Bab 12 Janjang

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 7 (2 markah):
Diberi bahawa sebutan ke-n bagi suatu janjang geometri ialah

$T_{n} = \frac{3 r^{n - 1}}{2}, r \neq k .$
Nyatakan
(a) nilai k,
(b) sebutan pertama bagi janjang itu.

Penyelesaian:
(a)
k = 0, k = 1 atau k = -1 (salah satu daripada jawapan ini).

(b)

$\begin{array}{l} T_{n} = \frac{3}{2} r^{n - 1} \\ T_{1} = \frac{3}{2} r^{1 - 1} \\ = \frac{3}{2} r^{0} \\ = \frac{3}{2} (1) \\ = \frac{3}{2} \end{array}$

Soalan 8 (3 markah):
Diberi bahawa hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah

$S_{n} = \frac{n}{2} [13 - 3 n]$
Cari sebutan ke-n.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} S_{n} = \frac{n}{2} [13 - 3 n] \\ S_{n - 1} = \frac{n - 1}{2} [13 - 3 (n - 1)] \\ = \frac{1}{2} (n - 1) (13 - 3 n + 3) \\ = \frac{1}{2} (n - 1) (16 - 3 n) \\ T_{n} = S_{n} - S_{n - 1} \\ = \frac{n}{2} (13 - 3 n) - \frac{1}{2} (n - 1) (16 - 3 n) \\ = \frac{13 n}{2} - \frac{3 n^{2}}{2} - \frac{1}{2} (16 n - 3 n^{2} - 16 + 3 n) \\ = \frac{13 n}{2} - \frac{3 n^{2}}{2} - \frac{1}{2} (19 n - 3 n^{2} - 16) \\ = \frac{13 n}{2} - \frac{3 n^{2}}{2} - \frac{19 n}{2} + \frac{3 n^{2}}{2} + 8 \\ = \frac{- 6 n}{2} + 8 \\ = 8 - 3 n \end{array}$

Bab 15 Vektor

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 10 (3 markah):
Rajah menunjukkan vektor-vektor

$\vec{O P}, \vec{O Q} dan \vec{O M}$ dilukis pada grid segi empat sama.

Rajah

$\begin{array}{l} (a) Ungkapkan \vec{O M} dalam bentuk h \underset{˜}{p} + k \underset{˜}{q}, \\ dengan keadaan h dan k ialah pemalar . \\ (b) Pada Rajah 3, tanda dan label titik N \\ dengan keadaan \vec{M N} + \vec{O Q} = 2 \vec{O P} . \end{array}$

Penyelesaian:
(a)

$\vec{O M} = \underset{˜}{p} + 2 \underset{˜}{q}$

(b)

$\begin{array}{l} \vec{M N} + \vec{O Q} = 2 \vec{O P} \\ \vec{M N} = 2 \vec{O P} - \vec{O Q} \\ = 2 \underset{˜}{p} - \underset{˜}{q} \end{array}$

Soalan 11 (4 markah):

$\begin{array}{l} A (2, 3) dan B (- 2, 5) terletak pada \\ suatu satah Cartes . \\ Diberi bahawa 3 \vec{O A} = 2 \vec{O B} + \vec{O C} . \\ Cari \\ (a) koordinat C, \\ (b) | \vec{A C} | \end{array}$

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} Diberi A (2, 3) dan B (- 2, 5) \\ Maka, \vec{O A} = 2 \underset{˜}{i} + 3 \underset{˜}{j} dan \vec{O B} = - 2 \underset{˜}{i} + 5 \underset{˜}{j} \end{array}$

(a)

$\begin{array}{l} 3 \vec{O A} = 2 \vec{O B} + \vec{O C} \\ \vec{O C} = 3 \vec{O A} - 2 \vec{O B} \\ = 3 (2 \underset{˜}{i} + 3 \underset{˜}{j}) - 2 (- 2 \underset{˜}{i} + 5 \underset{˜}{j}) \\ = 6 \underset{˜}{i} + 9 \underset{˜}{j} + 4 \underset{˜}{i} - 10 \underset{˜}{j} \\ = 10 \underset{˜}{i} - \underset{˜}{j} \\ Maka, koordinat C ialah (10, - 1) \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} \vec{A C} = \vec{A O} + \vec{O C} \\ = - \vec{O A} + \vec{O C} \\ = - (2 \underset{˜}{i} + 3 \underset{˜}{j}) + 10 \underset{˜}{i} - \underset{˜}{j} \\ = - 2 \underset{˜}{i} + 10 \underset{˜}{i} - 3 \underset{˜}{j} - \underset{˜}{j} \\ = 8 \underset{˜}{i} - 4 \underset{˜}{j} \\ | \vec{A C} | = \sqrt{8^{2} + {(- 4)}^{2}} \\ = \sqrt{80} unit \\ = \sqrt{16 \times 5} unit \\ = 4 \sqrt{5} unit \end{array}$

