Home › 2016 › June › Page 5

Monthly Archives: June 2016

Bab 4 Penaakulan Matematik

Posted on by
4.2 Pengkuantiti ‘Semua’ dan ‘Sebilangan’

Membina pernyataan yang menggunakan pengkuantiti ‘Semua’ dan ‘Sebilangan’
1.      Pengkuantiti adalah perkataan yang menerangkan bilangan objek atau kes tertentu dalam satu pernyataan.
2.      Pengkuantiti ‘semua’, ‘sebarang’ dan ‘setiap’ menerangkan setiap objek atau kes memenuhi syarat tertentu.
3.      Pengkuantiti ‘sebilangan’, ‘beberapa’ dan ‘satu daripada sebahagian’ menerangkan satu atau beberapa objek atau kes memenuhi syarat tertentu.


Contoh:
Dengan menggunakan pengkuantiti ‘semua’ atau ‘sebilangan’, lengkapkan setiap yang berikut supaya membentuk satu pernyataan benar.
(a)  _______  poligon mempunyai bilangan bucu dan sisi yang sama.
(b)  _______  nombor gandaan bagi 9 adalah nombor genap.
(c)  _______  nombor bulat boleh dibahagi tepat dengan 7.
(d)  _______  faktor untuk 4 adalah faktor untuk 20.

Penyelesaian:
(a)  Semuapoligon mempunyai bilangan bucu dan sisi yang sama.
(b)  Sebilangannombor gandaan bagi 9 adalah nombor genap.
(c)  Sebilangannombor bulat boleh dibahagi tepat dengan 7.
(d)  Semuafaktor untuk 4 adalah faktor untuk 20.

Bab 4 Penaakulan Matematik

Posted on by
4.1 Pernyataan

(A) Menentukan sama ada sesuatu ayat itu pernyataan atau bukan pernyataan
1.      Pernyataan ialah sejenis ayat yang maksudnya sama ada benaratau palsu, tetapi bukan kedua-duanya.
2.      Ayat yang merupakan pertanyaan, arahanatau seruanadalah bukanpernyataan.

Contoh 1:
Tentukan sama ada setiap ayat yang berikut ialah pernyataan atau tidak. Berikan sebabnya.
(a)  3 + 3 = 8
(b)  Satu pentagon mempunyai 5 sisi.
(c)  Bolehkan 40 dibahagi oleh 3?
(d)  Cari perimeter bagi satu segiempat sama yang sisinya 4cm.
(e)  Tolong!

Penyelesaian:
(a)  Pernyataan; ia merupakan pernyataan palsu.
(b)  Pernyataan; ia merupakan pernyataan benar.
(c)  Bukan pernyataan; sebab ayat itu merupakan suatu pertanyaan.
(d)  Bukan pernyataan; sebab ayat itu merupakan arahan.
(e)  Bukan pernyataan; sebab ayat itu merupakan seruan.


(B) Mengenal pasti sama ada sesuatu pernyataan yang diberi itu benar atau palsu.

Contoh 2:
Tentukan sama ada setiap pernyataan yang berikut benar atau palsu
(a) 7 ialah nombor perdana
(b) –10 > –7
(c) 3 ialah faktor kepada 8.

Penyelesaian:
(a)  Pernyataan benar
(b)  Pernyataan palsu
(c)  Pernyataan palsu


(C) Mewakili sesuatu situasi dengan menggunakan nombor dan simbol matematik
1.      Suatu pernyataan benar atau palsu boleh ditulis dengan menggunakan nombor dan simbol matematik.

Contoh 3:
Bina (i) satu pernyataan benar, (ii) satu pernyataan palsu, dengan menggunakan nombor dan simbol matematik yang berikut.
(a)  2, 4, 8, ×, =
(b)  {a, b, c}, {d} , U =

Penyelesaian:
(a)(i) Pernyataan benar: 2 × 4 = 8
(a)(ii) Pernyataan palsu: 2 × 8 = 4
(b)(i) Pernyataan benar: {d} U {a, b, c} = {a, b, c, d}
(b)(ii) Pernyataan palsu: {d} U {a, b, c} = {d}

Bab 17 Kecerunan dan Luas di bawah Graf

Posted on by

6.2 Kuantiti yang diwakili oleh Luas di Bawah Graf
1.   Dalam graf laju-masa,
(a)   Kuantiti yang diwakili oleh kecerunan graf ialah pecutan atau kadar perubahan laju.
(b)   Kuantiti yang diwakili oleh luas di bawah graf ialah jarak dilalui.

