6.8.7 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

6.8.7 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 7:
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima.
Rajah di bawah menunjukkan segi tiga PRS. Sisi PR bersilang dengan paksi-y pada titik Q.

(a) Diberi PQ : QR = 2 : 3, cari
(i) koordinat P,
(ii) persamaan garis lurus PS,
(iii) luas, dalam unit², segi tiga PRS.
(b) Titik M bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik R adalah sentiasa dua kali jaraknya dari titik S.
Cari persamaan lokus M.

Penyelesaian:

(a)(i)

$\begin{array}{l} P = (\frac{2 (6) + 3 h}{2 + 3}, \frac{2 (12) + 3 k}{2 + 3}) \\ (0, 6) = (\frac{12 + 3 h}{5}, \frac{24 + 3 k}{5}) \\ \frac{12 + 3 h}{5} = 0 \\ 3 h = - 12 \\ h = - 4 \\ \frac{24 + 3 k}{5} = 6 \\ 3 k = 30 - 24 \\ k = 2 \\ P = (- 4, 2) \end{array}$

(a)(ii)

$\begin{array}{l} m_{P S} = \frac{2 - (- 6)}{- 4 - 2} \\ = - \frac{8}{6} \\ = - \frac{4}{3} \\ Persamaan P S : \\ y - y_{1} = - \frac{4}{3} (x - 2) \\ y - (- 6) = - \frac{4}{3} x + \frac{8}{3} \\ 3 y + 18 = - 4 x + 8 \\ 3 y = - 4 x - 10 \end{array}$

(a)(iii)

$\begin{array}{l} Luas △ P R S \\ = \frac{1}{2} | \begin{array}{l} - 4 2 6 \\ 2 - 612 \end{array} \begin{array}{l} - 4 \\ 2 \end{array} | \\ = \frac{1}{2} | (24 + 24 + 12) - (4 - 36 - 48) | \\ = \frac{1}{2} | 60 - (- 80) | \\ = 70 {unit}^{2} \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} Katakan P = (x, y) \\ M R = 2 M S \\ \sqrt{{(x - 6)}^{2} + {(y - 12)}^{2}} = 2 \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y + 6)}^{2}} \\ {(x - 6)}^{2} + {(y - 12)}^{2} = 4 [{(x - 2)}^{2} + {(y + 6)}^{2}] \\ x^{2} - 12 x + 36 + y^{2} - 24 y + 144 = 4 [x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} + 12 y + 36] \\ x^{2} - 12 x + y^{2} - 24 y + 180 = 4 x^{2} - 16 x + 4 y^{2} + 48 y + 160 \\ 3 x^{2} + 3 y^{2} - 4 x + 72 y - 20 = 0 \end{array}$

4.2.4 SPM Praktis, Persamaan Serentak

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 7:
Diberi perimeter sebuah segi empat tepat ialah 24 cm dan luasnya ialah 35 cm² . Cari panjang dan lebar segi empat tepat itu.

Penyelesaian:
Anggap panjang = x cm dan lebar = y cm.
Diberi perimeter = 24 cm
Maka, 2x + 2y = 24
x + y = 12 ------ (1)

Diberi luas = 112 cm²
Maka, xy = 35 ------ (1)

Dari persamaan (1): y = 12 – x ------ (3)
Ganti (3) ke dalam (2):
x (12 – x) = 35
12x – x² = 35
x² – 12x + 35 = 0
(x – 5)(x – 7) = 0
x = 5, 7

Ganti x = 5 ke dalam (3):
y = 12 – 5 = 7

Ganti x = 7 ke dalam (3):
y = 12 – 7 = 5

Maka,
panjang = 5 cm dan lebar = 7 cm
atau
panjang = 7 cm dan lebar = 5 cm.

Soalan 8:

Dalam rajah di atas, PQRS ialah sekeping kertas berbentuk segi empat tepat dengan luas 112 cm² . STR berbentuk semibulatan digunting daripada kertas itu. Perimeter kertas yang tinggal ialah 52 cm. Dengan menggunakan π = 22/7, hitung nilai-nilai integer x dan y.

