Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.3a Pembentukan Persamaan Kuadratik daripada Punca

Apabila diberi α dan β ialah punca-punca bagi persamaan ax 2 + bx + c = 0, maka


x = α                atau     x = β
x α = 0         atau     x β = 0
(x α) (x β) = 0
x 2 – ( α + β ) x + αβ = 0

Kesimpulan:
x 2 – (hasil tambah punca ) x + (hasil darab punca) = 0

Contoh:
Bentukkan persamaan kuadratik apabila punca-puncanya adalah seperti berikut:
(a)  3, 1
(b) 2, ¼
(c) , ¼
(d) 3m,2m

Penyelesaian:





Bab 15 Vektor

4.7 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 2:
Diberi AB=(1014), OB=(46), dan CD=(m7), carikan
(a)  koordinat A,
(b)  vektor unit dalam arah OA
(c)  nilai m jika CD selari dengan AB.       

Penyelesaian:  
(a)
AB=(1014), OB=(46)CD=(m7)AB=AO+OB(1014)=(xy)+(46)(xy)=(1014)(46)AO=(68)OA=(68)A=(6,8)

(b)
|OA|=(6)2+(8)2|OA|=100=10the unit vector in the direction of OA=OA|OA|=(68)10=110(68)=(3545)

(c)
Given CD parallel AB CD=kAB(m7)=k(1014)(m7)=(10k14k)
7 = 14k
k= ½
m = 10k = 10 (½) = 5

Bab 15 Vektor

4.6 Vektor, SPM Praktis (Kertas 1) 
Soalan 5:
  p=5a˜7b˜  q=2a˜+3b˜  r=(h1)a˜+(h+k)b˜  dengan keadaan h dan k adalah pemalar  
Gunakan maklumat di atas untuk mencari nilai h dan nilai k apabila r= 2p – 3q.

Penyelesaian:
r=2p3q(h1)a˜+(h+k)b˜=2(5a˜7b˜)3(2a˜+3b˜)(h1)a˜+(h+k)b˜=10a˜14b˜+6a˜9b˜(h1)a˜+(h+k)b˜=16a˜23b˜

Bandingkan vektor,
h– 1 = 16
h = 17
h+ k = –23
17 + k = –23
k = –40



Soalan 6:
Titik-titik P, Qdan R adalah segaris. Diberi bahawa PQ=4a˜2b˜ dan QR=3a˜+(1+k)b˜, dengan keadaan kialah pemalar. Cari
(a)  nilai k,
(b)  nisbah PQ : QR.

Penyelesaian:
(a)
Jika P, Q dan R adalah segaris,PQ=mQR4a˜2b˜=m[3a˜+(1+k)b˜]4a˜2b˜=3ma˜+m(1+k)b˜Bandingan vektor:a˜: 4=3m        m=43b˜: 2=m(1+k)2=43(1+k)1+k=64k=321k=52

(b)
PQ=mQRPQ=43QRPQQR=43PQ:QR=4:3



Soalan 7:
Diberi bahawa x˜=3i˜+mj˜ dan y˜=4i˜3j˜,, cari nilai m jika vektor x˜ selari dengan vektor y˜.

Penyelesaian:
Jika vektor x˜ selari dengan vektor y˜x˜=hy˜(3i˜+mj˜)=h(4i˜3j˜)3i˜+mj˜=4hi˜3hj˜Bandingkan vektor:i˜:  3=4h        h=34j˜:  m=3h        m=3(34)=94


Bab 15 Vektor


4.6.2 Vektor, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 3:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi empat tepat OABC dan titik D terletak pada garis lurus OB.


Diberi bahawa OD = 3DBUngkapkan OD , dalam sebutan x˜ dan y˜.

Penyelesaian:
OB=OA+AB=3x˜+12y˜OD=3DBODDB=31OD:DB=3:1OD=34OB=34(3x˜+12y˜)=94x˜+9y˜



Soalan 4:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi empat selari ABCD dan BED ialah satu garis lurus.


Diberi bahawa AB=7p˜, AD=5q˜ dan DE=3EB, ungkap dalam sebutan p˜ dan q˜.(a) BD(b) EC

Penyelesaian:
(a)
Bagi segi empat selari,AB=DC=7p˜,AD=BC=5q˜.BD=BA+ADBD=7p˜+5q˜

(b)
DE=3EBEBDE=13EB:DE=1:3EB=14DB=14(BD)=14[(7p˜+5q˜)]Dari (a)=74p˜+54q˜

EC=EB+BCEC=74p˜+54q˜+5q˜EC=74p˜+254q˜


Bab 15 Vektor

4.6 Vektor, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 1:
Diberi bahawa O (0, 0), A(–3, 4) dan B(-9, 12), Cari dalam sebutan vektor unit i˜ dan j˜ 
(a) AB 
(b)  vektor unit dalam arah AB

