8.4.3 Taburan Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 6:
Dalam suatu kajian di sebuah daerah tertentu, didapati tiga daripada lima keluarga memiliki televisyen LCD.
Jika 10 keluarga dari daerah itu dipilih secara rawak, hitung kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya 8 keluarga memiliki sebuah televisyen LCD.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Katakan X adalah pembolehubah rawak yang mewakili bilangan \\ keluarga yang memiliki televisyen LCD . \\ X ~ B (n, p) \\ X ~ B (10, \frac{3}{5}) \\ p = \frac{3}{5} = 0.6 \\ q = 1 - 0.6 = 0.4 \\ P (X = r) = {}^{n}c_{r} . p^{r} . q^{n - r} \\ P (sekurang-kurangnya 8 keluarga memiliki televisyen LCD) \\ P (X \geq 8) \\ = P (X = 8) + P (X = 9) + P (X = 10) \\ = {}^{10}C_{8} {(0.6)}^{8} {(0.4)}^{2} + {}^{10}C_{9} {(0.6)}^{9} {(0.4)}^{1} + {}^{10}C_{10} {(0.6)}^{10} {(0.4)}^{0} \\ = 0.1209 + 0.0403 + 0.0060 \\ = 0.1672 \end{array}

Soalan 7:
Dalam sebuah sekolah berasrama penuh, 300 orang murid menduduki ujian kelayakan matematik. Markah yang diperoleh adalah mengikut taburan normal dengan min 56 dan sisihan piawai 8.
(a) Cari bilangan murid yang lulus ujian matematik itu jika markah lulus ialah 40.
(b) Jika 12% daripada murid itu lulus ujian tersebut dengan mendapat gred A, cari markah minimum untuk mendapat gred A.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Katakan X = markah yang diperoleh oleh murid-murid . \\ X ~ N (56, 8^{2}) \\ (a) P (X \geq 40) = P (Z \geq \frac{40 - 56}{8}) \\ = P (Z \geq - 2) \\ = 1 - P (Z \geq 2) \\ = 1 - 0.02275 \\ = 0.9773 \\ Bilangan murid yang lulus ujian matematik \\ = 0.9773 \times 300 \\ = 293 \\ (b) Katakan markah minimum untuk mendapat gred A ialah k \\ P (X \geq k) = 0.12 \\ P (Z \geq \frac{k - 56}{8}) = 0.12 \\ \frac{k - 56}{8} = 1.17 \\ k = (1.17) (8) + 56 \\ = 65.36 \end{array}

Oleh itu, markah minimum untuk mendapat gred A ialah 66.

7.6.3 Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

7.6.3 Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:

Sebuah beg mengandungi 4 manik biru, 3 manik merah dan 7 manik hijau. Dua biji manik dikeluarkan secara rawak daripada beg itu, satu demi satu, tanpa pengembalian.
Cari kebarangkalian bahawa

(a) kedua-dua manik adalah berwarna sama,

(b) kedua-dua manik adalah berlainan warna.

Penyelesaian:

(a)

Kebarangkalian (kedua-dua manik berwarna sama)

= P (biru, biru) + P (merah, merah) + P (hijau, hijau)

\begin{array}{l} = (\frac{4}{14} \times \frac{3}{13}) + (\frac{3}{14} \times \frac{2}{13}) + (\frac{7}{14} \times \frac{6}{13}) \\ = \frac{6}{91} + \frac{3}{91} + \frac{3}{13} \\ = \frac{30}{91} \end{array}

(b)

Kebarangkalian (kedua-dua manik berlainan warna)

1 – P (kedua-dua manik berwarna sama)

\begin{array}{l} = 1 - \frac{30}{91} \leftarrow Daripada bahagian (a) \\ = \frac{61}{91} \end{array}

7.5.2 Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 1)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 3:
Satu ruang sampel bagi suatu eksperimen diberi oleh S = {1, 2, 3, … , 21}. Peristiwa-peristiwa Q dan R ditakrifkan seperti berikut:
Q : {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
R : {1, 3, 5, 15, 21}

Cari
(a) P(Q)
(b) P(Q dan R)

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} n (S) = 21, n (Q) = 7 \\ P (Q) = \frac{7}{21} = \frac{1}{3} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} Q \cap R = {3, 15, 21}, \\ m a k a n (Q \cap R) = 3 \\ P (Q dan R) = P (Q \cap R) \\ = \frac{n (Q \cap R)}{n (S)} \\ = \frac{3}{21} \\ = \frac{1}{7} \end{array}

