Bab 18 Kebarangkalian II

Posted on June 24, 2016 by user

7.4 Kebarangkalian II, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 1:

Sebuah beg mengandungi 36 biji guli yang berwarna hitam dan putih. Diberi bahawa kebarangkalian sebiji guli hitam dipilih daripada beg ialah

\frac{5}{9} .

Hitung bilangan guli putih perlu diambil keluar daripada beg supaya kebarangkalian sebiji guli hitam dipilih ialah

\frac{5}{8} .

Penyelesaian:

Bilangan guli hitam dalam beg

= \frac{5}{9} \times 36 = 20

Katakan y ialah bilangan guli yang tinggal dalam beg.

\begin{array}{l} y \times \frac{5}{8} = 20 \\ y = 20 \times \frac{8}{5} = 32 \end{array}

Bilangan guli putih yang perlu diambil keluar daripada beg

= 36 – 32

= 4

Soalan 2:

Jadual di bawah menunjukkan bilangan bola berwarna di dalam tiga beg.

	Hijau	Perang	Ungu
Beg A	3	1	6
Beg B	5	3	4
Beg C	4	6	2

Jika sebuah beg dipilih secara rawak dan kemudian sebiji bola dipilih secara rawak daripada beg itu, apakah kebarangkalian sebiji bola ungu dipilih?

Penyelesaian:

Kebarangkalian memilih sebuah beg = ⅓

Kebarangkalian memilih sebiji bola ungu daripada beg A

= \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

Kebarangkalian memilih sebiji bola ungu daripada beg B

= \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

Kebarangkalian memilih sebiji bola ungu daripada beg C

= \frac{2}{12} = \frac{1}{6}

\begin{array}{l} P (bola ungu) = (\frac{1}{3} \times \frac{3}{5}) + (\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} \times \frac{1}{6}) \\ = \frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \frac{1}{18} \\ = \frac{11}{30} \end{array}

Bab 18 Kebarangkalian II

Posted on June 24, 2016 by user

7.3 Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

7.3a Mencari kebarangkalian secara menyenaraikan kesudahan peristiwa bergabung

1. Peristiwa bergabung ialah peristiwa yang dihasilkan daripada kesatuan atau persilangan dua peristiwa atau lebih.

2. Kesatuan peristiwa bergabung ‘A atau B’ = A υ B

3. Persilangan peristiwa bergabung ‘A dan B’ = A ∩ B

Contoh:

Rajah di bawah menunjukkan lima keping kad huruf.

Semua kad dimasukkan ke dalam sebuah kotak. Suatu kod dua-huruf hendak dibentuk dengan menggunakan mana-mana dua daripada kad ini. Dua kad dipilih secara rawak, satu persatu, tanpa dikembalikan.

(a) Senaraikan ruang sampel.

(b) Senaraikan semua kesudahan peristiwa dan cari kebarangkalian bahawa

(i) kod itu bermula dengan huruf P.

(ii) kod itu terdiri daripada dua vocal atau dua konsonan.

Penyelesaian:

(a)

Ruang sampel, S

= {(G, R), (G, A), (G, P), (G, E), (R, G), (R, A), (R, P), (R, E), (A, G), (A, R),

(A, P), (A, E), (P, G), (P, R), (P, A), (P, E), (E, G), (E, R), (E, A), (E, P)}

(b)

n(S) = 20

Katakan

A = Peristiwa memilih suatu kod bermula dengan huruf P

B = Peristiwa memilih suatu kod yang terdiri daripada dua vocal atau dua konsonan.

(i)

A = {(P, G), (P, R), (P, A), (P, E)}

n(A) = 4

P (A) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}

(ii)

B = {(G, R), (G, P), (R, G), (R, P), (A, E), (P, G), (P, R), (E, A)}

n(B) = 8

P (B) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}

Bab 18 Kebarangkalian II

Posted on June 24, 2016 by user

7.2 Kebarangkalian Peristiwa Pelengkap

1. Peristiwa pelengkap bagi peristiwa A dalam satu ruang sampel, S, adalah terdiri daripada semua kesudahan S yang bukan kesudahan A.