Bab 15 Vektor

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 8 (3 markah):
Rajah menunjukkan trapezium ABCD.

Rajah

$\begin{array}{l} Diberi \underset{˜}{p} = (\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array}) dan \underset{˜}{q} = (\begin{array}{l} k - 1 \\ 2 \end{array}), dengan \\ keadaan k ialah pemalar, cari nilai k . \end{array}$

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} \underset{˜}{p} = m \underset{˜}{q} \\ (\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array}) = m (\begin{array}{l} k - 1 \\ 2 \end{array}) \\ (\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{l} m k - m \\ 2 m \end{array}) \\ m k - m = 3 .......... (1) \\ 2 m = 4 ................ (2) \\ Dari (2) : \\ 2 m = 4 \\ m = 2 \\ Gantikan m = 2 ke dalam (1) : \\ 2 k - 2 = 3 \\ 2 k = 3 + 2 \\ 2 k = 5 \\ k = \frac{5}{2} \end{array}$

Soalan 9 (3 markah):
Rajah menunjukkan vektor-vektor

$\vec{A B}, \vec{A C} dan \vec{A D}$ yang dilukis pada grid segi empat sama bersisi 1 unit.

Rajah

$\begin{array}{l} (a) Cari | - \vec{B A} | . \\ (b) Diberi \vec{A B} = \underset{˜}{b} dan \vec{A C} = \underset{˜}{c}, \\ ungkapkan dalam sebutan \underset{˜}{b} dan \underset{˜}{c} \\ (i) \vec{B C}, \\ (i i) \vec{A D} \end{array}$

Penyelesaian:
(a)

$| - \vec{B A} | = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5 unit$

(b)(i)

$\begin{array}{l} \vec{B C} = \vec{B A} + \vec{A C} \\ = - \underset{˜}{b} + \underset{˜}{c} \\ = \underset{˜}{c} - \underset{˜}{b} \end{array}$

(b)(ii)

$\begin{array}{l} \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B D} \\ = \underset{˜}{b} + 2 \vec{B C} \\ = \underset{˜}{b} + 2 (\underset{˜}{c} - \underset{˜}{b}) \\ = 2 \underset{˜}{c} - \underset{˜}{b} \end{array}$

Bab 5 Indeks dan Logaritma

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 15 (4 markah):

$\begin{array}{l} (a) Diberi P = \log_{a} Q, nyatakan \\ syarat-syarat bagi a . \\ (b) Diberi \log_{3} y = \frac{2}{\log_{x y} 3}, ungkapkan \\ y dalam sebutan x . \end{array}$

Penyelesaian:
(a)
a > 0, a ≠ 1

(b)

$\begin{array}{l} \log_{3} y = \frac{2}{\log_{x y} 3} \\ \frac{\log_{x y} y}{\log_{x y} 3} = \frac{2}{\log_{x y} 3} \\ \log_{x y} y = 2 \\ y = {(x y)}^{2} \\ y = x^{2} y^{2} \\ \frac{1}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{y} \\ y = \frac{1}{x^{2}} \end{array}$

Soalan 16 (2 markah):
Diberi 2^p + 2^p = 2^k. Ungkapkan p dalam sebutan k.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} 2^{p} + 2^{p} = 2^{k} \\ 2 (2^{p}) = 2^{k} \\ 2^{p} = \frac{2^{k}}{2^{1}} \\ 2^{p} = 2^{k - 1} \\ p = k - 1 \end{array}$

Soalan 17 (3 markah):

$\begin{array}{l} Diberi \frac{25^{h + 3}}{125^{p - 1}} =1, ungkapkan p dalam \\ sebutan h . \end{array}$

