Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on May 18, 2016 by user

2.3a Pembentukan Persamaan Kuadratik daripada Punca

Apabila diberi α dan β ialah punca-punca bagi persamaan ax ² + bx + c = 0, maka

x = α atau x = β

x – α = 0 atau x – β = 0

(x – α) (x – β) = 0

x ² – ( α + β ) x + αβ = 0

Kesimpulan:

x ² – (hasil tambah punca ) x + (hasil darab punca) = 0

Contoh:

Bentukkan persamaan kuadratik apabila punca-puncanya adalah seperti berikut:
(a) 3, −1

(b) −2, ¼

Penyelesaian:

Bab 15 Vektor

Posted on May 17, 2016 by user

4.7 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 2:

Diberi

$\vec{A B} = (\begin{matrix} 10 \\ 14 \end{matrix}), \vec{O B} = (\begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix}), dan \vec{C D} = (\begin{matrix} m \\ 7 \end{matrix}), carikan$

(a) koordinat A,

(b) vektor unit dalam arah

$\vec{O A}$

Penyelesaian:

(a)

$\begin{array}{l} \vec{A B} = (\begin{matrix} 10 \\ 14 \end{matrix}), \vec{O B} = (\begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix}) \vec{C D} = (\begin{matrix} m \\ 7 \end{matrix}) \\ \vec{A B} = \vec{A O} + \vec{O B} \\ (\begin{matrix} 10 \\ 14 \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10 \\ 14 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix}) \\ \vec{A O} = (\begin{matrix} 6 \\ 8 \end{matrix}) \\ \vec{O A} = (\begin{matrix} - 6 \\ - 8 \end{matrix}) \\ A = (- 6, - 8) \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} | \vec{O A} | = \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(- 8)}^{2}} \\ | \vec{O A} | = \sqrt{100} = 10 \\ the unit vector in the direction of \vec{O A} \\ = \frac{\vec{O A}}{| \vec{O A} |} \\ = \frac{(\begin{matrix} - 6 \\ - 8 \end{matrix})}{10} = \frac{1}{10} (\begin{matrix} - 6 \\ - 8 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} \end{matrix}) \end{array}$

(c)

$\begin{array}{l} Given \vec{C D} parallel \vec{A B} \\ ∴ \vec{C D} = k \vec{A B} \\ (\begin{matrix} m \\ 7 \end{matrix}) = k (\begin{matrix} 10 \\ 14 \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} m \\ 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10 k \\ 14 k \end{matrix}) \end{array}$

7 = 14k

k= ½

m = 10k = 10 (½) = 5

Bab 15 Vektor

Posted on May 17, 2016 by user

4.6 Vektor, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 5:

$\begin{array}{l} p = 5 \underset{˜}{a} - 7 \underset{˜}{b} \\ q = - 2 \underset{˜}{a} + 3 \underset{˜}{b} \\ r = (h - 1) \underset{˜}{a} + (h + k) \underset{˜}{b}, \\ dengan keadaan h dan k adalah pemalar \end{array}$

Gunakan maklumat di atas untuk mencari nilai h dan nilai k apabila r= 2p – 3q.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} r = 2 p - 3 q \\ (h - 1) \underset{˜}{a} + (h + k) \underset{˜}{b} = 2 (5 \underset{˜}{a} - 7 \underset{˜}{b}) - 3 (- 2 \underset{˜}{a} + 3 \underset{˜}{b}) \\ (h - 1) \underset{˜}{a} + (h + k) \underset{˜}{b} = 10 \underset{˜}{a} - 14 \underset{˜}{b} + 6 \underset{˜}{a} - 9 \underset{˜}{b} \\ (h - 1) \underset{˜}{a} + (h + k) \underset{˜}{b} = 16 \underset{˜}{a} - 23 \underset{˜}{b} \end{array}$

Bandingkan vektor,

h– 1 = 16

h = 17

h+ k = –23

17 + k = –23

k = –40

Soalan 6:

Titik-titik P, Qdan R adalah segaris. Diberi bahawa

$\vec{P Q} = 4 \underset{˜}{a} - 2 \underset{˜}{b} dan \vec{Q R} = 3 \underset{˜}{a} + (1 + k) \underset{˜}{b}$ , dengan keadaan kialah pemalar. Cari

(a) nilai k,

(b) nisbah PQ : QR.

