + n} = 2 \\ 6 m - 6 n = 2 m + 2 n \\ 4 m = 8 n \\ \frac{m}{n} = \frac{8}{4} \\ \frac{m}{n} = \frac{2}{1} \\ \frac{2 m + 8 n}{m + n} = 4 \\ 2 m + 8 n = 4 m + 4 n \\ 2 m = 4 n \\ \frac{m}{n} = \frac{4}{2} \\ \frac{m}{n} = \frac{2}{1} \\ Oleh itu, C Q = Q D = 2 : 1 \end{array}

(b)(ii)

\begin{array}{l} P D = 2 P Q \\ \sqrt{{(x - 6)}^{2} + {(y - 2)}^{2}} = 2 \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2}} \\ {(x - 6)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4 [{(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2}] \\ x^{2} - 12 x + 36 + y^{2} - 4 y + 4 = 4 [x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} - 8 y + 16] \\ x^{2} - 12 x + 36 + y^{2} - 4 y + 4 = 4 x^{2} - 16 x + 16 + 4 y^{2} - 32 y + 64 \\ Persamaan lokus P : \\ 3 x^{2} + 3 y^{2} - 4 x - 28 y + 40 = 0 \end{array}

9.8.5 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 9 (6 markah):
Rajah 4 menunjukkan pandangan hadapan sebahagian daripada laluan ‘roller coaster’ di sebuah taman replika.

Bahagian lengkung laluan ‘roller coaster’ itu diwakili oleh persamaan

y = \frac{1}{64} x^{3} - \frac{3}{16} x^{2}

, dengan titik A sebagai asalan.
Cari jarak tegak terpendek, dalam m, dari laluan itu ke aras tanah.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} y = \frac{1}{64} x^{3} - \frac{3}{16} x^{2} ............... (1) \\ \frac{d y}{d x} = 3 (\frac{1}{64}) x^{2} - 2 (\frac{3}{16}) x^{1} \\ = \frac{3}{64} x^{2} - \frac{3}{8} x \\ Pada titik pusingan, \frac{d y}{d x} = 0 \\ \frac{3}{64} x^{2} - \frac{3}{8} x = 0 \\ x (\frac{3}{64} x - \frac{3}{8}) = 0 \\ x = 0 atau \\ \frac{3}{64} x - \frac{3}{8} = 0 \\ \frac{3}{64} x = \frac{3}{8} \\ x = \frac{3}{8} \times \frac{64}{3} \\ x = 8 \\ Gantikan nilai-nilai x ke dalam (1): \\ Apabila x = 0, \\ y = \frac{1}{64} {(0)}^{3} - \frac{3}{16} {(0)}^{2} \\ y = 0 \\ Apabila x = 8, \\ y = \frac{1}{64} {(8)}^{3} - \frac{3}{16} {(8)}^{2} \\ y = - 4 \\ Oleh itu, titik-titik pusingan : (0, 0) dan (8, - 4) \end{array}

\begin{array}{l} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{64} x^{2} - \frac{3}{8} x \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 2 (\frac{3}{64}) x - \frac{3}{8} \\ = \frac{3}{32} x - \frac{3}{8} \\ Apabila x = 0, \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{3}{32} (0) - \frac{3}{8} \\ = - \frac{3}{8} (< 0) \\ (0, 0) ialah titik maksimum . \\ Apabila x = 8, \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{3}{32} (8) - \frac{3}{8} \\ = \frac{3}{8} (> 0) \\ (8, - 4) ialah titik minimum . \\ Jarak tegak terpendek dari laluan ke aras tanah \\ adalah pada titik minimum . \\ Jarak tegak terpendek \\ = 5 - 4 \\ = 1 m \end{array}

4.2.6 SPM Praktis, Persamaan Serentak

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 10 (5 markah):
Selesaikan persamaan serentak berikut:
x – 3y = 1,
x²+ 3xy + 9y²= 7

