9.8.3 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 5:

Suatu wayar dengan panjang 88cm dibengkokkan untuk membentuk satu bulatan. Apabila wayar dipanaskan, panjangnya bertambah dengan kadar 0.3cms^-1.

(a) Hitung kadar perubahan jejari bulatan.

(b) Seterusnya, hitung jejari bulatan selepas 5s.

Penyelesaian:

Panjang lilitan bulatan,

L = 2πj

\frac{d L}{d r} = 2 π

(a)

\begin{array}{l} Diberi \frac{d L}{d t} = 0.3 \\ Kadar perubahan jejari bulatan = \frac{d j}{d t} \\ \frac{d j}{d t} = \frac{d j}{d L} \times \frac{d L}{d t} \\ \frac{d j}{d t} = \frac{1}{2 π} \times 0.3 \\ \frac{d j}{d t} = 0.0477 {cms}^{- 1} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} 2 π j = 88 \\ j = \frac{88}{2 π} = \frac{44}{π} \\ Oleh itu, jejari bulatan selepas 5 s \\ = \frac{44}{π} + 5 (0.0477) \\ = 14.24 cm \end{array}

Soalan 6:
Diberi persamaan suatu lengkung ialah:
y = x² (x – 3) + 1
(a) Cari kecerunan lengkung itu apabila x = –1.
(b) Cari koordinat-koordinat titik pusingan.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} y = x^{2} (x - 3) + 1 \\ y = x^{3} - 3 x^{2} + 1 \\ \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 6 x \\ Apabila x = - 1 \\ \frac{d y}{d x} = 3 {(- 1)}^{2} - 6 (- 1) \\ = 9 \\ Keceruan lengkung ialah 9 . \end{array}

(b)
Pada titik pusingan,

\frac{d y}{d x} = 0

3x² – 6x = 0
x² – 2x = 0
x (x – 2) = 0
x = 0, 2

y = x² (x – 3) + 1
Apabila x = 0, y = 1
Apabila x = 2,
y = 2² (2 – 3) + 1
y = 4 (–1) + 1 = –3
Maka, koordinat bagi titik-titik pusingan ialah (0, 1) dan (2, –3).

9.7.7 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 1)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 21:

Jika jejari bagi suatu bulatan menokok daripada 4cm kepada 4.01cm, cari perubahan kecil dalam luas.

Penyelesaian:

Luas bulatan, L= πj²

\begin{array}{l} \frac{d A}{d r} = 2 π r \\ Perubahan kecil dalam luas kepada jejari, \\ \frac{δ A}{δ r} \approx \frac{d A}{d r} \\ δ A = \frac{d A}{d r} \times δ r \end{array}

δA = (2πj) × (4.01 – 4)

δA = [2π (4)] × (0.01)

δA = 0.08π cm²

Soalan 22 (3 markah):
Cari nilai bagi

\begin{array}{l} (a) \underset{x \to 1}{had} (7 - x^{2}), \\ (b) f'' (2) jika f' (x) = 2 x^{3} - 4 x + 3. \end{array}

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} \underset{x \to 1}{h a d} (7 - x^{2}) \\ = 7 - {(1)}^{2} \\ = 6 \end{array}

(b)

\begin{array}{l} f' (x) = 2 x^{3} - 4 x + 3 \\ f'' (x) = 6 x^{2} - 4 \\ f'' (2) = 6 {(2)}^{2} - 4 \\ = 24 - 4 \\ = 20 \end{array}

Soalan 23 (4 markah):
Diberi bahawa L = 4t – t² dan x = 3 + 6t.
(a) Ungkapkan

\frac{d L}{d x}

dalam sebutan t.
(b) Cari perubahan kecil bagi x, apabila L berubah daripada 3 kepada 3.4 pada ketika t = 1.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} Diberi L = 4 t - t^{2} dan x = 3 + 6 t \\ L = 4 t - t^{2} \\ \frac{d L}{d t} = 4 - 2 t \\ x = 3 + 6 t \\ \frac{d x}{d t} = 6 \\ \frac{d L}{d x} = \frac{d L}{d t} \times \frac{d t}{d x} \\ \frac{d L}{d x} = (4 - 2 t) \times \frac{1}{6} \\ = \frac{4 - 2 t}{6} \\ = \frac{2 - t}{3} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} δ L = 3.4 - 3 = 0.4 \\ \frac{δ L}{δ x} \approx \frac{d L}{d x} \\ δ x = δ L \div \frac{δ L}{δ x} \\ δ x = δ L \times \frac{δ x}{δ L} \\ = 0.4 \times \frac{3}{2 - t} \\ = \frac{2}{5} \times \frac{3}{2 - t} \\ = \frac{6}{5 (2 - t)} \\ Apabila t = 1, \\ δ x = \frac{6}{5 (2 - 1)} = \frac{6}{5} \end{array}

