5.8.3 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 4 (10 markah):
(a) Buktikan bahawa 2 tan x kos² x = sin 2x.
(b) Seterusnya, selesaikan persamaan 4 tan x kos² x = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
(c)(i) Lakar graf y = sin 2x untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
(c)(ii) Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 4π tan x kos² x = x – 2π untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
Nyatakan bilangan penyelesaian.

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} 2 \tan x k o s^{2} x = \sin 2 x \\ Sebelah kiri \\ = 2 \tan x k o s^{2} x \\ = 2 \times \frac{\sin x}{k o s x} \times k o s^{2} x \\ = 2 \sin x k o s x \\ = \sin 2 x \\ = Sebelah kanan (Terbukti) \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} 4 \tan x k o s^{2} x = 1, 0 \leq x \leq 2 π \\ 2 (2 \tan x k o s^{2} x) = 1 \\ 2 \sin 2 x = 1 \\ \sin 2 x = \frac{1}{2} \\ Sudut asas = \frac{π}{6} \\ 2 x = \frac{π}{6}, (π - \frac{π}{6}), (2 π + \frac{π}{6}), (3 π - \frac{π}{6}) \\ 2 x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{13 π}{6}, \frac{17 π}{6} \\ x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{17 π}{12} \end{array}$

(c)(i)
y = sin 2x, 0 ≤ x ≤ 2π.

(c)(ii)

$\begin{array}{l} 4 π \tan x k o s^{2} x = x - 2 π \\ 2 π (2 \tan x k o s^{2} x) = x - 2 π \\ 2 π \sin 2 x = x - 2 π \\ \sin 2 x = \frac{x}{2 π} - \frac{2 π}{2 π} \\ \sin 2 x = \frac{x}{2 π} - 1 \\ y = \frac{x}{2 π} - 1 \end{array}$

Bilangan penyelesaian = 4

5.8.2 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 3 (10 markah):

$\begin{array}{l} (a) Buktikan \sin (3 x + \frac{π}{6}) - \sin (3 x - \frac{π}{6}) = k o s 3 x \\ (b) Seterusnya, \\ (i) selesaikan persamaan s i n (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{6}) - \sin (\frac{3 x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{1}{2} untuk 0 \leq x \leq 2 π \\ dan beri jawapan anda dalam bentuk pencahan termudah dalam sebutan π radian, \\ (i i) lakar graf bagi y = s i n (3 x + \frac{π}{6}) - \sin (3 x - \frac{π}{6}) - \frac{1}{2} untuk 0 \leq x \leq π . \end{array}$

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} (a) Sebelah kiri, \\ \sin (3 x + \frac{π}{6}) - \sin (3 x - \frac{π}{6}) \\ = [\sin 3 x k o s \frac{π}{6} + k o s 3 x \sin \frac{π}{6}] - [\sin 3 x k o s \frac{π}{6} - k o s 3 x \sin \frac{π}{6}] \\ = 2 [k o s 3 x \sin \frac{π}{6}] \\ = 2 [k o s 3 x (\frac{1}{2})] \\ = k o s 3 x (sebelah kanan) \end{array}$

$\begin{array}{l} (b) (i) \\ \sin (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{6}) - \sin (\frac{3 x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}, 0 \leq x \leq 2 π \\ k o s \frac{3 x}{2} = \frac{1}{2} \\ \frac{3 x}{2} = \frac{π}{3}, (2 π - \frac{π}{3}), (2 π + \frac{π}{3}) \\ \frac{3 x}{2} = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}, \frac{7 π}{3} \\ x = \frac{2 π}{9}, \frac{10 π}{9}, \frac{14 π}{9} \end{array}$

$\begin{array}{l} (b) (i i) \\ y = s i n (3 x + \frac{π}{6}) - \sin (3 x - \frac{π}{6}) - \frac{1}{2} untuk 0 \leq x \leq π . \\ y = k o s 3 x - \frac{1}{2} \end{array}$

8.5.10 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 10 (8 markah):
Rajah menunjukkan bulatan dan sektor sebuah bulatan dengan pusat sepunya O. Jejari bulatan ialah r cm.

