Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.3a Pembentukan Persamaan Kuadratik daripada Punca

Apabila diberi α dan β ialah punca-punca bagi persamaan ax 2 + bx + c = 0, maka


x = α                atau     x = β
x α = 0         atau     x β = 0
(x α) (x β) = 0
x 2 – ( α + β ) x + αβ = 0

Kesimpulan:
x 2 – (hasil tambah punca ) x + (hasil darab punca) = 0

Contoh:
Bentukkan persamaan kuadratik apabila punca-puncanya adalah seperti berikut:
(a)  3, 1
(b) 2, ¼
(c) , ¼
(d) 3m,2m

Penyelesaian:





Bab 15 Vektor

4.7 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 2:
Diberi AB=(1014), OB=(46), dan CD=(m7), carikan
(a)  koordinat A,
(b)  vektor unit dalam arah OA
(c)  nilai m jika CD selari dengan AB.       

Penyelesaian:  
(a)
AB=(1014), OB=(46)CD=(m7)AB=AO+OB(1014)=(xy)+(46)(xy)=(1014)(46)AO=(68)OA=(68)A=(6,8)

(b)
|OA|=(6)2+(8)2|OA|=100=10the unit vector in the direction of OA=OA|OA|=(68)10=110(68)=(3545)

(c)
Given CD parallel AB CD=kAB(m7)=k(1014)(m7)=(10k14k)
7 = 14k
k= ½
m = 10k = 10 (½) = 5

Bab 15 Vektor

4.6 Vektor, SPM Praktis (Kertas 1) 
Soalan 5:
  p=5a˜7b˜  q=2a˜+3b˜  r=(h1)a˜+(h+k)b˜  dengan keadaan h dan k adalah pemalar  
Gunakan maklumat di atas untuk mencari nilai h dan nilai k apabila r= 2p – 3q.

Penyelesaian:
r=2p3q(h1)a˜+(h+k)b˜=2(5a˜7b˜)3(2a˜+3b˜)(h1)a˜+(h+k)b˜=10a˜14b˜+6a˜9b˜(h1)a˜+(h+k)b˜=16a˜23b˜

Bandingkan vektor,
h– 1 = 16
h = 17
h+ k = –23
17 + k = –23
k = –40



Soalan 6:
Titik-titik P, Qdan R adalah segaris. Diberi bahawa PQ=4a˜2b˜ dan QR=3a˜+(1+k)b˜, dengan keadaan kialah pemalar. Cari
(a)  nilai k,
(b)  nisbah PQ : QR.

Penyelesaian:
(a)
Jika P, Q dan R adalah segaris,PQ=mQR4a˜2b˜=m[3a˜+(1+k)b˜]4a˜2b˜=3ma˜+m(1+k)b˜Bandingan vektor:a˜: 4=3m        m=43b˜: 2=m(1+k)2=43(1+k)1+k=64k=321k=52

(b)
PQ=mQRPQ=43QRPQQR=43PQ:QR=4:3



Soalan 7:
Diberi bahawa x˜=3i˜+mj˜ dan y˜=4i˜3j˜,, cari nilai m jika vektor x˜ selari dengan vektor y˜.

Penyelesaian:
Jika vektor x˜ selari dengan vektor y˜x˜=hy˜(3i˜+mj˜)=h(4i˜3j˜)3i˜+mj˜=4hi˜3hj˜Bandingkan vektor:i˜:  3=4h        h=34j˜:  m=3h        m=3(34)=94


Bab 15 Vektor


4.6.2 Vektor, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 3:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi empat tepat OABC dan titik D terletak pada garis lurus OB.


Diberi bahawa OD = 3DBUngkapkan OD , dalam sebutan x˜ dan y˜.

Penyelesaian:
OB=OA+AB=3x˜+12y˜OD=3DBODDB=31OD:DB=3:1OD=34OB=34(3x˜+12y˜)=94x˜+9y˜



Soalan 4:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi empat selari ABCD dan BED ialah satu garis lurus.