2. Bagi peristiwa A, A’ ialah pelengkap kepada peristiwa A

P (A’) = 1 – P (A)

Contoh:

Satu nombor dipilih secara rawak daripada satu set nombor bulat dari 1 hingga 40. Hitung kebarangkalian bahawa nombor yang dipilih bukan satu kuasa dua sempurna.

Penyelesaian:

Katakan

A = Peristiwa memilih satu nombor kuasa dua sempurna.

A’ = Peristiwa memilih satu nombor bukan kuasa dua sempurna.

A = {1, 4, 9, 16, 25, 36}

n(A) = 6

\begin{array}{l} P (A) = \frac{n (A)}{n (S)} \\ = \frac{6}{40} = \frac{3}{20} \\ ∴ P (A') = 1 - P (A) \\ = 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20} \end{array}

Oleh itu, kebarangkalian bahawa nombor yang dipilih bukan satu kuasa dua sempurna ialah

\frac{17}{20} .

Bab 18 Kebarangkalian II

Posted on June 24, 2016 by user

7.1 Kebarangkalian suatu Peristiwa

1. Ruang sampel, S, mengandungi semua kesudahan yang mungkin berlaku.

2. Kebarangkalian bagi suatu peristiwa A, P(A) berlaku diberi oleh

\begin{array}{l} P (A) = \frac{bilangan kesudahan A}{bilangan kesudahan S} \\ P (A) = \frac{n (A)}{n (S)} \\ dengan keadaan 0 \leq P (A) \leq 1 \end{array}

3. Jika P(A) = 0, maka peristiwa A pasti tidak berlaku.

4. Jika P(A) = 1, maka peristiwa A pasti berlaku.

Contoh 1:

Sebuah kotak mengandungi 9 pen merah dan 13 pen biru. Tom memasukkan lagi 4 pen merah dan 2 pen biru ke dalam kotak. Sebatang pen dipilih secara rawak daripada kotak itu. Apakah kebarangkalian sebatang pen merah akan dipilih?

Penyelesaian:

n(S) = 9 + 13 + 4 + 2 = 28

katakan M = Peristiwa sebatang pen merah dipilih.

n(M) = 9 + 4 = 13

\begin{array}{l} P (M) = \frac{n (M)}{n (S)} \\ = \frac{13}{28} \end{array}

Contoh 2:

Sebuah beg mengandungi 45 keping kad hijau dan kad kuning. Sekeping kad dipilih secara rawak daripada bag itu. Kebarangkalian sekeping kad hijau dipilih ialah

\frac{1}{5} .

Berapa bilangan kad hijau yang perlu ditambah ke dalam beg itu supaya kebarangkalian sekeping kad hijau dipilih ialah ½ ?

Penyelesaian:

n(S) = 45

Katakan

x = bilangan kad hijau dalam bag.

A = Peristiwa memilih sekeping kad hijau secara rawak.

n(A) = x

\begin{array}{l} P (A) = \frac{n (A)}{n (S)} \\ \frac{1}{5} = \frac{x}{45} \\ x = \frac{45}{5} \\ x = 9 \end{array}

Katakan y ialah bilangan kad hijau yang ditambah ke dalam beg.

\frac{9 + y}{45 + y} = \frac{1}{2}

2 (9 + y) = 45 + y

18 + 2y= 45 + y

2y– y = 45 – 18

y = 27

Bab 7 Kebarangkalian I

Posted on June 23, 2016 by user

7.4 Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 5:

Sebuah kotak mengandungi 36 pemadam hijau dan beberapa ketul pemadam merah.