Diberi bahawa panjang lengkok PQ dan lengkok RS masing-masing ialah 2 cm dan 7 cm. QR = 10 cm.
[Guna θ = 3.142]
Cari
(a) nilai r dan nilai θ,
(b) luas, dalam cm², kawasan yang berlorek.

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} Panjang lengkok P Q = 2 cm \\ r θ = 2 ................. (1) \\ Panjang lengkok R S = 7 cm \\ (r + 10) θ = 7 \\ r θ + 10 θ = 7 ................. (2) \\ Gantikan (1) ke dalam (2) : \\ 2 + 10 θ = 7 \\ 10 θ = 5 \\ θ = \frac{5}{10} \\ θ = 0.5 rad \\ Daripada (1) : \\ Apabila θ = 0.5 rad, \\ r \times 0.5 = 2 \\ r = 4 \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} O S = O R = 4 + 10 = 14 cm \\ Luas kawasan yang berlorek \\ = luas Δ O R S - luas O P Q \\ = (\frac{1}{2} \times 14^{2} \times \sin 0.5 rad) - (\frac{1}{2} \times 4^{2} \times 0.5) \\ = 42.981 {cm}^{2} \end{array}$

8.5.9 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 9 (7 markah):
Persatuan matematik SMK Mulia menganjurkan satu pertandingan mencipta logo untuk persatuan itu.

Rajah 3 menunjukkan logo berbentuk bulatan yang dicipta oleh Adrian. Ketiga-tiga kawasan berwarna biru adalah kongruen. Diberi bahawa perimeter bagi kawasan berwarna biru ialah 20π cm.
[Guna π = 3.142]
Cari
(a) jejari, dalam cm, bagi logo itu kepada integer terhampir,
(b) luas, dalam cm², bagi kawasan yang berwarna kuning.

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} 6 lengkok = 20 π \\ 6 j θ = 20 π \\ 6 j [60^{o} \times \frac{π}{{180^{o}}^{3}}] = 20 π \\ 2 π j = 20 π \\ j = 10 cm \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} Luas kawasan berwarna kuning \\ = 3 [luas segi tiga O A B] - 6 [luas tembereng] \\ = 3 [\frac{1}{2} a b \sin C] - 6 [\frac{1}{2} j^{2} (θ - \sin θ)] \\ = 3 [\frac{1}{2} (10) (10) \sin 120^{o}] \\ - 6 [\frac{1}{2} {(10)}^{2} (θ - \sin θ)] \\ = 3 (43.3013) - 6 [50 (1.0473 - \sin 1.0473)] \\ \begin{array}{l} tukar kepada mod rad \\ θ = 60^{o} \times \frac{3.142}{180^{o}} = 1.0473 rad \end{array} \\ = 129.9039 - 6 (9.0612) \\ = 129.9039 - 54.3672 \\ = 75.54 {cm}^{2} \end{array}$

6.8.10 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 10 (7 markah):
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima.
Rajah 3 menunjukkan kedudukan bagi bandar M dan bandar N yang dilukis pada suatu satah Cartes.

PQ ialah jalan raya lurus dengan keadaan jarak dari bandar M dan bandar N ke mana-mana titik pada jalan raya adalah sentiasa sama.
(a) Cari persamaan bagi PQ.

(b) Satu lagi jalan raya lurus, ST dengan persamaan y = 2x + 7 akan dibina.
(i) Lampu isyarat akan dipasang di persimpangan kedua-dua jalan raya itu.
Cari koordinat bagi lampu isyarat itu.
(ii) Antara dua jalan raya itu, yang manakah melalui bandar L