9.7.6 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 1)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 18:

Garis normal kepada lengkung y = x² + 3x pada titik P adalah selari dengan garis lurus y = –x + 12. Cari persamaan garis normal kepada lengkung itu pada titik P.

Penyelesaian:

Diberi normal kepada lengkung di titik P adalah selari kepada garis lurus y = –x + 12.

Maka, kecerunan normal lengkung itu = –1.

Seterusnya, kecerunan tangen kepada lengkung = 1

y = x² + 3x

dy/dx = 2x + 3

2x + 3 = 1

2x = –2

x = –1

y = (–1)²+ 3(–1)

y = –2

Titik P = (–1, –2).

Persamaan garis normal kepada lengkung itu pada titik P ialah,

y – (–2) = –1 (x – (–1))

y + 2 = – x – 1

y = – x – 3

Soalan 19:

Diberi

y = \frac{3}{4} x^{2}

, cari perubahan kecil dalam x yang akan menyebabkan y menyusut daripada 48 kepada 47.7.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} y = \frac{3}{4} x^{2} \\ \frac{d y}{d x} = (2) \frac{3}{4} x = \frac{3}{2} x \\ δ y = 47.7 - 48 = - 0.3 \\ perubahan kecil dalam x kepada y \\ \frac{δ x}{δ y} \approx \frac{d x}{d y} \\ δ x = \frac{d x}{d y} \times δ y \\ δ x = \frac{2}{3 x} \times (- 0.3) \\ δ x = \frac{2}{3 (8)} \times (- 0.3) \leftarrow \begin{array}{l} y = 48 \\ \frac{3}{4} x^{2} = 48 \\ x^{2} = 64 \\ x = 8 \end{array} \\ δ x = - 0.025 \end{array}

Soalan 20:

Isipada air, Icm³, dalam satu bekas diberi oleh

I = \frac{1}{5} h^{3} + 7 h

, dengan keadaan h cm ialah tinggi air dalam bekas itu. Air dituang ke dalam bekas itu dengan kadar 15cm³s^-1. Cari kadar perubahan tinggi air, dalam cms^-1, pada ketika tingginya ialah 3cm.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} I = \frac{1}{5} h^{3} + 7 h \\ \frac{d I}{d h} = \frac{3}{5} h^{2} + 7 \\ = \frac{3 h^{2} + 35}{5} \end{array}

\begin{array}{l} Diberi \frac{d I}{d t} = 15, h = 3 \\ Kadar perubahan tinggi air = \frac{d h}{d t} \\ \frac{d h}{d t} = \frac{d h}{d I} \times \frac{d I}{d t} \leftarrow Petua rantai \\ \frac{d h}{d t} = \frac{5}{3 h^{2} + 35} \times 15 \\ \frac{d h}{d t} = \frac{75}{62} {cms}^{- 1} \end{array}

8.5.8 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 8:
Rajah di bawah menunjukkan bulatan PQT yang berpusat O dan berjejari 7 cm.

QS ialah garis tangen kepada bulatan pada titik Q dan QSR adalah sukuan bagi bulatan berpusat Q. Q ialah titik tengah bagi OR dan QP adalah garis perentas. OQR dan SOP adalah garis lurus.
[Guna π = 3.142]
Hitung
(a) sudut θ, dalam radian,
(b) perimeter, dalam cm, bagi kawasan berlorek,
(c) luas, dalam cm², bagi kawasan berlorek.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} O Q = Q R = Q S = 7 cm \\ \tan θ = 1 \\ θ = 45^{o} \\ = 45^{o} \times \frac{π}{180^{o}} \\ = 0.7855 rad \end{array}

