8.4.4 Taburan Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 8 (10 markah):
(a) Jisim bagi buah tembikai susu yang dihasilkan di sebuah ladang bertaburan secara normal dengan min 0.8 kg dan sisihan piawai 0.25 kg. Buah tempikai susu itu dikelaskan kepada tiga gred A, B dan C mengikut jisimnya:

Gred A > Gred B > Gred C

(i) Jisim minimum bagi sebiji tembikai susu gred A ialah 1.2 kg.
Jika sebiji tembikai susu diambil secara rawak dari ladang itu, cari kebarangkalian bahawa buah tembikai susu itu adalah gred A.

(ii) Cari jisim minimum, dalam kg, buah tembikai susu gred B jika 20% daripada buah-buah tembikai susu itu adalah gred C.

(b) Dalam permainan Menembak Itik di taman hiburan, kebarangkalian untuk menang ialah 25%.
Jacky telah membeli tiket untuk bermain permainan itu sebanyak n kali. Kebarangkalian untuk Jacky menang sekali dalam permainan itu adalah 10 kali ganda kebarangkalian kalah dalam semua permainan.

(i) Cari nilai n.

(ii) Hitung sisihan piawai bagi bilangan kemenangan.

Penyelesaian:
μ = 0.8 kg, σ = 0.25 kg

(a)(i)

$\begin{array}{l} P (gred A) = P (X > 1.2) \\ = P (Z > \frac{1.2 - 0.8}{0.25}) \\ = P (Z > 1.6) \\ = 0.0548 \end{array}$

(a)(ii)

$\begin{array}{l} P (gred C) = 0.2 \\ P (X < m) = 0.2 \\ P (Z < \frac{m - 0.8}{0.25}) = 0.2 \\ P (Z < - 0.842) = 0.2 \\ \frac{m - 0.8}{0.25} = - 0.842 \\ m - 0.8 = - 0.2105 \\ m = 0.5895 \\ Jisim minimum buah tembikai susu \\ gred B adalah sama dengan jisim \\ maximum buah tembikai susu gred C . \\ Jisim minimum gred B = 0.5895 kg \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} p = 0.25, X = B (n, 0.25) \\ P (X = r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n - r} \\ = {}^{n}C_{r} {(0.25)}^{r} {(0.75)}^{n - r} \end{array}$

(b)(i)

$\begin{array}{l} P (X = 1) = 10 P (X = 0) \\ {}^{n}C_{r} {(0.25)}^{1} {(0.75)}^{n - r} = 10 \times {}^{n}C_{0} {(0.25)}^{0} {(0.75)}^{n} \\ {}^{n}C_{1} {(0.25)}^{1} {(0.75)}^{n - 1} = 10 \times 1 \times 1 \times {(0.75)}^{n} \\ n \times 0.25 \times {(0.75)}^{n - 1} = 10 \times {(0.75)}^{n} \\ 0.25 n \times \frac{{(0.75)}^{n - 1}}{{0.75}^{n}} = 10 \\ 0.25 n \times {0.75}^{- 1} = 10 \\ \frac{1}{4} n {(\frac{3}{4})}^{- 1} = 10 \\ \frac{1}{4} n (\frac{4}{3}) = 10 \\ \frac{1}{3} n = 10 \\ n = 30 \end{array}$

(b)(ii)

$\begin{array}{l} n = 30, p = 0.25, q = 0.75 \\ Sisihan piawai \\ = \sqrt{n p q} \\ = \sqrt{30 \times 0.25 \times 0.75} \\ = 2.372 \end{array}$

5.8.4 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 5:

(a) Buktikan

$\frac{2 \tan x}{2 - {sek}^{2} x} = \tan 2 x .$

(b) (i) Lakar graf y = – tan 2x untuk 0 ≤ x ≤ π.
(b) (ii) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk
mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan

$\frac{3 x}{π} + \frac{2 \tan x}{2 - {sek}^{2} x} = 0$ untuk 0 ≤ x ≤ π.
Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Penyelesaian:

(a)

$\begin{array}{l} \frac{2 \tan x}{2 - {sek}^{2} x} = \tan 2 x \\ Sebelah kiri: \\ \frac{2 \tan x}{2 - {sek}^{2} x} = \frac{2 \tan x}{2 - (1 + \tan^{2} x)} \\ = \frac{2 \tan x}{2 - \tan^{2} x} \\ = \tan 2 x (Sebelah kanan) \end{array}$