Soalan 4:
Peristiwa A dan B adalah bersandar.

\begin{array}{l} Diberi P (A) = \frac{3}{5}, P (B) = \frac{1}{4} dan P (A \cup B) = \frac{1}{5}, cari \\ (a) P [(A \cup B)'], \\ (b) P (A \cap B) . \end{array}

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} P [(A \cup B)'] = 1 - P (A \cup B) \\ = 1 - \frac{1}{5} \\ = \frac{4}{5} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} P (A \cap B) = P (A) + P (B) - P (A \cup B) \\ = \frac{3}{5} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \\ = \frac{13}{20} \end{array}

4.7.8 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 8:
Rajah di bawah menunjukkan sisi empat OPQR. Garis lurus PR bersilang dengan garis lurus OQ di titik S.

\begin{array}{l} Diberi bahawa \vec{O P} = 7 \underset{˜}{x}, \vec{O R} = 5 \underset{˜}{y}, P S : S R = 3 : 1 dan \vec{O R} selari dengan \vec{P Q} . \\ (a) Ungkapkan dalam sebutan \underset{˜}{x} dan \underset{˜}{y}, \\ (i) \vec{P R} \\ (ii) \vec{O S} \\ (b) Guna \vec{P Q} = m \vec{O R} dan \vec{S Q} = n \vec{O S}, dengan keadaan m dan n adalah pemalar, \\ Cari nilai m dan nilai n . \\ (c) Diberi bahawa | \underset{˜}{y} | = 4 unit dan luas O R S {ialah 50 cm}^{2}, cari jarak tegak \\ dari titik S ke O R . \end{array}

Penyelesaian:
(a)(i)

\begin{array}{l} \vec{P R} = \vec{P O} + \vec{O R} \\ = - 7 \underset{˜}{x} + 5 \underset{˜}{y} \end{array}

(a)(ii)

\begin{array}{l} \vec{O S} = \vec{O P} + \vec{P S} \\ = 7 \underset{˜}{x} + \frac{3}{4} \vec{P R} \\ = 7 \underset{˜}{x} + \frac{3}{4} (- 7 \underset{˜}{x} + 5 \underset{˜}{y}) \\ = 7 \underset{˜}{x} - \frac{21}{4} \underset{˜}{x} + \frac{15}{4} \underset{˜}{y} \\ = \frac{7}{4} \underset{˜}{x} + \frac{15}{4} \underset{˜}{y} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} \vec{P S} = \vec{P Q} - \vec{S Q} \\ \frac{3}{4} \vec{P R} = m \vec{O R} - n \vec{O S} \\ \frac{3}{4} (- 7 \underset{˜}{x} + 5 \underset{˜}{y}) = m (5 \underset{˜}{y}) - n (\frac{7}{4} \underset{˜}{x} + \frac{15}{4} \underset{˜}{y}) \\ - \frac{21}{4} \underset{˜}{x} + \frac{15}{4} \underset{˜}{y} = 5 m \underset{˜}{y} - \frac{7}{4} n \underset{˜}{x} - \frac{15}{4} m \underset{˜}{y} \\ - \frac{21}{4} \underset{˜}{x} + \frac{15}{4} \underset{˜}{y} = - \frac{7}{4} n \underset{˜}{x} + \frac{5}{4} m \underset{˜}{y} \\ - 21 \underset{˜}{x} + 15 \underset{˜}{y} = - 7 n \underset{˜}{x} + 5 m \underset{˜}{y} \\ 7 n = 21 \\ n = 3 \\ 5 m = 15 \\ m = 3 \end{array}

(c)

\begin{array}{l} Luas Δ O R S = 50 \\ \frac{1}{2} \times (5 \underset{˜}{y}) \times t = 50 \\ \frac{1}{2} \times 5 (4) \times t = 50 \\ 10 t = 50 \\ t = 5 \\ ∴ Jarak tegak dari titik S ke O R = 5 unit . \end{array}

4.7.7 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 7:
Rajah di bawah menunjukkan sisi empat OPBC. Garis lurus AC bersilang dengan garis lurus PQ di titik B.