Penyelesaian:
Diberi luas PQRS = 112 cm²
Maka, (14x)(2y) = 112
28xy = 112
xy = 4 ------ (1)

Diberi perimeter kertas yang tinggal PSTRQ = 52 cm
PS + QR + PQ + Panjang lengkok STR = 52
2y + 2y + 14x + ½ (2πr) = 52
4y + 14x + (22/7) (7x) = 52
4y + 14x + 22x = 52
4y + 36x = 52
y + 9x = 13 ------ (2)

Dari persamaan (2): y = 13 – 9x ------ (3)

Ganti (3) ke dalam (1):
x (13 – 9x) = 4
13x – 9x² = 4
9x² – 13x + 4 = 0
(x – 1)(9x – 4) = 0
x = 1 atau 4/9 (bukan integer)

Dari (3):
Nilai integer x = 1,
Nilai integer y yang sepadan
= 13 – 9(1)
= 4.

3.7.4 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 6:

Rajah di atas menunjukkan graf lengkung y = x² + x – kx + 5 dan y = 2(x – 3) – 4h yang bersilang pada dua titik pada paksi-x. Cari
(a) nilai k dan nilai h,
(b) nilai minimum bagi kedua-dua lengkung itu.

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} y = x^{2} + x - k x + 5 \\ = x^{2} + (1 - k) x + 5 \\ = {[x + \frac{(1 - k)}{2}]}^{2} - {(\frac{1 - k}{2})}^{2} + 5 \\ paksi simetri bagi graf ini ialah \\ x = - \frac{(1 - k)}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} y = 2 {(x - 3)}^{2} - 4 h \\ paksi simetri bagi graf ini ialah \\ x = 3. \\ Maka, - \frac{1 - k}{2} = 3 \\ - 1 + k = 6 \\ k = 7 \end{array}$

$\begin{array}{l} Gantikan k = 7 ke dalam persamaan \\ y = x^{2} + x - 7 x + 5 \\ = x^{2} - 6 x + 5 \\ Pada paksi - x, y = 0; \\ x^{2} - 6 x + 5 = 0 \\ (x - 1) (x - 5) = 0 \\ x = 1, 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} Pada titik (1, 0) \\ Gantikan x = 1, y = 0 ke dalam graf: \\ y = 2 {(x - 3)}^{2} - 4 h \\ 0 = 2 {(1 - 3)}^{2} - 4 h \\ 4 h = 2 (4) \\ 4 h = 8 \\ h = 2 \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} Lengkung y = x^{2} - 6 x + 5 \\ = {(x - 3)}^{2} - 9 + 5 \\ = {(x - 3)}^{2} - 4 \\ Maka, nilai minimumnya = - 4. \\ Bagi lengkung y = 2 {(x - 3)}^{2} - 8, nilai minimum = - 8. \end{array}$

3.7.3 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 5:
Diberi fungsi kuadratik f(x) = 2x² – px + p mempunyai nilai minimum –18 pada nilai x = 1.

Cari nilai p dan nilai q.
Dengan nilai p dan nilai q yang diperoleh, cari nilai-nilai x di mana graf f(x), memotong paksi-x.
Seterusnya, lakarkan graf bagi f(x).

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} f (x) = 2 x^{2} - p x + q \\ = 2 [x^{2} - \frac{p}{2} x + \frac{q}{2}] \\ = 2 [{(x + \frac{- p}{4})}^{2} - {(\frac{- p}{4})}^{2} + \frac{q}{2}] \\ = 2 [{(x - \frac{p}{4})}^{2} - \frac{p^{2}}{16} + \frac{q}{2}] \\ = 2 {(x - \frac{p}{4})}^{2} - \frac{p^{2}}{2} + q \end{array}$