(b)(i)

(b)(ii)

$\begin{array}{l} \frac{3 x}{π} + \frac{2 \tan x}{2 - {sek}^{2} x} = 0 \\ \frac{3 x}{π} + \tan 2 x = 0 \leftarrow dari (a) \\ - \tan 2 x = \frac{3 x}{π} \\ y = \frac{3 x}{π} \\ Graf yang sesuai dilakar ialah y = \frac{3 x}{π} . \end{array}$

Apabila x = 0, y = 0

Apabila x = π, y = 3

Bilangan penyelesaian = 3

5.8.3 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 4 (10 markah):
(a) Buktikan bahawa 2 tan x kos² x = sin 2x.
(b) Seterusnya, selesaikan persamaan 4 tan x kos² x = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
(c)(i) Lakar graf y = sin 2x untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
(c)(ii) Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 4π tan x kos² x = x – 2π untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
Nyatakan bilangan penyelesaian.

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} 2 \tan x k o s^{2} x = \sin 2 x \\ Sebelah kiri \\ = 2 \tan x k o s^{2} x \\ = 2 \times \frac{\sin x}{k o s x} \times k o s^{2} x \\ = 2 \sin x k o s x \\ = \sin 2 x \\ = Sebelah kanan (Terbukti) \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} 4 \tan x k o s^{2} x = 1, 0 \leq x \leq 2 π \\ 2 (2 \tan x k o s^{2} x) = 1 \\ 2 \sin 2 x = 1 \\ \sin 2 x = \frac{1}{2} \\ Sudut asas = \frac{π}{6} \\ 2 x = \frac{π}{6}, (π - \frac{π}{6}), (2 π + \frac{π}{6}), (3 π - \frac{π}{6}) \\ 2 x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{13 π}{6}, \frac{17 π}{6} \\ x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{17 π}{12} \end{array}$

(c)(i)
y = sin 2x, 0 ≤ x ≤ 2π.

(c)(ii)

$\begin{array}{l} 4 π \tan x k o s^{2} x = x - 2 π \\ 2 π (2 \tan x k o s^{2} x) = x - 2 π \\ 2 π \sin 2 x = x - 2 π \\ \sin 2 x = \frac{x}{2 π} - \frac{2 π}{2 π} \\ \sin 2 x = \frac{x}{2 π} - 1 \\ y = \frac{x}{2 π} - 1 \end{array}$

Bilangan penyelesaian = 4

5.8.2 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 3 (10 markah):

$\begin{array}{l} (a) Buktikan \sin (3 x + \frac{π}{6}) - \sin (3 x - \frac{π}{6}) = k o s 3 x \\ (b) Seterusnya, \\ (i) selesaikan persamaan s i n (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{6}) - \sin (\frac{3 x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{1}{2} untuk 0 \leq x \leq 2 π \\ dan beri jawapan anda dalam bentuk pencahan termudah dalam sebutan π radian, \\ (i i) lakar graf bagi y = s i n (3 x + \frac{π}{6}) - \sin (3 x - \frac{π}{6}) - \frac{1}{2} untuk 0 \leq x \leq π . \end{array}$

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} (a) Sebelah kiri, \\ \sin (3 x + \frac{π}{6}) - \sin (3 x - \frac{π}{6}) \\ = [\sin 3 x k o s \frac{π}{6} + k o s 3 x \sin \frac{π}{6}] - [\sin 3 x k o s \frac{π}{6} - k o s 3 x \sin \frac{π}{6}] \\ = 2 [k o s 3 x \sin \frac{π}{6}] \\ = 2 [k o s 3 x (\frac{1}{2})] \\ = k o s 3 x (sebelah kanan) \end{array}$

$\begin{array}{l} (b) (i) \\ \sin (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{6}) - \sin (\frac{3 x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}, 0 \leq x \leq 2 π \\ k o s \frac{3 x}{2} = \frac{1}{2} \\ \frac{3 x}{2} = \frac{π}{3}, (2 π - \frac{π}{3}), (2 π + \frac{π}{3}) \\ \frac{3 x}{2} = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}, \frac{7 π}{3} \\ x = \frac{2 π}{9}, \frac{10 π}{9}, \frac{14 π}{9} \end{array}$