Diberi bahawa AB=7p˜, AD=5q˜ dan DE=3EB, ungkap dalam sebutan p˜ dan q˜.(a) BD(b) EC

Penyelesaian:
(a)
Bagi segi empat selari,AB=DC=7p˜,AD=BC=5q˜.BD=BA+ADBD=7p˜+5q˜

(b)
DE=3EBEBDE=13EB:DE=1:3EB=14DB=14(BD)=14[(7p˜+5q˜)]Dari (a)=74p˜+54q˜

EC=EB+BCEC=74p˜+54q˜+5q˜EC=74p˜+254q˜


Bab 15 Vektor

4.6 Vektor, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 1:
Diberi bahawa O (0, 0), A(–3, 4) dan B(-9, 12), Cari dalam sebutan vektor unit i˜ dan j˜ 
(a) AB 
(b)  vektor unit dalam arah AB

Penyelesaian:  
(a)
A=(3,4), dengan itu OA=3i˜+4j˜B=(9,12), dengan itu OB=9i˜+12j˜AB=AO+OBAB=(3i˜+4j˜)+(9i˜+12j˜)AB=3i˜4j˜9i˜+12j˜AB=6i˜+8j˜ 

(b)
Magnitud |AB|,|AB|=(6)2+(8)2=10Maka vektor unit dalam arah AB,AB|AB|=110(6i˜+8j˜)=35i˜+45j˜



Soalan 2:
Diberi bahawa A(–3, 2), B(4, 6) dan C(m, n), cari nilai m dan n supaya 2AB+BC=(123).

Penyelesaian:  
A=(32), B=(46) and C=(mn)AB=AO+OBAB=(32)+(46)=(74)BC=BO+OCBC=(46)+(mn)=(4+m6+n)

Given 2AB+BC=(123)2(74)+(4+m6+n)=(123)(144+m86+n)=(123)

10 + m = 12
m= 2

2 + n = –3
n= –5

Bab 14 Pengamiran


3.8.2 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:
Rajah di bawah menunjukkan suatu lengkung = y2 – 1 yang bersilang dengan garis lurus 3y = 2x pada titik Q.

Hitungkan isipadu janaan apabila rantau berlorek itu dikisarkan melalui 360opada paksi-y.


Penyelesaian:



x
= y2 – 1 ---- (1)
3y = 2x
x=32y(2)Gantikan (2) ke dalam (1),32y=y21

2y2 – 3y – 2 = 0
(2y + 1) (y – 2) = 0
y = –½   atau   y = 2

apabila y=2,x=32(2)=3, Q=(3, 2)I1(Isipadu kon)=13πr2h=13π(3)2(2)=6π unit3

I2(Isipadu lengkung)=π21x2dy=π21(y21)2dy=π21(y42y2+1)dy=π[y552y33+y]21=π[(2552(2)33+2)(1552(1)33+1)]=π(4615815)=3815πunit3

Maka isipadu janaan=I1I2=6π3815π=5215πunit3


Bab 14 Pengamiran

3.8 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 3:
Fungsi kecerunan suatu lengkung melalui titik P(2, -14) ialah 6x2 – 12x.
Cari
(a)  persamaan lengkung itu,
(b)  koordinat titik-titik pusingan lengkung itu, dan tentukan sama ada setiap titik pusingan itu adalah maksimum atau minimum.                                                       

Penyelesaian:
(a)
Fungsi kecerunan suatu lengkung, dy/dx = 6x2 – 12x
persamaan lengkung,
y=(6x212x) dxy=6x3312x22+c

y = 2x3 – 6x2 + c
–14 = 2(2)3 – 6(2)2 + c, di titik P (2, –14)
–14 = –8 + c
c = –6
y = 2x3 – 6x2 – 6

(b)
dy/dx = 6x2 – 12x
Di titik pusingan, dy/dx = 0
6x2 – 12x = 0
6(x – 2) = 0
x = 0, x = 2

x = 0, y = 2(0)3 – 6(0)2 – 6 = –6
x = 2, y = 2(2)3 – 6(2)2 – 6 = –14

d2ydx2=12x12When x=0d2ydx2=12(0)12=12 <0(0,6) adalah titik maksimum.When x=2d2ydx2=12(2)12=12 >0(2,14) adalah titik minimum.


Bab 14 Pengamiran

3.8 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 1:
Suatu lengkung dengan fungsi kecerunan 5x5x2 mempunyai titik pusingan di (m, 9).
(a)  Cari nilai m.
(b)  Tentukan sama ada titik pusingan ini adalah titik maksimum atau titik minimum.
(c)  Cari persamaan lengkung itu.

Penyelesaian:
(a)
dydx=5x5x2Di titik pusingan (m,9), dydx=05m5m2=05m2=5mm3=1m=1

(b)
dydx=5x5x2=5x5x2d2ydx2=5+10x3Apabila x=1, d2ydx2=15 (> 0) 
Dengan itu, (1, 9) adalah satu titik minimum.

