Bab 14 Pengamiran


3.6 Pengamiran Sebagai Penghasiltambahan Isi padu

(1).


Isi padu yang dijanakan apabila rantau berlorek dikisarkan melalui 360° pada paksi-x
Ix=πbay2dx

(2).


Isi padu yang dijanakan apabila rantau berlorek dikisarkan melalui 360° pada paksi-y

Iy=πbax2dy


Contoh 1:
Hitung isi padu pepejal yang dijanakan apabila rantau berlorek di bawah dikisarkan melalui 360° pada paksi-x.
 


Penyelesaian:

Isi padu yang dijanakan, Ix
Ix=πbay2dxIx=π42(3x8x)2dxIx=π42(3x8x)(3x8x)dxIx=π42(9x248+64x2)dxIx=π[9x3348x+64x11]42Ix=π[3x348x64x]42Ix=π[(3(4)348(4)644)(3(2)348(2)642)]Ix=π(16+104)Ix=88πunit3


Contoh 2:
Hitung isi padu pepejal yang dijanakan apabila rantau berlorek di bawah dikisarkan melalui 360° pada paksi-y.



Penyelesaian:
Isi padu yang dijanakan, Iy
Iy=πbax2dyIy=π21(2y)2dyIy=π21(4y2)dyIy=π214y2dyIy=π[4y11]21=π[4y]21Iy=π[(42)(41)]Iy=2πunit3


Bab 14 Pengamiran


3.5 Pengamiran Sebagai Penghasiltambahan Luas

(A) Luas di bawah suatu lengkung dengan paksi-x
 

Luas rantau berlorek,L=baydx


(B) Luas di bawah suatu lengkung dengan paksi-y


Luas rantau berlorek,L=baxdy


(C) Luas di bawah suatu lengkung dengan suatu garis lurus



Luas rantau berlorek,L=baf(x)dxbag(x)dx

Bab 14 Pengamiran


3.4b Mencari Nilai Kamiran Tentu



Contoh:
Diberi 73f(x)dx=5 , cari nialai bagi setiap yang berikut:
(a)736f(x)dx(b)73[3f(x)]dx(c)372f(x)dx(d)43f(x)dx+54f(x)dx+73f(x)dx(e)73f(x)+72dx


Penyelesaian:
(a)736f(x)dx=673f(x)dx=6(5)=30


(b)73[3f(x)]dx=733dx73f(x)dx=[3x]735=[3(7)3(3)]5=7


(c)372f(x)dx=732f(x)dx=273f(x)dx=2(5)=10


(d)43f(x)dx+54f(x)dx+73f(x)dx=73f(x)dx=5


(e)73f(x)+72dx=73[12f(x)+72]dx=7312f(x)dx+7372dx=1273f(x)dx+[7x2]73=12(5)+[7(7)27(3)2]=52+14=1612


Bab 14 Pengamiran

3.4 Kamiran Tentu (Bahagian 1)
  baf(x)dx=F(b)F(a)  
Contoh:
Nilaikan yang berikut.
(a) 01(3x22x+5)dx(b) 20(2x+1)3dx


Penyelesaian:
(a) 01(3x22x+5)dx=[3x332x22+5x]01=[x3x2+5x]01=0[(1)3(1)2+5(1)]=0(115)=7

(b) 20(2x+1)3dx=[(2x+1)44(2)]20=[(2x+1)48]20=[(2(2)+1)48][(2(0)+1)48]=625818=78


Bab 14 Pengamiran

3.3 Menentukan Persamaan Lengkung daripada Fungsi Kecerunan

1. Kita dapat mencari persamaan lengkung jika diberi fungsi kecerunan, dydx. 
  Jika dydx=g(x), maka persamaan lengkung ialah                            y=g(x)dx





Soalan 1:
Cari persamaan lengkung yang mempunyai fungsi kecerunan dydx=2x+8 dan melalui titik (2, 3).