Jika seketul pemadam dipilih secara rawak daripada kotak itu, kebarangkalian seketul pemadam berwarna merah dipilih ialah

\frac{5}{8}

. Cari bilangan pemadam merah.

Penyelesaian:

Kebarangkalian memilih pemadam hijau

= 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}

Jumlah pemadam dalam kotak

= 36 \times \frac{8}{3} = 96

Oleh itu, bilangan pemadam merah dalam kotak = 96 – 36 = 60

Soalan 6:

Sebuah kotak mengandungi guli biru dan guli hijau. Sebiji guli dipilih secara rawak daripada kotak itu. Kebarangkalian memilih sebiji guli biru ialah

\frac{6}{11}

. Jika terdapat 30 biji guli hijau dalam kotak, berapa biji guli biru dalam kotak itu.

Penyelesaian:

Kebarangkalian memilih sebiji guli hijau

= 1 - \frac{6}{11} = \frac{5}{11}

Jumlah guli dalam kotak

= 30 \times \frac{11}{5} = 66

Oleh itu, bilangan guli biru dalam kotak = 66 – 30 = 36

Soalan 7:

Jadual di bawah menunjukkan taburan sekumpulan 90 orang murid yang mengambil bahagian dalam satu program latihan sepakan penalty.

	Tingkatan 4	Tingkatan 5
Perempuan	33	15
Lelaki	18	24

Seorang murid dipilih secara rawak daripada kumpulan itu untuk memulakan sepakan.

Apakah kebarangkalian seorang murid lelaki daripada Tingkatan Lima akan dipilih?

Penyelesaian:

P (seorang murid lelaki Tingkatan 5)

= \frac{24}{90} = \frac{4}{15}

Soalan 8:

Rajah di bawah menunjukkan beberapa keeping kad nombor.

Sekeping kad dipilih secara rawak. Nyatakan kebarangkalian bahawa kad yang dipilih ialah kad nombor perdana.

Penyelesaian:

Nombor perdana = {11, 19, 37}

P (suatu nombor perdana)

= \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Bab 7 Kebarangkalian I

Posted on June 23, 2016 by user

7.4 Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 1:

Sebuah kotak mengandungi 5 biji guli merah jambu dan 21 guli kuning. Sharon memasukkan lagi 4 biji guli merah jambu dan 1 biji guli kuning ke dalam kotak itu. Sebiji guli dipilih secara rawak daripada kotak itu.

Apakah kebarangkalian sebiji guli merah jambu akan dipilih?

Penyelesaian:

Jumlah guli merah jambu = 5 + 4 = 9

Jumlah guli kuning = 21 + 1 = 22

Jumlah guli dalam kotak = 9 + 22 = 31

P (guli merah jambu) = \frac{9}{31}

Soalan 2:

Dalam satu kumpulan 80 orang pengawas, 25 orang daripadanya adalah pengawas perempuan. Kemudian seramai 10 orang pengawas lelaki meninggalkan kumpulan itu.

Jika seorang pengawas dipilih secara rawak daripada kumpulan itu, nyatakan kebarangkalian bahawa pengawas yang dipilih itu adalah lelaki.

Penyelesaian:

Bilangan pengawas lelaki = 80 – 25 = 55

Selepas 10 lelaki meninggalkan kumpulan,

Bilangan pengawas lelaki yang baru = 55 – 10 = 45

Jumlah bilangan pengawas = 25 + 45 = 70

P (pengawas lelaki) = \frac{45}{70} = \frac{9}{14}

Soalan 3:

60 orang mengambil bahagian dalam pertandingan nyanyian. Jika seorang dipilih secara rawak daripada semua peserta, kebarangkalian memilih seorang peserta lelaki ialah

\frac{8}{15}

. Jika terdapat 12 orang lelaki dan 3 orang perempuan tidak layak ke pusingan kedua, cari kebarangkalian bahawa seorang lelaki dipilih daripada peserta-peserta dalam pusingan kedua.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Bilangan peserta lelaki \\ = 60 \times \frac{8}{15} = 32 \end{array}

