4.7.5 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 5:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga KLM.


Diberi KP:PL=1:2, LR:RM=2:1, KP=2x˜, KM=3y˜.(a) Ungkapkan dalam sebutan x˜ dan y˜,(i) MP(ii) MR(b) Diberi x˜=2i˜ dan y˜=i˜+4j˜, cari |MR|.(c) Diberi MQ=hMP dan QR=nKR, dengan keadaan h dan n ialah pemalar,   cari nilai h dan nilai n.


Penyelesaian:
(a)(i)
MP=MK+KP  =3y˜+2x˜  =2x˜3y˜

(a)(ii)
MR=13ML  =13(MK+KL)  =13(3y˜+6x˜)  =2x˜y˜

(b)
MR=2(2i˜)(i˜+4j˜)  =4i˜+i˜4j˜  =5i˜4j˜|MR|=52+(4)2   =41 unit

(c)
MQ+QR=MRhMP+nKR=MRh(2x˜3y˜)+n(KM+MR)=2x˜y˜h(2x˜3y˜)+n(3y˜+2x˜y˜)=2x˜y˜2hx˜3hy˜+2nx˜+2ny˜=2x˜y˜(2h+2n)x˜+(3h+2n)y˜=2x˜y˜2h+2n=2..........(1)3h+2n=1..........(2)(1)(2):5h=3 h=35Dari (1):h+n=1   35+n=1 n=135 n=25

4.7.4 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 4:
Rajah di bawah menunjukkan sisi empat ABCD. Garis lurus AC bersilang dengan garis lurus BD di titik E.


Diberi bahawa BE:ED=2:3, AB=10x˜, AD=25y˜ dan BC=x˜+15y˜.(a) Ungkapkan dalam sebutan x˜ dan y˜,(i) BD(ii) AE(b) Cari nisbah AE:EC.


Penyelesaian:
(a)(i)
BD=BA+AD  =ADAB  =25y˜10x˜

(a)(ii)
AE=AB+BE  =AB+25BD  =10x˜+25(25y˜10x˜)  =10x˜+25(25y˜10x˜)  =10x˜+10y˜4x˜  =6x˜+10y˜  =2(3x˜+5y˜)

(b)
EC=EB+BC  =BCBE  =BC23ED  =BC23(EA+AD)  =x˜+15y˜23(6x˜10y˜+25y˜)  =x˜+15y˜23(6x˜+15y˜)  =x˜+15y˜+4x˜10y˜  =3x˜+5y˜AEEC=2(3x˜+5y˜)1(3x˜+5y˜)AE:EC=2:1

3.8.7 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 8:
Rajah di bawah menunjukkan lengkung y=4x2 dan garis lurus y = mx + c. Garis lurus y = mx + c ialah tangen kepada lengkung pada (2, 1).
(a) Cari nilai m dan nilai c.

(b) Hitung luas kawasan berlorek.

(c) Diberi bahawa isi padu kisaran apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung, paksi-x, garis lurus x = 2 dan x = h diputarkan melalui 360o pada paksi-x ialah 38π81 unit3.
Cari nilai h, dengan keadaan h > 2.


Penyelesaian:
(a)
y=4x2=4x2dydx=8x3=8x3At x=2,dydx=823=1Persamaan tangen:yy1=m(xx1)y1=1(x2)y=x+2+1y=x+3m=1, c=3


(b)
Pada paksi-xy=0Dari garis lurus y=x+3,x=3Luas kawasan berlorek=Luas bawah lengkungLuas segi tiga=42y dx12×1×1=42(4x2) dx12=[4x11]4212=[4x]4212=[44(42)]12=12 unit2


(c)
Isipadu kisaran=38π81πh2y2 dx=38π81h2(4x2)2dx=3881h2(16x4)dx=3881h2(16x4)dx=3881[16x33]h2=3881[163x3]h2=3881163h3(163(2)3)=3881163h3=16243881163h3=16813h3=81h3=27h=3

3.8.6 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 7:
Rajah di bawah menunjukkan suatu lengkung y=14x2+3 yang menyilang suatu garis lurus y = x + 6 pada titik A.

(a) Cari koordinat A.
(b) ) hitung
(i) luas rantau berlorek M,
(ii) isipadu kisaran, dalam sebutan π, apabila rantau berlorek N diputarkan melalui 360o pada paksi-y.