(c)
y=(5x5x2) dxy=5x22+5x+cPada titik pusingan (1,9), x=1 dan y=9.9=5(1)22+51+cc=32Persamaan lengkung: y=5x22+5x+32



Soalan 2:
Suatu lengkung mempunyai fungsi kecerunan kx2– 7x, dengan keadaan k ialah pemalar. Tangen kepada lenkung itu pada titik (1, 3 ) adalah selari dengan garis lurus y + x – 4 = 0.
Cari
(a)  nilai k,
(b)  persamaan lengkung itu.

Penyelesaian:
(a)
y + x – 4 = 0
y = – x + 4
m = –1

f ’(x) = kx2– 7x
Diberi tangen kepada lenkung itu pada titik (1, 3 ) adalah selari dengan garis lurus
kx2 – 7x = –1
k (1)2– 7 (1) = –1
k – 7 = –1
k = 6

(b)
f'


Bab 14 Pengamiran


3.8.5 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 6:
Rajah di bawah menunjukkan sebahagian daripada lengkung y = 2 ( 3 x 2 ) 2  yang melalui B (1, 2).


(a)   Carikan persamaan tangen kepada lengkung itu pada titik B.
(b)   Suatu rantau dibatasi oleh lengkung itu, paksi-x, garis lurus x = 2 dan = 3.
(i) Cari luas rantau yang berlorek.
(ii) Rantau itu dikisarkan melalui 360o pada paksi-x.
Carikan isipadu janaan, dalam sebutan π.


Penyelesaian:
(a)
y = 2 ( 3 x 2 ) 2 = 2 ( 3 x 2 ) 2 d y d x = 4 ( 3 x 2 ) 3 ( 3 ) d y d x = 12 ( 3 x 2 ) 3 d y d x = 12 ( 3 ( 1 ) 2 ) 3 , x = 1
y – 2 = –12 (x – 1)
y – 2 = –12x + 12
y = –12x + 14

(b)(i)
Area = 2 3 y d x = 2 3 2 ( 3 x 2 ) 2 d x = 2 3 2 ( 3 x 2 ) 2 d x = [ 2 ( 3 x 2 ) 1 1 ( 3 ) ] 2 3 = [ 2 3 ( 3 x 2 ) ] 2 3 = [ 2 3 [ 3 ( 3 ) 2 ] ] [ 2 3 [ 3 ( 2 ) 2 ] ] = 2 21 + 1 6 = 1 14 unit 2

(b)(ii)
Isipadu janaan
= π y 2 d x = π 2 3 4 ( 3 x 2 ) 4 d x = π 2 3 4 ( 3 x 2 ) 4 d x = π [ 4 ( 3 x 2 ) 3 3 ( 3 ) ] 2 3 = π [ 4 9 ( 3 x 2 ) 3 ] 2 3 = π [ 4 9 [ 3 ( 3 ) 2 ] 3 ] [ 4 9 [ 3 ( 2 ) 2 ] 3 ] = π ( 4 3087 + 4 576 ) = 31 5488 π unit 3


Bab 14 Pengamiran


3.8.3 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 5
Dalam rajah di bawah, garis lurus WY ialah normal kepada lengkung y = 1 2 x 2 + 1  pada B (2, 4). Garis lurus BQ adalah selari dengan paksi-y.


Cari
(a) nilai t,
(b) luas rantau yang berlorek,
(c) Isipadu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung itu, paksi-dan garis lurus y = 4 dikisarkan melalui 360o pada paksi-y.


Penyelesaian:
(a)
y= 1 2 x 2 +1 Kecerunan tangen,  dy dx =2( 1 2 x )=x pada titik B dy dx =2 Kecerunan normal,  m 2 = 1 2 40 2t = 1 2 8=2+t t=10  

(b)
Luas rantau yang berlorek
= Luas di bawah lengkung + Luas segi tiga BQY
= 0 2 ( 1 2 x 2 + 1 ) d x + 1 2 ( 10 2 ) ( 4 ) = [ x 3 6 + x ] 0 2 + 16 = [ 8 6 + 2 ] 0 + 16 = 19 1 3 unit 2

(c)
Pada paksi-y, x = 0, y = ½ (0) + 1 = 1
y = 1 2 x 2 + 1 x 2 = 2 y 2 Isipadu janaan = π x 2 d y = π 1 4 ( 2 y 2 ) d y = π [ y 2 2 y ] 1 4 = π [ ( 16 8 ) ( 1 2 ) ] = 9 π unit 3