Contoh 1:
Hitung jarak bagi setiap graf yang berikut.
(a)

Jarak = Luas di bawah graf laju-masa
Jarak = Luas segitiga
Jarak = 1 2 × tapak × tinggi = 1 2 × 7 × 6 = 21 m
 

(b)

Jarak = Luas di bawah graf laju-masa
Jarak = Luas segiempat tepat
Jarak = panjang × lebar
  = 6 × 4 = 24 m

 
(c)

Jarak = Luas di bawah graf laju-masa

Jarak = Luas trapezium
Jarak = 1 2 ( a + b ) h ← Luas trapezium = 1 2 × Hasil tambah dua sisi selari × tinggi = 1 2 ( 4 + 6 ) × 8 = 40 m


(d) Gabungan Graf
Contoh 2:

Rajah di atas menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan suatu objek dalam tempoh 15 saat.
(a) Nyatakan masa, dalam s, objek itu bergerak dengan laju seragam.
(b) Hitungkan kadar perubahan laju, dalam ms-2, dalam tempoh 3 saat yang pertama.
(c) Hitungkan purata laju bagi objek itu dalam tempoh 15 saat.

Penyelesaian:
(a)
Masa objek itu bergerak dengan laju seragam
= 9 – 3 = 6 s

(b)
Kadar perubahan laju dalam tempoh 3 saat yang pertama
= pecutan = kecerunan graf
= y 2 − y 1 x 2 − x 1 = 6 − 3 3 − 0 = 1 m s − 2

(c)
Jumlah jarak yang dilalui oleh objek itu dalam tempoh 15 saat
= Luas di bawah graf dalam 15 saat
= Luas P + Luas Q + Luas R
=[ 1 2 ( 3+6 )×3 ]+[ ( 9−3 )×6 ]+[ 1 2 ( 15−9 )×6 ] =13.5+36+18 =67.5 m  

Maka, purata laju bagi objek itu dalam tempoh 15 saat
= Jumlah jarak yang dilalui Jumlah masa yang diambil = 67.5 15 =4.5 m s −1

Bab 17 Kecerunan dan Luas di bawah Graf

Posted on by

Soalan 7:


Rajah di atas menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan satu zarah dalam tempoh 15 saat.
Cari
(a) laju objek pada masa t = 9s.
(b) jarak yang dilalui oleh objek itu bagi 12 saat yang pertama.


Penyelesaian:
(a)
laju objek pada masa t = 9s ialah 6 ms-1
(b)
Jumlah jarak yang dilalui
= Luas di bawah graf laju-masa
= Luas segitiga
= ½ × 12 × 8
= 48 m


Soalan 8:

Rajah di atas menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan suatu objek dalam tempoh 15 saat.
(a) Nyatakan tempoh masa apabila objek itu bergerak dengan laju seragam.
(b) Hitungkan kadar perubahan laju dari t = 6s ke t = 12s.
(c) Nyatakan masa apabila objek itu berhenti.


Penyelesaian:
(a)
Tempoh masa apabila objek itu bergerak dengan laju seragam
= 12 – 6
= 6 s

(b)
Kadar perubahan laju dari t = 6s ke t = 12s
= Kecerunan graf laju-masa
= 6−6 12−6 =0  ms −2 ← Objek bergerak dalam laju seragam
 
(c)
Masa apabila objek itu berhenti pada 15s

Bab 17 Kecerunan dan Luas di bawah Graf

Posted on by

6.3 Kecerunan dan Luas di Bawah Graf, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:

Rajah di atas menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan satu zarah dalam tempoh 10 saat. Dari graf, cari
(a)    jumlah jarak yang dilalui oleh zarah itu bagi keseluruhan perjalanan.
(b)   laju purata bagi keseluruhan perjalanan.