Selepas 12 orang lelaki dan 3 orang perempuan tidak layak ke pusingan kedua,

Jumlah peserta yang tinggal = 60 – 15 = 45

Peserta lelaki di pusingan kedua = 32 – 12 = 20

P (peserta lelaki) = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}

Soalan 4:

John mempunyai koleksi setem dari Thailand, Indonesia dan Singapura. Dia memilih sekeping setem secara rawak. Kebarangkalian memilih sekeping setem Thailand ialah

\frac{1}{5}

dan kebarangkalian memilih sekeping setem Indonesia ialah

\frac{8}{15} .

John mempunyai 20 keping setem Singapura. Hitungkan jumlah koleksi setem bagi John.

Penyelesaian:

Kebarangkalian memilih sekeping setem Singapura

\begin{array}{l} = 1 - \frac{1}{5} - \frac{8}{15} \\ = \frac{4}{15} \end{array}

Diberi John mempunyai 20 setem Singapura

Maka, jumlah koleksi setem bagi John

\begin{array}{l} = \frac{15}{4} \times 20 \\ = 75 \end{array}

Bab 7 Kebarangkalian I

Posted on June 23, 2016 by user

7.3 Kebarangkalian suatu Peristiwa

(A) Kebarangkalian suatu Peristiwa

1. Kebarangkalian bagi suatu peristiwa A, P(A) berlaku diberi oleh

\begin{array}{l} P (A) = \frac{bilangan kali berlakunya peristiwa A}{bilangan cubaan} \\ P (A) = \frac{n (A)}{n (S)} \\ dengan keadaan 0 \leq P (A) \leq 1 \end{array}

2. Jika P(A) = 0, maka peristiwa A pasti tidak berlaku.
3. Jika P(A) = 1, maka peristiwa A pasti berlaku.

Contoh 1:

Jadual di bawah menunjukkan taburan sekumpulan 80 orang murid yang mengambil bahagian dalam satu permainan.

	Tingkatan Empat	Tingkatan Empat
Perempuan	28	16
Lelaki	12	24

Seorang murid dipilih secara rawak daripada kumpulan itu untuk memulakan permainan.

Apakah kebarangkalian seorang murid lelaki daripada Tingkatan Lima akan dipilih?

Penyelesaian:

Katakan

A= Peristiwa seorang murid lelaki daripada Tingkatan Lima dipilih

S= Ruang sampel

n(S) = 28 + 12 + 16+ 24 = 80

n(A) = 24

\begin{array}{l} P (A) = \frac{n (A)}{n (S)} \\ = \frac{24}{80} = \frac{3}{10} \end{array}

(B) Menjangkakan bilangan kali berlakunya sesuatu peristiwa

Jika kebarangkalian bagi suatu peristiwa A dan bilangan cubaan diberi, maka bilangan kali berlakunya peristiwa A yang dijangkakan

= P(A) × Bilangan cubaan

Contoh 2:

Dalam satu sesi latihan bola sepak, kebarangkalian percubaan Ahmad menjaringkan gol ialah ⅝ . Dalam 40 percubaan yang dipilih secara rawak, berapa kalikah Ahmad dijangka akan menjaringkan satu gol?

Penyelesaian:

Bilangan kali Ahmad dijangka akan menjaringkan satu gol

= ⅝ × 40

= 25

(C) Menyelesaikan masalah yang melibatkan kebarangkalian bagi suatu peristiwa

Contoh 3:

Kelvin mempunyai 30 sapu tangan yang terdiri daripada warna putih, biru dan merah. Jika satu sapu tangan dipilih secara rawak, kebarangkalian memilih sehelai sapu tangan berwarna putih ialah

\frac{2}{5} .

Hitung

(a) bilangan sapu tangan yang berwarna putih.