Penyelesaian:  
(a)
A=(3,4), dengan itu OA=3i˜+4j˜B=(9,12), dengan itu OB=9i˜+12j˜AB=AO+OBAB=(3i˜+4j˜)+(9i˜+12j˜)AB=3i˜4j˜9i˜+12j˜AB=6i˜+8j˜ 

(b)
Magnitud |AB|,|AB|=(6)2+(8)2=10Maka vektor unit dalam arah AB,AB|AB|=110(6i˜+8j˜)=35i˜+45j˜



Soalan 2:
Diberi bahawa A(–3, 2), B(4, 6) dan C(m, n), cari nilai m dan n supaya 2AB+BC=(123).

Penyelesaian:  
A=(32), B=(46) and C=(mn)AB=AO+OBAB=(32)+(46)=(74)BC=BO+OCBC=(46)+(mn)=(4+m6+n)

Given 2AB+BC=(123)2(74)+(4+m6+n)=(123)(144+m86+n)=(123)

10 + m = 12
m= 2

2 + n = –3
n= –5

Bab 14 Pengamiran


3.8.2 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:
Rajah di bawah menunjukkan suatu lengkung = y2 – 1 yang bersilang dengan garis lurus 3y = 2x pada titik Q.

Hitungkan isipadu janaan apabila rantau berlorek itu dikisarkan melalui 360opada paksi-y.


Penyelesaian:



x
= y2 – 1 ---- (1)
3y = 2x
x=32y(2)Gantikan (2) ke dalam (1),32y=y21

2y2 – 3y – 2 = 0
(2y + 1) (y – 2) = 0
y = –½   atau   y = 2

apabila y=2,x=32(2)=3, Q=(3, 2)I1(Isipadu kon)=13πr2h=13π(3)2(2)=6π unit3

I2(Isipadu lengkung)=π21x2dy=π21(y21)2dy=π21(y42y2+1)dy=π[y552y33+y]21=π[(2552(2)33+2)(1552(1)33+1)]=π(4615815)=3815πunit3

Maka isipadu janaan = I 1 I 2 = 6 π 38 15 π = 52 15 π unit 3


Bab 14 Pengamiran

3.8 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 3:
Fungsi kecerunan suatu lengkung melalui titik P(2, -14) ialah 6x2 – 12x.
Cari
(a)  persamaan lengkung itu,
(b)  koordinat titik-titik pusingan lengkung itu, dan tentukan sama ada setiap titik pusingan itu adalah maksimum atau minimum.                                                       

Penyelesaian:
(a)
Fungsi kecerunan suatu lengkung, dy/dx = 6x2 – 12x
persamaan lengkung,
y= ( 6 x 2 12x )  dx y= 6 x 3 3 12 x 2 2 +c

y = 2x3 – 6x2 + c
–14 = 2(2)3 – 6(2)2 + c, di titik P (2, –14)
–14 = –8 + c
c = –6
y = 2x3 – 6x2 – 6

(b)
dy/dx = 6x2 – 12x
Di titik pusingan, dy/dx = 0
6x2 – 12x = 0
6(x – 2) = 0
x = 0, x = 2

x = 0, y = 2(0)3 – 6(0)2 – 6 = –6
x = 2, y = 2(2)3 – 6(2)2 – 6 = –14

d 2 y d x 2 =12x12 When x=0 d 2 y d x 2 =12( 0 )12=12 <0 ( 0,6 ) adalah titik maksimum. When x=2 d 2 y d x 2 =12( 2 )12=12 >0 ( 2,14 ) adalah titik minimum.


Bab 14 Pengamiran

3.8 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 1:
Suatu lengkung dengan fungsi kecerunan 5x 5 x 2  mempunyai titik pusingan di (m, 9).
(a)  Cari nilai m.
(b)  Tentukan sama ada titik pusingan ini adalah titik maksimum atau titik minimum.
(c)  Cari persamaan lengkung itu.

Penyelesaian:
(a)
dy dx =5x 5 x 2 Di titik pusingan ( m,9 ),  dy dx =0 5m 5 m 2 =0 5 m 2 =5m m 3 =1 m=1 

(b)
dy dx =5x 5 x 2 =5x5 x 2 d 2 y d x 2 =5+ 10 x 3 Apabila x=1,  d 2 y d x 2 =15 (> 0)  
Dengan itu, (1, 9) adalah satu titik minimum.

