3.6.1 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 3:
Garis lurus y = 5x – 1 tidak bersilang dengan lengkung y = 2x² + x + h. Carikan julat nilai h.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} y = 5 x - 1 ...... (1) \\ y = 2 x^{2} + x + h ...... (2) \\ Gantikan (1) ke dalam (2), \\ 5 x - 1 = 2 x^{2} + x + h \\ 2 x^{2} + x + h - 5 x + 1 = 0 \\ 2 x^{2} - 4 x + h + 1 = 0 \\ b^{2} - 4 a c < 0 \\ {(- 4)}^{2} - 4 (2) (h + 1) < 0 \\ 16 - 8 h - 8 < 0 \\ 8 < 8 h \\ h > 1 \end{array}$

Soalan 4:
Cari nilai maksimum bagi fungsi 5 – x – 2x² , dan nilai x apabila ini berlaku.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} 5 - x - 2 x^{2} \\ = - 2 x^{2} - x + 5 \\ = - 2 [x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{5}{2}] \\ = - 2 [x^{2} + \frac{1}{2} x + {(\frac{1}{4})}^{2} - {(\frac{1}{4})}^{2} - \frac{5}{2}] \\ = - 2 [{(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} - \frac{5}{2}] \\ = - 2 [{(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{41}{16}] \\ = - 2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 5 \frac{1}{8} \end{array}$

$\begin{array}{l} Nilai 5 - x - 2 x^{2} adalah maksimum apabila \\ 2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = 0 \\ x = - \frac{1}{4} \\ Nilai maksimum bagi 5 - x - 2 x^{2} ialah 5 \frac{1}{8} . \end{array}$

2.6.5 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 5:
Diberi α dan β adalah punca-punca persamaan kuadratik x (x – 3) = 2k – 4, dengan keadaan k ialah pemalar.

$\begin{array}{l} (a) Cari julat nilai jika α \neq β . \\ (b) Diberi \frac{α}{2} dan \frac{β}{2} adalah punca-punca bagi satu lagi persamaan kuadratik \\ 2 x^{2} + t x - 4 = 0, dengan keadaan t ialah pemalar, cari nilai t dan nilai k . \end{array}$

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} (a) \\ x (x - 3) = 2 k - 4 \\ x^{2} - 3 x + 4 - 2 k = 0 \\ a = 1, b = - 3, c = 4 - 2 k \\ b^{2} - 4 a c > 0 \\ {(- 3)}^{2} - 4 (1) (4 - 2 k) > 0 \\ 9 - 16 + 8 k > 0 \\ 8 k > 7 \\ k > \frac{7}{8} \end{array}$

$\begin{array}{l} (b) \\ Dari persamaan x^{2} - 3 x + 4 - 2 k = 0, \\ α + β = - \frac{b}{a} \\ = - \frac{- 3}{1} \\ = 3............. (1) \\ α β = \frac{c}{a} \\ = \frac{4 - 2 k}{1} \\ = 4 - 2 k ............. (2) \\ Dari persamaan 2 x^{2} + t x - 4 = 0, \\ \frac{α}{2} + \frac{β}{2} = - \frac{t}{2} \\ α + β = - t ............. (3) \\ \frac{α}{2} \times \frac{β}{2} = - \frac{4}{2} \\ α β = - 8............. (4) \\ Gantikan (1) = (3), \\ 3 = - t \\ t = - 3 \\ Gantikan (2) = (4), \\ 4 - 2 k = - 8 \\ 4 + 8 = 2 k \\ k = 6 \end{array}$

1.5.7 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

1.5.7 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Soalan 19:

Diberi

$g : x \to \frac{3 x - 5}{2 x + 7}$
Fungsi g ditakrifkan untuk semua nilai x kecuali x = a. Cari niali a.