$\begin{array}{l} (b) (i i) \\ y = s i n (3 x + \frac{π}{6}) - \sin (3 x - \frac{π}{6}) - \frac{1}{2} untuk 0 \leq x \leq π . \\ y = k o s 3 x - \frac{1}{2} \end{array}$

8.5.10 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 10 (8 markah):
Rajah menunjukkan bulatan dan sektor sebuah bulatan dengan pusat sepunya O. Jejari bulatan ialah r cm.

Diberi bahawa panjang lengkok PQ dan lengkok RS masing-masing ialah 2 cm dan 7 cm. QR = 10 cm.
[Guna θ = 3.142]
Cari
(a) nilai r dan nilai θ,
(b) luas, dalam cm², kawasan yang berlorek.

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} Panjang lengkok P Q = 2 cm \\ r θ = 2 ................. (1) \\ Panjang lengkok R S = 7 cm \\ (r + 10) θ = 7 \\ r θ + 10 θ = 7 ................. (2) \\ Gantikan (1) ke dalam (2) : \\ 2 + 10 θ = 7 \\ 10 θ = 5 \\ θ = \frac{5}{10} \\ θ = 0.5 rad \\ Daripada (1) : \\ Apabila θ = 0.5 rad, \\ r \times 0.5 = 2 \\ r = 4 \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} O S = O R = 4 + 10 = 14 cm \\ Luas kawasan yang berlorek \\ = luas Δ O R S - luas O P Q \\ = (\frac{1}{2} \times 14^{2} \times \sin 0.5 rad) - (\frac{1}{2} \times 4^{2} \times 0.5) \\ = 42.981 {cm}^{2} \end{array}$

8.5.9 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 9 (7 markah):
Persatuan matematik SMK Mulia menganjurkan satu pertandingan mencipta logo untuk persatuan itu.

Rajah 3 menunjukkan logo berbentuk bulatan yang dicipta oleh Adrian. Ketiga-tiga kawasan berwarna biru adalah kongruen. Diberi bahawa perimeter bagi kawasan berwarna biru ialah 20π cm.
[Guna π = 3.142]
Cari
(a) jejari, dalam cm, bagi logo itu kepada integer terhampir,
(b) luas, dalam cm², bagi kawasan yang berwarna kuning.

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} 6 lengkok = 20 π \\ 6 j θ = 20 π \\ 6 j [60^{o} \times \frac{π}{{180^{o}}^{3}}] = 20 π \\ 2 π j = 20 π \\ j = 10 cm \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} Luas kawasan berwarna kuning \\ = 3 [luas segi tiga O A B] - 6 [luas tembereng] \\ = 3 [\frac{1}{2} a b \sin C] - 6 [\frac{1}{2} j^{2} (θ - \sin θ)] \\ = 3 [\frac{1}{2} (10) (10) \sin 120^{o}] \\ - 6 [\frac{1}{2} {(10)}^{2} (θ - \sin θ)] \\ = 3 (43.3013) - 6 [50 (1.0473 - \sin 1.0473)] \\ \begin{array}{l} tukar kepada mod rad \\ θ = 60^{o} \times \frac{3.142}{180^{o}} = 1.0473 rad \end{array} \\ = 129.9039 - 6 (9.0612) \\ = 129.9039 - 54.3672 \\ = 75.54 {cm}^{2} \end{array}$

6.8.10 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 10 (7 markah):
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima.
Rajah 3 menunjukkan kedudukan bagi bandar M dan bandar N yang dilukis pada suatu satah Cartes.

PQ ialah jalan raya lurus dengan keadaan jarak dari bandar M dan bandar N ke mana-mana titik pada jalan raya adalah sentiasa sama.
(a) Cari persamaan bagi PQ.