Penyelesaian:

\begin{array}{l} x - 3 y = 1................... (1) \\ x^{2} + 3 x y + 9 y^{2} = 7................... (2) \\ Daripada (1) : x = 3 y + 1................... (3) \\ Gantikan (3) ke dalam (2) : \\ {(3 y + 1)}^{2} + 3 (3 y + 1) y + 9 y^{2} = 7 \\ 9 y^{2} + 6 y + 1 + 9 y^{2} + 3 y + 9 y^{2} - 7 = 0 \\ 27 y^{2} + 9 y - 6 = 0 \\ 9 y^{2} + 3 y - 2 = 0 \\ (3 y - 1) (3 y + 2) = 0 \\ y = \frac{1}{3} atau - \frac{2}{3} \\ Gantikan y ke dalam (3) : \\ Apabila y = \frac{1}{3} \\ x = 3 (\frac{1}{3}) + 1 = 2 \\ Apabila y = - \frac{2}{3} \\ x = 3 (- \frac{2}{3}) + 1 = - 1 \\ Maka, penyelesaian ialah x = 2, y = \frac{1}{3} atau x = - 1, y = - \frac{2}{3} . \end{array}

4.2.5 SPM Praktis, Persamaan Serentak

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 9 (7 markah):
Rajah menunjukkan plan bagi sebuah taman berbentuk segi empat tepat ABCD. Taman itu terdiri daripada sebuah kolam berbentuk semi bulatan ATD dan kawasan berumput ABCDT.

Diberi bahawa DC = 6y meter dan BC = 7x meter, x ≠ y. Luas taman berbentuk segi empat tepat ABCD ialah 168 meter² dan perimeter kawasan berumput ialah 60 meter. Kolam dengan kedalaman seragam mengandungi 15.4 meter³ air.
Dengan menggunakan

π = \frac{22}{7}

, cari kedalaman, dalam meter, air dalam kolam itu.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Luas A B C D = 168 \\ (6 y) (7 x) = 168 \\ 42 x y = 168 \\ x y = 4................... (1) \\ Perimeter kawasan berumput = 60 \\ 6 y + 6 y + 7 x + (\frac{1}{2} \times 2 \times \frac{22^{11}}{7} \times \frac{7 x}{2}) = 60 \\ 12 y + 18 x = 60 \\ 2 y + 3 x = 10................... (2) \\ Daripada (1) : x y = 4 \\ x = \frac{4}{y} ................... (3) \\ Gantikan (3) ke dalam (2): \\ 2 y + 3 (\frac{4}{y}) = 10 \\ 2 y^{2} + 12 = 10 y \\ y^{2} - 5 y + 6 = 0 \\ (y - 2) (y - 3) = 0 \\ y - 2 = 0 \\ y = 2 \\ Atau \\ y - 3 = 0 \\ y = 3 \\ Gantikan nilai-nilai bagi y ke dalam (3): \\ Apabila y = 2 \\ x = \frac{4}{2} = 2 (abaikan, x \neq y) \\ Apabila y = 3 \\ x = \frac{4}{3} \\ Diberi isi padu air = 15.4 \\ \frac{1}{2} (\frac{22}{7}) {(\frac{7 x}{2})}^{2} d = 15.4 \\ \frac{1}{2} (\frac{22}{7}) {[\frac{7 (\frac{4}{3})}{2}]}^{2} d = 15.4 \\ \frac{11}{7} {(\frac{14}{3})}^{2} d = 15.4 \\ \frac{308}{9} d = 15.4 \\ d = 0.45 m \\ Oleh itu, kedalaman air dalam kolam ialah 0 .45 m . \end{array}

1.6.4 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 7 (8 markah):
Diberi bahawa g : x → 2x – 3 dan h : x → 1 – 3x.
(a) Cari
(i) h (5)
(ii) nilai k jika

g (k + 2) = \frac{1}{7} h (5),

(iii) hg(x).
(b) Seterusnya, lakarkan graf y = | hg(x) | untuk –1 ≤ x ≤ 3.
Nyatakan julat bagi y.