(b)

\begin{array}{l} Panjang lengkok R S \\ = 7 \times (0.7855 \times 2) \to \begin{array}{l} π rad = 180^{o} \\ 45^{o} = 0.7855 rad \\ 90^{o} = 0.7855 \times 2 rad \end{array} \\ = 7 \times 1.571 \\ = 10.997 cm \\ Panjang lengkok Q P \\ = 7 \times (0.7855 \times 3) \\ = 7 \times 2.3565 \\ = 16.496 cm \\ Panjang perentas Q P \\ = \sqrt{7^{2} + 7^{2} - 2 (7) (7) k o s 135^{o}} \leftarrow \begin{array}{l} rujuk bab 10 tingkatan 4 (penyelesaian \\ segi tiga) bagi rumus kosine \end{array} \\ = \sqrt{167.30} \\ = 12.934 cm \\ Perimeter bagi kawasan berlorek \\ = 7 + 7 + 10.997 + 16.496 + 12.934 \\ = 54.427 cm \end{array}

(c)

\begin{array}{l} Luas kawasan berlorek \\ = (\frac{1}{2} \times 7^{2} \times 1.571) + (\frac{1}{2} \times 7^{2} \times 2.3565) \\ - (\frac{1}{2} \times 7 \times 7 \times sin 135^{o}) \leftarrow \begin{array}{l} rujuk bab 10 tingkatan 4 (penyelesaian segi tiga) \\ bagi rumus luas segi tiga \end{array} \\ = 38.4895 + 57.7343 - 17.3241 \\ = 78.8997 {cm}^{2} \end{array}

8.5.7 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 7:
Rajah di bawah menunjukkan sektor QPR dengan pusat P dan sektor POQ, dengan pusat O.

Diberi bahawa OP = 17 cm dan PQ = 8.8 cm.
[Guna π = 3.142]
Hitung
(a) ∠OPQ, dalam radians,
(b) perimeter, dalam cm, sektor QPR,
(c) luas, dalam cm², rantau berlorek.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) \\ ∠ O P Q = ∠ O Q P \\ x + x + 30 = 180 \\ 2 x = 150 \\ x = 75 \\ ∠ O P Q = \frac{75 \times 3.142}{180} \\ = 1.3092 radians \end{array}

\begin{array}{l} (b) \\ Panjang lengkok Q R = j θ \\ = 8.8 \times 1.3092 \\ = 11.52 cm \\ Perimeter sektor Q P R \\ = 11.52 + 8.8 + 8.8 \\ = 29.12 cm \end{array}

\begin{array}{l} (c) \\ 30^{o} = \frac{30 \times 3.142}{180} = 0.5237 rad \\ Luas tembereng P Q \\ = \frac{1}{2} j^{2} (θ - \sin θ) \\ = \frac{1}{2} \times 17^{2} \times (0.5237 - \sin 30) \\ = \frac{1}{2} \times 289 \times (0.5237 - 0.5) \\ = 3.4247 {cm}^{2} \\ Luas sektor Q P R \\ = \frac{1}{2} j^{2} θ \\ = \frac{1}{2} \times {8.8}^{2} \times 1.3092 \\ = 50.692 {cm}^{2} \\ Luas kawasan berlorek \\ = 3.4247 + 50.692 \\ = 54.1167 {cm}^{2} \end{array}

8.5.6 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 6:
Rajah di bawah menunjukkan semi bulatan PTQ, dengan pusat O dan sukuan RST, dengan pusat R.

Hitung
(a) nilai θ, dalam radian,
(b) perimeter, dalam cm, seluruh rajah itu,
(c) luas, dalam cm², kawasan berlorek itu.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) \\ \sin ∠ R O T = \frac{2.5}{5} \\ ∠ R O T = 30^{o} \\ θ = 180^{o} - 30^{o} = 150^{o} \\ = 150 \times \frac{π}{180} \\ = 2.618 rad \end{array}

\begin{array}{l} (b) \\ Panjang lengkok P T = j θ \\ = 5 \times 2.618 \\ = 13.09 cm \\ Panjang lengkok S T = \frac{π}{2} \times 2.5 \\ = 3.9275 cm \\ O R^{2} + {2.5}^{2} = 5^{2} \\ O R^{2} = 5^{2} - {2.5}^{2} \\ O R = 4.330 \\ Perimeter = 13.09 + 3.9275 + 2.5 + 4.330 + 5 \\ = 28.8475 cm \end{array}

\begin{array}{l} (c) \\ Luas kawasan berlorek \\ = Luas sukuan R S T - Luas sukuan R Q T \\ Luas sukuan R Q T \\ = Luas O Q T - Luas O T R \\ = \frac{1}{2} {(5)}^{2} \times (30 \times \frac{π}{180}) - \frac{1}{2} (4.33) (2.5) \\ = 1.1333 {cm}^{2} \\ Luas kawasan berlorek \\ = Luas sukuan R S T - Luas sukuan R Q T \\ = \frac{1}{2} {(2.5)}^{2} \times (90 \times \frac{π}{180}) - 1.1333 \\ = 3.7661 {cm}^{2} \end{array}

8.5.5 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 5:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah semi bulatan PTS, dengan pusat O dan jejari 8 cm. PTR ialah sector sebuah bulatan dengan pusat P dan Q ialah titik tengah OS.