Penyelesaian:

Diingatkan bahawa g (x) tidak tertakrif jika penyebut = 0 iaitu [2x + 7 = 0]

2x + 7 = 0

2x = –7

$x = - \frac{7}{2}$

Apabila

$x = - \frac{7}{2}$ , g (x) tidak tertakrif

atau g (x) ditakrifkan untuk semua nilai x kecuali

$x = - \frac{7}{2}, maka a = - \frac{7}{2}$

Soalan 20:

Diberi bahawa fungsi f : x → 3x+ 2. Cari nilai

(a) f (2)

(b) f (– 5)

Penyelesaian:

Soalan 21:

Jika f : x → x² + 3x+ 2, ungkapkan setiap yang berikut dalam sebutan x:

(a) f (2x)

(b) f (3x+ 1)

Penyelesaian:

1.5.6 Fungsi, SPM Praktis (Kertas 1, soalan pendek)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 16:
Diberi fungsi h : x → 3x + 1, dan gh : x → 9x² + 6x – 4, cari
(a) h^-1 (x),
(b) g(x).

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} Katakan h^{- 1} (x) = y, \\ oleh itu h (y) = x \\ 3 y + 1 = x \\ 3 y = x - 1 \\ y = \frac{x - 1}{3} \\ ∴ h^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{3} \\ h^{- 1} : x \mapsto \frac{x - 1}{3} \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} g [h (x)] = 9 x^{2} + 6 x - 4 \\ g (3 x + 1) = 9 x^{2} + 6 x - 4 \\ Katakan y = 3 x + 1 \\ oleh itu x = \frac{y - 1}{3} \\ g (y) = 9 {(\frac{y - 1}{3})}^{2} + 6 (\frac{y - 1}{3}) - 4 \\ = \frac{9 {(y - 1)}^{2}}{9} + 2 (y - 1) - 4 \\ = y^{2} - 2 y + 1 + 2 y - 2 - 4 \\ = y^{2} - 5 \\ ∴ g (x) = x^{2} - 5 \end{array}$

Soalan 17:

Diberi bahawa fungsi f : x → 6x + 1. Cari nilai p jika f (4) = 4p + 5.

Penyelesaian:

f : x → 6x+ 1

f (x) = 6x + 1

f (4) = 6(4) + 1

f (4) = 25

f (4) = 4p + 5

25 = 4p + 5

4p = 25 – 5 = 20

p = 20/4 = 5

Soalan 18 (4 markah):
Rajah menunjukkan hubungan antara set A, set B dan set C.

Rajah

Diberi bahawa set A dipetakan kepada set B oleh fungsi

$\frac{x + 1}{2}$ dan dipetakan kepada set C oleh fg : x → x² + 2x + 4.
(a) Tulis fungsi yang memetakan set A kepada set B dengan menggunakan tatatanda fungsi.
(b) Cari fungsi yang memetakan set B kepada set C.

Penyelesaian:

(a)

$g : x \to \frac{x + 1}{2}$

(b)

$\begin{array}{l} g (x) = \frac{x + 1}{2} \\ f g (x) = x^{2} + 2 x + 4 \\ f [g (x)] = x^{2} + 2 x + 4 \\ f (\frac{x + 1}{2}) = x^{2} + 2 x + 4 \\ Katakan \frac{x + 1}{2} = y \\ x + 1 = 2 y \\ x = 2 y - 1 \\ ∴ f (y) = {(2 y - 1)}^{2} + 2 (2 y - 1) + 4 \\ f (y) = 4 y^{2} - 4 y + 1 + 4 y - 2 + 4 \\ f (y) = 4 y^{2} + 3 \\ f (x) = 4 x^{2} + 3 \\ Maka, fungsi yang memetakan set B \\ kepada set C ialah f (x) = 4 x^{2} + 3. \end{array}$

1.5.5 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 13:
Diberi fungsi g(x) = 3x dan h(x) = m – nx, dengan keadaan m dan n ialah pemalar.
Ungkapkan m dalam sebutan n dengan keadaan hg(1) = 4.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} h g (x) = h (3 x) \\ = m - n (3 x) \\ = m - 3 n x \\ h g (1) = 4 \\ m - 3 n (1) = 4 \\ m - 3 n = 4 \\ m = 4 + 3 n \end{array}$

Soalan 14:
Diberi fungsi g : x → 3x – 2, cari
(a) nilai x apabila g(x) memeta kepada diri sendiri,
(b) nilai k dengan keadaan g(2 – k) = 4k.