Penyelesaian:
(a)
Jumlah jarak yang dilalui
= Luas di bawah graf laju-masa
= Luas segitiga
= ½ × 15 × 10
= 75 m

(b)
Laju purata bagi keseluruhan perjalanan
= Total distance travelled Total time taken = 75 10 =7.5 m s −1


Soalan 5:

Rajah di atas menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan satu zarah dalam tempoh 12 saat. Cari
(a)    tempoh masa, dalam s, zarah itu bergerak dengan laju seragam.
(b)   jarak yang dilalui apabila zarah itu bergerak dengan laju seragam.
(c)    Jarak yang dilalui oleh zarah itu apabila kadar perubahan laju adalah negatif.

Penyelesaian:
(a)
Tempoh masa zarah itu bergerak dengan laju seragam
= 10 – 6
= 4 s

(b)
Jarak yang dilalui apabila zarah itu bergerak dengan laju seragam
= Luas di bawah graf laju-masa
= Luas segiempat tepat
= 4 × 10
= 40 m

(c)
Jarak yang dilalui oleh zarah itu apabila kadar perubahan laju adalah negatif
= Luas di bawah graf laju-masa dalam tempoh 6 s yang pertama
= Luas trapezium
= ½ (10 + 25)(6)
= 105 m



Soalan 6:
Rajah di bawah menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan suatu objek dalam tempoh 40 saat.
(a) Nyatakan tempoh masa, dalam s, objek itu bergerak dengan laju seragam.
(b) Hitung kadar perubahan laju, dalam ms-2, objek itu dalam tempoh 12 saat yang terakhir.
(c) Hitung nilai v, jika jumlah objek yang dilalui dalam tempoh 40 saat ialah 500 m.

Penyelesaian:
(a) Tempoh masa objek bergerak dengan laju seragam = 28s – 10s = 18s

(b) Kadar perubahan laju =− 15 12 ms −2 =−1.25  ms −2 (c) Luas trapizium I + Luas trapizium II=500 1 2 ( v+15 )10+ 1 2 ( 18+30 )15=500    5v+75+360=500 5v=65   v=13

Bab 17 Kecerunan dan Luas di bawah Graf

Posted on by

6.3.1 Kecerunan dan Luas di Bawah Graf, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

Rajah di atas menunjukkan graf jarak-masa bagi pergerakan satu zarah dalam tempoh 5 saat.
Cari
(a) jarak yang dilalui oleh zarah itu dari masa 2 saat ke 5 saat.
(b) laju zarah itu dalam 2 saat yang pertama.


Penyelesaian:
(a)
Jarak yang dilalui oleh zarah itu dari masa 2 saat ke 5 saat
= 20 – 15
= 5 m

(b)
Laju zarah itu dalam 2 saat yang pertama
= Kecerunan
= 15 − 0 2 − 0 = 7.5 ms − 1


Soalan 2:

Rajah di atas menunjukkan graf jarak-masa bagi pergerakan satu kereta dalam tempoh 12 saat.
Cari
(a) nilai v, jika laju purata kereta bagi 6 saat yang pertama ialah 2 ms-1.
(b) laju purata kereta bagi 8 saat yang pertama.


Penyelesaian:
(a)
laju purata kereta bagi 6 saat yang pertama ialah 2 ms-1
Jumlah jarak yang dilalui Jumlah masa yang diambil = 2 v 6 = 2 v = 12

(b)
Laju purata kereta bagi 8 saat yang pertama.
= 15 8 = 1.875 m s − 1


Soalan 3:
Rajah di bawah menunjukkan graf jarak-masa bagi perjalanan sebuah keretapi dari satu bandar ke bandar yang lain dalam tempoh 90 minit.

(a) Nyatakan tempoh masa, dalam minit, ketika keretapi itu berhenti.
(b) Hitung laju, dalam km j-1, keretapi itu dalam 40 minit yang pertama.
(c) Cari jarak, dalam km, yang dilalui oleh keretapi itu bagi 25 minit yang terakhir.


