1.5.5 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 13:
Diberi fungsi g(x) = 3x dan h(x) = m – nx, dengan keadaan m dan n ialah pemalar.
Ungkapkan m dalam sebutan n dengan keadaan hg(1) = 4.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} h g (x) = h (3 x) \\ = m - n (3 x) \\ = m - 3 n x \\ h g (1) = 4 \\ m - 3 n (1) = 4 \\ m - 3 n = 4 \\ m = 4 + 3 n \end{array}

Soalan 14:
Diberi fungsi g : x → 3x – 2, cari
(a) nilai x apabila g(x) memeta kepada diri sendiri,
(b) nilai k dengan keadaan g(2 – k) = 4k.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} g (x) = x \\ 3 x - 2 = x \\ 3 x - x = 2 \\ 2 x = 2 \\ x = 1 \end{array}

(b)

\begin{array}{l} g (x) = 3 x - 2 \\ g (2 - k) = 4 k \\ 3 (2 - k) - 2 = 4 k \\ 6 - 3 k - 2 = 4 k \\ - 7 k = - 4 \\ k = \frac{4}{7} \end{array}

Soalan 15:
Diberi fungsi f : x → px + 1, g : x → 3x – 5 dan fg(x) = 3px + q.
Ungkapkan p dalam sebutan q.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} f (x) = p x + 1, g (x) = 3 x - 5 \\ f g (x) = p (3 x - 5) + 1 \\ = 3 p x - 5 p + 1 \\ Diberi f g (x) = 3 p x + q \\ 3 p x - 5 p + 1 = 3 p x + q \\ - 5 p + 1 = q \\ - 5 p = q - 1 \\ 5 p = 1 - q \\ p = \frac{1 - q}{5} \end{array}

1.6.3 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Kertas 2)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 5:

\begin{array}{l} Fungsi f ditakrifkan oleh f : x \to \frac{1 + x}{1 - x}, x \neq 1. \\ Cari f^{2}, f^{3}, f^{4} dan seterusnya tulis fungsi bagi f^{51} dan f^{52} . \end{array}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} f (x) = \frac{1 + x}{1 - x}, x \neq 1 \\ f^{2} (x) = f [f (x)] = f (\frac{1 + x}{1 - x}) \\ = \frac{1 + (\frac{1 + x}{1 - x})}{1 - (\frac{1 + x}{1 - x})} = \frac{\frac{1 - x + 1 + x}{1 - x}}{\frac{1 - x - 1 - x}{1 - x}} \\ = \frac{2}{- 2 x} = - \frac{1}{x} \\ f^{3} (x) = f [f^{2} (x)] = f (- \frac{1}{x}) \\ = \frac{1 + (- \frac{1}{x})}{1 - (- \frac{1}{x})} = \frac{\frac{x - 1}{x}}{\frac{x + 1}{x}} \\ = \frac{x - 1}{x + 1} \\ f^{4} (x) = f [f^{3} (x)] = f (\frac{x - 1}{x + 1}) \\ = \frac{1 + (\frac{x - 1}{x + 1})}{1 - (\frac{x - 1}{x + 1})} = \frac{\frac{x + 1 + x - 1}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}} \\ = \frac{2 x}{2} = x \\ f^{5} (x) = f [f^{4} (x)] = f (x) = \frac{1 + x}{1 - x} (berulang) \\ ∴ f^{51} (x) = f^{3} [f^{48} (x)] = f^{3} (x) \\ = \frac{x - 1}{x + 1} \\ f^{52} (x) = f^{4} [f^{48} (x)] = f^{4} (x) = x \end{array}

Soalan 6:
Dalam rajah di bawah, fungsi g memetakan set P kepada set Q dan fungsi h memetakan set Q kepada set R.

Cari
(a) dalam sebutan x, fungsi
(i) yang memetakan set Q kepada set P,
(ii) h(x).

(b) nilai x dengan keadaan gh(x) = 8x + 1.

Penyelesaian:
(a)(i)

\begin{array}{l} g (x) = 3 x + 2 \\ Katakan g^{- 1} (x) = y \\ g (y) = x \\ 3 y + 2 = x \\ y = \frac{x - 2}{3} \\ g^{- 1} (x) = \frac{x - 2}{3} \end{array}

(a)(ii)

\begin{array}{l} h g (x) = 12 x + 5 \\ h (3 x + 2) = 12 x + 5 \to g (x) = 3 x + 2 \\ Katakan u = 3 x + 2 \\ x = \frac{u - 2}{3} \\ h (u) = 12 (\frac{u - 2}{3}) + 5 \\ = 4 u - 8 + 5 \\ = 4 u - 3 \\ h (x) = 4 x - 3 \end{array}

(b)

\begin{array}{l} g h (x) = g (4 x - 3) \\ = 3 (4 x - 3) + 2 \\ = 12 x - 9 + 2 \\ = 12 x - 7 \\ 12 x - 7 = 8 x + 1 \\ 4 x = 8 \\ x = 2 \end{array}

1.6.2 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Kertas 2)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 3:
Fungsi f dan g ditakrifkan oleh

\begin{array}{l} f : x \mapsto 2 x - 3 \\ g : x \mapsto \frac{2}{x}; x \neq 0 \end{array}

Ungkapkan dalam bentuk yang serupa
(a) ff,
(b) gf,
(c) f² , Hitungkan nilai x supaya ff(x) = gf(x).

