Bab 9 Trigonometri II

Posted on June 11, 2016 by user

9.3.2 Trigonometri II, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 4:

Dalam rajah di atas, WZY ialah satu garis lurus. ∠XYZ = 90^o, ∠XWZ = 30^odan WZ = XZ = 30cm. Cari panjang XY.

Penyelesaian:

∠WXZ = ∠XWZ = 30^o

Maka ∠XZY = 30^o+ 30^o= 60^o

$\begin{array}{l} \sin ∠ X Z Y = \frac{X Y}{X Z} \\ \sin 60^{o} = \frac{X Y}{30} \end{array}$

XY= sin 60^o × 30

XY = 25.98cm

Soalan 5:

Dalam rajah di atas, PQS ialah satu segitiga bersudut tegak. Diberi bahawa SR = 6cm, PQ = 12 cm dan 5SR = 2PS. Cari nilai cos α dan tan β.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} 5 S R = 2 P S \\ P S = \frac{5}{2} S R \\ P S = \frac{5}{2} (6) \\ P S = 15 c m \\ k o s α = \frac{P Q}{P S} \\ k o s α = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \end{array}$

Dalam ∆ PQS, guna Teori Pythagoras,

$\begin{array}{l} Q S = \sqrt{P S^{2} - P Q^{2}} \\ Q S = \sqrt{15^{2} - 12^{2}} = 9 c m \\ \tan β = - \tan ∠ P S Q \leftarrow \begin{array}{l} 90^{\circ} < β < 180^{\circ} \\ (d a l a m sukuan II), \\ tan β is negatif \end{array} \\ \tan β = - \frac{P Q}{Q S} \\ \tan β = - \frac{12}{9} = - \frac{4}{3} \end{array}$

Soalan 6:

Dalam rajah di atas, ADC ialah satu garis lurus,

$\sin q = \frac{3}{5} dan \tan p = \frac{1}{2}$ . Hitung jarak AC.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} Diberi \sin q = \frac{B D}{A B} = \frac{3}{5} \\ \frac{B D}{30} = \frac{3}{5} \\ B D = \frac{3}{5} \times 30 \\ B D = 18 c m \end{array}$

Dalam ∆ ABD, guna Teori Pythagoras,

$\begin{array}{l} A D = \sqrt{A B^{2} - B D^{2}} \\ A D = \sqrt{30^{2} - 18^{2}} = 24 c m \\ Given tan p = \frac{B D}{D C} = \frac{1}{2} \\ \frac{18}{D C} = \frac{1}{2} \\ D C = 36 c m \end{array}$

Oleh itu, jarak AC = 24 + 36 = 60cm

Bab 9 Trigonometri II

Posted on June 11, 2016 by user

9.3.1 Trigonometri II, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 1:

Dalam rajah di atas, cari nilai tan θ.

Penyelesaian:

Dalam ∆ ABC, guna Teori Pythagoras,

$\begin{array}{l} A C = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} c m \\ \tan θ = \frac{C D}{A C} \\ \tan θ = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}$

Soalan 2:

Dalam rajah di atas, ABCE ialah satu segiempat tepat and titik D terletak pada garis lurus EC. Diberi bahawa DC = 5 cm dan AE = 4cm, cari nilai kos θ.

Penyelesaian:

AD = DC = 5cm

Dalam ∆ AED, guna Teori Pythagoras,

$\begin{array}{l} E D = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3 c m \\ k o s θ = - k o s ∠ A D E \leftarrow \begin{array}{l} 90^{\circ} < θ < 180^{\circ} \\ (s u k u a n II), \\ k o s θ adalah negatif \end{array} \\ k o s θ = - \frac{E D}{A D} \\ k o s θ = - \frac{3}{5} \end{array}$

Soalan 3:

Dalam rajah di atas, PMR ialah garis lurus, M ialah titik tengah bagi garis PR. Diberi bahawa QR = 12cm dan sin y = 0.6, cari nilai tan x^o.

