Bab 16 Fungsi Trigonometri

5.6.3 Bentuk Persamaan Kuadratik dalam sin x/ kos x/ tan x/ kosek x/ sek x/ kot x

Contoh:
Cari semua sudut di antara 0° dan 360° yang boleh menyelesaikan persamaan yang berikut.
(a)    3 sin2 x – 2 sin x – 1 = 0
(b)   2 sin x = kosek x + 1
(c)    5 sin2x = 2(1 + kos x)
(d)   2 sek x = 1 + kos x
(e)    2 kot2 x + 8 = 7 kosek x

Penyelesaian:
(a)
3 sin2 x – 2 sin x – 1 = 0
(3 sin x + 1)(sin x – 1) = 0
sin x = – , sin x = 1
sin x = –
sudut asas x = 19.47o
x= 180o + 19.47o, 360o – 19.47o
x = 199.47o, 340.53o
sin x = 1, x = 90o
Oleh itu x = 90o, 199.47o, 340.53o

(b)
2 sin x = kosek x + 1
2sinx=1sinx+1
2 sin2 x = 1 + sin x
2 sin2 x – sin x – 1 = 0
(2 sin x + 1)(sin x – 1) = 0
sin x = –½ , sin x = 1
sin x = –½
sudut asas x = 30o
x= 180o + 30o, 360o – 30o
x = 210o, 330o
sin x = 1, x = 90o
Oleh itu x = 90o, 210o, 330o

(c)
5 sin2x= 2(1 + kos x)
5 (1 – kos2 x) = 2 + 2 kos x
5 – 5 kos2 x – 2 – 2 kos x = 0
–5 kos2 x – 2 kos x + 3 = 0
5 kos2 x + 2 kos x – 3 = 0
(5 kos x – 3)(kos x + 1) = 0
kosx=35, kosx=1kosx=35 
sudut asas x = 53.13o
x= 53.13o, 360o – 53.13o
cos x = – 1
x= 180o
Oleh itu x = 53.13o, 180o, 306.87o

(d)
2 sek x = 1 + kos x
2kosx=1+kosx 
2 = kos x + kos2 x
kos2 x+ kos x – 2 = 0
(kos x – 1)(kos x + 2) = 0
kos x = 1
x= 0o, 360o
kos x = –2 (tidak diterima)
Oleh itu x = 0o, 360o

(e)
2 kot2 x + 8 = 7 kosek x
2 (kosek2x – 1) + 8 = 7 kosek x
2 kosek2x – 2 – 7 kosek x + 8 = 0
2 kosek2x – 7 kosek x + 6 = 0
(2 kosek x – 3)(kosek x – 2) = 0
kosek x=32,   kosek x=2sinx=23,       sinx=12sinx=23 
sudut asas x = 41.81o
x= 41.81o, 180o – 41.81o
sin x = ½
sudut asas x = 30o
x= 30o, 180o – 30o
Oleh itu x = 30o, 41.81o, 138.19o, 150o

Bab 16 Fungsi Trigonometri

5.6.2 Menyelesaikan Persamaan Trigonometri (Pemfaktoran)

Contoh:
Cari semua sudut untuk 0° ≤ x  ≤ 360° yang boleh selesaikan setiap persamaan trigonometri yang berikut.
(a)    kot x = –2 kos x
(b)   3 sek x = 4 kos x
(c)    16 tan x = kot x

Penyelesaian:
(a)
kot x = –2 kos x
cosxsinx=2cosx 
kos x = –2 kos x sin x
kos x + 2 sin x kos x = 0
kos x (1 + 2 sin x ) = 0
kos x = 0
x= 90o, 270o
1 + 2 sin x= 0
sin x = –½
asas x = 30o
x = (180o + 30o), (360o – 30o)
x= 210o, 330o
Oleh itu, x= 90o, 210o, 270o, 330o