(b) Satu lagi jalan raya lurus, ST dengan persamaan y = 2x + 7 akan dibina.
(i) Lampu isyarat akan dipasang di persimpangan kedua-dua jalan raya itu.
Cari koordinat bagi lampu isyarat itu.
(ii) Antara dua jalan raya itu, yang manakah melalui bandar L

$(- \frac{4}{3}, 1) ?$

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} T (x, y) adalah satu titik pada P Q . \\ T M = T N \\ \sqrt{[x - {(- 4)}^{2}] + {[y - (- 1)]}^{2}} = \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} \\ \sqrt{{(x + 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} = \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} \\ {(x + 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} \\ x^{2} + 8 x + 16 + y^{2} + 2 y + 1 \\ = x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} - 2 y + 1 \\ 8 x + 2 y + 17 + 4 x + 2 y - 5 = 0 \\ 12 x + 4 y + 12 = 0 \\ 3 x + y + 3 = 0 \\ Persamaan P Q : 3 x + y + 3 = 0 \end{array}$

(b)(i)

$\begin{array}{l} y = 2 x + 7 ............ (1) \\ 3 x + y + 3 = 0 ............ (2) \\ Gantikan (1) ke dalam (2) : \\ 3 x + 2 x + 7 + 3 = 0 \\ 5 x = - 10 \\ x = - 2 \\ Apabila x = - 2, \\ D a r i (1), \\ y = 2 (- 2) + 7 = 3 \\ Koordinat bagi lampu isyarat = (- 2, 3) . \end{array}$

(b)(ii)

$\begin{array}{l} L (- \frac{4}{3}, 1) : x = - \frac{4}{3}, y = 1 \\ Persamaan S T : y = 2 x + 7 \\ Sebelah kiri: y = 1 \\ Sebelah kanan: 2 (- \frac{4}{3}) + 7 = 4 \frac{1}{3} \\ Oleh itu, jalan raya y = 2 x + 7 tidak \\ melalui L . \\ Persamaan P Q : 3 x + y + 3 = 0 \\ Sebelah kiri: \\ 3 x + y + 3 = 3 (- \frac{4}{3}) + 1 + 3 \\ = - 4 + 4 = 0 \\ Sebelah kanan = 0 \\ Sebelah kiri = Sebelah kanan \\ Oleh itu, jalan raya 3 x + y + 3 = 0 \\ melalui L . \end{array}$

6.8.9 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 9 (6 markah):
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima.
Rajah 1 menunjukkan segi tiga OCD.

Rajah 1

(a) Diberi luas segi tiga OCD ialah 30 unit², cari nilai h.
(b) Titik Q (2, 4) terletak pada garis lurus CD.
(i) Cari CQ : QD.
(ii) Titik P bergerak dengan keadaan PD = 2 PQ.
Cari persamaan lokus P.

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} Diberi luas △ O C D = 30 \\ \frac{1}{2} | \begin{array}{l} 0 h - 6 \\ 0 2 8 \end{array} \begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array} | = 30 \\ | (0) (2) + (h) (8) + (- 6) (0) - (0) (h) - (2) (- 6) - (8) (0) | = 60 \\ | 0 + 8 h + 0 - 0 + 12 - 0 | = 60 \\ | 8 h + 12 | = 60 \\ 8 h + 12 = 60 \\ 8 h = 48 \\ h = 6 \\ atau \\ 8 h + 12 = - 60 \\ 8 h = - 72 \\ h = - 9 (a b a i k a n) \end{array}$

(b)(i)

$\begin{array}{l} [\frac{6 (m) + (- 6) (n)}{m + n}, \frac{2 (m) + (8) (n)}{m + n}] = (2, 4) \\ \frac{6 m - 6 n}{m + n} = 2 \\ 6 m - 6 n = 2 m + 2 n \\ 4 m = 8 n \\ \frac{m}{n} = \frac{8}{4} \\ \frac{m}{n} = \frac{2}{1} \\ \frac{2 m + 8 n}{m + n} = 4 \\ 2 m + 8 n = 4 m + 4 n \\ 2 m = 4 n \\ \frac{m}{n} = \frac{4}{2} \\ \frac{m}{n} = \frac{2}{1} \\ Oleh itu, C Q = Q D = 2 : 1 \end{array}$

(b)(ii)

$\begin{array}{l} P D = 2 P Q \\ \sqrt{{(x - 6)}^{2} + {(y - 2)}^{2}} = 2 \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2}} \\ {(x - 6)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4 [{(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2}] \\ x^{2} - 12 x + 36 + y^{2} - 4 y + 4 = 4 [x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} - 8 y + 16] \\ x^{2} - 12 x + 36 + y^{2} - 4 y + 4 = 4 x^{2} - 16 x + 16 + 4 y^{2} - 32 y + 64 \\ Persamaan lokus P : \\ 3 x^{2} + 3 y^{2} - 4 x - 28 y + 40 = 0 \end{array}$

9.8.5 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 9 (6 markah):
Rajah 4 menunjukkan pandangan hadapan sebahagian daripada laluan ‘roller coaster’ di sebuah taman replika.