Penyelesaian:

(a)

$\begin{array}{l} Jika P, Q dan R adalah segaris, \\ \vec{P Q} = m \vec{Q R} \\ 4 \underset{˜}{a} - 2 \underset{˜}{b} = m [3 \underset{˜}{a} + (1 + k) \underset{˜}{b}] \\ 4 \underset{˜}{a} - 2 \underset{˜}{b} = 3 m \underset{˜}{a} + m (1 + k) \underset{˜}{b} \\ Bandingan vektor: \\ \underset{˜}{a} : 4 = 3 m \\ m = \frac{4}{3} \\ \underset{˜}{b} : - 2 = m (1 + k) \\ - 2 = \frac{4}{3} (1 + k) \\ 1 + k = - \frac{6}{4} \\ k = - \frac{3}{2} - 1 \\ k = - \frac{5}{2} \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} \vec{P Q} = m \vec{Q R} \\ \vec{P Q} = \frac{4}{3} \vec{Q R} \\ \frac{\vec{P Q}}{\vec{Q R}} = \frac{4}{3} \\ ∴ P Q : Q R = 4 : 3 \end{array}$

Soalan 7:

Diberi bahawa

$\underset{˜}{x} = 3 \underset{˜}{i} + m \underset{˜}{j} dan \underset{˜}{y} = 4 \underset{˜}{i} - 3 \underset{˜}{j},$ , cari nilai m jika vektor

$\underset{˜}{x} selari dengan vektor \underset{˜}{y} .$

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} Jika vektor \underset{˜}{x} selari dengan vektor \underset{˜}{y} \\ \underset{˜}{x} = h \underset{˜}{y} \\ (3 \underset{˜}{i} + m \underset{˜}{j}) = h (4 \underset{˜}{i} - 3 \underset{˜}{j}) \\ 3 \underset{˜}{i} + m \underset{˜}{j} = 4 h \underset{˜}{i} - 3 h \underset{˜}{j} \\ Bandingkan vektor: \\ \underset{˜}{i} : 3 = 4 h \\ h = \frac{3}{4} \\ \underset{˜}{j} : m = - 3 h \\ m = - 3 (\frac{3}{4}) = - \frac{9}{4} \end{array}$

Bab 15 Vektor

Posted on May 17, 2016 by user

4.6.2 Vektor, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 3:

Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi empat tepat OABC dan titik D terletak pada garis lurus OB.

Diberi bahawa OD = 3DB. Ungkapkan

$\vec{O D}$ , dalam sebutan

$\underset{˜}{x} dan \underset{˜}{y} .$

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} \vec{O B} = \vec{O A} + \vec{A B} = 3 \underset{˜}{x} + 12 \underset{˜}{y} \\ \vec{O D} = 3 \vec{D B} \\ \frac{\vec{O D}}{\vec{D B}} = \frac{3}{1} \\ \vec{O D} : \vec{D B} = 3 : 1 \\ ∴ \vec{O D} = \frac{3}{4} \vec{O B} \\ = \frac{3}{4} (3 \underset{˜}{x} + 12 \underset{˜}{y}) \\ = \frac{9}{4} \underset{˜}{x} + 9 \underset{˜}{y} \end{array}$

Soalan 4:

Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi empat selari ABCD dan BED ialah satu garis lurus.

$\begin{array}{l} Diberi bahawa \vec{A B} = 7 \underset{˜}{p}, \vec{A D} = 5 \underset{˜}{q} dan D E = 3 E B, \\ ungkap dalam sebutan \underset{˜}{p} dan \underset{˜}{q} . \\ (a) \vec{B D} \\ (b) \vec{E C} \end{array}$

Penyelesaian:

(a)

$\begin{array}{l} Bagi segi empat selari, \\ \vec{A B} = \vec{D C} = 7 \underset{˜}{p}, \vec{A D} = \vec{B C} = 5 \underset{˜}{q} . \\ \vec{B D} = \vec{B A} + \vec{A D} \\ \vec{B D} = - 7 \underset{˜}{p} + 5 \underset{˜}{q} \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} \vec{D E} =3 \vec{E B} \\ \frac{\vec{E B}}{\vec{D E}} = \frac{1}{3} \to E B : D E = 1 : 3 \\ ∴ \vec{E B} = \frac{1}{4} \vec{D B} \\ = \frac{1}{4} (- \vec{B D}) \\ = \frac{1}{4} [- (- 7 \underset{˜}{p} + 5 \underset{˜}{q})] \leftarrow Dari (a) \\ = \frac{7}{4} \underset{˜}{p} + \frac{5}{4} \underset{˜}{q} \end{array}$

$\begin{array}{l} \vec{E C} = \vec{E B} + \vec{B C} \\ \vec{E C} = \frac{7}{4} \underset{˜}{p} + \frac{5}{4} \underset{˜}{q} + 5 \underset{˜}{q} \\ \vec{E C} = \frac{7}{4} \underset{˜}{p} + \frac{25}{4} \underset{˜}{q} \end{array}$