Penyelesaian:
(a)
y=14x2+3..........(1)y=x+6..........(2)Gantikan (2) ke dalam (1),x+6=14x2+34x+24=x2+12x24x12=0(x+2)(x6)=0x=2   or   x=6 (ditolak)Apabila x=2y=2+6=4Oleh itu, A=(2,4).


(b)(i)
Pada paksi-xy=0Dari y=x+6,x=6Luas kawasan berlorek M=Luas segi tiga+Luas di bawah lengkung=12×(62)×4+02y dx=8+02(14x2+3) dx=8+[x34(3)+3x]02=8+[0((2)312+3(2))]=8+[0(8126)]=8+[0(203)]=1423 unit2


(b)(ii)
pada paksi-yx=0, y=14(0)+3y=3y=14x2+34y=x2+12x2=4y12Isipadu Nπ43x2dyπ43(4y12)dyπ43(2y212y)dy=π[(2y212y)]43=π[(2(4)212(4))(2(3)212(3))]=π(16+18)=2π unit3


3.7.5 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 1)


Soalan 11:
Diberi=52g(x)dx=2. Cari(a) nilai bagi 25g(x)dx,(b) nilai bagi m jika 52[g(x)+m(x)]dx=19

Penyelesaian:
(a) 25g(x)dx=52g(x)dx =(2) =2

(b) 52[g(x)+m(x)]dx=19 52g(x)dx+m52xdx=19  2+m[x22]52=19  m2[x2]52=21   m2[254]=2121m=42m=2



Soalan 12:
a) Cari nilai bagi 11(3x+1)3dx.(b) Nilaikan 4312x4 dx.

Penyelesaian:
a) 11(3x+1)3dx=[(3x+1)44(3)]11   =[(3x+1)412]11   =112[44(2)4]   =112(25616)   =20

(b) 4312x4 dx=431(2x4)12 dx=43(2x4)12 dx=[(2x4)12+112(2)]43=[2x4]43=[2(4)42(3)4]=22



Soalan 13:
Diberi y=x22x1, tunjukkandydx=2x(x1)(2x1)2. Seterusnya, nilaikan 22x(x1)4(2x1)2 dx.

Penyelesaian:
y=x22x1dydx=(2x1)(2x)x(2)(2x1)2    =4x22x2x2(2x1)2    =2x22x(2x1)2    =2x(x1)(2x1)2 (tertunjuk)222x(x1)(2x1)2 dx=[x22x1]2218222x(x1)(2x1)2 dx=18[x22x1]221422x(x1)(2x1)2 dx=18[(222(2)1)((2)22(2)1)]                           =18[(43)(45)]                           =18(3215)                           =415

3.7.4 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 1)


Soalan 8:
Diberi 32g(x)dx=4, dan 32h(x)dx=9, cari nilai bagi(a) 325g(x)dx,(b) m jika 32[g(x)+3h(x)+4m]dx=12

Penyelesaian:
(a)
325g(x)dx=532g(x)dx                 =5×4                 =20

(b)
32[g(x)+3h(x)+4m]dx=1232g(x)dx+332h(x)dx+324mdx=124+3(9)+4m[x]32=12       4m[3(2)]=19                      20m=19                          m=1920



Soalan 9:
Diberi y=5xx2+1 dan dydx=g(x), cari nilai bagi 302g(x)dx.

Penyelesaian:
Memandangkandydx=g(x), maka y=g(x)dx302g(x)dx=230g(x)dx  =2[y]30  =2[5xx2+1]30  =2[5(3)32+10]  =2(1510)  =3



Soalan 10:
Cari k5(x+1)dx, dalam sebutan k.

Penyelesaian:
k5(x+1)dx=[x22+x]k5  =(k22+k)(522+5)  =k2+2k2352  =k2+2k352

3.7.3 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 1)


Soalan 5:
Diberi (6x2+1)dx=mx3+x+c, dengan keadaan m dan c ialah pemalar, cari(a) nilai m.(b) nilai c jika (6x2+1)dx=13 apabila x=1.

Penyelesaian:
(a)
(6x2+1)dx=mx3+x+c6x33+x+c=mx3+x+c2x3+x+c=mx3+x+cBanding kedua-dua belah,Maka, m=2

(b)
(6x2+1)dx=13 apabila x=1.2(1)3+1+c=13           3+c=13                c=10



Soalan 6:
Diberi bahawa k5g(x)dx=6, dan k5[g(x)+2]dx=14,cari nilai k.