Penyelesaian:

(a) Tempoh masa keretapi itu berhenti = 65 – 40 = 25 minit

(b) Laju keretapi itu dalam 40 minit yang pertama = 150−90 km 40 minit = 60 km 40 60  j =90 km / j

(c) 90 – 0 = 90 km

Bab 17 Kecerunan dan Luas di bawah Graf

Posted on by

6.1 Kuantiti yang diwakili oleh Kecerunan Graf (Bahagian 2)
 
6.1.2 Graf Laju – Masa
1.   Kecerunan graf laju-masa ialah kadar perubahan laju iaitu pecutan.


Kecerunan = Jarak mencancang Jarak mengufuk = y 2 − y 1 x 2 − x 1 = Perubahan laju Perubahan masa = Pecutan


2.    


(a)  Dari O ke P: Kecerunan = positif → (Kelajuan objek meningkat atau pecutan)
(b)  Dari P ke Q: Kecerunan = 0 → (Objek bergerak dalam laju seragam)
(c)  Dari Q ke R: Kecerunan = negatif → (Kelajuan objek menurun atau susutan)


Contoh:

Rajah di atas menunjukkan graf laju-masa bagi sebuah kereta yang bergerak dalam masa 5 saat. Hitung
(a)  kadar perubahan laju apabila kereta bergerak dari X ke Y.
(b)  kadar perubahan laju apabila kereta bergerak dari Y ke Z.

Penyelesaian:
(a)
Kadar perubahan laju apabila kereta bergerak dari X ke Y
= Kecerunan
= y 2 − y 1 x 2 − x 1 = 5 − 20 4 − 0 = − 15 4 ms − 2 ← Kecerunan negatif menunjukkan kelajuan menyusut .
 
(b)
Kadar perubahan laju apabila kereta bergerak dari Y ke Z
= Kecerunan
= y 2 − y 1 x 2 − x 1 = 10 − 5 5 − 4 = 5 ms − 2

Bab 17 Kecerunan dan Luas di bawah Graf

Posted on by

6.1 Kuantiti yang diwakili oleh Kecerunan Graf (Bahagian 1)
Kecerunan graf ialah kadar perubahan kuantiti pada paksi mencancang terhadap perubahan kuantiti lain pada paksi mengufuk.

6.1.1    Graf Jarak – Masa
1.   Kecerunan graf jarak-masa ialah laju.


Kecerunan = Jarak mencancang Jarak mengufuk = y 2 − y 1 x 2 − x 1 = Perubahan jarak Perubahan masa = Laju


2.
 
(a)  Dari O ke P: Kecerunan = positif
(b)  Dari P ke Q: Kecerunan = 0 → (Objek berhenti bergerak)
(c)  Dari Q ke R: Kecerunan = negatif → (Objek bergerak dalam arah yang bertentangan dengan arah yang asal).


3.    
Purata laju = Jumlah jarak yang dilalui Jumlah masa yang diambil

Contoh 1:


Rajah di atas menunjukkan graf jarak-masa bagi sebuah kereta yang bergerak. Hitung laju kereta dalam 6 saat yang pertama.

Penyelesaian:
Laju kereta dalam 6 saat yang pertama
= Kecerunan
= 12 − 0 6 − 0 = 2.0 ms − 1

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on by
5.6.4 Menyelesaikan Persamaan Trigonometri (Melibatkan Rumus Penambahan dan Rumus bagi Sudut Berganda)

Contoh 1 (Rumus penambahan):
Selesaikan persamaan yang berikut untuk 0o ≤ x ≤ 360o:
(a)    sin ( x – 25o) = 3 sin ( x + 25o)
(b)   3 kos (2x + 10o) = 2  