Penyelesaian:
y=(2x+8)y=2x22+8x+c
y= x2 + 8x + c
3 = 22 +8(2) + c  (2, 3)
c= –17

Maka, persamaan lengkung ialah: y = x2 + 8x – 17


Soalan 2:
Fungsi kecerunan suatu lengkung ialah 2x – 4 dan lengkung itu mempunyai nilai minimum 3. Cari persamaan lengkung.

Penyelesaian:
Pada titik minimum, dydx=0 
2x – 4 = 0
x = 2
Maka, titik minimum = (2, 3)
dydx=2x4y=(2x4)dxy=2x224x+cy=x24x+c  

Apabila x= 2, y = 3.
3 = 22 – 4(2) + c
c= 7
Maka, persamaan lengkung ialah: y = x2 – 4x + 7

Bab 14 Pengamiran

3.2 Pengamiran Melalui Penggantian

1. Diberi bahawa (ax+b)ndx,n1.

(A) Kaedah Penggantian,
Katakan u=ax+bOleh itu, dudx=a          dx=dua

Soalan 1:
Cari (3x+5)3dx.
Penyelesaian:
Katakan u=3x+5          dudx=3          dx=du3(3x+5)3dx=u3du3  gantikan 3x+5=udan dx=du3=13u3du=13(u44)+c=13((3x+5)44)+c   ganti balik u=3x+5  =(3x+5)412+c

(B) Kaedah Rumus
(ax+b)n=(ax+b)n+1(n+1)a+cOleh itu, (3x+5)3dx=(3x+5)44(3)+c                   =(3x+5)412+c



Soalan 2:
Cari,
(a) 27(5x)4dx(b) 23(9x2)5dx

Penyelesaian:
(a) 27(5x)4dx=2(5x)37(3)(1)+c                                     =221(5x)3+c

(b) 23(9x2)5dx=2(9x2)53dx=2(9x2)43(4)(9)+c=2108(9x2)4+c=154(9x2)4+c


Bab 14 Pengamiran


3.8.2 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:
Rajah di bawah menunjukkan suatu lengkung = y2 – 1 yang bersilang dengan garis lurus 3y = 2x pada titik Q.

Hitungkan isipadu janaan apabila rantau berlorek itu dikisarkan melalui 360opada paksi-y.


Penyelesaian:



x
= y2 – 1 ---- (1)
3y = 2x
x=32y(2)Gantikan (2) ke dalam (1),32y=y21

2y2 – 3y – 2 = 0
(2y + 1) (y – 2) = 0
y = –½   atau   y = 2

apabila y=2,x=32(2)=3, Q=(3, 2)I1(Isipadu kon)=13πr2h=13π(3)2(2)=6π unit3

I2(Isipadu lengkung)=π21x2dy=π21(y21)2dy=π21(y42y2+1)dy=π[y552y33+y]21=π[(2552(2)33+2)(1552(1)33+1)]=π(4615815)=3815πunit3

Maka isipadu janaan=I1I2=6π3815π=5215πunit3


Bab 14 Pengamiran

3.8 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 3:
Fungsi kecerunan suatu lengkung melalui titik P(2, -14) ialah 6x2 – 12x.
Cari
(a)  persamaan lengkung itu,
(b)  koordinat titik-titik pusingan lengkung itu, dan tentukan sama ada setiap titik pusingan itu adalah maksimum atau minimum.                                                       

Penyelesaian:
(a)
Fungsi kecerunan suatu lengkung, dy/dx = 6x2 – 12x
persamaan lengkung,
y=(6x212x) dxy=6x3312x22+c

y = 2x3 – 6x2 + c
–14 = 2(2)3 – 6(2)2 + c, di titik P (2, –14)
–14 = –8 + c
c = –6
y = 2x3 – 6x2 – 6

(b)
dy/dx = 6x2 – 12x
Di titik pusingan, dy/dx = 0
6x2 – 12x = 0
6(x – 2) = 0
x = 0, x = 2

x = 0, y = 2(0)3 – 6(0)2 – 6 = –6
x = 2, y = 2(2)3 – 6(2)2 – 6 = –14

d2ydx2=12x12When x=0d2ydx2=12(0)12=12 <0(0,6) adalah titik maksimum.When x=2d2ydx2=12(2)12=12 >0(2,14) adalah titik minimum.