Penyelesaian:

Dalam ∆ QMR,

sin y^o= 0.6

$\sin y^{\circ} = \frac{Q R}{Q M} = \frac{6}{10}$

Diberi QR = 12cm

Maka QM = 10 × 2 = 20cm

Dalam ∆ QMR, guna Teori Pythagoras,

$\begin{array}{l} M R = \sqrt{20^{2} - 12^{2}} = 16 c m \\ P R = 16 \times 2 = 32 c m \\ Oleh itu \tan x^{\circ} = \frac{Q R}{P R} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8} \end{array}$

Bab 9 Trigonometri II

Posted on June 11, 2016 by user

9.1.2 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sesuatu Sudut (Bahagian 2)

(D) Sudut khusus 30^o, 45^o, 60^o

(E) Mencari sudut di antara 0^o dengan 360^o apabila nilai sin θ, kos θ atau tan θ diberi

1. Jika nilai sin θ, kos θ atau tan θ diberi dan 0^o< θ < 360^o, nilai θ dapat dicari dengan menggunakan langkah-langkah di bawah.
(a) Cari sudut asas dalam sukuan I yang sesuai dengan θ.
(b) Berdasarkan nilai (positif atau negatif) bagi sin θ, kos θ atau tan θ, tentukan sukuan yang mana θ berada.
(c) Cari nilai-nilai θ dalam sukuan yang dicari dalam (b).

Contoh:

Cari nilai θ yang memuaskan setiap persamaan di bawah.

(a) sin θ = 0.6025 dan 90^o< θ < 180^o

(b) kos θ = –0.6025 dan 180^o< θ < 270^o

(d) tan θ = –1.732 dan 0^o< θ < 360^o

Penyelesaian:

(a)

sin θ = 0.6025

Sudut asas ∠ = 37.05^o ← (tekan SHIFT sin^-1 0.6025 = 37.04975756)

Oleh itu θ = 180^o – 37.05^o = 142.95^o ← (90^o< θ < 180^o)

(b)

kos θ = –0.6025

Sudut asas ∠ = 52.95^o ← (tekan SHIFT kos^-1 0.6025 = 52.9508)

Oleh itu θ = 180^o + 52.95^o = 232.95^o ← (180^o< θ < 270^o)

(c)

sin θ = –0.8387 ← (sin θ adalah negatif dalam sukuan ke III dan ke IV)

Sudut asas ∠ = 57^o ← (tekan SHIFT sin^-1 0.8387 = 57.003)

θ₁ = 180^o + 57^o = 237^o ← (180^o< θ < 270^o)

θ₂ = 360^o – 57^o = 303^o ← (270^o< θ < 360^o)

Oleh itu θ = 237^odan 303^o

(d)

tan θ = –1.732 ← (tan θ adalah negatif dalam sukuan ke II dan ke IV)

Sudut asas ∠ = 60^o ← (tekan SHIFT tan^-1 1.732 = 59.9993)

θ₁ = 180^o – 60^o = 120^o ← (90^o< θ < 180^o)

θ₂ = 360^o – 60^o = 300^o ← (270^o< θ < 360^o)

Oleh itu θ = 120^odan 300^o

Bab 9 Trigonometri II

Posted on June 11, 2016 by user

9.1 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sesuatu Sudut (Bahagian 1)

(A) Sinus, kosinus dan tangen untuk segitiga sudut tegak

$\begin{array}{l} \sin θ = \frac{sisi bertentangan}{hipotenus} \\ cos θ = \frac{sisi bersebelahan}{hipotenus} \\ tan θ = \frac{sisi bertentangan}{sisi bersebelahan} \end{array}$

(B) Nilai sin θ, kos θ dan tan θ dalam sukuan pertama dalam bulatan unit

Dalam sukuan I, P adalah satu titik yang terletak pada lilitan bulatan unit yang berpusatkan asalan, 0. θ adalah sudut di antara jejari OPdengan paksi-x yang positif. Daripada rajah

$\begin{array}{l} (a) sin θ = \frac{P Q}{O P} = y \\ (b) kos θ = \frac{O Q}{O P} = x \\ (c) tan θ = \frac{P Q}{O Q} = \frac{y}{x} \\ O l e h i t u, \\ \begin{array}{l} sin θ = y -koordinat \\ kos θ = x -koordinat \\ tan θ = \frac{y -koordinat}{x -koordinat} \end{array} \end{array}$

(C) Suatu satah Cartesan dibahagikan kepada empat bahagian, disebut sukuanoleh paksi-x dan paksi-y. Sukuan-sukuan itu dinamakan sebagai sukuan I, sukuan II, sukuan III, dan sukuan IV mengikut lawan arah jam.

