Bab 15 Vektor


4.4.1 Pengungkapan Suatu Vektor sebagai Gabungan Linear Vektor yang lain (Contoh)

Contoh:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah segiempat selari ABCD. Titik Q terletak pada garis lurus AB dan titik S terletak pada garis lurus DC. Garis lurus AS dipanjangkan ke titik dengan keadaan AS = 2ST.


Diberi bahawa AQ : QB = 3 : 1, DS : SC = 3 : 1, AQ=6a˜ dan AD=b˜   
(a) Ungkapan dalam sebutan a˜ dan b˜:
 (i) AS   (ii) QC
(b) Seterusnya, tunjukkan titik Q, C dan T adalah segaris.


Penyelesaian:
(a)(i)
AS=AD+DS=AD+AQAQ:QB= 3:1 dan DS:SC= 3:1AQ=DS=b˜+6a˜=6a˜+b˜

(a)(ii)
QC=QB+BC =13AQ+ADAQ:QB= 3:1AQQB=31QB=13AQbagi segiempat selari, BC//AD, BC=AD  =13(6a˜)+b˜ =2a˜+b˜

(b)
QT=QA+AT  = QA+32ASAS=2STAT=3ST=32AS =6a˜+32(6a˜+b˜)  =3a˜+32b˜   =32(2a˜+b˜)   =32QCMaka Q, C dan T adalah segaris.


Bab 15 Vektor


Soalan 10 (3 markah):
Rajah menunjukkan vektor-vektor OP, OQ dan OM dilukis pada grid segi empat sama.

Rajah

(a) Ungkapkan OM dalam bentuk hp˜+kq˜dengan keadaan h dan k ialah pemalar.(b) Pada Rajah 3, tanda dan label titik N dengan keadaan MN+OQ=2OP.


Penyelesaian:
(a)
OM=p˜+2q˜

(b)

MN+OQ=2OPMN=2OPOQ   =2p˜q˜



Soalan 11 (4 markah):
A(2, 3) dan B(2, 5) terletak padasuatu satah Cartes.Diberi bahawa 3OA=2OB+OC.Cari(a) koordinat C,(b) |AC|


Penyelesaian:
Diberi A(2,3) dan B(2,5)Maka, OA=2i˜+3j˜ dan OB=2i˜+5j˜

(a)

3OA=2OB+OCOC=3OA2OB =3(2i˜+3j˜)2(2i˜+5j˜) =6i˜+9j˜+4i˜10j˜ =10i˜j˜Maka, koordinat C ialah (10, 1)


(b)
AC=AO+OC =OA+OC =(2i˜+3j˜)+10i˜j˜ =2i˜+10i˜3j˜j˜ =8i˜4j˜|AC|=82+(4)2   =80 unit   =16×5 unit   =45 unit

Bab 15 Vektor


Soalan 8 (3 markah):
Rajah menunjukkan trapezium ABCD.

Rajah

Diberi p˜=(34) dan q˜=(k1  2), dengankeadaan k ialah pemalar, cari nilai k.


Penyelesaian:

p˜=mq˜(34)=m(k1  2)(34)=(mkm   2m)mkm=3 .......... (1)2m=4 ................ (2)Dari(2):2m=4m=2Gantikan m=2 ke dalam (1):2k2=32k=3+22k=5k=52



Soalan 9 (3 markah):
Rajah menunjukkan vektor-vektor AB, AC dan AD yang dilukis pada grid segi empat sama bersisi 1 unit.

Rajah

(a) Cari |BA|.(b) Diberi AB=b˜ dan AC=c˜,ungkapkan dalam sebutan b˜ dan c˜ (i) BC,(ii) AD

Penyelesaian:
(a)
|BA|=32+42=5 unit

(b)(i)
BC=BA+AC =b˜+c˜ =c˜b˜

(b)(ii)
AD=AB+BD =b˜+2BC =b˜+2(c˜b˜) =2c˜b˜

4.7.10 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 10 (10 markah):
Rajah 5 menunjukkan segi tiga OAQ dan segi tiga OPB dengan keadaan titik P berada pada OA dan titik Q berada pada OB. Garis lurus AQ dan garis lurus PB bersilang pada titik R.

Diberi bahawa OA=18x˜, OB=16y˜, OP:PA=1:2, OQ:QB=3:1,PR=mPB dan QR=nQA, dengan keadaan m dan n ialah pemalar.(a) Ungkapkan OR dalam sebutan   (i) m, x˜ dan y˜,   (ii) n, x˜ dan y˜,(b) Seterusnya, cari nilai m dan nilai n.(c) Diberi |x˜|=2 unit, |y˜|=1 unit dan OA berserenjang kepada OB, hitung |PR|.