$\begin{array}{l} Maka, \frac{p}{4} = 1 - - - - - - (1) \\ dan - \frac{p^{2}}{8} + q = - 18 - - - (2) \\ Dari (1), p = 4. \\ Ganti p = 4 ke dalam (2) : \\ - \frac{{(4)}^{2}}{8} + q = - 18 \\ - \frac{16}{8} + q = - 18 \\ q = - 18 + 2 \\ = - 16 \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 16 \\ Memotong paksi- x, f (x) = 0. \\ 2 x^{2} - 4 x - 16 = 0 \\ x^{2} - 2 x - 8 = 0 \\ (x - 4) (x + 2) = 0 \\ x = 4, - 2 \\ Graf f (x) memotong paksi- x di x = - 2 dan x = 4. \end{array}$

(c)

3.6.4 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 7:
Cari julat nilai k jika persamaan kuadratik 3(x² – kx – 1) = k – k² mempunyai dua punca nyata yang berbeza.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} 3 (x^{2} - k x - 1) = k - k^{2} \\ 3 x^{2} - 3 k x - 3 - k + k^{2} = 0 \\ 3 x^{2} - 3 k x + k^{2} - k - 3 = 0 \\ a = 3, b = - 3 k, c = k^{2} - k - 3 \\ Dua punca nyata berbeza . \\ b^{2} - 4 a c > 0 \\ {(- 3 k)}^{2} - 4 (3) (k^{2} - k - 3) > 0 \\ 9 k^{2} - 12 k^{2} + 12 k + 36 > 0 \\ - 3 k^{2} + 12 k + 36 > 0 \\ - k^{2} + 4 k + 12 > 0 \\ k^{2} - 4 k - 12 < 0 \\ (k + 2) (k - 6) < 0 \\ k = - 2, 6 \end{array}$

$Julat nilai k ialah - 2 < k < 6.$

Soalan 8 (4 markah):
Fungsi kuadratik f ditakrifkan oleh f(x) = x² + 4x + h, dengan keadaan h ialah pemalar.
(a) Ungkapkan f(x) dalam bentuk (x + m)² + n, dengan keadaan m dan n ialah pemalar.

(b) Diberi nilai minimum bagi f(x) ialah 8, cari nilai h.

Penyelesaian:
(a)
f(x) = x² + 4x + h
= x² + 4x + (2)²– (2)²+ h
= (x + 2)² – 4 + h

(b)
Diberi nilai minimum bagi f(x) = 8
– 4 + h = 8
h = 12

Soalan 9 (3 markah):
Cari julat nilai x dengan keadaan fungsi kuadratik f(x) = 6 + 5x – x² ialah negatif.

Penyelesaian:
(a)
f(x) < 0
6 + 5x – x²< 0
(6 – x)(x + 1) < 0
x < –1, x > 6

3.6.2 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 5:
Diberi persamaan kuadratik hx² – (h + 2)x – (h – 4) = 0 mempunyai punca-punca yang nyata dan berbeza. Cari julat nilai h.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} Persamaan kuadratik h x^{2} - (h + 2) x - (h - 4) = 0 \\ mempunyai punca-punca yang nyata dan berbeza . \\ Maka, b^{2} - 4 a c > 0 \\ {(- h - 2)}^{2} - 4 (h) (- h + 4) > 0 \\ h^{2} + 4 h + 4 + 4 h^{2} - 16 h > 0 \\ 5 h^{2} - 12 h + 4 > 0 \\ (5 h - 2) (h - 2) > 0 \\ Pekali h^{2} positif, graf melengkung ke bawah \\ (5 h - 2) (h - 2) = 0 \\ h = \frac{2}{5}, 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} Julat nilai h bagi (5 h - 2) (h - 2) >0 ialah \\ h < \frac{2}{5} atau h > 2. \end{array}$

Soalan 6:
Rajah di bawah menunjukkan graf fungsi kuadratik f(x) = (x + 3)² + 2h – 6, dengan keadaan h ialah pemalar.

(a) Nyatakan persamaan paksi simetri bagi lengkung itu.
(b) Diberi nilai minimum bagi fungsi itu ialah 4, cari nilai h.