Contoh:

Tentukan samada setiap nilai berikut adalah positif atau negatif.

(a) sin 105^o (b) kos 75^o (c) tan 305^o (d) sin 50^o

(e) kos 160^o (f) tan 220^o (g) kos 260^o (h) kos 350^o

Penyelesaian:

(a) sin 105^oadalah positif kerana 90^o< 105^o < 180^o (sukuan II).

(b) kos 75^oadalah positif kerana 0^o< 75^o < 90^o (sukuan I).

(c) tan 305^oadalah negatif kerana 270^o< 305^o < 360^o (sukuan III).

(d) sin 50^oadalah positif kerana 0^o< 50^o < 90^o (sukuan I).

(e) kos 160^oadalah negatif kerana 120^o< 160^o < 180^o (sukuan II).

(f) tan 220^oadalah positif kerana 180^o< 220^o < 270^o(sukuan III).

(g) kos 260^oadalah negatif kerana 180^o< 260^o < 270^o (sukuan III).

(h) kos 350^oadalah positif kerana 270^o< 350^o < 360^o (sukuan IV).

Bab 9 Trigonometri II

Posted on June 11, 2016 by user

9.3 Trigonometri II, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 13:

Antara graf berikut, yang manakah mewakili graf y = tan x for 0^o ≤ x ≤ 360^o?

Penyelesaian:

Jawapan: A

Soalan 14:

Graf manakah yang mewakili sebahagian daripada y = tan x?

Penyelesaian:

Jawapan: C

Bab 9 Trigonometri II

Posted on June 11, 2016 by user

9.3 Trigonometri II, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 10:

Antara graf berikut, yang manakah mewakili graf y = cos 2x?

Penyelesaian:

Jawapan: C

Soalan 11:

Antara graf berikut, yang manakah mewakili graf y = cos x for 0^o ≤ x ≤ 180^o?

Penyelesaian:

Jawapan: D

Soalan 12:

Graf manakah yang mewakili sebahagian daripada y = cos x?

Penyelesaian:

Jawapan: B

Bab 9 Trigonometri II

Posted on June 11, 2016 by user

9.3 Trigonometri II, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 7:

Graf manakah yang mewakili y = sin x bagi 0^o≤ x ≤ 270^o?

Penyelesaian:

Jawapan: B

Soalan 8:

Graf manakah yang mewakili y = sin x bagi 0^o≤ x ≤ 180^o?

Penyelesaian:

Jawapan: D

Soalan 9:

Graf manakah yang mewakili sebahagian daripada y = sin x?

Penyelesaian:

Jawapan: A

Bab 9 Trigonometri II

Posted on June 11, 2016 by user

9.2 Graf Sinus, Kosinus dan Tangen

1. y = sin x, 0^o≤ x ≤ 360^o

x	0^o	90^o	180^o	270^o	360^o
*sin x*	0	1	0	-1	0

2. y = kos x, 0^o≤ x ≤ 360^o

x	0^o	90^o	180^o	270^o	360^o
*kos x*	1	0	-1	0	1

3. y = tan x, 0^o≤ x ≤ 360^o

x	0^o	90^o	180^o	270^o	360^o
*tan* x	0	∞	0	∞	0

4. y = sin 2x, 0^o≤ 2x ≤ 360^o

5. y = kos 2x, 0^o≤ 2x ≤ 360^o

6. y = tan 2x, 0^o≤ 2x ≤ 360^o

Bab 6 Statistik III

Posted on June 11, 2016 by user

6.8.3 Statistik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 5:

Jadual 3 menunjukkan taburan kekerapan masa yang dicatatkan oleh 50 orang perenang dalam suatu latihan di dalam kolam renang.