\begin{array}{l} Diberi bahawa \vec{O P} = \underset{˜}{a}, \vec{O Q} = \underset{˜}{b}, \vec{O A} = 4 \vec{A P}, \vec{O C} = 3 \vec{O Q}, \vec{P B} = h \vec{P Q} dan \\ \vec{A B} = k \vec{A C} . \\ (a) Ungkapkan \vec{O B} dalam sebutan h, \underset{˜}{a} dan \underset{˜}{b} . \\ (b) Ungkapkan \vec{O B} dalam sebutan k, \underset{˜}{a} dan \underset{˜}{b} . \\ (c)(i) Cari nilai h dan nilai k . \\ (ii) Seterusnya, nyatakan \vec{O B} dalam sebutan \underset{˜}{a} dan \underset{˜}{b} . \end{array}

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} \vec{O B} = \vec{O P} + \vec{P B} \\ = \underset{˜}{a} + h \vec{P Q} \\ = \underset{˜}{a} + h (\vec{P O} + \vec{O Q}) \\ = \underset{˜}{a} + h (- \underset{˜}{a} + \underset{˜}{b}) \\ = \underset{˜}{a} - h \underset{˜}{a} + h \underset{˜}{b} \\ \vec{O B} = (1 - h) \underset{˜}{a} + h \underset{˜}{b} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} \vec{O B} = \vec{O P} + \vec{P B} \\ = \underset{˜}{a} + \vec{P A} + \vec{A B} \\ = \underset{˜}{a} + (- \frac{1}{5} \vec{O P}) + k \vec{A C} \\ = \underset{˜}{a} + (- \frac{1}{5} \underset{˜}{a}) + k (\vec{A O} + \vec{O C}) \\ = \frac{4}{5} \underset{˜}{a} + k (- \frac{4}{5} \vec{O P} + 3 \vec{O Q}) \\ = \frac{4}{5} \underset{˜}{a} + k (- \frac{4}{5} \underset{˜}{a} + 3 \underset{˜}{b}) \\ = \frac{4}{5} \underset{˜}{a} - \frac{4}{5} k \underset{˜}{a} + 3 k \underset{˜}{b} \\ \vec{O B} = \frac{4}{5} (1 - k) \underset{˜}{a} + 3 k \underset{˜}{b} \end{array}

(c)(i)

\begin{array}{l} (1 - h) \underset{˜}{a} + h \underset{˜}{b} = \frac{4}{5} (1 - k) \underset{˜}{a} + 3 k \underset{˜}{b} \\ 1 - h = \frac{4}{5} - \frac{4}{5} k .......... (1) \\ h = 3 k .......... (2) \\ Gantikan (2) ke dalam (1) \\ 1 - 3 k = \frac{4}{5} - \frac{4}{5} k \\ 5 - 15 k = 4 - 4 k \\ 11 k = 1 \\ k = \frac{1}{11} \\ Gantikan k = \frac{1}{11} ke dalam (2) \\ h = 3 (\frac{1}{11}) \\ = \frac{3}{11} \end{array}

(c)(ii)

\begin{array}{l} \vec{O B} = (1 - h) \underset{˜}{a} + h \underset{˜}{b} \\ apabila h = \frac{3}{11} \\ = (1 - \frac{3}{11}) \underset{˜}{a} + (\frac{3}{11}) \underset{˜}{b} \\ = \frac{8}{11} \underset{˜}{a} + \frac{3}{11} \underset{˜}{b} \end{array}

4.7.6 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 6:
Diagram below shows a trapezium OABC and point D lies on AC.

\begin{array}{l} Diberi bahawa \vec{O C} = 18 \underset{˜}{b}, \vec{O A} = 6 \underset{˜}{a} dan \vec{O C} = 2 \vec{A B} . \\ (a) Ungkapkan dalam sebutan \underset{˜}{a} dan \underset{˜}{b}, \\ (i) \vec{A C} \\ (ii) \vec{O B} \\ (b) Diberi bahawa \vec{A D} = k \vec{A C}, dengan keadaan k ialah pemalar . \\ Cari nilai k jika titik-titik O, D dan B adalah segaris . \end{array}

Penyelesaian:
(a)(i)

\begin{array}{l} \vec{A C} = \vec{A O} + \vec{O C} \\ = - 6 \underset{˜}{a} + 18 \underset{˜}{b} \\ = 18 \underset{˜}{b} - 6 \underset{˜}{a} \end{array}