(b)
3sekx=4kosx3kosx=4kosx3=4kos2xkos2x=34kosx=±32 asas=30x=30,(18030),(180+30),(36030)x=30,150,210,330

(c)
16tanx=kotx16tanx=1tanxtan2x=116tanx=±14 asas=14.04x=14.04,(18014.04),     (180+14.04),(36014.04)x=14.04,165.96,194.04,345.96

Bab 16 Fungsi Trigonometri

5.6 Menyelesaikan  Persamaan Trigonometri
5.6.1 Persamaan asas dalam sin x/ kos x/ tan x/ kosek x/ sek x/ kot x

Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri:


(1) Tentukan julat bagi nilai-nilai sudut yang berkenaan.
(2)   Cari sudut asas dengan menggunakan kalkulator.
(3)   Tentukan kedudukan sukuan bagi sudut-sudut.
(4)   Tentukan nilai bagi sudut yang berada dalam sukuan itu.




Contoh:
Cari nilai-nilai quntuk 0° < q   < 360° yang memuaskan setiap persamaan trigonometri yang berikut.
(a)    sin θ = 0.6137
(b)   cos q = 0.2377
(c)    tan q  = 2.7825
(d)   sin q  = –0.8537
(e)    sin 2q = 0.5293

Penyelesaian:
(a)
sin q= 0.6137
asas= sin-1 0.6137 = 37.86o
q  = 37.86° 180°-37.86°
q  = 37.86°, 142.14°

(b)
kos q = 0.2377
asas = cos-1 0.2377 = 76.25°
q  = 76.25°, 360° – 76.25°
q  = 76.25°, 283.75°

(c)
tan q = 2.7825
asas = tan-1 2.7825 = 70.23°
q = 70.23°, 180° + 70.23°
q  = 70.23°, 250.23°

(d)
sin q = –0.8537
asas = sin-1 0.8537 = 58.62°
q = 180° + 58.62°, 360° – 58.62°
q  = 238.62°, 301.38°

(e)
sin 2q  = 0.5293
asas = 31.96°
0° < q  < 360°
0° < 2q  < 720°
2q  = 31.96°, 180° – 31.96°, 360° + 31.96°, 360° + 180° – 31.96°
2q  = 31.96°, 148.04°, 360° + 391.96°, 508.04°
q  = 15.98°, 74.02°, 195.98°, 254.02°

Bab 16 Fungsi Trigonometri


5.5.1 Rumus bagi sin (A ± B), kos (A ± B), tan (A ± B), sin 2A, kos 2A, tan 2A
(Contoh Soalan)

Contoh 2:
Buktikan setiap identity trigonometri yang berikut.
(a)1+kos2xsin2x=kotx(b)kotAsek2A=kotA+tan2A(c)sinx1kosx=kotx2

Penyelesaian:
(a)
Sebelah kiri=1+kos2xsin2x=1+(2kos2x1)2sinxkosx=2kos2x2sinxkosx=kosxsinx=kotx=Sebelah kanan
 

(b)
Sebelah kanan=kotA+tan2A=kosAsinA+sin2Akos2A=kosAkos2A+sinAsin2AsinAkos2A=kosA(kos2Asin2A)+sinA(2sinAkosA)sinAkos2A
=kos3AkosAsin2A+2sin2AkosAsinAkos2A=kos3A+kosAsin2AsinAkos2A=kosA(kos2A+sin2A)sinAkos2A=kosAsinAkos2Asin2A+kos2A=1=(kosAsinA)(1kos2A)=kotAsek2A=Sebelah kiri


(c)
Sebelah kiri=sinx1kosx=2sinx2kosx21(12sin2x2)sinx=2sinx2kosx2,kosx=12sin2x2=2sinx2kosx22sin2x2=kosx2sinx2=kotx2=Sebelah kanan


Contoh 3:
(a) Diberi bahawa sinP=35 dan sinQ=513,  dengan keadaan P ialah satu sudut tirus dan Q ialah satu sudut cakah, tanpa menggunakan sifir atau kalkulator, cari nilai kos (P + Q).