Penyelesaian:
(a)
Apabila x + 3 = 0
x = –3
Maka, persamaan paksi simetri bagi lengkung itu ialah x = –3.

(b)
Apabila x + 3 = 0, f(x) = 2h – 6
Nilai minimum bagi f(x) ialah 2h – 6.
Maka, 2h – 6 = 4
2h = 10
h = 5

3.6.1 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 3:
Garis lurus y = 5x – 1 tidak bersilang dengan lengkung y = 2x² + x + h. Carikan julat nilai h.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} y = 5 x - 1 ...... (1) \\ y = 2 x^{2} + x + h ...... (2) \\ Gantikan (1) ke dalam (2), \\ 5 x - 1 = 2 x^{2} + x + h \\ 2 x^{2} + x + h - 5 x + 1 = 0 \\ 2 x^{2} - 4 x + h + 1 = 0 \\ b^{2} - 4 a c < 0 \\ {(- 4)}^{2} - 4 (2) (h + 1) < 0 \\ 16 - 8 h - 8 < 0 \\ 8 < 8 h \\ h > 1 \end{array}$

Soalan 4:
Cari nilai maksimum bagi fungsi 5 – x – 2x² , dan nilai x apabila ini berlaku.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} 5 - x - 2 x^{2} \\ = - 2 x^{2} - x + 5 \\ = - 2 [x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{5}{2}] \\ = - 2 [x^{2} + \frac{1}{2} x + {(\frac{1}{4})}^{2} - {(\frac{1}{4})}^{2} - \frac{5}{2}] \\ = - 2 [{(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} - \frac{5}{2}] \\ = - 2 [{(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{41}{16}] \\ = - 2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 5 \frac{1}{8} \end{array}$

$\begin{array}{l} Nilai 5 - x - 2 x^{2} adalah maksimum apabila \\ 2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = 0 \\ x = - \frac{1}{4} \\ Nilai maksimum bagi 5 - x - 2 x^{2} ialah 5 \frac{1}{8} . \end{array}$

2.6.5 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 5:
Diberi α dan β adalah punca-punca persamaan kuadratik x (x – 3) = 2k – 4, dengan keadaan k ialah pemalar.

$\begin{array}{l} (a) Cari julat nilai jika α \neq β . \\ (b) Diberi \frac{α}{2} dan \frac{β}{2} adalah punca-punca bagi satu lagi persamaan kuadratik \\ 2 x^{2} + t x - 4 = 0, dengan keadaan t ialah pemalar, cari nilai t dan nilai k . \end{array}$

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} (a) \\ x (x - 3) = 2 k - 4 \\ x^{2} - 3 x + 4 - 2 k = 0 \\ a = 1, b = - 3, c = 4 - 2 k \\ b^{2} - 4 a c > 0 \\ {(- 3)}^{2} - 4 (1) (4 - 2 k) > 0 \\ 9 - 16 + 8 k > 0 \\ 8 k > 7 \\ k > \frac{7}{8} \end{array}$

$\begin{array}{l} (b) \\ Dari persamaan x^{2} - 3 x + 4 - 2 k = 0, \\ α + β = - \frac{b}{a} \\ = - \frac{- 3}{1} \\ = 3............. (1) \\ α β = \frac{c}{a} \\ = \frac{4 - 2 k}{1} \\ = 4 - 2 k ............. (2) \\ Dari persamaan 2 x^{2} + t x - 4 = 0, \\ \frac{α}{2} + \frac{β}{2} = - \frac{t}{2} \\ α + β = - t ............. (3) \\ \frac{α}{2} \times \frac{β}{2} = - \frac{4}{2} \\ α β = - 8............. (4) \\ Gantikan (1) = (3), \\ 3 = - t \\ t = - 3 \\ Gantikan (2) = (4), \\ 4 - 2 k = - 8 \\ 4 + 8 = 2 k \\ k = 6 \end{array}$

1.5.7 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

1.5.7 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Soalan 19:

Diberi

$g : x \to \frac{3 x - 5}{2 x + 7}$
Fungsi g ditakrifkan untuk semua nilai x kecuali x = a. Cari niali a.