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} f f (x) = f [f (x)] \\ = f (2 x - 3) \\ = 2 (2 x - 3) - 3 \\ = 4 x - 9 \\ Jadi, f f : x \mapsto 4 x - 9 \end{array}

(b)

\begin{array}{l} g f (x) = g [f (x)] \\ = g (2 x - 3) \\ = \frac{2}{2 x - 3} \\ Jadi, g f : x \mapsto \frac{2}{2 x - 3} \end{array}

(c)

\begin{array}{l} Katakan f^{- 1} (x) = y, \\ maka f (y) = x \\ 2 y - 3 = x \\ y = \frac{x + 3}{2} \\ maka f^{- 1} (x) = \frac{x + 3}{2} \\ f^{- 1} : x \mapsto \frac{x + 3}{2} \\ Apabila f f (x) = g f (x), \\ 4 x - 9 = \frac{2}{2 x - 3} \\ (4 x - 9) (2 x - 3) = 2 \\ 8 x^{2} - 30 x + 27 = 2 \\ 8 x^{2} - 30 x + 25 = 0 \\ (4 x - 5) (2 x - 5) = 0 \\ 4 x - 5 = 0 atau 2 x - 5 = 0 \\ x = \frac{5}{4} atau x = \frac{5}{2} \end{array}

Soalan 4:
Fungsi f dan g ditakrifkan oleh

\begin{array}{l} f (x) = 3 x - 2 \\ g (x) = \frac{3}{x}, x \neq 0 \\ Cari \\ (a) f^{- 1} (2), \\ (b) g f (- 3), \\ (c) fungsi h jika diberi h f (x) = 3 x + 2, \\ (d) fungsi k jika diberi f k (x) = 4 x - 7. \end{array}

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} Katakan f^{- 1} (2) = x, \\ maka f (x) = 2 \\ 3 x - 2 = 2 \\ 3 x = 4 \\ x = \frac{4}{3} \\ f^{- 1} (2) = \frac{4}{3} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} g f (- 3) = g [3 (- 3) - 2] \\ = g (- 11) \\ = - \frac{3}{11} \end{array}

(c)

\begin{array}{l} h [f (x)] = 3 x + 2 \\ h (3 x - 2) = 3 x + 2 \\ Katakan y = 3 x - 2 \\ Maka x = \frac{y + 2}{3} \\ h (y) = 3 (\frac{y + 2}{3}) + 2 \\ = y + 2 + 2 \\ = y + 4 \\ Maka h (x) = x + 4 \end{array}

(d)

\begin{array}{l} f [k (x)] = 4 x - 7 \\ 3 k (x) - 2 = 4 x - 7 \\ 3 k (x) = 4 x - 5 \\ k (x) = \frac{4 x - 5}{3} \end{array}

2.5.6 SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on May 12, 2020 by Myhometuition

Soalan 17 (4 markah):
Hitung nilai x dan nilai y yang memuaskan persamaan linear serentak berikut:
2x + y = 8
–x + 4y = 5

Penyelesaian:

\begin{array}{l} 2 x + y = 8 ............... (1) \\ - x + 4 y = 5 ............... (2) \\ (2) \times 2 : - 2 x + 8 y = 10 ............... (3) \\ (1) + (3) : \\ y + 8 y = 8 + 10 \\ 9 y = 18 \\ y = \frac{18}{9} \\ y = 2 \\ Dari (1) : \\ 2 x + 2 = 8 \\ 2 x = 8 - 2 \\ 2 x = 6 \\ x = \frac{6}{2} \\ x = 3 \\ ∴ x = 3, y = 2 \end{array}

Soalan 18 (4 markah):
Sebuah akuarium mempunyai panjang (x + 7) cm, lebar x cm dan tinggi 60 cm.
Jumlah isi padu akuarium itu ialah 48000 cm³. Akuarium itu akan diisi penuh dengan air.
Hitung nilai x.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Isipadu akuarium = 48000 {cm}^{3} \\ (x) (x + 7) (60) {cm}^{3} = 48000 {cm}^{3} \\ (x) (x + 7) = \frac{48000}{60} \\ x^{2} + 7 x = 800 \\ x^{2} + 7 x - 800 = 0 \\ (x - 25) (x + 32) = 0 \\ x - 25 = 0 atau x + 32 = 0 \\ x = 25 atau x = - 32 (nombor negatif ditolak) \\ Oleh itu, nilai x = 25 cm \end{array}

10.3.6 Pelan dan Dongakan, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 12, 2020 by Myhometuition

Soalan 7 (12 markah):
Anda tidak dibenarkan menggunakan kertas graf untuk menjawap soalan ini.

