Bab 14 Pengamiran

Posted on May 17, 2016 by user

3.8 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

Suatu lengkung dengan fungsi kecerunan

$5 x - \frac{5}{x^{2}}$ mempunyai titik pusingan di (m, 9).

(a) Cari nilai m.

(b) Tentukan sama ada titik pusingan ini adalah titik maksimum atau titik minimum.

Penyelesaian:

(a)

$\begin{array}{l} \frac{d y}{d x} = 5 x - \frac{5}{x^{2}} \\ Di titik pusingan (m, 9), \\ \frac{d y}{d x} = 0 \\ 5 m - \frac{5}{m^{2}} = 0 \\ \frac{5}{m^{2}} = 5 m \\ m^{3} = 1 \\ m = 1 \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} \frac{d y}{d x} = 5 x - \frac{5}{x^{2}} = 5 x - 5 x^{- 2} \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 5 + \frac{10}{x^{3}} \\ Apabila x = 1, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 15 (> 0) \end{array}$

Dengan itu, (1, 9) adalah satu titik minimum.

(c)

$\begin{array}{l} y = \int (5 x - 5 x^{- 2}) d x \\ y = \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{5}{x} + c \\ Pada titik pusingan (1, 9), x = 1 dan y = 9. \\ 9 = \frac{5 {(1)}^{2}}{2} + \frac{5}{1} + c \\ c = \frac{3}{2} \\ Persamaan lengkung: y = \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{5}{x} + \frac{3}{2} \end{array}$

Soalan 2:

Suatu lengkung mempunyai fungsi kecerunan kx²– 7x, dengan keadaan k ialah pemalar. Tangen kepada lenkung itu pada titik (1, 3 ) adalah selari dengan garis lurus y + x – 4 = 0.

Cari

(a) nilai k,

(b) persamaan lengkung itu.

Penyelesaian:

(a)

y + x – 4 = 0

y = – x + 4

m = –1

f ’(x) = kx²– 7x

Diberi tangen kepada lenkung itu pada titik (1, 3 ) adalah selari dengan garis lurus

kx² – 7x = –1

k (1)²– 7 (1) = –1

k – 7 = –1

k = 6

(b)

$\begin{array}{l} f' (x) = 6 x^{2} - 7 x \\ f (x) = \int (6 x^{2} - 7 x) d x \\ f (x) = \frac{6 x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2} + c \\ 3 = 2 {(1)}^{3} - \frac{7 {(1)}^{2}}{2} + c di titik (1, 3) \\ c = \frac{9}{2} \\ ∴ f (x) = 2 x^{3} - \frac{7 x^{2}}{2} + \frac{9}{2} \end{array}$