Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 16, 2016 by user

5.8.1 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

(a) Lakar graf y = kos 2x untuk 0^o ≤ x ≤ 180^o.

(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan

2 {sin}^{2} x = 2 - \frac{x}{180}

untuk 0^o ≤ x ≤ 180^o.

Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Penyelesaian:

(a)(b)

(b)

\begin{array}{l} 2 {sin}^{2} x = 2 - \frac{x}{180} \\ 1 - 2 {sin}^{2} x = 1 - (2 - \frac{x}{180}) \\ k o s 2 x = \frac{x}{180} - 1 \\ y = \frac{x}{180} - 1 \end{array}

x = 0, y = –1

x = 180, y = 0

Bilangan penyelesaian = 2

Soalan 2:

(a) Lakar graf

y = \frac{3}{2} k o s 2 x untuk 0 \leq x \leq \frac{3}{2} π .

(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan

\frac{4}{3 π} x - k o s 2 x = \frac{3}{2} untuk 0 \leq x \leq \frac{3}{2} π

Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Penyelesaian:

(a)(b)

(b)

\begin{array}{l} \frac{4}{3 π} x - k o s 2 x = \frac{3}{2} \\ k o s 2 x = \frac{4}{3 π} x - \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} k o s 2 x = \frac{3}{2} (\frac{4}{3 π} x - \frac{3}{2}) \\ y = \frac{2}{π} x - \frac{9}{4} \\ Untuk melakar graf y = \frac{2}{π} x - \frac{9}{4} \\ x = 0, y = - \frac{9}{4} \\ x = \frac{3 π}{2}, y = \frac{3}{4} \end{array}

Bilangan penyelesaian

= bilangan titik persilangan

= 3

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 16, 2016 by user

5.2.2 Sudut Khas

1. Nilai fungsi trigonometri bagi sudut-sudut khas

(a) Nilai bagi sudut khas 30^odan 60^o

\begin{array}{l} (a) \sin 30^{o} = \frac{1}{2} (b) k o s 30^{o} = \frac{\sqrt{3}}{2} (c) t a n 30^{o} = \frac{1}{\sqrt{3}} \\ (d) \sin 60^{o} = \frac{\sqrt{3}}{2} (e) k o s 60^{o} = \frac{1}{2} (f) t a n 60^{o} = \sqrt{3} \end{array}

(b) Nilai bagi sudut khas 45^o

(a) \sin 45^{o} = \frac{1}{\sqrt{2}} (b) k o s 45^{o} = \frac{1}{\sqrt{2}} (c) t a n 45^{o} = 1

(c) Nilai bagi sudut khas 0^o, 90^o, 180^o ,270^o ,360^o(i) Graf y = sin x, 0^o ≤ x ≤ 360^o

x	0^o	90^o	180^o	270^o	360^o
sin	0	1	0	-1	0

(ii) Graf y = kos x, 0^o ≤ x ≤ 360^o

(iii) Graf y = tan x, 0^o ≤ x ≤ 360^o

x	0^o	90^o	180^o	270^o	360^o
tan	0	∞	0	∞	0

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 16, 2016 by user

5.7.6 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 15:

Buktikan identiti

\frac{2}{k o s 2 A + 1} = s e k^{2} A

Peneyelesaian:

\begin{array}{l} Sebelah kiri \\ = \frac{2}{k o s 2 A + 1} \\ = \frac{2}{(2 k o s^{2} A - 1) + 1} \leftarrow k o s 2 A = 2 k o s^{2} A - 1 \\ = \frac{2}{2 k o s^{2} A} = \frac{1}{k o s^{2} A} \\ = s e k^{2} A \\ = Sebelah kanan \end{array}

Soalan 16:

Buktikan identiti

\frac{2 \tan A}{2 - s e k^{2} A} = \tan 2 A

Peneyelesaian:

\begin{array}{l} Sebelah kiri \\ = \frac{2 \tan A}{2 - s e c^{2} A} \\ = \frac{2 \tan A}{2 - (\tan^{2} A + 1)} \leftarrow \tan^{2} A + 1 = s e c^{2} A \\ = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^{2} A} \\ = \tan 2 A \\ = Sebelah kanan \end{array}

Soalan 17:

Buktikan identiti tan x + kot x = 2 kosek 2x

Peneyelesaian:

Sebelah kiri,

tan x + kot x

\begin{array}{l} = \frac{\sin x}{k o s x} + \frac{k o s x}{\sin x} \\ = \frac{\sin^{2} x + k o s^{2} x}{k o s x \sin x} \\ = \frac{1}{k o s x \sin x} \leftarrow \sin^{2} x + k o s^{2} x = 1 \\ = \frac{1}{\frac{1}{2} \sin 2 x} \leftarrow \begin{array}{l} \sin 2 x = 2 \sin x k o s x \\ \frac{1}{2} \sin 2 x = \sin x k o s x \end{array} \\ = \frac{2}{\sin 2 x} \\ = 2 (\frac{1}{\sin 2 x}) \\ = 2 k o s e k 2 x \\ = Sebelah kanan \end{array}

Soalan 18:

Buktikan identiti

\frac{k o s x - \sin 2 x}{k o s 2 x + \sin x - 1} = \frac{1}{\tan x}

Peneyelesaian:

\begin{array}{l} Sebelah kiri \\ \frac{k o s x - \sin 2 x}{k o s 2 x + \sin x - 1} \\ = \frac{k o s x - 2 \sin x k o s x}{(1 - 2 \sin^{2} x) + \sin x - 1} \leftarrow k o s 2 x = 1 - 2 \sin^{2} x \\ = \frac{k o s x (1 - 2 \sin x)}{\sin x - 2 \sin^{2} x} \\ = \frac{k o s x (1 - 2 \sin x)}{\sin x (1 - 2 \sin x)} \\ = \frac{k o s x}{\sin x} \\ = k o t x \\ = \frac{1}{\tan x} \\ Sebelah kanan \end{array}

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 16, 2016 by user

5.7.5 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 11:

Buktikan identiti

\frac{k o s^{2} x}{1 - \sin x} = 1 + \sin x

Peneyelesaian:

\begin{array}{l} Sebelah kiri \\ = \frac{k o s^{2} x}{1 - \sin x} \\ = \frac{1 - \sin^{2} x}{1 - \sin x} \leftarrow \sin^{2} x + k o s^{2} x = 1 \\ = \frac{(1 + \sin x) (1 - \sin x)}{1 - \sin x} \\ = 1 + \sin x \\ = Sebelah kanan \end{array}

Soalan 12:

Buktikan identiti

\sin^{2} x - k o s^{2} x = \frac{\tan^{2} x - 1}{\tan^{2} x + 1}

Peneyelesaian:

\begin{array}{l} Sebelah kanan \frac{\tan^{2} x - 1}{\tan^{2} x + 1} \\ = \frac{\frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} - 1}{\frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} + 1} \leftarrow \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \\ = \frac{\frac{\sin^{2} x - \cos^{2} x}{\cos^{2} x}}{\frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\cos^{2} x}} \\ = \frac{\sin^{2} x - \cos^{2} x}{\sin^{2} x + \cos^{2} x} \\ = \sin^{2} x - \cos^{2} x \leftarrow \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 \\ = Sebelah kiri \end{array}

Soalan 13:

Buktikan identiti tan²θ – sin² θ = tan²θ sin² θ

Peneyelesaian:

\begin{array}{l} Sebelah kiri \\ = \tan^{2} θ - \sin^{2} θ \\ = \frac{\sin^{2} θ}{\cos^{2} θ} - \sin^{2} θ \\ = \frac{\sin^{2} θ - \sin^{2} θ \cos^{2} θ}{\cos^{2} θ} \\ = \frac{\sin^{2} θ (1 - \cos^{2} θ)}{\cos^{2} θ} \\ = \frac{\sin^{2} θ \sin^{2} θ}{\cos^{2} θ} \\ = (\frac{\sin^{2} θ}{\cos^{2} θ}) (\sin^{2} θ) \\ = \tan^{2} θ \sin^{2} θ \\ = Sebelah kanan \end{array}

Soalan 14:

Buktikan identiti kosek²θ (sek² θ – tan² θ) – 1 = kot² θ

Peneyelesaian:

Sebelah kiri,

kosek²θ (sek²θ – tan² θ) – 1

= kosek²θ (1) – 1 ← (tan² θ + 1 = sek²θ

sek² θ – tan²θ = 1)

= kosek²θ – 1

= kot²θ ←(1 + kot² θ = kosek² θ

kosek² θ – 1 = kot² θ )

= Sebelah kanan

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 16, 2016 by user

5.2.1 Enam Fungsi Trigonometri bagi Sebarang Sudut

(A) Mentakrifkan Sinus, kosinus, tan, kosek, sek and kot

1. Katakan P (x, y) ialah sebarang sudut yang terletak pada lilitan bulatan yang berpusat O dan berjejari, j. Berdasarkan ∆ OPQ dalam rajah di atas,