Bahagian lengkung laluan ‘roller coaster’ itu diwakili oleh persamaan

$y = \frac{1}{64} x^{3} - \frac{3}{16} x^{2}$ , dengan titik A sebagai asalan.
Cari jarak tegak terpendek, dalam m, dari laluan itu ke aras tanah.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} y = \frac{1}{64} x^{3} - \frac{3}{16} x^{2} ............... (1) \\ \frac{d y}{d x} = 3 (\frac{1}{64}) x^{2} - 2 (\frac{3}{16}) x^{1} \\ = \frac{3}{64} x^{2} - \frac{3}{8} x \\ Pada titik pusingan, \frac{d y}{d x} = 0 \\ \frac{3}{64} x^{2} - \frac{3}{8} x = 0 \\ x (\frac{3}{64} x - \frac{3}{8}) = 0 \\ x = 0 atau \\ \frac{3}{64} x - \frac{3}{8} = 0 \\ \frac{3}{64} x = \frac{3}{8} \\ x = \frac{3}{8} \times \frac{64}{3} \\ x = 8 \\ Gantikan nilai-nilai x ke dalam (1): \\ Apabila x = 0, \\ y = \frac{1}{64} {(0)}^{3} - \frac{3}{16} {(0)}^{2} \\ y = 0 \\ Apabila x = 8, \\ y = \frac{1}{64} {(8)}^{3} - \frac{3}{16} {(8)}^{2} \\ y = - 4 \\ Oleh itu, titik-titik pusingan : (0, 0) dan (8, - 4) \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{64} x^{2} - \frac{3}{8} x \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 2 (\frac{3}{64}) x - \frac{3}{8} \\ = \frac{3}{32} x - \frac{3}{8} \\ Apabila x = 0, \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{3}{32} (0) - \frac{3}{8} \\ = - \frac{3}{8} (< 0) \\ (0, 0) ialah titik maksimum . \\ Apabila x = 8, \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{3}{32} (8) - \frac{3}{8} \\ = \frac{3}{8} (> 0) \\ (8, - 4) ialah titik minimum . \\ Jarak tegak terpendek dari laluan ke aras tanah \\ adalah pada titik minimum . \\ Jarak tegak terpendek \\ = 5 - 4 \\ = 1 m \end{array}$

4.2.6 SPM Praktis, Persamaan Serentak

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 10 (5 markah):
Selesaikan persamaan serentak berikut:
x – 3y = 1,
x²+ 3xy + 9y²= 7

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} x - 3 y = 1................... (1) \\ x^{2} + 3 x y + 9 y^{2} = 7................... (2) \\ Daripada (1) : x = 3 y + 1................... (3) \\ Gantikan (3) ke dalam (2) : \\ {(3 y + 1)}^{2} + 3 (3 y + 1) y + 9 y^{2} = 7 \\ 9 y^{2} + 6 y + 1 + 9 y^{2} + 3 y + 9 y^{2} - 7 = 0 \\ 27 y^{2} + 9 y - 6 = 0 \\ 9 y^{2} + 3 y - 2 = 0 \\ (3 y - 1) (3 y + 2) = 0 \\ y = \frac{1}{3} atau - \frac{2}{3} \\ Gantikan y ke dalam (3) : \\ Apabila y = \frac{1}{3} \\ x = 3 (\frac{1}{3}) + 1 = 2 \\ Apabila y = - \frac{2}{3} \\ x = 3 (- \frac{2}{3}) + 1 = - 1 \\ Maka, penyelesaian ialah x = 2, y = \frac{1}{3} atau x = - 1, y = - \frac{2}{3} . \end{array}$