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} g (x) = x \\ 3 x - 2 = x \\ 3 x - x = 2 \\ 2 x = 2 \\ x = 1 \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} g (x) = 3 x - 2 \\ g (2 - k) = 4 k \\ 3 (2 - k) - 2 = 4 k \\ 6 - 3 k - 2 = 4 k \\ - 7 k = - 4 \\ k = \frac{4}{7} \end{array}$

Soalan 15:
Diberi fungsi f : x → px + 1, g : x → 3x – 5 dan fg(x) = 3px + q.
Ungkapkan p dalam sebutan q.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} f (x) = p x + 1, g (x) = 3 x - 5 \\ f g (x) = p (3 x - 5) + 1 \\ = 3 p x - 5 p + 1 \\ Diberi f g (x) = 3 p x + q \\ 3 p x - 5 p + 1 = 3 p x + q \\ - 5 p + 1 = q \\ - 5 p = q - 1 \\ 5 p = 1 - q \\ p = \frac{1 - q}{5} \end{array}$

1.6.3 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Kertas 2)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 5:

$\begin{array}{l} Fungsi f ditakrifkan oleh f : x \to \frac{1 + x}{1 - x}, x \neq 1. \\ Cari f^{2}, f^{3}, f^{4} dan seterusnya tulis fungsi bagi f^{51} dan f^{52} . \end{array}$

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{1 + x}{1 - x}, x \neq 1 \\ f^{2} (x) = f [f (x)] = f (\frac{1 + x}{1 - x}) \\ = \frac{1 + (\frac{1 + x}{1 - x})}{1 - (\frac{1 + x}{1 - x})} = \frac{\frac{1 - x + 1 + x}{1 - x}}{\frac{1 - x - 1 - x}{1 - x}} \\ = \frac{2}{- 2 x} = - \frac{1}{x} \\ f^{3} (x) = f [f^{2} (x)] = f (- \frac{1}{x}) \\ = \frac{1 + (- \frac{1}{x})}{1 - (- \frac{1}{x})} = \frac{\frac{x - 1}{x}}{\frac{x + 1}{x}} \\ = \frac{x - 1}{x + 1} \\ f^{4} (x) = f [f^{3} (x)] = f (\frac{x - 1}{x + 1}) \\ = \frac{1 + (\frac{x - 1}{x + 1})}{1 - (\frac{x - 1}{x + 1})} = \frac{\frac{x + 1 + x - 1}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}} \\ = \frac{2 x}{2} = x \\ f^{5} (x) = f [f^{4} (x)] = f (x) = \frac{1 + x}{1 - x} (berulang) \\ ∴ f^{51} (x) = f^{3} [f^{48} (x)] = f^{3} (x) \\ = \frac{x - 1}{x + 1} \\ f^{52} (x) = f^{4} [f^{48} (x)] = f^{4} (x) = x \end{array}$

Soalan 6:
Dalam rajah di bawah, fungsi g memetakan set P kepada set Q dan fungsi h memetakan set Q kepada set R.

Cari
(a) dalam sebutan x, fungsi
(i) yang memetakan set Q kepada set P,
(ii) h(x).

(b) nilai x dengan keadaan gh(x) = 8x + 1.