[Guna π = 3.142]
Hitung
(a) ∠TOQ, dalam radians,
(b) panjang, dalam cm , lengkok TR,
(c) luas, dalam cm², kawasan berlorek.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} k o s ∠ T O Q = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \\ ∠ T O Q = 60^{o} \\ = 60 \times \frac{π}{180} \\ = 1.047 radians \end{array}

(b)

\begin{array}{l} ∠ T P O = 30^{o} \\ = 30 \times \frac{π}{180} \\ = 0.5237 \\ P T^{2} = 8^{2} + 8^{2} - 2 (8) (8) k o s 120 \\ P T^{2} = 192 \\ P T = \sqrt{192} \\ P T = 13.86 cm \\ Panjang lengkok T R = 13.86 \times 0.5237 \\ = 7.258 cm \end{array}

(c)

\begin{array}{l} Luas sektor P T R \\ = \frac{1}{2} \times {13.86}^{2} \times 0.5237 \\ = 50.30 {cm}^{2} \\ Panjang T Q \\ = \sqrt{P T^{2} - P Q^{2}} \\ = \sqrt{{13.86}^{2} - 12^{2}} \\ = 6.935 cm \\ Luas △ P T Q \\ = \frac{1}{2} \times 12 \times 6.935 \\ = 41.61 {cm}^{2} \\ Luas kawasan berlorek \\ = 50.30 - 41.61 \\ = 8.69 {cm}^{2} \end{array}

7.3.4 Statistik, SPM Praktis (Kertas 1)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 7:
Satu set data mengandungi dua belas nombor positif.

Diberi bahawa Σ {(x - \bar{x})}^{2} = 600 dan Σ x^{2} = 1032.

Cari
(a) varians
(b) min

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} Varians = \frac{Σ {(x - \bar{x})}^{2}}{N} \\ = \frac{600}{12} \\ = 50 \end{array}

(b)

\begin{array}{l} Varians = \frac{Σ x^{2}}{N} - {(\bar{x})}^{2} \\ 50 = \frac{1032}{12} - {(\bar{x})}^{2} \\ {(\bar{x})}^{2} = 86 - 50 \\ = 36 \\ \bar{x} = 36 \end{array}

Soalan 8 (2 markah):
Jadual menunjukkan maklumat tentang suatu set data.

Jadual

Nyatakan
(a) nilai p jika m = 20,
(b) nilai q jika p = 2.5.

Penyelesaian:
(a)
Sisihan piawai baharu = sisihan piawai asal × p
20 = 5 × p
p = 4

(b)
Median baharu = [median asal × p] + 1
q = 2p × 1
q = 2(2.5) + 1
q = 5 + 1
q = 6

Soalan 9 (3 markah):
Jadual menunjukkan taburan skor yang diperolehi sekumpulan murid dalam suatu pertandingan.

Jadual

(a) Nyatakan nilai minimum bagi x jika skor mod ialah 4.
(b) Cari min skor bagi taburan itu jika x = 1.

Penyelesaian:
(a)
Nilai minimum bagi x = 8

(b)

\begin{array}{l} Min \\ = \frac{1 (3) + 2 (6) + 3 (7) + 4 (1) + 5 (1)}{3 + 6 + 7 + 1 + 1} \\ = \frac{45}{18} \\ = 2.5 \end{array}

7.3.3 Statistik, SPM Praktis (Kertas 1)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 5:
Satu set data terdiri daripada 9, 2, 7, x² – 1 dan 4. Diberi min ialah 6, cari
(a) nilai positif bagi x,
(b) median dengan menggunakan nilai x di (a).