$(- \frac{4}{3}, 1) ?$

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} T (x, y) adalah satu titik pada P Q . \\ T M = T N \\ \sqrt{[x - {(- 4)}^{2}] + {[y - (- 1)]}^{2}} = \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} \\ \sqrt{{(x + 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} = \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} \\ {(x + 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} \\ x^{2} + 8 x + 16 + y^{2} + 2 y + 1 \\ = x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} - 2 y + 1 \\ 8 x + 2 y + 17 + 4 x + 2 y - 5 = 0 \\ 12 x + 4 y + 12 = 0 \\ 3 x + y + 3 = 0 \\ Persamaan P Q : 3 x + y + 3 = 0 \end{array}$

(b)(i)

$\begin{array}{l} y = 2 x + 7 ............ (1) \\ 3 x + y + 3 = 0 ............ (2) \\ Gantikan (1) ke dalam (2) : \\ 3 x + 2 x + 7 + 3 = 0 \\ 5 x = - 10 \\ x = - 2 \\ Apabila x = - 2, \\ D a r i (1), \\ y = 2 (- 2) + 7 = 3 \\ Koordinat bagi lampu isyarat = (- 2, 3) . \end{array}$

(b)(ii)

$\begin{array}{l} L (- \frac{4}{3}, 1) : x = - \frac{4}{3}, y = 1 \\ Persamaan S T : y = 2 x + 7 \\ Sebelah kiri: y = 1 \\ Sebelah kanan: 2 (- \frac{4}{3}) + 7 = 4 \frac{1}{3} \\ Oleh itu, jalan raya y = 2 x + 7 tidak \\ melalui L . \\ Persamaan P Q : 3 x + y + 3 = 0 \\ Sebelah kiri: \\ 3 x + y + 3 = 3 (- \frac{4}{3}) + 1 + 3 \\ = - 4 + 4 = 0 \\ Sebelah kanan = 0 \\ Sebelah kiri = Sebelah kanan \\ Oleh itu, jalan raya 3 x + y + 3 = 0 \\ melalui L . \end{array}$

6.8.9 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 9 (6 markah):
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima.
Rajah 1 menunjukkan segi tiga OCD.

Rajah 1

(a) Diberi luas segi tiga OCD ialah 30 unit², cari nilai h.
(b) Titik Q (2, 4) terletak pada garis lurus CD.
(i) Cari CQ : QD.
(ii) Titik P bergerak dengan keadaan PD = 2 PQ.
Cari persamaan lokus P.

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} Diberi luas △ O C D = 30 \\ \frac{1}{2} | \begin{array}{l} 0 h - 6 \\ 0 2 8 \end{array} \begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array} | = 30 \\ | (0) (2) + (h) (8) + (- 6) (0) - (0) (h) - (2) (- 6) - (8) (0) | = 60 \\ | 0 + 8 h + 0 - 0 + 12 - 0 | = 60 \\ | 8 h + 12 | = 60 \\ 8 h + 12 = 60 \\ 8 h = 48 \\ h = 6 \\ atau \\ 8 h + 12 = - 60 \\ 8 h = - 72 \\ h = - 9 (a b a i k a n) \end{array}$

(b)(i)

$\begin{array}{l} [\frac{6 (m) + (- 6) (n)}{m + n}, \frac{2 (m) + (8) (n)}{m + n}] = (2, 4) \\ \frac{6 m - 6 n}{m + n} = 2 \\ 6 m - 6 n = 2 m + 2 n \\ 4 m = 8 n \\ \frac{m}{n} = \frac{8}{4} \\ \frac{m}{n} = \frac{2}{1} \\ \frac{2 m + 8 n}{m + n} = 4 \\ 2 m + 8 n = 4 m + 4 n \\ 2 m = 4 n \\ \frac{m}{n} = \frac{4}{2} \\ \frac{m}{n} = \frac{2}{1} \\ Oleh itu, C Q = Q D = 2 : 1 \end{array}$

(b)(ii)

$\begin{array}{l} P D = 2 P Q \\ \sqrt{{(x - 6)}^{2} + {(y - 2)}^{2}} = 2 \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2}} \\ {(x - 6)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4 [{(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2}] \\ x^{2} - 12 x + 36 + y^{2} - 4 y + 4 = 4 [x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} - 8 y + 16] \\ x^{2} - 12 x + 36 + y^{2} - 4 y + 4 = 4 x^{2} - 16 x + 16 + 4 y^{2} - 32 y + 64 \\ Persamaan lokus P : \\ 3 x^{2} + 3 y^{2} - 4 x - 28 y + 40 = 0 \end{array}$

9.8.5 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 9 (6 markah):
Rajah 4 menunjukkan pandangan hadapan sebahagian daripada laluan ‘roller coaster’ di sebuah taman replika.