Bab 15 Vektor

Posted on May 17, 2016 by user

4.6 Vektor, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 1:

Diberi bahawa O (0, 0), A(–3, 4) dan B(-9, 12), Cari dalam sebutan vektor unit

$\underset{˜}{i} dan \underset{˜}{j}$

(a)

$\vec{A B}$

(b) vektor unit dalam arah

$\vec{A B}$

Penyelesaian:

(a)

$\begin{array}{l} A = (- 3, 4), dengan itu \vec{O A} = - 3 \underset{˜}{i} + 4 \underset{˜}{j} \\ B = (- 9, 12), dengan itu \vec{O B} = - 9 \underset{˜}{i} + 12 \underset{˜}{j} \\ \vec{A B} = \vec{A O} + \vec{O B} \\ \vec{A B} = - (- 3 \underset{˜}{i} + 4 \underset{˜}{j}) + (- 9 \underset{˜}{i} + 12 \underset{˜}{j}) \\ \vec{A B} = 3 \underset{˜}{i} - 4 \underset{˜}{j} - 9 \underset{˜}{i} + 12 \underset{˜}{j} \\ \vec{A B} = - 6 \underset{˜}{i} + 8 \underset{˜}{j} \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} Magnitud | \vec{A B} |, \\ | \vec{A B} | = \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(8)}^{2}} = 10 \\ Maka vektor unit dalam arah \vec{A B}, \\ \frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} = \frac{1}{10} (- 6 \underset{˜}{i} + 8 \underset{˜}{j}) = - \frac{3}{5} \underset{˜}{i} + \frac{4}{5} \underset{˜}{j} \end{array}$

Soalan 2:

Diberi bahawa A(–3, 2), B(4, 6) dan C(m, n), cari nilai m dan n supaya

$2 \vec{A B} + \vec{B C} = (\begin{matrix} 12 \\ - 3 \end{matrix}) .$

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} A = (\begin{array}{l} - 3 \\ 2 \end{array}), B = (\begin{array}{l} 4 \\ 6 \end{array}) and C = (\begin{array}{l} m \\ n \end{array}) \\ \vec{A B} = \vec{A O} + \vec{O B} \\ \vec{A B} = - (\begin{array}{l} - 3 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{l} 4 \\ 6 \end{array}) = (\begin{array}{l} 7 \\ 4 \end{array}) \\ \vec{B C} = \vec{B O} + \vec{O C} \\ \vec{B C} = - (\begin{array}{l} 4 \\ 6 \end{array}) + (\begin{array}{l} m \\ n \end{array}) = (\begin{array}{l} - 4 + m \\ - 6 + n \end{array}) \end{array}$

$\begin{array}{l} Given 2 \vec{A B} + \vec{B C} = (\begin{matrix} 12 \\ - 3 \end{matrix}) \\ 2 (\begin{array}{l} 7 \\ 4 \end{array}) + (\begin{array}{l} - 4 + m \\ - 6 + n \end{array}) = (\begin{matrix} 12 \\ - 3 \end{matrix}) \\ (\begin{array}{l} 14 - 4 + m \\ 8 - 6 + n \end{array}) = (\begin{matrix} 12 \\ - 3 \end{matrix}) \end{array}$

10 + m = 12

m= 2

2 + n = –3

n= –5

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 17, 2016 by user

3.8.2 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:

Rajah di bawah menunjukkan suatu lengkung x = y² – 1 yang bersilang dengan garis lurus 3y = 2x pada titik Q.

Hitungkan isipadu janaan apabila rantau berlorek itu dikisarkan melalui 360^opada paksi-y.

Penyelesaian:

x = y² – 1 ---- (1)

3y = 2x

$\begin{array}{l} x = \frac{3}{2} y \to (2) \\ Gantikan (2) ke dalam (1), \\ \frac{3}{2} y = y^{2} - 1 \end{array}$