Penyelesaian:
(a)(i)

\begin{array}{l} h (x) = 1 - 3 x \\ h (5) = 1 - 3 (5) \\ = - 14 \end{array}

(a)(ii)

\begin{array}{l} g (x) = 2 x - 3 \\ g (k + 2) = \frac{1}{7} h (5) \\ 2 (k + 2) - 3 = \frac{1}{7} (- 14) \\ 2 k + 4 - 3 = - 2 \\ 2 k = - 3 \\ k = - \frac{3}{2} \end{array}

(a)(iii)

\begin{array}{l} g (x) = 2 x - 3, h (x) = 1 - 3 x \\ h g (x) = h (2 x - 3) \\ = 1 - 3 (2 x - 3) \\ = 1 - 6 x + 9 \\ = 10 - 6 x \end{array}

(b)
y = |hg(x)|,
y = |10 – 6x|
Julat bagi y : 0 ≤ y ≤ 16

1.4.6 Janjang, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 6 (7 markah):
Rajah menunjukkan sebahagian daripada dinding berbentuk segi empat tepat yang dicat dengan warna hijau, H, biru, B dan ungu, U secara berselang seli.
Tinggi dinding ialah 2 m. Panjang sisi segi empat tepat berwarna yang pertama ialah 5 cm dan panjang sisi bagi setiap segi empat tepat berwarna berikutnya bertambah sebanyak 3 cm.

Diberi bahawa jumlah segi empat tepat berwarna ialah 54.
(a) Cari
(i) panjang sisi, dalam cm, bagi segi empat tepat berwarna yang terakhir,
(ii) jumlah panjang, dalam cm, dinding yang dicat.
(b) Segi empat tepat berwarna yang ke berapa mempunyai keluasan 28000 cm²?
Seterusnya, nyatakan warna bagi segi empat tepat berkenaan.

Penyelesaian:
(a)
5, 8, 11, …
a = 5, d = 3

(i)
T₅₄ = 1 + (54 – 1)d
= 5 + 53(3)
= 164 cm

(ii)

\begin{array}{l} S_{n} = \frac{n}{2} (a + l) \\ S_{54} = \frac{54}{2} (5 + 164) \\ = 4563 cm \end{array}

(b)
Luas bagi segi empat tepat pertama
= 2 m × 5 cm
= 200 × 5
= 1000 cm

Luas bagi segi empat tepat kedua
= 200 × (5 + 3)
= 1600 cm

Luas bagi segi empat tepat ketiga
= 200 × (5 + 3 + 3)
= 2200 cm

1000, 1600, 2200, …
a = 1000, d = 600
T_n = 28 000
a + (n – 1)d = 28 000
1000 + (n – 1)600 = 28 000
600(n – 1) = 27 000
n – 1 = 45
n = 46

Warna bagi segi empat tepat berkenaan berwarna hijau.

1.4.5 Janjang, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 5 (6 markah):
Hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik, S_n diberi oleh

S_{n} = \frac{3 n (n - 33)}{2} .

Cari
(a) hasil tambah 10 sebutan pertama,
(b) sebutan pertama dan beza sepunya,
(c) nilai q, diberi bahawa sebutan ke-q adalah sebutan positif pertama bagi janjang itu.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} S_{n} = \frac{3 n (n - 33)}{2} \\ S_{10} = \frac{3 (10) (10 - 33)}{2} \\ S_{10} = - 345 \end{array}

(b)

\begin{array}{l} S_{n} = \frac{3 n (n - 33)}{2} \\ S_{1} = \frac{3 (1) (1 - 33)}{2} \\ S_{1} = - 48 \\ T_{1} = S_{1} = - 48 \\ Sebutan pertama, a = T_{1} = - 48 \\ T_{n} = S_{n} - S_{n - 1} \\ T_{2} = S_{2} - S_{1} \\ T_{2} = \frac{3 (2) (2 - 33)}{2} - (- 48) \\ T_{2} = - 45 \\ Beza sepunya, d \\ = T_{2} - T_{1} \\ = - 45 - (- 48) \\ = 3 \end{array}

(c)

\begin{array}{l} Sebutan positif pertama, T_{q} > 0 \\ T_{q} > 0 \\ a + (q - 1) d > 0 \\ - 48 + (q - 1) 3 > 0 \\ - 48 + 3 q - 3 > 0 \\ 3 q > 51 \\ q > 17 \\ Oleh itu, q = 18. \end{array}