Penyelesaian:
(a)(i)

$\begin{array}{l} g (x) = 3 x + 2 \\ Katakan g^{- 1} (x) = y \\ g (y) = x \\ 3 y + 2 = x \\ y = \frac{x - 2}{3} \\ g^{- 1} (x) = \frac{x - 2}{3} \end{array}$

(a)(ii)

$\begin{array}{l} h g (x) = 12 x + 5 \\ h (3 x + 2) = 12 x + 5 \to g (x) = 3 x + 2 \\ Katakan u = 3 x + 2 \\ x = \frac{u - 2}{3} \\ h (u) = 12 (\frac{u - 2}{3}) + 5 \\ = 4 u - 8 + 5 \\ = 4 u - 3 \\ h (x) = 4 x - 3 \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} g h (x) = g (4 x - 3) \\ = 3 (4 x - 3) + 2 \\ = 12 x - 9 + 2 \\ = 12 x - 7 \\ 12 x - 7 = 8 x + 1 \\ 4 x = 8 \\ x = 2 \end{array}$

1.6.2 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Kertas 2)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 3:
Fungsi f dan g ditakrifkan oleh

$\begin{array}{l} f : x \mapsto 2 x - 3 \\ g : x \mapsto \frac{2}{x}; x \neq 0 \end{array}$
Ungkapkan dalam bentuk yang serupa
(a) ff,
(b) gf,
(c) f² , Hitungkan nilai x supaya ff(x) = gf(x).

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} f f (x) = f [f (x)] \\ = f (2 x - 3) \\ = 2 (2 x - 3) - 3 \\ = 4 x - 9 \\ Jadi, f f : x \mapsto 4 x - 9 \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} g f (x) = g [f (x)] \\ = g (2 x - 3) \\ = \frac{2}{2 x - 3} \\ Jadi, g f : x \mapsto \frac{2}{2 x - 3} \end{array}$

(c)

$\begin{array}{l} Katakan f^{- 1} (x) = y, \\ maka f (y) = x \\ 2 y - 3 = x \\ y = \frac{x + 3}{2} \\ maka f^{- 1} (x) = \frac{x + 3}{2} \\ f^{- 1} : x \mapsto \frac{x + 3}{2} \\ Apabila f f (x) = g f (x), \\ 4 x - 9 = \frac{2}{2 x - 3} \\ (4 x - 9) (2 x - 3) = 2 \\ 8 x^{2} - 30 x + 27 = 2 \\ 8 x^{2} - 30 x + 25 = 0 \\ (4 x - 5) (2 x - 5) = 0 \\ 4 x - 5 = 0 atau 2 x - 5 = 0 \\ x = \frac{5}{4} atau x = \frac{5}{2} \end{array}$

Soalan 4:
Fungsi f dan g ditakrifkan oleh

$\begin{array}{l} f (x) = 3 x - 2 \\ g (x) = \frac{3}{x}, x \neq 0 \\ Cari \\ (a) f^{- 1} (2), \\ (b) g f (- 3), \\ (c) fungsi h jika diberi h f (x) = 3 x + 2, \\ (d) fungsi k jika diberi f k (x) = 4 x - 7. \end{array}$

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} Katakan f^{- 1} (2) = x, \\ maka f (x) = 2 \\ 3 x - 2 = 2 \\ 3 x = 4 \\ x = \frac{4}{3} \\ f^{- 1} (2) = \frac{4}{3} \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} g f (- 3) = g [3 (- 3) - 2] \\ = g (- 11) \\ = - \frac{3}{11} \end{array}$

(c)

$\begin{array}{l} h [f (x)] = 3 x + 2 \\ h (3 x - 2) = 3 x + 2 \\ Katakan y = 3 x - 2 \\ Maka x = \frac{y + 2}{3} \\ h (y) = 3 (\frac{y + 2}{3}) + 2 \\ = y + 2 + 2 \\ = y + 4 \\ Maka h (x) = x + 4 \end{array}$

(d)

$\begin{array}{l} f [k (x)] = 4 x - 7 \\ 3 k (x) - 2 = 4 x - 7 \\ 3 k (x) = 4 x - 5 \\ k (x) = \frac{4 x - 5}{3} \end{array}$

2.5.6 SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on May 12, 2020 by Myhometuition

Soalan 17 (4 markah):
Hitung nilai x dan nilai y yang memuaskan persamaan linear serentak berikut:
2x + y = 8
–x + 4y = 5