Penyelesaian:
(a)
sin ( x – 25o) = 3 sin ( x + 25o)  
sin x kos 25o – kos x sin 25o = 3 (sin x kos 25o + kos x sin 25o)
sin x kos 25o – kos x sin 25o = 3 sin x kos 25o + 3 kos x sin 25o
– sin x kos 25o = 4 kos x sin 25o
sinx kosx =− 4sin 25 ∘ 2kos 25 ∘  
tan x = – 2 tan 25o
tan x = – 2 (0.4663)
tan x = – 0.9326
Sudut asas x = 43o

Sudut yang dirujuk x = 43o berada di sukuan kedua dan keempat.
Oleh itu, x = 180o – 43o, 360o – 43o
x = 137o , 317o

(b)
3 kos (2x + 10o) = 2   ← (Ambil julat sudut dalam 0o ≤ x ≤ 720o, bagi 2 putaran lengkap)
kos ( 2x + 10o) = ⅔
Sudut asas ( 2x + 10o) = 48.19o
2x + 10o = 48.19o, 360o – 48.19o , 360o + 48.19o, 720o – 48.19o 
2x + 10o = 48.19o, 311.81o , 408.19o, 671.81o
2x = 38.19o, 301.81o , 398.19o, 661.81o
x = 19.10o, 150.91o , 199.10o, 330.91o


Contoh 2 (Rumus sudut berganda):
Cari semua sudut yang memuaskan 5 kos 2A + 9 sin A = 7, 0° < A < 360°.

Penyelesaian:
5 kos 2A + 9 sin A = 7
5 (1 – 2 sin2A) + 9 sin A = 7  ← (ganti kos 2A = 1 – 2sin2 A, seluruh persamaan sekarang dalam sebutan sin A)
5 – 10 sin2A + 9 sin A – 7 = 0
– 10 sin2A + 9 sin A – 2 = 0
10 sin2A – 9 sin A + 2 = 0
(2 sin A – 1)(5 sin A – 2) = 0
sin A = ½ = 0.5       atau      sin A = 2 5   = 0.4

Apabila sin A = 0.5,         
Sudut asas A = 30º
A = 30º, 180º – 30º
A = 30º, 150º

Apabila sin A = 0.4,         
Sudut asas A = 23.58º
A = 23.58º, 180º – 23.58º
A = 23.58º, 156.42º

Oleh itu A = 23.58º, 30º, 150º, 156.42º.


Contoh 3 (Rumus sudut berganda):
Cari semua sudut θ antara 0 dan 2π rad yang memuaskan persamaan sin 2θ = sin θ

Penyelesaian:
sin 2θ = sin θ
2 sin θ kos θ = sin θ   ←  (sin 2θ = 2 sin θ kos θ)
2 sin θ kosθ – sin θ = 0
sin θ (2 kos θ – 1) = 0   ← (Pemfaktoran)
sin θ = 0       atau      2 kos θ – 1 = 0

Apabila sin θ = 0
θ = 0, π, 2π

Apabila 2 kos θ – 1= 0
kos θ = ½

θ= 1 3 π,  5 3 π Oleh itu, θ=0,  1 3 π, π,  5 3 π, 2π.

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on by

5.8.1 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:
(a) Lakar graf y = kos 2x untuk 0o ≤ x ≤ 180o.
(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 2  sin 2 x=2− x 180 untuk 0o ≤ x ≤ 180o.
Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Penyelesaian:
(a)(b)


(b)
2  sin 2 x=2− x 180 1−2  sin 2 x=1−( 2− x 180 ) kos2x= x 180 −1 y= x 180 −1

x = 0, y = –1
x = 180, y = 0
Bilangan penyelesaian = 2



Soalan 2:
(a) Lakar graf y= 3 2 kos2x untuk 0≤x≤ 3 2 π.  
(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 4 3π x−kos2x= 3 2  untuk 0≤x≤ 3 2 π  
Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Penyelesaian:
(a)(b)



(b)
4 3π x−kos2x= 3 2 kos2x= 4 3π x− 3 2 3 2 kos2x= 3 2 ( 4 3π x− 3 2 ) y= 2 π x− 9 4 Untuk melakar graf y= 2 π x− 9 4 x=0, y=− 9 4 x= 3π 2 , y= 3 4
Bilangan penyelesaian
= bilangan titik persilangan
= 3