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} \frac{25^{h + 3}}{125^{p - 1}} = 1 \\ 25^{h + 3} = 125^{p - 1} \\ {(5^{2})}^{h + 3} = {(5^{3})}^{p - 1} \\ 5^{2 h + 6} = 5^{3 p - 3} \\ 2 h + 6 = 3 p - 3 \\ 3 p = 2 h + 9 \\ p = \frac{2 h + 9}{3} \end{array}$

Soalan 18 (3 markah):

$\begin{array}{l} Selesaikan persamaan: \\ \log_{m} 324 - \log_{\sqrt{m}} 2 m = 2 \end{array}$

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} \log_{m} 324 - \log_{\sqrt{m}} 2 m = 2 \\ \log_{m} 324 - \frac{\log_{m} 2 m}{\log_{m} m^{\frac{1}{2}}} = 2 \\ \log_{m} 324 - 2 (\frac{\log_{m} 2 m}{\log_{m} m}) = 2 \\ \log_{m} 324 - 2 \log_{m} 2 m = 2 \\ \log_{m} 324 - \log_{m} {(2 m)}^{2} = l o g_{m} m^{2} \\ \log_{m} (\frac{324}{4 m^{2}}) = l o g_{m} m^{2} \\ \frac{324}{4 m^{2}} = m^{2} \\ 4 m^{4} = 324 \\ m^{4} = 81 \\ m = \pm 3 (- 3 ditolak) \end{array}$

3.6.5 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 10 (3 markah):
Rajah menunjukkan graf y = a (x – p)² + q, dengan keadaan a, p dan q ialah pemalar. Garis lurus y = –8 ialah tangen kepada lengkung pada titik H.

Rajah

(a) Nyatakan koordinat H.
(b) Cari nilai a.

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} Koordinat x bagi H \\ = \frac{- 1 + 7}{2} \\ = \frac{6}{2} \\ = 3 \\ Maka, koordinate bagi H = (3, - 8) . \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} y = a {(x - p)}^{2} + q \\ y = a {(x - 3)}^{2} + (- 8) \\ y = a {(x - 3)}^{2} - 8 ......... (1) \\ Gantikan (7, 0) ke dalam (1) : \\ 0 = a {(7 - 3)}^{2} - 8 \\ 0 = 16 a - 8 \\ 16 a = 8 \\ a = \frac{1}{2} \end{array}$

Soalan 11 (3 markah):
Faizal mempunyai sekeping papan lapis berbentuk segi empat tepat yang berukuran 3x meter panjang dan 2x meter lebar. dia memotong sebahagian daripada papan lapis itu kepada bentuk segi empat sama yang bersisi x meter untuk membuat permukaan meja.
Cari julat nilai x jika luas papan lapis yang tinggal adalah sekurang-kurangnya (x² + 4) meter².

Penyelesaian:

Luas papan berlapis – luas segi empat sama ≥ (x² + 4)
3x(2x) – x² ≥ x² + 4
6x² – x² – x² ≥ 4
4x² ≥ 4
x² – 1 ≥ 0
(x + 1)(x – 1) ≥ 0
x ≤ –1 or x ≥ 1
Maka, x ≥ 1 (panjang > 0)

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 7 (4 markah):
(a) Diberi bahawa satu dari punca-punca bagi persamaan kuadratik x² + (p +3)x – p² = 0, dengan keadaan p ialah pemalar, adalah negatif kepada yang satu lagi.
Cari nilai bagi hasil darab punca.

(b) Diberi bahawa persamaan kuadratik mx² – 5nx + 4m = 0, dengan keadaan m dan n ialah pemalar, mempunyai dua punca yang sama.
Cari m : n.

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} x^{2} + (p + 3) x - p^{2} = 0 \\ a = 1, b = p + 3, c = - p^{2} \\ Punca 1 = α, Punca 2 = - α \\ HTP = - \frac{b}{a} \\ α + (- α) = - \frac{(p + 3)}{1} \\ - (p + 3) = 0 \\ p + 3 = 0 \\ p = - 3 \\ HDP = \frac{c}{a} \\ = \frac{- p^{2}}{1} \\ = - {(- 3)}^{2} \\ = - 9 \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} m x^{2} - 5 n x + 4 m = 0 \\ a = m, b = - 5 n, c = 4 m \\ b^{2} = 4 a c \\ {(- 5 n)}^{2} = 4 (m) (4 m) \\ 25 n^{2} = 16 m^{2} \\ \frac{m^{2}}{n^{2}} = \frac{25}{16} \\ {(\frac{m}{n})}^{2} = {(\frac{5}{4})}^{2} \\ \frac{m}{n} = \frac{5}{4} \\ m : n = 5 : 4 \end{array}$