(a) Rajah 7.1 menunjukkan sebuah piramid dengan tapak segi empat tepat ABCD terletak di atas satah mengufuk. Puncak E berada tegak di atas C. Segi tiga BCE dan segi tiga DCE adalah satah mencancang. Segi tiga ABE dan segi tiga ADE adalah satah condong.

Rajah 7.1

Lukis dengan skala penuh, pelan pepejal itu.

(b) Sebuah pepejal lain berbentuk kuboid dengan tapak segi empat tepat BLKC dicantumkan kepada piramid dalam Rajah 7.1 pada satah mencancang BCFM. Gabungan pepejal adalah seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 7.2. Tapak ABLKCD terletak pada suatu satah mengufuk.

Rajah 7.2

Lukis dengan skala penuh,

(i) dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan ABL sebagaimana dilihat dari X.

(ii) dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan LK sebagaimana dilihat dari Y.

Penyelesaian:

(a)

(b)(i)

(b)(ii)

10.3.5 Pelan dan Dongakan, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 12, 2020 by Myhometuition

Soalan 6 (12 markah):
Anda tidak dibenarkan menggunakan kertas graf untuk menjawap soalan ini.

(a) Rajah 6.1 menunjukkan dua buah pepejal berbentuk prisma tegak dicantumkan pada satah tegak EGLK. Satah JKL dan MNP masing-masing ialah keratan rentas seragam prisma HEGLJK dan prisma EFGMNP. Tapak EFGH ialah sebuah segi empat tepat yang terletak pada suatu satah mengufuk. Tepi HJ dan EK adalah tegak.

Rajah 6.1

Lukis, dengan skala penuh, pelan gabungan pepejal itu.

(b) Sebuah pepejal lain berbentuk separuh silinder dengan diameter 4 cm dicantumkan kepada prisma dalam Rajah 6.1 pada satah mencancang EFQR. Gabungan pepejal adalah seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 6.2. Tapak HETFG terletak pada suatu satah mengufuk.

Rajah 6.2

Lukis dengan skala penuh,
(i) dongakan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan HE sebagaimana dilihat dari X.
(ii) dongakan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan EF sebagaimana dilihat dari Y.

Penyelesaian:
(a)

(b)(i)

(b)(ii)

10.3.4 Pelan dan Dongakan, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 12, 2020 by Myhometuition

Soalan 5 (12 markah):
Anda tidak dibenarkan menggunakan kertas graf untuk menjawap soalan ini.
(a) Rajah 5.1 menunjukkan sebuah pepejal berbentuk prisma dengan tapak segi empat tepat JKLM terletak pada suatu satah mengufuk. Permukaan MQRSTL ialah keratan rentas seragam prisma itu. Segi tiga STU dan segi tiga PQR adalah satah mengufuk. Tepi PJ, RS dan UK adalah tegak. PQ = TU = 3 cm.

Rajah 5.1

Lukis dengan skala penuh, dongakan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan KL sebagaimana dilihat dari X.

(b) Sebuah pepejal lain berbentuk kuboid dengan tapak segi empat tepat JMDE dicantumkan kepada prisma dalam Rajah 5.1 pada satah mencancang JMQP. Gabungan pepejal adalah seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 5.2. Tapak EJKLMD terletak pada satah mengufuk.

Rajah 5.2

Lukis dengan skala penuh,
(i) dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan EJK sebagaimana dilihat dari Y.
(ii) pelan gabungan pepejal itu.

Penyelesaian:
(a)

(b)(i)

(b)(ii)

9.6.8 Bumi Sebagai Sfera, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 12, 2020 by Myhometuition

Soalan 9 (12 markah):
A(25^oU, 35^o T), B(25^oU, 40^o B), C dan D adalah empat titik yang terletak pada permukaan bumi. AD ialah diameter selarian latitud sepunya 25^oU .
(a) Cari longitud D.

(b) C terletak 3300 batu nautika di selatan A diukur sepanjang permukaan bumi.
Hitung latitud C.

(c) Hitung jarak terpendek, dalam batu nautika, dari A ke D diukur sepanjang permukaan bumi.

(d) Sebuah kapal terbang berlepas dari C dan terbang arah utara ke titik A dan kemudian terbang arah barat ke titik B. Jumlah masa diambil bagi keseluruhan penerbangan itu ialah 12 jam 24 minit.