• sin θ = \frac{y}{r} • kos θ = \frac{x}{r} • tan θ = \frac{y}{x}

2. Bagi sebarang sudut θ,

\begin{array}{l} • \tan θ = \frac{\sin θ}{k o s θ} \\ • k o t θ = \frac{1}{\tan θ} = \frac{k o s θ}{\sin θ} \\ • s e k θ = \frac{1}{k o s θ} \\ • k o s e k θ = \frac{1}{\sin θ} \end{array}

3. Hubungan antara nisbah trigonometri suatu sudut θdengan sudut pelengkapnya (90^o – θ) adalah:

Sudut Pelengkap:

• sin θ = kos (90^o – θ)

• kos θ = sin (90^o – θ)

• tan θ = kot (90^o – θ)

• kot θ = tan (90^o – θ)

• sek θ = kosek (90^o – θ)
• kosek θ = sek (90^o – θ)

Misalnya,

(a) sin 75^o= kos (90^o – 75^o) = kos 15^o

(b) tan 50^o= kot (90^o– 50^o) = kot 20^o

4. Hubungan nisbah trigonometri bagi sebarang sudut negative (–θ) adalah:

Sudut Negatif:

• sin (–θ) = –sin θ

• kos (–θ) = kos θ
• tan (–θ) = –tanθ

· Sudut negatif ialah sudut yang diukur mengikut arah jam dari arah positif paksi-x.

· Misalnya, –60^o adalah sepadan dengan 300^o (360^o – 60^o).

Contoh:

Ungkapkan setiap fungsi trigonometri yang berikut dalam sebutan nisbah sudut tirus trigonometri.
Seterusnya, cari nilainya dengan menggunakan kalkulator.
(a) kos (– 325^o)
(b) tan (– 124^o)
(c) sin (– 115^o)

Penyelesaian:

(a) kos (– 325^o)

= kos 325^o ← {rumus kos (–θ) = kos θ digunakan}

= kos (360^o– 325^o) ← {kos bernilai positif di sukuan keempat}

= kos 35^o

= 0.8192

(b) tan (– 124^o)

= – tan 124^o ← {rumus tan (–θ) = – tan θ digunakan }

= – [– tan (180^o– 124^o)] ← {tan bernilai negatif di sukuan kedua}

= tan 56^o

= 1.483

(c) sin (– 115^o)

= – sin 115^o ← {rumus sin (–θ) = – sin θ digunakan }

= – sin (180^o– 115^o) ← {sin bernilai positif di sukuan kedua}

= – sin 65^o

= – 0.9063

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 15, 2016 by user

5.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif dalam Darjah dan Radian

1. Sudut positif ialah sudut yang diukur mengikut arah lawan jam dari arah positif paksi-x.

2. Sudut negatif ialah sudut yang diukur mengikut arah jam dari arah positif paksi-x.

3. Satu putaran lengkap ialah 360°atau 2π radian.

Contoh:

Tunjukkan setiap sudut yang berikut dalam rajah yang berasingan dan nyatakan sukuan terletaknya sudut tersebut.

(a) 410°

(b) 890°

(c) \frac{22}{9} π radian

(d) \frac{10}{3} π radian

(e) –60^o

(f) –500°

(g) - 3 \frac{1}{4} π radian

Penyelesaian:

(a)

410° = 360° + 50°

Maka, sudut 410° terletak pada sukuan pertama.

(b)

890° = 720° + 170°

Maka, sudut 170° terletak pada sukuan kedua.

(c)

\frac{22}{9} π rad = (2 π + \frac{4}{9} π) rad = 360^{o} + 80^{o}

Maka, sudut

\frac{22}{9} π radian

terletak pada sukuan pertama.

(d)

\frac{10}{3} π rad = (3 π + \frac{1}{3} π) rad = 540^{o} + 60^{o}

Maka, sudut

\frac{10}{3} π radian

terletak pada sukuan ketiga.

(e)

Maka, sudut –60° terletak pada sukuan keempat.

(f)

–500° = –360° – 140°

Maka, sudut –500° terletak pada sukuan ketiga.

(g)

- 3 \frac{1}{4} π rad = (- 3 π - \frac{1}{4} π) rad = - 540^{o} - 45^{o}

Maka, sudut

- 3 \frac{1}{4} π radian

terletak pada sukuan kedua.