(a)(ii)

\begin{array}{l} \vec{O C} = 2 \vec{A B} \\ 18 \underset{˜}{b} = 2 (\vec{A O} + \vec{O B}) \\ 18 \underset{˜}{b} = 2 (- 6 \underset{˜}{a} + \vec{O B}) \\ 18 \underset{˜}{b} = - 12 \underset{˜}{a} + 2 \vec{O B} \\ \vec{O B} = 6 \underset{˜}{a} + 9 \underset{˜}{b} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} \vec{O D} = h \vec{O B} \\ = h (6 \underset{˜}{a} + 9 \underset{˜}{b}) \\ = 6 h \underset{˜}{a} + 9 h \underset{˜}{b} \\ \vec{A D} = \vec{O D} - \vec{O A} \\ = 6 h \underset{˜}{a} + 9 h \underset{˜}{b} - 6 \underset{˜}{a} \\ = \underset{˜}{a} (6 h - 6) + 9 h \underset{˜}{b} \\ \vec{A D} = k \vec{A C} \\ \underset{˜}{a} (6 h - 6) + 9 h \underset{˜}{b} = k (18 \underset{˜}{b} - 6 \underset{˜}{a}) \\ \underset{˜}{a} (6 h - 6) + 9 h \underset{˜}{b} = - 6 k \underset{˜}{a} + 18 k \underset{˜}{b} \\ 6 h - 6 = - 6 k \\ h - 1 = - k \\ h = 1 - k .......... (1) \\ 9 h = 18 k \\ h = 2 k \\ Dari (1), \\ 1 - k = 2 k \\ 3 k = 1 \\ k = \frac{1}{3} \end{array}

4.7.5 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 5:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga KLM.

\begin{array}{l} Diberi K P : P L = 1 : 2, L R : R M = 2 : 1, \vec{K P} = 2 \underset{˜}{x}, \vec{K M} = 3 \underset{˜}{y} . \\ (a) Ungkapkan dalam sebutan \underset{˜}{x} dan \underset{˜}{y}, \\ (i) \vec{M P} \\ (ii) \vec{M R} \\ (b) Diberi \underset{˜}{x} = 2 \underset{˜}{i} dan \underset{˜}{y} = - \underset{˜}{i} + 4 \underset{˜}{j}, cari \vec{| M R |} . \\ (c) Diberi \vec{M Q} = h \vec{M P} dan \vec{Q R} = n \vec{K R}, dengan keadaan h dan n ialah pemalar, \\ cari nilai h dan nilai n . \end{array}

Penyelesaian:
(a)(i)

\begin{array}{l} \vec{M P} = \vec{M K} + \vec{K P} \\ = - 3 \underset{˜}{y} + 2 \underset{˜}{x} \\ = 2 \underset{˜}{x} - 3 \underset{˜}{y} \end{array}

(a)(ii)

\begin{array}{l} \vec{M R} = \frac{1}{3} \vec{M L} \\ = \frac{1}{3} (\vec{M K} + \vec{K L}) \\ = \frac{1}{3} (- 3 \underset{˜}{y} + 6 \underset{˜}{x}) \\ = 2 \underset{˜}{x} - \underset{˜}{y} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} \vec{M R} = 2 (2 \underset{˜}{i}) - (- \underset{˜}{i} + 4 \underset{˜}{j}) \\ = 4 \underset{˜}{i} + \underset{˜}{i} - 4 \underset{˜}{j} \\ = 5 \underset{˜}{i} - 4 \underset{˜}{j} \\ | \vec{M R} | = \sqrt{5^{2} + {(- 4)}^{2}} \\ = \sqrt{41} unit \end{array}

(c)

\begin{array}{l} \vec{M Q} + \vec{Q R} = \vec{M R} \\ h \vec{M P} + n \vec{K R} = \vec{M R} \\ h (2 \underset{˜}{x} - 3 \underset{˜}{y}) + n (\vec{K M} + \vec{M R}) = 2 \underset{˜}{x} - \underset{˜}{y} \\ h (2 \underset{˜}{x} - 3 \underset{˜}{y}) + n (3 \underset{˜}{y} + 2 \underset{˜}{x} - \underset{˜}{y}) = 2 \underset{˜}{x} - \underset{˜}{y} \\ 2 h \underset{˜}{x} - 3 h \underset{˜}{y} + 2 n \underset{˜}{x} + 2 n \underset{˜}{y} = 2 \underset{˜}{x} - \underset{˜}{y} \\ (2 h + 2 n) \underset{˜}{x} + (- 3 h + 2 n) \underset{˜}{y} = 2 \underset{˜}{x} - \underset{˜}{y} \\ 2 h + 2 n = 2.......... (1) \\ - 3 h + 2 n = - 1.......... (2) \\ (1) - (2) : 5 h = 3 \\ h = \frac{3}{5} \\ Dari (1) : h + n = 1 \\ \frac{3}{5} + n = 1 \\ n = 1 - \frac{3}{5} \\ n = \frac{2}{5} \end{array}