(i) Hitung jarak, dalam batu nautika, dari A arah barat ke B diukur sepanjang selarian latitud sepunya.

(ii) Hitung purata laju, dalam knot, bagi keseluruhan penerbangan itu.

Penyelesaian:
(a)
Longitud D = (180^o – 35^o)B
= 145^oB

(b)

\begin{array}{l} ∠ A O C = \frac{3300}{60} = 55^{o} \\ Latitud bagi C \\ = {(55 - 25)}^{o} S \\ = 30^{o} S \end{array}

(c)
Jarak terpendek dari A ke D
= (65^o + 65^o) × 60’
= 130^o × 60’
= 7800 batu nautika

[adinserter block="3"]
(d)(i)
Jarak A ke B
= (35^o + 40^o) × 60’ × kos 25^o= 75^o × 60’ × kos 25^o= 4078.4 batu nautika

(d)(ii)

\begin{array}{l} Jumlah jarak dilalui \\ = C A + A B \\ = 3300 + 4078.4 \\ = 7378.4 batu nautika \\ Purata laju = \frac{Jumlah jarak}{Jumlah masa} \\ = \frac{7378.4}{12.4} knot \\ = 595.0 knot \end{array}

9.6.7 Bumi Sebagai Sfera, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 12, 2020 by Myhometuition

Soalan 8 (12 markah):
Rajah 8 menunjukkan empat titik, G, H, I dan J di permukaan bumi. JI ialah diameter selarian latitud 50^o U. O ialah pusat bumi.

(a) Nyatakan kedudukan G.

(b) Hitung jarak terpendek, dalam batu nautika, dari I ke J diukur sepanjang permukaan bumi.

(c) Hitung jarak terpendek, dalam batu nautika, dari G ke H diukur sepanjang selarian latitud sepunya.

(d) Sebuah kapal terbang berlepas dari I dan terbang arah selatan ke titik P. Purata laju kapal terbang bagi keseluruhan penerbangan itu ialah 800 knot. Masa diambil bagi penerbangan itu ialah 5.25 jam.
Hitung latitud bagi P.

Penyelesaian:
(a)
kedudukan G = (70^o S, 20^o B)

(b)
∠ JOI
= 180^o – 50^o – 50^o
= 80^oJarak I ke J
= 80^o × 60’
= 4800 batu nautika

(c)
Jarak G ke H
= (20^o + 120^o) × 60’ × kos 70^o= 140^o × 60’ × kos 70^o= 2872.97 batu nautika

(d)

\begin{array}{l} Purata laju = \frac{Jumlah jarak}{Jumlah masa} \\ 800 = \frac{x}{5.25} \\ x = 4200 batu nautika \\ I ke P = 4200 \\ Jarak antara selarian latitud = y \\ y \times 60 = 4200 \\ y = 70^{o} \\ Maka, latitud bagi P \\ = 70^{o} - 50^{o} \\ = 20^{o} S \end{array}

9.6.6 Bumi Sebagai Sfera, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 12, 2020 by Myhometuition

Soalan 7 (12 markah):
Rajah 7 pada ruang jawapan menunjukkan kedudukan titik J, titik L dan titik M, yang terletak pada permukaan bumi. O ialah pusat bumi. Longitud M ialah 30^o B. K ialah satu titik lain di atas permukaan bumi dengan keadaan KJ ialah diameter selarian latitud sepunya 45^o S.

(a)(i) Tanda dan label titik K pada rajah 12 di ruang jawapan.

(ii) Seterusnya, nyatakan longitud titik K.

(b) L terletak di utara M dan jarak terpendek dari M ke L diukur sepanjang permukaan bumi ialah 7500 batu nautika.
Hitung latitud L.

(c) Hitung jarak, dalam batu nautika, dari K arah timur ke M diukur sepanjang selarian latitud sepunya.

(d) Sebuah kapal terbang berlepas dari K dan terbang arah timur ke titik M sepanjang selarian latitud sepunya. Purata laju kapal terbang bagi keseluruhan penerbangan itu ialah 750 knot.
Hitung jumlah masa, dalam jam, yang diambil bagi keseluruhan penerbangan itu.

Jawapan:

Penyelesaian:
(a)(i)

(a)(ii)
Longitud titik K = 130^oB

(b)

\begin{array}{l} ∠ L O M \times 60 = 7500 \\ ∠ L O M = \frac{7500}{60} \\ ∠ L O M = 125^{o} \\ Latitud bagi L = 125^{o} - 45^{o} \\ = 80^{o} U \end{array}

(c)
KM = (130^o – 30^o) × 60 × kos 45^o= 4242.64 batu nautika

(d)

\begin{array}{l} Masa = \frac{Jarak}{L a j u} \\ = \frac{4242.64}{750} \\ = 5.66 jam \end{array}