Jadual 3

(a) Nyatakan kelas mod.

(b) Hitung min anggaran masa yang dicatatkan oleh seorang perenang.

(c) Berdasarkan Jadual 3, lengkapkan Jadual 4 pada ruang jawapan dengan menulis nilai-nilai sempadan atas dan kekerapan longgokan.

Jadual 4

Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf . Anda boleh menggunakan pembaris fleksibel.

(d) Dengan menggunakan skala 2cm kepada 5 saat pada paksi mengufuk dan 2cm kepada 5 orang perenang pada paksi mencancang, lukiskan satu ogif bagi data tersebut.

Penyelesaian:

(a) Kelas mod = Saat 50 – 54 (kekerapan tertinggi).

(b)

$\begin{array}{l} Min anggaran \\ = \frac{37 \times 5 + 42 \times 8 + 47 \times 9 + 52 \times 15 + 57 \times 11 + 62 \times 2}{50} \\ = \frac{2475}{50} = 49.5 \end{array}$

(c)

(d)

Soalan 6:
Jadual di bawah menunjukkan taburan kekerapan umur, dalam tahun, bagi 100 orang pengakap pada suatu tempat berkhemah.

(a) Berdasarkan Jadual di atas, lengkapkan Jadual di ruang jawapan.

(b) Hitung min anggaran umur, dalam tahun, bagi seorang pengakap di tempat berkhemah.

(c) Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf . Anda boleh menggunakan pembaris fleksibel.
Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 tahun pada paksi mengufuk dan 2 cm kepada 10 orang pengakap pada paksi mencancang, lukiskan satu ogif bagi data tersebut.

(d) Umur pengakap yang melebihi 18 tahun adalah pengakap senior.
Berdasarkan ogif yang dilukis di bahagian (c), cari peratus pengakap senior dalam tempat berkhemah.

Jawapan:

Penyelesaian:
(a)

(b)

$\begin{array}{l} Min anggaran umur \\ = \frac{0 \times 2 + 12 \times 7 + 18 \times 12 + 26 \times 17 + 25 \times 22 + 13 \times 27 + 6 \times 32}{100} \\ = \frac{1835}{100} \\ = 18.35 tahun \end{array}$

(c)

(d)

$\begin{array}{l} Jumlah pengakap senior \\ = 100 - 49 \\ = 51 \\ Peratus pengakap senior \\ = \frac{51}{100} \times 100 % \\ = 51 % \end{array}$

Bab 6 Statistik III

Posted on June 10, 2016 by user

6.1 Selang Kelas

1. Data yang terdiri daripada ukuran sesuatu kuantiti boleh dikumpulkan dalam beberapa kelas dan julat setiap kelas itu dinamakan selang kelas.

(A) Had dan Sempadan Kelas

Had Bawah dan Had Atas

2. Bagi selang kelas, misalnya 30 – 39, nilai yang terkecil (30) dnamakan had bawah manakala nilai yang terbesar (39) dikenali sebagai had atas.

Sempadan Bawah dan Sempadan Atas

3. Sempadan bawah bagi suatu kelas ialah nilai tengah di antara had bawah selang kelas itu dengan had atas bagi kelas yang sebelumnya.

4. Sempadan atas bagi suatu kelas ialah nilai tengah di antara had atas selang kelas itu dengan had bawah bagi kelas yang berikutnya.

Contoh:

20 – 29

30 – 39

40 – 49

$\begin{array}{l} Sempadan bawah bagi kelas 30 - 39 \\ = \frac{29 + 30}{2} = 29.5 \\ Sempadan atas bagi kelas 30 - 39 \\ = \frac{39 + 40}{2} = 39.5 \end{array}$

(B) Saiz Selang Kelas

5. Saiz selang kelas adalah perbezaan antara sempadan atas dan sempadan bawah kelas.

Misalnya:

Saiz selang kelas 30 – 39

= Sempadan atas – Sempadan bawah

= 39.5 – 29.5

= 10