Penyelesaian
(a)(i)
OR=OP+PR =13OA+mPB =13(18x˜)+m(PO+OB) =6x˜+m(6x˜+16y˜)

(a)(ii)
OR=OQ+QR =34OB+nQA =34(16y˜)+n(QO+OA) =12y˜+n(12y˜+18x˜) =(1212n)y˜+18nx˜


(b)
6x˜+m(6x˜+16y˜)=(1212n)y˜+18nx˜6x˜6mx˜+16my˜=18nx˜+12y˜12ny˜Dengan cara perbandingan;66m=18n1m=3nm=13n..............(1)16m=1212n4m=33n..............(2)Gantikan (1) ke dalam (2),4(13n)=33n412n=33n9n=1n=19Gantikan n=19 ke dalam (1),m=13(19)m=23


(c)
|x˜|=2|y˜|=1 PR=23PB =23(6x˜+16y˜) =4x˜+323y˜|PR|=[4(2)]2+[323(1)]2  =16009  =403 units


4.7.9 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 9 (10 markah):
Rajah 5 menunjukkan segi tiga ABC. Garis lurus AE bersilang dengan garis lurus BC di titik D. Titik V terletak pada garis lurus AE.

Diberi bahawa BD=13BC,AC=6x˜ dan AB=9y˜.(a) Ungkapkan dalam sebutan x˜ dan / atau y˜:   (i) BC,   (ii) AD.(b) Diberi bahawa AV=mAD dan BV=n(x˜9y˜),   dengan keadaan m dan n ialah pemalar.  Cari nilai m dan nilai n.(c) Diberi AE=hx˜+9y˜, dengan keadaan h ialah pemalar,   cari nilai h.


Penyelesaian: 
(a)(i)
BC=BA+AC =9y˜+6x˜ =6x˜9y˜

(a)(ii)
AD=AB+BD =9y˜+13BC =9y˜+13(6x˜9y˜) =9y˜+2x˜3y˜ =2x˜+6y˜


(b)
Diberi AV=mAD=m(2x˜+6y˜)=2mx˜+6my˜AV=AB+BV   = 9y˜+n(x˜9y˜)  =9y˜+nx˜9ny˜  =nx˜+(99n)y˜Dengan menyamakan pekali bagi x˜ dan y˜2mx˜+6my˜=nx˜+(99n)y˜2m=nn=2m.............(1)6m=99n.............(2)Gantikan (1) ke dalam (2),6m=99(2m)6m=918m24m=9m=924=38Daripada (1):n=2(38)=34


(c)
A, D dan E adalah segaris.AD=k(AE)AD=k(hx˜+9y˜)2x˜+6y˜=khx˜+9ky˜Dengan menyamakan pekali bagi y˜:9k=6k=69k=23Dengan menyamakan pekali bagi x˜:kh=2(23)h=2h=2×32h=3



4.7.8 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 8:
Rajah di bawah menunjukkan sisi empat OPQR. Garis lurus PR bersilang dengan garis lurus OQ di titik S.

Diberi bahawa OP=7x˜, OR=5y˜, PS:SR=3:1 dan OR selari dengan PQ.(a) Ungkapkan dalam sebutan x˜ dan y˜,(i) PR(ii) OS(b) Guna PQ=mOR dan SQ=nOS, dengan keadaan m dan n adalah pemalar,      Cari nilai m dan nilai n.(c) Diberi bahawa |y˜|=4 unit dan luas ORS ialah 50 cm2, cari jarak tegak      dari titik S ke OR.


Penyelesaian:
(a)(i)
PR=PO+OR  =7x˜+5y˜


(a)(ii)
OS=OP+PS  =7x˜+34PR  =7x˜+34(7x˜+5y˜)  =7x˜214x˜+154y˜  =74x˜+154y˜


(b)
PS=PQSQ34PR=mORnOS34(7x˜+5y˜)=m(5y˜)n(74x˜+154y˜)214x˜+154y˜=5my˜74nx˜154my˜214x˜+154y˜=74nx˜+54my˜21x˜+15y˜=7nx˜+5my˜7n=21n=35m=15m=3


(c)
Luas ΔORS=5012×(5y˜)×t=5012×5(4)×t=5010t=50t=5 Jarak tegak dari titik S ke OR=5 unit.

4.7.7 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 7:
Rajah di bawah menunjukkan sisi empat OPBC. Garis lurus AC bersilang dengan garis lurus PQ di titik B.

Diberi bahawa OP=a˜, OQ=b˜, OA=4AP, OC=3OQ, PB=hPQ danAB=kAC.(a) Ungkapkan OB dalam sebutan ha˜ dan b˜.(b) Ungkapkan OB dalam sebutan ka˜ dan b˜.(c)(i) Cari nilai h dan nilai k.    (ii) Seterusnya, nyatakan OB dalam sebutan a˜ dan b˜.