2y² – 3y – 2 = 0

(2y + 1) (y – 2) = 0

y = –½ atau y = 2

$\begin{array}{l} apabila y = 2, x = \frac{3}{2} (2) = 3, Q = (3, 2) \\ I_{1} (Isipadu kon) \\ = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π {(3)}^{2} (2) \\ = 6 π {unit}^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} I_{2} (Isipadu lengkung) \\ = π \int_{1}^{2} x^{2} d y \\ = π \int_{1}^{2} {(y^{2} - 1)}^{2} d y \\ = π \int_{1}^{2} (y^{4} - 2 y^{2} + 1) d y \\ = π {[\frac{y^{5}}{5} - \frac{2 y^{3}}{3} + y]}_{1}^{2} \\ = π [(\frac{2^{5}}{5} - \frac{2 {(2)}^{3}}{3} + 2) - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{2 {(1)}^{3}}{3} + 1)] \\ = π (\frac{46}{15} - \frac{8}{15}) \\ = \frac{38}{15} π {unit}^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} Maka isipadu janaan = I_{1} - I_{2} \\ = 6 π - \frac{38}{15} π \\ = \frac{52}{15} π {unit}^{3} \end{array}$

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 17, 2016 by user

3.8 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:

Fungsi kecerunan suatu lengkung melalui titik P(2, -14) ialah 6x² – 12x.

Cari

(a) persamaan lengkung itu,

(b) koordinat titik-titik pusingan lengkung itu, dan tentukan sama ada setiap titik pusingan itu adalah maksimum atau minimum.

Penyelesaian:

(a)

Fungsi kecerunan suatu lengkung, dy/dx = 6x² – 12x

persamaan lengkung,

$\begin{array}{l} y = \int (6 x^{2} - 12 x) d x \\ y = \frac{6 x^{3}}{3} - \frac{12 x^{2}}{2} + c \end{array}$

y = 2x³ – 6x² + c

–14 = 2(2)³ – 6(2)² + c, di titik P (2, –14)

–14 = –8 + c

c = –6

y = 2x³ – 6x² – 6

(b)

dy/dx = 6x² – 12x

Di titik pusingan, dy/dx = 0

6x² – 12x = 0

6(x – 2) = 0

x = 0, x = 2

x = 0, y = 2(0)³ – 6(0)² – 6 = –6

x = 2, y = 2(2)³ – 6(2)² – 6 = –14

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 12 x - 12 \\ When x = 0, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 12 (0) - 12 = - 12 < 0 \\ (0, - 6) adalah titik maksimum . \\ When x = 2, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 12 (2) - 12 = 12 > 0 \\ (2, - 14) adalah titik minimum . \end{array}$

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 17, 2016 by user

3.8 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

Suatu lengkung dengan fungsi kecerunan

$5 x - \frac{5}{x^{2}}$ mempunyai titik pusingan di (m, 9).

(a) Cari nilai m.

(b) Tentukan sama ada titik pusingan ini adalah titik maksimum atau titik minimum.

Penyelesaian:

(a)

$\begin{array}{l} \frac{d y}{d x} = 5 x - \frac{5}{x^{2}} \\ Di titik pusingan (m, 9), \\ \frac{d y}{d x} = 0 \\ 5 m - \frac{5}{m^{2}} = 0 \\ \frac{5}{m^{2}} = 5 m \\ m^{3} = 1 \\ m = 1 \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} \frac{d y}{d x} = 5 x - \frac{5}{x^{2}} = 5 x - 5 x^{- 2} \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 5 + \frac{10}{x^{3}} \\ Apabila x = 1, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 15 (> 0) \end{array}$

Dengan itu, (1, 9) adalah satu titik minimum.

(c)

$\begin{array}{l} y = \int (5 x - 5 x^{- 2}) d x \\ y = \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{5}{x} + c \\ Pada titik pusingan (1, 9), x = 1 dan y = 9. \\ 9 = \frac{5 {(1)}^{2}}{2} + \frac{5}{1} + c \\ c = \frac{3}{2} \\ Persamaan lengkung: y = \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{5}{x} + \frac{3}{2} \end{array}$

Soalan 2:

Suatu lengkung mempunyai fungsi kecerunan kx²– 7x, dengan keadaan k ialah pemalar. Tangen kepada lenkung itu pada titik (1, 3 ) adalah selari dengan garis lurus y + x – 4 = 0.

Cari

(a) nilai k,

(b) persamaan lengkung itu.

Penyelesaian:

(a)

y + x – 4 = 0

y = – x + 4

m = –1

f ’(x) = kx²– 7x

Diberi tangen kepada lenkung itu pada titik (1, 3 ) adalah selari dengan garis lurus

kx² – 7x = –1

k (1)²– 7 (1) = –1

k – 7 = –1

k = 6

(b)

$\begin{array}{l} f' (x) = 6 x^{2} - 7 x \\ f (x) = \int (6 x^{2} - 7 x) d x \\ f (x) = \frac{6 x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2} + c \\ 3 = 2 {(1)}^{3} - \frac{7 {(1)}^{2}}{2} + c di titik (1, 3) \\ c = \frac{9}{2} \\ ∴ f (x) = 2 x^{3} - \frac{7 x^{2}}{2} + \frac{9}{2} \end{array}$

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 17, 2016 by user

3.8.5 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 6:

Rajah di bawah menunjukkan sebahagian daripada lengkung

$y = \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}}$ yang melalui B (1, 2).