4.7.4 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 4:
Rajah di bawah menunjukkan sisi empat ABCD. Garis lurus AC bersilang dengan garis lurus BD di titik E.

\begin{array}{l} Diberi bahawa B E : E D = 2 : 3, \vec{A B} = 10 \underset{˜}{x}, \vec{A D} = 25 \underset{˜}{y} dan \vec{B C} = - \underset{˜}{x} + 15 \underset{˜}{y} . \\ (a) Ungkapkan dalam sebutan \underset{˜}{x} dan \underset{˜}{y}, \\ (i) \vec{B D} \\ (ii) \vec{A E} \\ (b) Cari nisbah A E : E C . \end{array}

Penyelesaian:
(a)(i)

\begin{array}{l} \vec{B D} = \vec{B A} + \vec{A D} \\ = \vec{A D} - \vec{A B} \\ = 25 \underset{˜}{y} - 10 \underset{˜}{x} \end{array}

(a)(ii)

\begin{array}{l} \vec{A E} = \vec{A B} + \vec{B E} \\ = \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{B D} \\ = 10 \underset{˜}{x} + \frac{2}{5} (25 \underset{˜}{y} - 10 \underset{˜}{x}) \\ = 10 \underset{˜}{x} + \frac{2}{5} (25 \underset{˜}{y} - 10 \underset{˜}{x}) \\ = 10 \underset{˜}{x} + 10 \underset{˜}{y} - 4 \underset{˜}{x} \\ = 6 \underset{˜}{x} + 10 \underset{˜}{y} \\ = 2 (3 \underset{˜}{x} + 5 \underset{˜}{y}) \end{array}

(b)

\begin{array}{l} \vec{E C} = \vec{E B} + \vec{B C} \\ = \vec{B C} - \vec{B E} \\ = \vec{B C} - \frac{2}{3} \vec{E D} \\ = \vec{B C} - \frac{2}{3} (\vec{E A} + \vec{A D}) \\ = - \underset{˜}{x} + 15 \underset{˜}{y} - \frac{2}{3} (- 6 \underset{˜}{x} - 10 \underset{˜}{y} + 25 \underset{˜}{y}) \\ = - \underset{˜}{x} + 15 \underset{˜}{y} - \frac{2}{3} (- 6 \underset{˜}{x} + 15 \underset{˜}{y}) \\ = - \underset{˜}{x} + 15 \underset{˜}{y} + 4 \underset{˜}{x} - 10 \underset{˜}{y} \\ = 3 \underset{˜}{x} + 5 \underset{˜}{y} \\ \frac{A E}{E C} = \frac{2 (3 \underset{˜}{x} + 5 \underset{˜}{y})}{1 (3 \underset{˜}{x} + 5 \underset{˜}{y})} \\ A E : E C = 2 : 1 \end{array}

3.8.7 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 8:
Rajah di bawah menunjukkan lengkung

y = \frac{4}{x^{2}}

dan garis lurus y = mx + c. Garis lurus y = mx + c ialah tangen kepada lengkung pada (2, 1).

(a) Cari nilai m dan nilai c.

(b) Hitung luas kawasan berlorek.

(c) Diberi bahawa isi padu kisaran apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung, paksi-x, garis lurus x = 2 dan x = h diputarkan melalui 360^o pada paksi-x ialah

\frac{38 π}{81} {unit}^{3} .