Bahagian lengkung laluan ‘roller coaster’ itu diwakili oleh persamaan

$y = \frac{1}{64} x^{3} - \frac{3}{16} x^{2}$ , dengan titik A sebagai asalan.
Cari jarak tegak terpendek, dalam m, dari laluan itu ke aras tanah.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} y = \frac{1}{64} x^{3} - \frac{3}{16} x^{2} ............... (1) \\ \frac{d y}{d x} = 3 (\frac{1}{64}) x^{2} - 2 (\frac{3}{16}) x^{1} \\ = \frac{3}{64} x^{2} - \frac{3}{8} x \\ Pada titik pusingan, \frac{d y}{d x} = 0 \\ \frac{3}{64} x^{2} - \frac{3}{8} x = 0 \\ x (\frac{3}{64} x - \frac{3}{8}) = 0 \\ x = 0 atau \\ \frac{3}{64} x - \frac{3}{8} = 0 \\ \frac{3}{64} x = \frac{3}{8} \\ x = \frac{3}{8} \times \frac{64}{3} \\ x = 8 \\ Gantikan nilai-nilai x ke dalam (1): \\ Apabila x = 0, \\ y = \frac{1}{64} {(0)}^{3} - \frac{3}{16} {(0)}^{2} \\ y = 0 \\ Apabila x = 8, \\ y = \frac{1}{64} {(8)}^{3} - \frac{3}{16} {(8)}^{2} \\ y = - 4 \\ Oleh itu, titik-titik pusingan : (0, 0) dan (8, - 4) \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{64} x^{2} - \frac{3}{8} x \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 2 (\frac{3}{64}) x - \frac{3}{8} \\ = \frac{3}{32} x - \frac{3}{8} \\ Apabila x = 0, \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{3}{32} (0) - \frac{3}{8} \\ = - \frac{3}{8} (< 0) \\ (0, 0) ialah titik maksimum . \\ Apabila x = 8, \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{3}{32} (8) - \frac{3}{8} \\ = \frac{3}{8} (> 0) \\ (8, - 4) ialah titik minimum . \\ Jarak tegak terpendek dari laluan ke aras tanah \\ adalah pada titik minimum . \\ Jarak tegak terpendek \\ = 5 - 4 \\ = 1 m \end{array}$

4.2.6 SPM Praktis, Persamaan Serentak

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 10 (5 markah):
Selesaikan persamaan serentak berikut:
x – 3y = 1,
x²+ 3xy + 9y²= 7

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} x - 3 y = 1................... (1) \\ x^{2} + 3 x y + 9 y^{2} = 7................... (2) \\ Daripada (1) : x = 3 y + 1................... (3) \\ Gantikan (3) ke dalam (2) : \\ {(3 y + 1)}^{2} + 3 (3 y + 1) y + 9 y^{2} = 7 \\ 9 y^{2} + 6 y + 1 + 9 y^{2} + 3 y + 9 y^{2} - 7 = 0 \\ 27 y^{2} + 9 y - 6 = 0 \\ 9 y^{2} + 3 y - 2 = 0 \\ (3 y - 1) (3 y + 2) = 0 \\ y = \frac{1}{3} atau - \frac{2}{3} \\ Gantikan y ke dalam (3) : \\ Apabila y = \frac{1}{3} \\ x = 3 (\frac{1}{3}) + 1 = 2 \\ Apabila y = - \frac{2}{3} \\ x = 3 (- \frac{2}{3}) + 1 = - 1 \\ Maka, penyelesaian ialah x = 2, y = \frac{1}{3} atau x = - 1, y = - \frac{2}{3} . \end{array}$

4.2.5 SPM Praktis, Persamaan Serentak

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 9 (7 markah):
Rajah menunjukkan plan bagi sebuah taman berbentuk segi empat tepat ABCD. Taman itu terdiri daripada sebuah kolam berbentuk semi bulatan ATD dan kawasan berumput ABCDT.