(b) Diberi bahawa sinA=35 dan sinB=1213,  dengan keadaan A dan B adalah sudut-sudut dalam sukuan III dan sukuan IV masing-masing, tanpa menggunakan sifir atau kalkulator, cari nilai sin (AB).

Penyelesaian:
(a)


 
sinP=35,kosP=45sinQ=513,kosQ=1213kos(P+Q)=kosAkosBsinAsinB=(45)(1213)(35)(513)=48651565=6365
 

(b)



sinA=35,kosA=45sinB=513,kosB=1213sin(AB)=sinAkosBkosAsinB=(35)(1213)(45)(513)=36652065=5665


Bab 16 Fungsi Trigonometri

5.5 Rumus bagi sin (A ± B), kos (A ± B), tan (A ± B), sin 2A, kos 2A, tan 2A

Rumus penambahan

   sinA=2sinA2kosA2     kosA=sin2A2kos2A2        kosA=2kos2A21      kosA=12kos2A2   tanA=2tanA21tan2A2


5.5.1 Pembuktian Identiti Trigonometri yang Melibatkan Sudut Majmuk dan Sudut Berganda

Contoh 1:
Buktikan setiap identity trigonometri yang berikut.
(a) sin(A+B)sin(AB)kosAkosB=2tanB(b) kos(A+B)sinAkosB=kotAtanB(c) tan(A+45o)=sinA+kosAkosAsinA 

penyelesaian:
(a)
(Sebelah Kiri)=sin(A+B)sin(AB)kosAkosB=(sinAkosB+kosAsinB)(sinAkosBkosAsinB)kosAkosB=2kosAsinBkosAkosB=2sinBkosB=2tanB=(Sebelah Kanan)

(b)
(Sebelah Kiri)=kos(A+B)sinAkosB=kosAkosBsinAsinBsinAkosB=kosAkosBsinAkosBsinAsinBsinAkosB=kosAsinAsinBkosB=kotAtanB=(Sebelah Kanan)

(c)
(Sebelah Kiri)=tan(A+45o)=tanA+tan45o1tanAtan45o=tanA+11tanAtan45o=1=sinAkosA+11sinAkosA=sinA+kosAkosA×kosAkosAsinA=sinA+kosAkosAsinA=(Sebelah Kanan)


Bab 16 Fungsi Trigonometri


5.4 Identiti Asas

sin2 x + kos2 x = 1
sek2 x = 1 + tan2 x
kosek2 x = 1 + kot2 x


Contoh 1 (Pembuktian Identiti Trigonometri dengan Menggunakan Identiti Asas)
Buktikan setiap identity trigonometri yang berikut.
(a) sin2 x – kos2 x = 1 – 2 kos2 x
(b) (1 – kosek2 x) (1– sek2 x) = 1
(c) kot2 x – kot2 x kos2x = kos2 x

Penyelesaian:
(a)
sin2 x– kos2 x = 1 – 2 kos2x
Sebelah kiri: sin2 x– kos2 x
= 1 – kos2 x – kos2 x
= 1 – 2 kos2 x (Sebelah kanan)

(b)
(1 – kosek2 x) (1– sek2 x) = 1
Sebelah kiri: (1 – kosek2 x) (1– sek2 x)
= (–kot2 x) (–tan2 x)
= (kot2 x) (tan2 x)
=(1tan2x)tan2x=1(Sebelah kanan)

(c)
kot2 – kot2 x kos2 x = kos2 x
Sebelah kiri: kot2 x– kot2 x kos2 x
= kot2x (1 – kos2x)
= kot2x (sin2x)
=kos2xsin2x(sin2x)=kos2x(Sebelah kanan)