Penyelesaian:
k5[g(x)+2]dx=14k5g(x)dx+k52dx=14               6+[2x]k5=14                2(k5)=8                     k5=4                          k=9



Soalan 7:
Diberi 2k(4x+7)dx=28, hitung nilai yang mungkin bagi k.

Penyelesaian:
2k(4x+7)dx=28[2x2+7x]2k=288+14(2k2+7k)=28222k27k=282k2+7k+6=0(2k+3)(k+2)=0k=32 atau k=2

1.4.4 Janjang, SPM Praktis (Soalan Panjang)


Soalan 4:
Sebutan ketiga dan keenam suatu janjang geometri masing-masing ialah 24 dan 719 . Cari
(a) Sebutan pertama dan nisbah sepunya,
(b) Hasil tambah lima sebutan pertama,
(c) Hasil tambah n sebutan pertama dengan n yang cukup besar hingga rn ≈ 0.

Penyelesaian:
(a)
Diberi T3=24         ar2=24 ...........(1)Diberi T6=719         ar5=649 ...........(2)(2)(1):ar5ar2=64924          r3=827           r=23

Gantikan r=23 ke dalam (1)           a(23)2=24            a(49)=24                   a=24×94                     =54Jadi, sebutan pertama ialah 54 dannisbah sepunya ialah 23.

(b)
S5=54[1(23)5]123   =54×211243×31   =14023Jadi, hasil tambah lima sebutan pertama ialah 14023.

(c)
Apabila 1<r<1 dan n menjadi cukup besar sehingga rn0,maka Sn=a1r            =54 1  23             =162

Jadi, hasil tambah n sebutan pertama dengan n yang cukup besar sehingga rn ≈ 0 ialah 162.

1.4.3 Janjang, SPM Praktis (Soalan Panjang)


Soalan 3:
Suatu janjang aritmetik mempunyai 16 sebutan. Hasil tambah 16 sebutan itu ialah 188, manakala hasil tambah bagi sebutan-sebutan genap ialah 96. Cari
(a) sebutan pertama dan beza sepunya,
(b) sebutan terakhir.

Penyelesaian:
(a)
Katakan sebutan pertama = a
Beza sepunya = d

Diberi                  S16=188Maka, 162[2a+15d]=188              8[2a+15d]=188                   2a+15d=1888                   2a+15d=23.5(1)

Diberi hasil tambah sebutan-sebutan genap = 96
T2+T4+T6+.....+T16=96(a+d)+(a+3d)+(a+5d)+.....+(a+15d)=9682[(a+d)+(a+15d)]=964[2a+16d]=962a+16d=24(2)

(2) – (1):
16d – 15d = 24 – 23.5
d = 0.5

Gantikan d = 0.5 ke dalam (2):
2a + 16 (0.5) = 24
2a + 8 = 24
2a = 16
a = 8
Maka, sebutan pertama = 8 dan beza sepunya = 0.5.

(b)
Sebutan terakhir = T16
= 8 + 15 (0.5)
= 8 +7.5
= 15.5

10.4.8 Penyelesaian Segitiga, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 8:
Rajah menunjukkan sisi empat kitaran PQRS.


(a) Hitung
(i) panjang, dalam cm, bagi PR,
(ii) ∠PRQ.
(b) Cari
(i) luas, dalam cm2, bagi ∆ PRS.
(ii) jarak terdekat, dalam cm, dari titik S ke PR.


Penyelesaian:
(a)(i)
PR2=72+822(7)(8)kos80oPR2=11319.4486PR=93.5514PR=9.6722 cm


(a)(ii)
Dalam sisi empat kitaranPQR+PSR=180PQR+80=180PQR=100osinQPR3=sin1009.6722sinQPR=0.3055QPR=17o47'PRQ=180o100o17o47'  =62o13'


(b)(i)
Luas PRS = 1 2 ×7×8sin 80 o =27.5746  cm 2


(b)(ii)

Luas PRS=27.5746 1 2 ×9.6722×h=27.5746    h= 27.5746×2 9.6722  =5.7018 cm Jarak terdekat=5.7018 cm