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 5 (3 markah):
Diberi bahawa lengkung y = (p – 2)x² – x + 7, dengan keadaan p ialah pemalar, bersilang dengan garis lurus y = 3x + 5 pada dua titik.
Cari julat nilai p.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} y = (p - 2) x^{2} - x + 7 ......... (1) \\ y = 3 x + 5 ........................... (2) \\ Gantikan (1) ke dalam (2) : \\ (p - 2) x^{2} - x + 7 = 3 x + 5 \\ (p - 2) x^{2} - 4 x + 2 = 0 \\ a = (p - 2), b = - 4, c = 2 \\ b^{2} - 4 a c > 0 \\ {(- 4)}^{2} - 4 (p - 2) (2) > 0 \\ 16 - 8 p + 16 > 0 \\ - 8 p > - 32 \\ 8 p < 32 \\ p < 4 \end{array}$

Soalan 6 (3 markah):
Diberi bahawa persamaan kuadratik hx² – 3x + k = 0, dengan keadaan h dan k ialah pemalar, mempunyai punca-punca β dan 2β.
Ungkapkan h dalam sebutan k.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} h x^{2} - 3 x + k = 0 \\ a = h, b = - 3, c = k \\ HTP = - \frac{b}{a} = - \frac{(- 3)}{h} = \frac{3}{h} \\ HDP = \frac{c}{a} = \frac{k}{h} \\ Diberi punca-punca = β dan 2 β . \\ HTP = β + 2 β = 3 β; \\ HDP = β (2 β) = 2 β^{2} \\ \frac{3}{h} = 3 β \\ β = \frac{1}{h} .............. (1) \\ \frac{k}{h} = 2 β^{2} ........... (2) \\ Gantikan (1) ke dalam (2) : \\ \frac{k}{h} = 2 {(\frac{1}{h})}^{2} \\ \frac{k}{h} = \frac{2}{h^{2}} \\ \frac{h^{2}}{h} = \frac{2}{k} \\ h = \frac{2}{k} \end{array}$

1.5.8 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 22 (3 markah):
Rajah menunjukkan graf bagi fungsi f : x → |1 – 2x| untuk domain –2 ≤ x ≤ 4.

Rajah

Nyatakan
(a) objek bagi 7,
(b) imej bagi 3,
(c) domain bagi 0 ≤ f(x) ≤ 5.

Penyelesaian:
(a)
Objek bagi 7 ialah 4.

(b)
f (x) = |1 – 2x|
f (3) = |1 – 2(3)|
= |1 – 6|
= |–5|
= 5

Imej bagi 3 ialah 5.

(c)
|1 – 2x| = 5
1 – 2x = ±5
Diberi apabila f(x) = 5, x = –2.

Apabila f(x) = –5
1 – 2x = –5
2x = 6
x = 3

Domain: –2 ≤ x ≤ 3.

Soalan 23 (4 markah):
Diberi fungsi g : x → 2x – 8, cari

$\begin{array}{l} (a) g^{- 1} (x), \\ (b) nilai p dengan keadaan g^{2} (\frac{3 p}{2}) = 30. \end{array}$

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} Katakan y = g (x) \\ = 2 x - 8 \\ 2 x - 8 = y \\ 2 x = y + 8 \\ x = \frac{y + 8}{2} \\ Maka, g^{- 1} (x) = \frac{x + 8}{2} \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} g (x) = 2 x - 8 \\ g^{2} (x) = g [g (x)] \\ = g (2 x - 8) \\ = 2 (2 x - 8) - 8 \\ = 4 x - 16 - 8 \\ = 4 x - 24 \\ g^{2} (\frac{3 p}{2}) = 30 \\ 4 (\frac{3 p}{2}) - 24 = 30 \\ 6 p = 54 \\ p = 9 \end{array}$