Contoh 2 (Menyelesaikan Persamaan Trigonometri dengan Identiti Asas)
Selesaikan setiap persamaan trigonometri yang berikut untuk 0o≤ 360o.
(a) sin2 x kos x + 1 = kos x
(b) 2 kosek2 x – 5 kot x = 0

Penyelesaian:
(a)
sin2kos x + 1 = kos x
(1 – kos2 x) kos x + 1 = kos x
kos x – kos3 x + 1 = kos x
kos3 x = 1
kos x = 1
x = 0o, 360o

(b)
2 kosek2 x – 5 kot x = 0
2 (1 + kot2 x) – 5 kot x = 0
2 + 2 kot2 x – 5 kot x = 0
2 kot2 x – 5 kot x + 2 = 0
(2 kot x – 1) (kot x – 2) = 0
kot = ½   atau   kot x = 2
kot = ½ atau kot x = 2
tan x = 2,   tan x = ½
x =63.43o, 243.43ox = 26.57o, 206.57o
(Perhatian: tangen adalah positif dalam sukuan I dan III)

Oleh itu, x = 26.57o, 63.43o, 206.57o, 243.43o

Bab 16 Fungsi Trigonometri


5.3.2c Melakar Graf Fungsi Trigonometri (Bahagian 3)

Contoh 2:
(a) Lakar graf bagi y = –½ kos x untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu graf yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan π2x+kosx=0  untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Penyelesaian:
(a)



(b)



π2x+kosx=0π2x=kosxπ4x=12kosxdarab kedua-duabelah dengan12y=π4xy=12kosx


Graf yang sesuai ialah y=π4x.  

x
π2  
π
y=π4x
½
¼

Daripada graf, terdapat 2 titik persilangan untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
Maka, terdapat 2 penyelesaian bagi persamaan π2x+kosx=0.

Bab 16 Fungsi Trigonometri

5.3.2a Melakar Graf Fungsi Trigonometri (Bahagian 1)

Contoh:
Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri yang berikut untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
(a) y = 3 sin x
(b) y = 2 kos x
(c) y = sin x + 1
(d) y = kos x –1  
(e) y = sin 2x  
(f) y = kos 2x


Penyelesaian:
(a)  y = 3 sin x




(b)  y = 2 kos x




(c) y = sin x + 1



(d) y = kos x –1 




(e) y = sin 2x





(f) y = kos 2x




Bab 16 Fungsi Trigonometri


5.3.1 Graf fungsi Sinus, Kosinus, dan Tangen

(a) 
Graf y = sin x, 0ox ≤ 360o


 
x
0o
90o
180o
270o
360o
sin
0
1
0
-1
0
  

(b)  Graf y = kos x, 0ox ≤ 360o



x
0o
90o
180o
270o
360o
kos x
1
0
-1
0
1
  

(c)  Graf y = tan x, 0ox ≤ 360o



x
0o
90o
180o
270o
360o
tan x
0
0
0
  

Bab 6 Statistik III


6.6 Sukatan Serakan (Bhg 1)
 
(A) Menentukan julat bagi satu set data
1.   Bagi suatu data tak terkumpul,
Julat = nilai tertinggi – nilai terendah.
2.  Bagi suatu data terkumpul,
Julat = nilai titik tengah bagi kelas terakhir – nilai titik tengah bagi kelas pertama.

Contoh 1:
Tentukan julat bagi set data yang berikut.
(a)  720, 840, 610, 980, 900
(b) 
 
Masa (minit)
1 – 6
7 – 12
13 – 18
19 – 24
25 – 30
Kekerapan
3
5
9
4
4

Penyelesaian:
(a)
Nilai tertinggi data = 86
Nilai terendah data = 39
Julat = 86 – 39 = 47

(b)
Titik tengah bagi kelas terakhir
= ½ (25 + 30) minit
= 27.5 minit

Titik tengah bagi kelas pertama
= ½ (1 + 6) minit
= 3.5 minit 

Julat = (27.5 – 3.5) minit = 24 minit