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 15, 2016 by user

5.7.3 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 7:

Diberi bahawa

\sin A = \frac{5}{13} dan kos B = \frac{4}{5}

, dengan keadaan A ialah sudut cakah dan B ialah
sudut tirus. Cari

(a) tan A

(b) sin (A + B)

Penyelesaian:

(a)

\tan A = - \frac{5}{12}

(b)

\begin{array}{l} \sin (A + B) = \sin A k o s B + k o s A \sin B \\ \sin (A + B) \\ = (\frac{5}{13}) (\frac{4}{5}) + (- \frac{12}{13}) (\frac{3}{5}) \leftarrow \begin{array}{l} k o s A = - \frac{12}{13} \\ \sin B = \frac{3}{5} \end{array} \\ = \frac{4}{13} - \frac{36}{65} \\ = - \frac{16}{65} \end{array}

(c)

\begin{array}{l} k o s (A - B) = k o s A k o s B + \sin A \sin B \\ k o s (A - B) = (- \frac{12}{13}) (\frac{4}{5}) + (\frac{5}{13}) (\frac{3}{5}) \\ k o s (A - B) = - \frac{33}{65} \end{array}

Soalan 8:

Jika sin A = p, dan 90° < A < 180°, ungkap dalam sebutan p

(a) tan A

(b) cos A

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Guna Teori Pythagoras, \\ Sisi bersebelahan \\ = \sqrt{1^{2} - p^{2}} \\ = \sqrt{1 - p^{2}} \end{array}

(a)

\tan A = - \frac{p}{\sqrt{1 - p^{2}}} \leftarrow \begin{array}{l} tan bernilai negatif \\ di sukuan II \end{array}

(b)

\begin{array}{l} k o s A = - \sqrt{1 - p^{2}} \leftarrow \begin{array}{l} k o s bernilai negatif di \\ sukuan II \end{array} \\ \sin A = 2 \sin A k o s A \\ \sin A = 2 (p) (- \sqrt{1 - p^{2}}) \\ \sin A = - 2 p \sqrt{1 - p^{2}} \end{array}

(c)

\begin{array}{l} \sin A = 2 \sin A k o s A \\ \sin A = 2 (p) (- \sqrt{1 - p^{2}}) \\ \sin A = - 2 p \sqrt{1 - p^{2}} \end{array}

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 15, 2016 by user

5.7.2 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 5:

Cari semua sudut antara 0° dengan 360 ° yang memuaskan persamaan yang berikut:

(a) 2 sin ( 2x – 50^o) = –1

(b) 15 sin² x = sin x + 4 sin 30^o

Peneyelesaian:

(a)

2 sin ( 2x – 50^o) = –1

sin ( 2x – 50^o) = – ½

sudut asas ( 2x – 50^o) = –30^o ← (sin adalah negatif di sukuan III dan IV)

2x – 50^o = –30^o, 180^o+ 30^o, 360^o – 30^o, 360^o+ 180^o + 30^o

← (sudut diambil dalam julat 0^o ≤ x≤ 720^o, dalam putaran lengkap)

2x – 50^o = –30^o, 210^o, 330^o, 570^o

2x = 20^o, 260^o, 380^o, 620^o

Oleh itu x= 10^o, 130^o, 190^o, 310^o

(b)

15 sin²x = sin x + 4 sin 30^o

15 sin²x = sin x + 4 (½) ← (sin 30^o= ½)

15 sin²x = sin x + 2

15 sin²x – sin x – 2 = 0

(5 sin x – 2)(2 sin x + 1) = 0

\begin{array}{l} \sin x = \frac{2}{5} atau \sin x = - \frac{1}{3} \\ Apabila \sin x = \frac{2}{5} \end{array}

sudut asas = 23º 35’

x = 23º 35’, 180º – 23º 35’

x = 23º 35’, 156º 25’

Apabila sin x = – ⅓ ← (sin adalah negatif di sukuan III dan IV)

sudut asas = 19º 28’

x = 180º + 19º 28’, 360º – 19º 28’

x = 199º 28’, 340º 32’

Oleh itu x= 23º 35’, 156º 25’, 199º 28’, 340º 32’.

(c)

7 sin x kos x = 1

\begin{array}{l} \sin x k o s x = \frac{1}{7} \\ 2 \sin x k o s x = \frac{2}{7} \leftarrow (\times 2 untuk kedua-dua belah) \\ \sin 2 x = \frac{2}{7} \end{array}

sin 2x = 0.2857

sudut asas x = 16º 36’

2x = 16º 36’, 180º – 16º 36’, 360º + 16º 36’, 360º + 180º – 16º 36’

2x = 16º 36’, 163º 24’, 376º 36’, 523º 24’

Oleh itu x= 8º 18’, 81º 42’, 188º 18’, 261º 42’.

Soalan 6:

Selesaikan persamaan 4 sin (x – π) cos (x – π) = 1 untuk 0^o ≤ x ≤ 360^o.