7.3.5 Statistik, SPM Praktis (Kertas 1)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 10 (4 markah):
Satu set data terdiri daripada 2, 3, 4, 5 dan 6. Setiap nombor didarab dengan m dan ditambah dengan n, dengan keadaan m dan n adalah integer. Diberi bahawa min baharu ialah 17 dan sisihan piawai baharu ialah 4.242.
Cari nilai m dan nilai n.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} \sum x = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 \\ \sum x^{2} = 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 6^{2} = 90 \\ Min = \frac{20}{5} = 4 \\ Sisihan piawai = \frac{\sum x^{2}}{n} - {(\bar{x})}^{2} \\ = \frac{90}{5} - 4^{2} = 2 \\ Min baharu = 17 \\ 4 m + n = 17 .......... (1) \\ Sisihan piawai baharu = 4.242 \\ m \times \sqrt{2} = 4.242 \\ m = \frac{4.242}{\sqrt{2}} = 2.9995 \approx 3 \\ Gantikan m = 3 ke dalam (1) : \\ 4 (3) + n = 17 \\ n = 5 \end{array}$

Soalan 11 (4 markah):
Jadual menunjukkan taburan markah bagi 40 orang murid dalam ujian Matematik Tambahan. Bilangan murid bagi selang kelas 40 – 59 tidak dinyatakan.

Jadual

(a) Nyatakan kelas mod.
(b) Puan Zainon, guru mata pelajaran, berhasrat untuk memberi ganjaran kepada sepuluh murid terbaik. Murid-murid yang mencapai markah minimum dalam kedudukan sepuluh terbaik akan dipertimbangkan untuk menerima ganjaran tersebut. Elina memperoleh 74 markah.
Adakah Elina layak dipertimbangkan untuk menerima ganjaran itu? Beri sebab anda.

Penyelesaian:
(a)
4 + 10 + x + 8 + 7 = 40
x + 29 = 40
x = 11

Kelas mod = 40 – 59

(b)

$\begin{array}{l} Kedudukan sepuluh terbaik adalah \\ T_{31}, T_{32}, T_{33}, ... T_{40} \\ T_{31} = 59.5 + \frac{5}{8} (79.5 - 59.5) \\ = 59.5 + 12.5 \\ = 72 \\ Murid perlu mencapai markah minimum 72 . \\ Elina layak dipertimbangkan untuk menerima \\ ganjaran sebab markahnya > 72 . \end{array}$

10.4.10 Penyelesaian Segitiga, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 10 (10 markah):
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima.
Rajah menunjukkan sisi empat PQRS pada suatu satah mengufuk.

VQSP ialah sebuah piramid dengan keadaan PQ = 12 m dan V adalah 5 m tegak di atas P.
Cari
(a) ∠QSR,
(b) panjang, dalam m, bagi QS,
(c) luas, dalam m², bagi satah condong QVS.

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} \frac{\sin ∠ Q S R}{20.5} = \frac{\sin 64^{o}}{22} \\ \sin ∠ Q S R = \frac{\sin 64^{o}}{22} \times 20.5 \\ \sin ∠ Q S R = 0.8375 \\ ∠ Q S R = 56^{o} 52' \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} ∠ Q R S = 180^{o} - 64^{o} - 56^{o} 52' \\ = 59^{o} 8' \\ \frac{Q S}{\sin 59^{o} 8'} = \frac{22}{\sin 64^{o}} \\ Q S = \frac{22}{\sin 64^{o}} \times \sin 59^{o} 8' \\ Q S = 21.01 m \end{array}$

(c)

$\begin{array}{l} Q V^{2} = P Q^{2} + V P^{2} \\ Q V = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} \\ Q V = 13 m \\ S V^{2} = P S^{2} + V P^{2} \\ S V = \sqrt{10^{2} + 5^{2}} \\ S V = \sqrt{125} m \\ Q S = 21.01 m \\ {21.01}^{2} = 13^{2} + {(\sqrt{125})}^{2} - 2 (13) (\sqrt{125}) k o s θ \\ 26 (\sqrt{125}) k o s θ = 169 + 125 - 441.42 \\ k o s θ = \frac{169 + 125 - 441.42}{26 (\sqrt{125})} \\ k o s θ = - 0.5071 \\ θ = 120^{o} 28' \\ Luas Δ Q V S \\ = \frac{1}{2} \times 13 \times \sqrt{125} \times \sin 120^{o} 28' \\ = 62.64 m^{2} \end{array}$