Penyelesaian:

Diingatkan bahawa g (x) tidak tertakrif jika penyebut = 0 iaitu [2x + 7 = 0]

2x + 7 = 0

2x = –7

$x = - \frac{7}{2}$

Apabila

$x = - \frac{7}{2}$ , g (x) tidak tertakrif

atau g (x) ditakrifkan untuk semua nilai x kecuali

$x = - \frac{7}{2}, maka a = - \frac{7}{2}$

Soalan 20:

Diberi bahawa fungsi f : x → 3x+ 2. Cari nilai

(a) f (2)

(b) f (– 5)

Penyelesaian:

Soalan 21:

Jika f : x → x² + 3x+ 2, ungkapkan setiap yang berikut dalam sebutan x:

(a) f (2x)

(b) f (3x+ 1)

Penyelesaian:

1.5.6 Fungsi, SPM Praktis (Kertas 1, soalan pendek)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 16:
Diberi fungsi h : x → 3x + 1, dan gh : x → 9x² + 6x – 4, cari
(a) h^-1 (x),
(b) g(x).

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} Katakan h^{- 1} (x) = y, \\ oleh itu h (y) = x \\ 3 y + 1 = x \\ 3 y = x - 1 \\ y = \frac{x - 1}{3} \\ ∴ h^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{3} \\ h^{- 1} : x \mapsto \frac{x - 1}{3} \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} g [h (x)] = 9 x^{2} + 6 x - 4 \\ g (3 x + 1) = 9 x^{2} + 6 x - 4 \\ Katakan y = 3 x + 1 \\ oleh itu x = \frac{y - 1}{3} \\ g (y) = 9 {(\frac{y - 1}{3})}^{2} + 6 (\frac{y - 1}{3}) - 4 \\ = \frac{9 {(y - 1)}^{2}}{9} + 2 (y - 1) - 4 \\ = y^{2} - 2 y + 1 + 2 y - 2 - 4 \\ = y^{2} - 5 \\ ∴ g (x) = x^{2} - 5 \end{array}$

Soalan 17:

Diberi bahawa fungsi f : x → 6x + 1. Cari nilai p jika f (4) = 4p + 5.

Penyelesaian:

f : x → 6x+ 1

f (x) = 6x + 1

f (4) = 6(4) + 1

f (4) = 25

f (4) = 4p + 5

25 = 4p + 5

4p = 25 – 5 = 20

p = 20/4 = 5

Soalan 18 (4 markah):
Rajah menunjukkan hubungan antara set A, set B dan set C.

Rajah

Diberi bahawa set A dipetakan kepada set B oleh fungsi

$\frac{x + 1}{2}$ dan dipetakan kepada set C oleh fg : x → x² + 2x + 4.
(a) Tulis fungsi yang memetakan set A kepada set B dengan menggunakan tatatanda fungsi.
(b) Cari fungsi yang memetakan set B kepada set C.

Penyelesaian:

(a)

$g : x \to \frac{x + 1}{2}$

(b)

$\begin{array}{l} g (x) = \frac{x + 1}{2} \\ f g (x) = x^{2} + 2 x + 4 \\ f [g (x)] = x^{2} + 2 x + 4 \\ f (\frac{x + 1}{2}) = x^{2} + 2 x + 4 \\ Katakan \frac{x + 1}{2} = y \\ x + 1 = 2 y \\ x = 2 y - 1 \\ ∴ f (y) = {(2 y - 1)}^{2} + 2 (2 y - 1) + 4 \\ f (y) = 4 y^{2} - 4 y + 1 + 4 y - 2 + 4 \\ f (y) = 4 y^{2} + 3 \\ f (x) = 4 x^{2} + 3 \\ Maka, fungsi yang memetakan set B \\ kepada set C ialah f (x) = 4 x^{2} + 3. \end{array}$