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} 2 x + y = 8 ............... (1) \\ - x + 4 y = 5 ............... (2) \\ (2) \times 2 : - 2 x + 8 y = 10 ............... (3) \\ (1) + (3) : \\ y + 8 y = 8 + 10 \\ 9 y = 18 \\ y = \frac{18}{9} \\ y = 2 \\ Dari (1) : \\ 2 x + 2 = 8 \\ 2 x = 8 - 2 \\ 2 x = 6 \\ x = \frac{6}{2} \\ x = 3 \\ ∴ x = 3, y = 2 \end{array}$

Soalan 18 (4 markah):
Sebuah akuarium mempunyai panjang (x + 7) cm, lebar x cm dan tinggi 60 cm.
Jumlah isi padu akuarium itu ialah 48000 cm³. Akuarium itu akan diisi penuh dengan air.
Hitung nilai x.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} Isipadu akuarium = 48000 {cm}^{3} \\ (x) (x + 7) (60) {cm}^{3} = 48000 {cm}^{3} \\ (x) (x + 7) = \frac{48000}{60} \\ x^{2} + 7 x = 800 \\ x^{2} + 7 x - 800 = 0 \\ (x - 25) (x + 32) = 0 \\ x - 25 = 0 atau x + 32 = 0 \\ x = 25 atau x = - 32 (nombor negatif ditolak) \\ Oleh itu, nilai x = 25 cm \end{array}$

10.3.6 Pelan dan Dongakan, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 12, 2020 by Myhometuition

Soalan 7 (12 markah):
Anda tidak dibenarkan menggunakan kertas graf untuk menjawap soalan ini.

(a) Rajah 7.1 menunjukkan sebuah piramid dengan tapak segi empat tepat ABCD terletak di atas satah mengufuk. Puncak E berada tegak di atas C. Segi tiga BCE dan segi tiga DCE adalah satah mencancang. Segi tiga ABE dan segi tiga ADE adalah satah condong.

Rajah 7.1

Lukis dengan skala penuh, pelan pepejal itu.

(b) Sebuah pepejal lain berbentuk kuboid dengan tapak segi empat tepat BLKC dicantumkan kepada piramid dalam Rajah 7.1 pada satah mencancang BCFM. Gabungan pepejal adalah seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 7.2. Tapak ABLKCD terletak pada suatu satah mengufuk.

Rajah 7.2

Lukis dengan skala penuh,

(i) dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan ABL sebagaimana dilihat dari X.

(ii) dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan LK sebagaimana dilihat dari Y.

Penyelesaian:

(a)

(b)(i)

(b)(ii)

10.3.5 Pelan dan Dongakan, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 12, 2020 by Myhometuition

Soalan 6 (12 markah):
Anda tidak dibenarkan menggunakan kertas graf untuk menjawap soalan ini.

(a) Rajah 6.1 menunjukkan dua buah pepejal berbentuk prisma tegak dicantumkan pada satah tegak EGLK. Satah JKL dan MNP masing-masing ialah keratan rentas seragam prisma HEGLJK dan prisma EFGMNP. Tapak EFGH ialah sebuah segi empat tepat yang terletak pada suatu satah mengufuk. Tepi HJ dan EK adalah tegak.

Rajah 6.1

Lukis, dengan skala penuh, pelan gabungan pepejal itu.

(b) Sebuah pepejal lain berbentuk separuh silinder dengan diameter 4 cm dicantumkan kepada prisma dalam Rajah 6.1 pada satah mencancang EFQR. Gabungan pepejal adalah seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 6.2. Tapak HETFG terletak pada suatu satah mengufuk.

Rajah 6.2

Lukis dengan skala penuh,
(i) dongakan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan HE sebagaimana dilihat dari X.
(ii) dongakan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan EF sebagaimana dilihat dari Y.

Penyelesaian:
(a)

(b)(i)

(b)(ii)