(b) kebarangkalian memilih sekeping sapu tangan berwarna biru jika Kelvin mempunyai 8 helai sapu tangan yang berwarna merah.

Penyelesaian:

Katakan

P= Peristiwa sapu tangan berwarna putih dipilih.

B= Peristiwa sapu tangan berwarna biru dipilih.

M= Peristiwa sapu tangan berwarna merah dipilih.

S= Sample space

(a)

n(S) = 30

\begin{array}{l} n (P) = P (P) \times n (S) \\ = \frac{2}{5} \times 30 = 12 \end{array}

(b)

Given n(M) = 8

n(B) = 30 – 12 – 8 = 10

\begin{array}{l} P (B) = \frac{n (B)}{n (S)} \\ = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \end{array}

Bab 7 Kebarangkalian I

Posted on June 23, 2016 by user

7.2 Peristiwa

(A) Menyatakan unsur-unsur ruang sampel yang memenuhi syarat tertentu

1. Jika suatu syarat tertentu diberi, kita boleh menyenaraikan unsur-unsur ruang sampel yang memenuhi syarat-syarat yang diberi.

Contoh 1:

Suatu nombor dua-digit yang tidak melebihi 25 dipilih secara rawak. Senaraikan unsur-unsur ruang sampel yang memenuhi syarat-syarat yang berikut.

(a) Satu kuasa dua sempurna dipilih.

(b) Satu nombor perdana dipilih.

Penyelesaian:

Ruang sampel, S

= {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25}

(a)

Satu kuasa dua sempurna dipilih.

= {16, 25}

(b)

Satu nombor perdana dipilih

= {11, 13, 17, 19, 23}

(B) Peristiwa bagi suatu ruang sampel

1. Peristiwa ialah set kesudahan yang memenuhi syarat tertentu .

2. Peristiwa adalah suatu subset bagi ruang sampel.

Contoh 2:

Sebiji duit syiling dan sebiji dadu dilambung pada masa yang sama. Peristiwa-peristiwa P dan Q ditakrifkan seperti yang berikut.

P= Peristiwa mendapat ‘Gambar’ daripada duit syiling dan nombor ganjil daripada dadu.

Q= Peristiwa mendapat ‘Angka’ daripada duit syiling dan nombor lebih daripada 2 daripada dadu.

(a) Senaraikan ruang sampel, S.

(b) Senaraikan unsur-unsur bagi

(i) peristiwa P,

(ii) peristiwa Q.

Penyelesaian:

(a)

Ruang sampel, S

= { (H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6), (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6) }

(b)(i)

P= { (H, 1), (H, 3), (H, 5) }

← (Kesudahan yang mungkin bagi Peristiwa P: mendapat ‘Gambar’ daripada duit syiling dan nombor ganjil daripada dadu.)

(b)(ii)

Q= { (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6) }

← (Kesudahan yang mungkin bagi Peristiwa Q : mendapat ‘Angka’ daripada duit syiling dan nombor lebih daripada 2 daripada dadu.)

Bab 7 Kebarangkalian I

Posted on June 22, 2016 by user

7.1 Ruang Sampel

(A) Uji kaji

1. Uji kaji ialah suatu proses dalam membuat pemerhatian untuk mendapat keputusan yang dikehendaki.

2. Kesudahanuji kaji ialah keputusanyang mungkin diperoleh daripada satu uji kaji.

(B) Menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin bagi suatu uji kaji

1. Kita boleh menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin bagi suatu uji kaji dengan menjalankan uji kaji atau secara penaakulan.

Contoh 1:

Enam keping kad yang ditunjukkan dalam rajah di atas dimasukkan ke dalam sebuah kotak. Satu kad dipilih secara rawak daripada kotak. Senaraikan semua kesudahan yang mungkin.

Penyelesaian:

Semua kesudahan yang mungkin ialah O, R, A, N, G, E.