Peneyelesaian:

4 sin (x – π) kos (x – π) = 1

2 [2 sin (x – π) kos (x – π)] = 1

2 sin (x – π) kos (x – π) = ½

sin 2(x – π) = ½ ← (sin 2x = 2 sinx kosx)

sin 2(x – 180^o) = ½ ← (π rad = 180^o)

sin (2x – 360^o) = ½

sin 2x kos 360^o – kos 2x sin 360^o = ½

sin 2x (1) – kos 2x (0) = ½ ← (kos 360^o = 1, sin 360^o= 0)

sin 2x = ½

sudut asas x = 30^o ← (sudut khusus, sin 30^o = ½)

2x = 30^o, 150^o, 390^o, 510^o

x = 15^o, 75^o, 195^o, 255^o

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 15, 2016 by user

5.7.4 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 9:

Given that

\sin θ = \frac{3}{5}

, dengan keadaan θ ialah sudut tirus, tanpa menggunakan jadual atau kalkulator, cari nilai bagi

(a) sin (180º + θ),

(b) kos (180º – θ),

Penyelesaian:

\sin θ = \frac{3}{5} k o s θ = \frac{4}{5} \tan θ = \frac{3}{4}

(a)

sin (180º + θ)

= sin 180º kos θ + kos 180º sin θ

= (0) kos θ + (– 1) sin θ

= – sin θ

= - \frac{3}{5}

(b)

kos (180º – θ)

= kos 180º kos θ + sin 180º sin θ

= (– 1) kos θ + (0) sin θ

= – kos θ

= - \frac{4}{5}

(c)

\begin{array}{l} \tan (360^{\circ} + θ) \\ = \frac{\tan 360^{\circ} + \tan θ}{1 - \tan 360^{\circ} \tan θ} \\ = \frac{0 + \tan θ}{1 - (0) (\tan θ)} \\ = \tan θ \\ = \frac{3}{4} \end{array}

Soalan 10:

Buktikan setiap identiti trigonometri yang berikut.

(a) kot²x – kot² x kos²x = kos² x

(b) \frac{sek x}{sek x - k o s x} = k o s e k^{2} x

Penyelesaian:

(a)

Sebelah kiri:

kot²x– kot² x kos² x

= kot²x (1 – kos² x)

= kot²x (sin² x)

\begin{array}{l} = \frac{k o s^{2} x}{s i n^{2} x} (s i n^{2} x) \\ = k o s^{2} x (Sebelah kanan) \end{array}

(b)

\begin{array}{l} Sebelah kiri: \frac{sek x}{sek x - k o s x} \\ = \frac{\frac{1}{k o s x}}{\frac{1}{k o s x} - k o s x} = \frac{\frac{1}{k o s x}}{\frac{1}{k o s x} - \frac{k o s^{2} x}{k o s x}} \\ = \frac{\frac{1}{k o s x}}{\frac{1 - k o s^{2} x}{k o s x}} = \frac{1}{k o s x} \times \frac{k o s x}{1 - k o s^{2} x} \\ = \frac{1}{1 - k o s^{2} x} = \frac{1}{s i n^{2} x} \\ = k o s e k^{2} x (Sebelah kanan) \end{array}

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 15, 2016 by user

Soalan 3:

Selesaikan persamaan 6 sek² x – 13 tan x = 0, 0 ° ≤ x ≤ 360°.

Peneyelesaian:

6 sek²x – 13 tan x = 0

6 (1 + tan 2x) – 13 tan x = 0

6 tan 2x – 13 tan x + 6 = 0

(3 tan x – 2)(2 tan x – 3) = 0

tan x = ⅔ atau tan x =

\frac{3}{2}

tan x = ⅔

Sudut asas = 33.69^o, 180^o + 33.69^o

x = 33.69^o, 213.69^o

\tan x = \frac{3}{2}

Sudut asas = 56.31^o, 180^o + 56.31^o

x = 56.31^o, 236.31^o

Oleh itu x= 33.69^o, 56.31^o, 213.69^o, 236.31^o

Soalan 4:

Selesaikan persamaan 3 sin A kos A – kos A = 0 untuk 0 ° ≤ x ≤ 360°.

Peneyelesaian:

3 sin A kos A – kos A = 0

kos A (3 sin A – 1) = 0

kos A = 0 atau sin A = ⅓

kos A = 0

A = 90^o, 270^o

sin A = ⅓

Sudut asas = 19^o28^’

A = 19^o28^’, 180 – 19^o28^’

A = 19^o28^’, 160^o 32’

Oleh itu A = 19^o28^’, 90^o, 160^o 32’, 270^o