(c)
y= ( 5x5 x 2 )  dx y= 5 x 2 2 + 5 x +c Pada titik pusingan ( 1,9 ), x=1 dan y=9. 9= 5 ( 1 ) 2 2 + 5 1 +c c= 3 2 Persamaan lengkung: y= 5 x 2 2 + 5 x + 3 2



Soalan 2:
Suatu lengkung mempunyai fungsi kecerunan kx2– 7x, dengan keadaan k ialah pemalar. Tangen kepada lenkung itu pada titik (1, 3 ) adalah selari dengan garis lurus y + x – 4 = 0.
Cari
(a)  nilai k,
(b)  persamaan lengkung itu.

Penyelesaian:
(a)
y + x – 4 = 0
y = – x + 4
m = –1

f ’(x) = kx2– 7x
Diberi tangen kepada lenkung itu pada titik (1, 3 ) adalah selari dengan garis lurus
kx2 – 7x = –1
k (1)2– 7 (1) = –1
k – 7 = –1
k = 6

(b)
f'( x )=6 x 2 7x f( x )= ( 6 x 2 7x )  dx f( x )= 6 x 3 3 7 x 2 2 +c 3=2 ( 1 ) 3 7 ( 1 ) 2 2 +c    di titik ( 1,3 ) c= 9 2 f( x )=2 x 3 7 x 2 2 + 9 2


Bab 14 Pengamiran


3.8.5 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 6:
Rajah di bawah menunjukkan sebahagian daripada lengkung y = 2 ( 3 x 2 ) 2  yang melalui B (1, 2).


(a)   Carikan persamaan tangen kepada lengkung itu pada titik B.
(b)   Suatu rantau dibatasi oleh lengkung itu, paksi-x, garis lurus x = 2 dan = 3.
(i) Cari luas rantau yang berlorek.
(ii) Rantau itu dikisarkan melalui 360o pada paksi-x.
Carikan isipadu janaan, dalam sebutan π.


Penyelesaian:
(a)
y = 2 ( 3 x 2 ) 2 = 2 ( 3 x 2 ) 2 d y d x = 4 ( 3 x 2 ) 3 ( 3 ) d y d x = 12 ( 3 x 2 ) 3 d y d x = 12 ( 3 ( 1 ) 2 ) 3 , x = 1
y – 2 = –12 (x – 1)
y – 2 = –12x + 12
y = –12x + 14

(b)(i)
Area = 2 3 y d x = 2 3 2 ( 3 x 2 ) 2 d x = 2 3 2 ( 3 x 2 ) 2 d x = [ 2 ( 3 x 2 ) 1 1 ( 3 ) ] 2 3 = [ 2 3 ( 3 x 2 ) ] 2 3 = [ 2 3 [ 3 ( 3 ) 2 ] ] [ 2 3 [ 3 ( 2 ) 2 ] ] = 2 21 + 1 6 = 1 14 unit 2

(b)(ii)
Isipadu janaan
= π y 2 d x = π 2 3 4 ( 3 x 2 ) 4 d x = π 2 3 4 ( 3 x 2 ) 4 d x = π [ 4 ( 3 x 2 ) 3 3 ( 3 ) ] 2 3 = π [ 4 9 ( 3 x 2 ) 3 ] 2 3 = π [ 4 9 [ 3 ( 3 ) 2 ] 3 ] [ 4 9 [ 3 ( 2 ) 2 ] 3 ] = π ( 4 3087 + 4 576 ) = 31 5488 π unit 3


Bab 14 Pengamiran


3.8.3 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 5
Dalam rajah di bawah, garis lurus WY ialah normal kepada lengkung y = 1 2 x 2 + 1  pada B (2, 4). Garis lurus BQ adalah selari dengan paksi-y.


Cari
(a) nilai t,
(b) luas rantau yang berlorek,
(c) Isipadu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung itu, paksi-dan garis lurus y = 4 dikisarkan melalui 360o pada paksi-y.


Penyelesaian:
(a)
y= 1 2 x 2 +1 Kecerunan tangen,  dy dx =2( 1 2 x )=x pada titik B dy dx =2 Kecerunan normal,  m 2 = 1 2 40 2t = 1 2 8=2+t t=10  

(b)
Luas rantau yang berlorek
= Luas di bawah lengkung + Luas segi tiga BQY
= 0 2 ( 1 2 x 2 + 1 ) d x + 1 2 ( 10 2 ) ( 4 ) = [ x 3 6 + x ] 0 2 + 16 = [ 8 6 + 2 ] 0 + 16 = 19 1 3 unit 2

(c)
Pada paksi-y, x = 0, y = ½ (0) + 1 = 1
y = 1 2 x 2 + 1 x 2 = 2 y 2 Isipadu janaan = π x 2 d y = π 1 4 ( 2 y 2 ) d y = π [ y 2 2 y ] 1 4 = π [ ( 16 8 ) ( 1 2 ) ] = 9 π unit 3