Penyelesaian:
(a)
OB=OP+PB =a˜+hPQ =a˜+h(PO+OQ) =a˜+h(a˜+b˜) =a˜ha˜+hb˜OB=(1h)a˜+hb˜


(b)
OB=OP+PB =a˜+PA+AB =a˜+(15OP)+kAC =a˜+(15a˜)+k(AO+OC) =45a˜+k(45OP+3OQ) =45a˜+k(45a˜+3b˜) =45a˜45ka˜+3kb˜OB=45(1k)a˜+3kb˜


(c)(i)
(1h)a˜+hb˜=45(1k)a˜+3kb˜1h=4545k..........(1)h=3k..........(2)Gantikan (2) ke dalam (1) 13k=4545k515k=44k11k=1k=111Gantikan k=111 ke dalam (2)h=3(111)  =311


(c)(ii)
OB=(1h)a˜+hb˜apabila h=311=(1311)a˜+(311)b˜=811a˜+311b˜

4.7.6 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 6:
Diagram below shows a trapezium OABC and point D lies on AC.


Diberi bahawa OC=18b˜, OA=6a˜ dan OC=2AB.(a) Ungkapkan dalam sebutan a˜ dan b˜,(i) AC(ii) OB(b) Diberi bahawa AD=kAC, dengan keadaan k ialah pemalar.Cari nilai k jika titik-titik OD dan B adalah segaris.


Penyelesaian:
(a)(i)
AC=AO+OC  =6a˜+18b˜  =18b˜6a˜


(a)(ii)
OC=2AB18b˜=2(AO+OB)18b˜=2(6a˜+OB)18b˜=12a˜+2OBOB=6a˜+9b˜


(b)
OD=hOB=h(6a˜+9b˜)=6ha˜+9hb˜AD=ODOA=6ha˜+9hb˜6a˜=a˜(6h6)+9hb˜AD=kACa˜(6h6)+9hb˜=k(18b˜6a˜)a˜(6h6)+9hb˜=6ka˜+18kb˜6h6=6kh1=kh=1k..........(1)9h=18kh=2kDari (1),1k=2k3k=1k=13

4.7.5 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 5:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga KLM.


Diberi KP:PL=1:2, LR:RM=2:1, KP=2x˜, KM=3y˜.(a) Ungkapkan dalam sebutan x˜ dan y˜,(i) MP(ii) MR(b) Diberi x˜=2i˜ dan y˜=i˜+4j˜, cari |MR|.(c) Diberi MQ=hMP dan QR=nKR, dengan keadaan h dan n ialah pemalar,   cari nilai h dan nilai n.


Penyelesaian:
(a)(i)
MP=MK+KP  =3y˜+2x˜  =2x˜3y˜

(a)(ii)
MR=13ML  =13(MK+KL)  =13(3y˜+6x˜)  =2x˜y˜

(b)
MR=2(2i˜)(i˜+4j˜)  =4i˜+i˜4j˜  =5i˜4j˜|MR|=52+(4)2   =41 unit

(c)
MQ+QR=MRhMP+nKR=MRh(2x˜3y˜)+n(KM+MR)=2x˜y˜h(2x˜3y˜)+n(3y˜+2x˜y˜)=2x˜y˜2hx˜3hy˜+2nx˜+2ny˜=2x˜y˜(2h+2n)x˜+(3h+2n)y˜=2x˜y˜2h+2n=2..........(1)3h+2n=1..........(2)(1)(2):5h=3 h=35Dari (1):h+n=1   35+n=1 n=135 n=25

4.7.4 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 4:
Rajah di bawah menunjukkan sisi empat ABCD. Garis lurus AC bersilang dengan garis lurus BD di titik E.


Diberi bahawa BE:ED=2:3, AB=10x˜, AD=25y˜ dan BC=x˜+15y˜.(a) Ungkapkan dalam sebutan x˜ dan y˜,(i) BD(ii) AE(b) Cari nisbah AE:EC.


Penyelesaian:
(a)(i)
BD=BA+AD  =ADAB  =25y˜10x˜

(a)(ii)
AE=AB+BE  =AB+25BD  =10x˜+25(25y˜10x˜)  =10x˜+25(25y˜10x˜)  =10x˜+10y˜4x˜  =6x˜+10y˜  =2(3x˜+5y˜)

(b)
EC=EB+BC  =BCBE  =BC23ED  =BC23(EA+AD)  =x˜+15y˜23(6x˜10y˜+25y˜)  =x˜+15y˜23(6x˜+15y˜)  =x˜+15y˜+4x˜10y˜  =3x˜+5y˜AEEC=2(3x˜+5y˜)1(3x˜+5y˜)AE:EC=2:1