Diberi bahawa DC = 6y meter dan BC = 7x meter, x ≠ y. Luas taman berbentuk segi empat tepat ABCD ialah 168 meter² dan perimeter kawasan berumput ialah 60 meter. Kolam dengan kedalaman seragam mengandungi 15.4 meter³ air.
Dengan menggunakan

$π = \frac{22}{7}$ , cari kedalaman, dalam meter, air dalam kolam itu.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} Luas A B C D = 168 \\ (6 y) (7 x) = 168 \\ 42 x y = 168 \\ x y = 4................... (1) \\ Perimeter kawasan berumput = 60 \\ 6 y + 6 y + 7 x + (\frac{1}{2} \times 2 \times \frac{22^{11}}{7} \times \frac{7 x}{2}) = 60 \\ 12 y + 18 x = 60 \\ 2 y + 3 x = 10................... (2) \\ Daripada (1) : x y = 4 \\ x = \frac{4}{y} ................... (3) \\ Gantikan (3) ke dalam (2): \\ 2 y + 3 (\frac{4}{y}) = 10 \\ 2 y^{2} + 12 = 10 y \\ y^{2} - 5 y + 6 = 0 \\ (y - 2) (y - 3) = 0 \\ y - 2 = 0 \\ y = 2 \\ Atau \\ y - 3 = 0 \\ y = 3 \\ Gantikan nilai-nilai bagi y ke dalam (3): \\ Apabila y = 2 \\ x = \frac{4}{2} = 2 (abaikan, x \neq y) \\ Apabila y = 3 \\ x = \frac{4}{3} \\ Diberi isi padu air = 15.4 \\ \frac{1}{2} (\frac{22}{7}) {(\frac{7 x}{2})}^{2} d = 15.4 \\ \frac{1}{2} (\frac{22}{7}) {[\frac{7 (\frac{4}{3})}{2}]}^{2} d = 15.4 \\ \frac{11}{7} {(\frac{14}{3})}^{2} d = 15.4 \\ \frac{308}{9} d = 15.4 \\ d = 0.45 m \\ Oleh itu, kedalaman air dalam kolam ialah 0 .45 m . \end{array}$

1.6.4 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 7 (8 markah):
Diberi bahawa g : x → 2x – 3 dan h : x → 1 – 3x.
(a) Cari
(i) h (5)
(ii) nilai k jika

$g (k + 2) = \frac{1}{7} h (5),$
(iii) hg(x).
(b) Seterusnya, lakarkan graf y = | hg(x) | untuk –1 ≤ x ≤ 3.
Nyatakan julat bagi y.

Penyelesaian:
(a)(i)

$\begin{array}{l} h (x) = 1 - 3 x \\ h (5) = 1 - 3 (5) \\ = - 14 \end{array}$

(a)(ii)

$\begin{array}{l} g (x) = 2 x - 3 \\ g (k + 2) = \frac{1}{7} h (5) \\ 2 (k + 2) - 3 = \frac{1}{7} (- 14) \\ 2 k + 4 - 3 = - 2 \\ 2 k = - 3 \\ k = - \frac{3}{2} \end{array}$

(a)(iii)

$\begin{array}{l} g (x) = 2 x - 3, h (x) = 1 - 3 x \\ h g (x) = h (2 x - 3) \\ = 1 - 3 (2 x - 3) \\ = 1 - 6 x + 9 \\ = 10 - 6 x \end{array}$

(b)
y = |hg(x)|,
y = |10 – 6x|
Julat bagi y : 0 ≤ y ≤ 16