(C) Ruang sampel suatu uji kaji

1. Ruang sampel, S, ialah koleksi semua kesudahan yang mungkin bagi sesuatu uji kaji.

2. Huruf S digunakan untuk mewakili ruang sampel dan semua kusudahan yang mungkin ditulis dalam kurungan, { }.

Contoh 2:

Satu huruf dipilih daripada perkataan ‘GARDEN’.

(a) Senaraikan semua kesudahan yang mungkin.

(b) Tulis ruang sampel, S, menggunakan tatatanda set.

Penyelesaian:

(a) Kesudahan yang mungkin ialah G, A, R, D, E dan N.

(b) Ruang sampel, S = { G, A, R, D, E, N }

Bab 4 Penaakulan Matematik

Posted on June 22, 2016 by user

4.3 Operasi ke atas Pernyataan (Contoh Soalan)

Soalan 1:

Bentukkan satu pernyataan baru daripada dua pernyataan yang diberi dengan menggunakan perkataan ‘dan’.

(a) 3 × 12 = 36

7 × 5 = 35

(b) 5 ialah satu nombor perdana.

5 ialah satu nombor ganjil.

Segi empat tepat mempunyai 4 bucu.

Penyelesaian:

(a) 3 × 12 = 36 dan 7 × 5 = 35

(b) 5 ialah satu nombor perdana dan satu nombor ganjil.

Soalan 2:

Bentukkan satu pernyataan baru daripada dua pernyataan yang diberi dengan menggunakan perkataan ‘atau’.

(a) 16 ialah satu kuasa dua sempurna. 16 ialah satu nombor genap.

(b) 4 > 3. –5 < –1

Penyelesaian:

(a) 16 ialah satu kuasa dua sempurna atau satu nombor genap.

(b) 4 > 3 or –5 < –1

Soalan 3:

Tentukan sama ada setiap pernyataan yang berikut benar atau palsu.

(a) 3 × (–4) = –12 dan 13 + 6 = 19

(b) 100 × 0.7 = 70 dan 12 + (–30) = 18

Penyelesaian:

1. Apabila dua pernyataan digabungkan dengan menggunakan ‘dan’, satu pernyataan baru yang benar diperolehi, hanya jika kedua-dua pernyataan yang digabungkan itu benar.

2. Jika satu atau kedua-dua pernyataan adalah palsu, maka pernyataan yang digabungkan adalah palsu.

(a) Kedua-dua pernyataan ‘3 × (–4) = –12’ dan ‘13 + 6 = 19’ adalah benar. Oleh itu, pernyataan ‘3 × (–4) = –12 dan 13 + 6 = 19’ adalah benar.

(b) Pernyataan ‘12 + (–30) = 18’ adalah palsu. Oleh itu, pernyataan ‘100 × 0.7 = 70 dan 12 + (–30) = 18’ adalah palsu.

Soalan 4:

Tentukan sama ada setiap pernyataan yang berikut benar atau palsu.

(a) m + m = m²atau p × p × p = p^-³

(b)

\sqrt[3]{64} = - 4 atau \sqrt[3]{- 27} = - 3

Penyelesaian:

1. Apabila dua pernyataan digabungkan dengan menggunakan ‘atau’, satu pernyataan baru yang palsu diperolehi, hanya jika kedua-dua pernyataan yang digabungkan itu palsu.

2. Jika satu atau kedua-dua pernyataan adalah benar, maka pernyataan yang digabungkan adalah benar.

(a) Kedua-dua pernyataan ‘m + m = m²’ dan ‘p × p× p = p^-³’ adalah palsue. Oleh itu, pernyataan m + m= m² atau p × p× p = p^-³ adalah palsu.

(b) Pernyataan

' \sqrt[3]{- 27} = - 3'

adalah benar. Oleh itu, pernyataan

' \sqrt[3]{64} = - 4 atau \sqrt[3]{- 27} = - 3'

adalah benar.