(a) Carikan persamaan tangen kepada lengkung itu pada titik B.
(b) Suatu rantau dibatasi oleh lengkung itu, paksi-x, garis lurus x = 2 dan x = 3.
(i) Cari luas rantau yang berlorek.
(ii) Rantau itu dikisarkan melalui 360^o pada paksi-x.
Carikan isipadu janaan, dalam sebutan π.

Penyelesaian:

(a)

$\begin{array}{l} y = \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}} = 2 {(3 x - 2)}^{- 2} \\ \frac{d y}{d x} = - 4 {(3 x - 2)}^{- 3} (3) \\ \frac{d y}{d x} = \frac{- 12}{{(3 x - 2)}^{3}} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{- 12}{{(3 (1) - 2)}^{3}}, x = 1 \end{array}$

y – 2 = –12 (x – 1)

y – 2 = –12x + 12

y = –12x + 14

(b)(i)

$\begin{array}{l} Area = \int_{2}^{3} y d x \\ = \int_{2}^{3} \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}} d x = \int_{2}^{3} 2 {(3 x - 2)}^{- 2} d x \\ = {[\frac{2 {(3 x - 2)}^{- 1}}{- 1 (3)}]}_{2}^{3} \\ = {[- \frac{2}{3 (3 x - 2)}]}_{2}^{3} \\ = [- \frac{2}{3 [3 (3) - 2]}] - [- \frac{2}{3 [3 (2) - 2]}] \\ = - \frac{2}{21} + \frac{1}{6} \\ = \frac{1}{14} {unit}^{2} \end{array}$

(b)(ii)

Isipadu janaan

$\begin{array}{l} = π \int y^{2} d x \\ = π \int_{2}^{3} \frac{4}{{(3 x - 2)}^{4}} d x = π \int_{2}^{3} 4 {(3 x - 2)}^{- 4} d x \\ = π {[\frac{4 {(3 x - 2)}^{- 3}}{- 3 (3)}]}_{2}^{3} = π {[- \frac{4}{9 {(3 x - 2)}^{3}}]}_{2}^{3} \\ = π [- \frac{4}{9 {[3 (3) - 2]}^{3}}] - [- \frac{4}{9 {[3 (2) - 2]}^{3}}] \\ = π (- \frac{4}{3087} + \frac{4}{576}) \\ = \frac{31}{5488} π {unit}^{3} \end{array}$

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 17, 2016 by user

3.8.3 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 5

Dalam rajah di bawah, garis lurus WY ialah normal kepada lengkung

$y = \frac{1}{2} x^{2} + 1$ pada B (2, 4). Garis lurus BQ adalah selari dengan paksi-y.

Cari
(a) nilai t,
(b) luas rantau yang berlorek,
(c) Isipadu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung itu, paksi-y dan garis lurus y = 4 dikisarkan melalui 360^o pada paksi-y.

Penyelesaian:

(a)

$\begin{array}{l} y = \frac{1}{2} x^{2} + 1 \\ Kecerunan tangen, \frac{d y}{d x} = 2 (\frac{1}{2} x) = x \\ pada titik B, \frac{d y}{d x} = 2 \\ Kecerunan normal, m_{2} = - \frac{1}{2} \\ \frac{4 - 0}{2 - t} = - \frac{1}{2} \\ 8 = - 2 + t \\ t = 10 \end{array}$

(b)

Luas rantau yang berlorek

= Luas di bawah lengkung + Luas segi tiga BQY

$\begin{array}{l} = \int_{0}^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + 1) d x + \frac{1}{2} (10 - 2) (4) \\ = {[\frac{x^{3}}{6} + x]}_{0}^{2} + 16 \\ = [\frac{8}{6} + 2] - 0 + 16 \\ = 19 \frac{1}{3} {unit}^{2} \end{array}$

(c)

Pada paksi-y, x = 0, y = ½ (0) + 1 = 1

$\begin{array}{l} y = \frac{1}{2} x^{2} + 1 \to x^{2} = 2 y - 2 \\ Isipadu janaan \\ = π \int x^{2} d y \\ = π \int_{1}^{4} (2 y - 2) d y \\ = π {[y^{2} - 2 y]}_{1}^{4} \\ = π [(16 - 8) - (1 - 2)] \\ = 9 π {unit}^{3} \end{array}$