Cari nilai h, dengan keadaan h > 2.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} y = \frac{4}{x^{2}} = 4 x^{- 2} \\ \frac{d y}{d x} = - 8 x^{- 3} \\ = - \frac{8}{x^{3}} \\ At x = 2, \\ \frac{d y}{d x} = - \frac{8}{2^{3}} \\ = - 1 \\ Persamaan tangen: \\ y - y_{1} = m (x - x_{1}) \\ y - 1 = - 1 (x - 2) \\ y = - x + 2 + 1 \\ y = - x + 3 \\ m = - 1, c = 3 \end{array}

(b)

\begin{array}{l} Pada paksi- x, y = 0 \\ Dari garis lurus y = - x + 3, x = 3 \\ Luas kawasan berlorek \\ = Luas bawah lengkung - Luas segi tiga \\ = \int_{2}^{4} y d x - \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \\ = \int_{2}^{4} (4 x^{- 2}) d x - \frac{1}{2} \\ = {[\frac{4 x^{- 1}}{- 1}]}_{2}^{4} - \frac{1}{2} \\ = {[- \frac{4}{x}]}_{2}^{4} - \frac{1}{2} \\ = [- \frac{4}{4} - (- \frac{4}{2})] - \frac{1}{2} \\ = \frac{1}{2} {unit}^{2} \end{array}

(c)

\begin{array}{l} Isipadu kisaran = \frac{38 π}{81} \\ π \int_{2}^{h} y^{2} d x = \frac{38 π}{81} \\ \int_{2}^{h} {(\frac{4}{x^{2}})}^{2} d x = \frac{38}{81} \\ \int_{2}^{h} (\frac{16}{x^{4}}) d x = \frac{38}{81} \\ \int_{2}^{h} (16 x^{- 4}) d x = \frac{38}{81} \\ {[\frac{16 x^{- 3}}{- 3}]}_{2}^{h} = \frac{38}{81} \\ {[- \frac{16}{3 x^{3}}]}_{2}^{h} = \frac{38}{81} \\ - \frac{16}{3 h^{3}} - (- \frac{16}{3 {(2)}^{3}}) = \frac{38}{81} \\ \frac{16}{3 h^{3}} = \frac{16}{24} - \frac{38}{81} \\ \frac{16}{3 h^{3}} = \frac{16}{81} \\ 3 h^{3} = 81 \\ h^{3} = 27 \\ h = 3 \end{array}

3.8.6 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 7:
Rajah di bawah menunjukkan suatu lengkung

y = \frac{1}{4} x^{2} + 3

yang menyilang suatu garis lurus y = x + 6 pada titik A.

(a) Cari koordinat A.
(b) ) hitung
(i) luas rantau berlorek M,
(ii) isipadu kisaran, dalam sebutan π, apabila rantau berlorek N diputarkan melalui 360^o pada paksi-y.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} y = \frac{1}{4} x^{2} + 3.......... (1) \\ y = x + 6.......... (2) \\ Gantikan (2) ke dalam (1), \\ x + 6 = \frac{1}{4} x^{2} + 3 \\ 4 x + 24 = x^{2} + 12 \\ x^{2} - 4 x - 12 = 0 \\ (x + 2) (x - 6) = 0 \\ x = - 2 or x = 6 (ditolak) \\ Apabila x = - 2 \\ y = - 2 + 6 = 4 \\ Oleh itu, A = (- 2, 4) . \end{array}

(b)(i)

\begin{array}{l} Pada paksi- x, y = 0 \\ Dari y = x + 6, x = - 6 \\ Luas kawasan berlorek M \\ = Luas segi tiga + Luas di bawah lengkung \\ = \frac{1}{2} \times (6 - 2) \times 4 + \int_{- 2}^{0} y d x \\ = 8 + \int_{- 2}^{0} (\frac{1}{4} x^{2} + 3) d x \\ = 8 + {[\frac{x^{3}}{4 (3)} + 3 x]}_{- 2}^{0} \\ = 8 + [0 - (\frac{{(- 2)}^{3}}{12} + 3 (- 2))] \\ = 8 + [0 - (- \frac{8}{12} - 6)] \\ = 8 + [0 - (- \frac{20}{3})] \\ = 14 \frac{2}{3} {unit}^{2} \end{array}

(b)(ii)

\begin{array}{l} pada paksi- y, x = 0, \\ y = \frac{1}{4} (0) + 3 \\ y = 3 \\ y = \frac{1}{4} x^{2} + 3 \\ 4 y = x^{2} + 12 \\ x^{2} = 4 y - 12 \\ Isipadu N \\ = π \int_{3}^{4} x^{2} d y \\ = π \int_{3}^{4} (4 y - 12) d y \\ = π \int_{3}^{4} (2 y^{2} - 12 y) d y \\ = π {[(2 y^{2} - 12 y)]}_{3}^{4} \\ = π [(2 {(4)}^{2} - 12 (4)) - (2 {(3)}^{2} - 12 (3))] \\ = π (- 16 + 18) \\ = 2 π {unit}^{3} \end{array}