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} Min = 6 \\ \frac{9 + 2 + 7 + x^{2} - 1 + 4}{5} = 6 \\ x^{2} + 21 = 30 \\ x^{2} = 9 \\ x = \pm 3 \\ Nilai positif bagi x = 3. \end{array}

(b)
Mengatur nombor dalam susunan menaik
2, 4, 7, 8, 9
Median = 7

Soalan 6:
Suatu set mempunyai tujuh nombor dengan sisihan piawai 3 dan suatu set lain mempunyai tiga nombor dengan sisihan piawai 4. Kedua-dua set nombor itu mempunyai min yang sama.
Jika dua set nombor tersebut digabungkan, cari varians.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} {\bar{X}}_{1} = \frac{Σ X_{1}}{n_{1}} \\ m = \frac{Σ X_{1}}{7} \\ Σ X_{1} = 7 m \\ m = \frac{Σ X_{2}}{3} \\ Σ X_{2} = 3 m \\ σ = \sqrt{\frac{Σ X^{2}}{N} - {(\bar{X})}^{2}} \\ σ^{2} = \frac{Σ X^{2}}{N} - {(\bar{X})}^{2} \\ 9 = \frac{Σ X_{1}^{2}}{7} - m^{2} \\ 63 = Σ X_{1}^{2} - 7 m^{2} \\ Σ X_{1}^{2} = 7 m^{2} + 63 \end{array}

\begin{array}{l} 16 = \frac{Σ X_{2}^{2}}{3} - m^{2} \\ 48 = Σ X_{2}^{2} - 3 m^{2} \\ Σ X_{2}^{2} = 48 + 3 m^{2} \\ Σ Y^{2} = Σ X_{1}^{2} + Σ X_{2}^{2} \\ Σ Y^{2} = 7 m^{2} + 63 + 3 m^{2} + 48 \\ = 10 m^{2} + 111 \\ Σ Y = Σ X_{1} + Σ X_{2} \\ Σ Y = 7 m + 3 m = 10 m \\ Varians Gabungan: \\ σ^{2} = \frac{Σ Y^{2}}{N} - {(\frac{Σ Y}{N})}^{2} \\ σ^{2} = \frac{10 m^{2} + 111}{10} - {(\frac{10 m}{10})}^{2} \\ = \frac{10 m^{2} + 111}{10} - m^{2} \\ = \frac{10 m^{2} + 111 - 10 m^{2}}{10} \\ = \frac{111}{10} = 11.1 \end{array}

6.8.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 8:
Rajah di bawah menunjukkan sisi empat ABCD. Titik C terletak pada paksi-y.

Persamaan garis lurus AD ialah 2y = 5x – 21.
(a) Cari
(i) persamaan garis lurus AB,
(ii) koordinat A,
(b) Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik D sentiasa 5 unit.
Cari persamaan lokus P.

Penyelesaian:

(a)(i)

\begin{array}{l} 2 y = 5 x - 21 \\ y = \frac{5}{2} x - \frac{21}{2} \\ m_{A D} = \frac{5}{2} \\ m_{A B} \times m_{A D} = - 1 \\ m_{A B} \times \frac{5}{2} = - 1 \\ m_{A B} = - \frac{2}{5} \\ Persamaan A B \\ y - y_{1} = m_{A B} (x - x_{1}) \\ y + 1 = - \frac{2}{5} (x + 2) \\ 5 y + 5 = - 2 x - 4 \\ 5 y = - 2 x - 9 \end{array}

(a)(ii)

\begin{array}{l} 2 y = 5 x - 21 .......... (1) \\ 5 y = - 2 x - 9 .......... (2) \\ (1) \times 5 : 10 y = 25 x - 105 .......... (3) \\ (2) \times 2 : 10 y = - 4 x - 18 .......... (4) \\ (2) - (4) : 0 = 29 x - 87 \\ x = 3 \\ Dari (1), \\ 2 y = 15 - 21 \\ 2 y = - 6 \\ y = - 3 \\ A = (3, - 3) \end{array}

(b)

\begin{array}{l} y = 2, \\ 4 = 5 x - 21 \\ 5 x = 25 \\ x = 5 \\ Titik D = (5, 2) \\ P D = 5 \\ \sqrt{{(x - 5)}^{2} + {(y - 2)}^{2}} = 5 \\ {(x - 5)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25 \\ x^{2} - 10 x + 25 + (y^{2} - 4 y + 4) = 25 \\ x^{2} + y^{2} - 10 x - 4 y + 4 = 0 \end{array}