Bab 14 Pengamiran

3.8 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 1:
Suatu lengkung dengan fungsi kecerunan 5x5x2 mempunyai titik pusingan di (m, 9).
(a)  Cari nilai m.
(b)  Tentukan sama ada titik pusingan ini adalah titik maksimum atau titik minimum.
(c)  Cari persamaan lengkung itu.

Penyelesaian:
(a)
dydx=5x5x2Di titik pusingan (m,9), dydx=05m5m2=05m2=5mm3=1m=1

(b)
dy dx =5x 5 x 2 =5x5 x 2 d 2 y d x 2 =5+ 10 x 3 Apabila x=1,  d 2 y d x 2 =15 (> 0)  
Dengan itu, (1, 9) adalah satu titik minimum.

(c)
y= ( 5x5 x 2 )  dx y= 5 x 2 2 + 5 x +c Pada titik pusingan ( 1,9 ), x=1 dan y=9. 9= 5 ( 1 ) 2 2 + 5 1 +c c= 3 2 Persamaan lengkung: y= 5 x 2 2 + 5 x + 3 2



Soalan 2:
Suatu lengkung mempunyai fungsi kecerunan kx2– 7x, dengan keadaan k ialah pemalar. Tangen kepada lenkung itu pada titik (1, 3 ) adalah selari dengan garis lurus y + x – 4 = 0.
Cari
(a)  nilai k,
(b)  persamaan lengkung itu.

Penyelesaian:
(a)
y + x – 4 = 0
y = – x + 4
m = –1

f ’(x) = kx2– 7x
Diberi tangen kepada lenkung itu pada titik (1, 3 ) adalah selari dengan garis lurus
kx2 – 7x = –1
k (1)2– 7 (1) = –1
k – 7 = –1
k = 6

(b)
f'( x )=6 x 2 7x f( x )= ( 6 x 2 7x )  dx f( x )= 6 x 3 3 7 x 2 2 +c 3=2 ( 1 ) 3 7 ( 1 ) 2 2 +c    di titik ( 1,3 ) c= 9 2 f( x )=2 x 3 7 x 2 2 + 9 2


Bab 14 Pengamiran


3.8.5 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 6:
Rajah di bawah menunjukkan sebahagian daripada lengkung y = 2 ( 3 x 2 ) 2  yang melalui B (1, 2).


(a)   Carikan persamaan tangen kepada lengkung itu pada titik B.
(b)   Suatu rantau dibatasi oleh lengkung itu, paksi-x, garis lurus x = 2 dan = 3.
(i) Cari luas rantau yang berlorek.
(ii) Rantau itu dikisarkan melalui 360o pada paksi-x.
Carikan isipadu janaan, dalam sebutan π.


Penyelesaian:
(a)
y = 2 ( 3 x 2 ) 2 = 2 ( 3 x 2 ) 2 d y d x = 4 ( 3 x 2 ) 3 ( 3 ) d y d x = 12 ( 3 x 2 ) 3 d y d x = 12 ( 3 ( 1 ) 2 ) 3 , x = 1
y – 2 = –12 (x – 1)
y – 2 = –12x + 12
y = –12x + 14

(b)(i)
Area = 2 3 y d x = 2 3 2 ( 3 x 2 ) 2 d x = 2 3 2 ( 3 x 2 ) 2 d x = [ 2 ( 3 x 2 ) 1 1 ( 3 ) ] 2 3 = [ 2 3 ( 3 x 2 ) ] 2 3 = [ 2 3 [ 3 ( 3 ) 2 ] ] [ 2 3 [ 3 ( 2 ) 2 ] ] = 2 21 + 1 6 = 1 14 unit 2

(b)(ii)
Isipadu janaan
= π y 2 d x = π 2 3 4 ( 3 x 2 ) 4 d x = π 2 3 4 ( 3 x 2 ) 4 d x = π [ 4 ( 3 x 2 ) 3 3 ( 3 ) ] 2 3 = π [ 4 9 ( 3 x 2 ) 3 ] 2 3 = π [ 4 9 [ 3 ( 3 ) 2 ] 3 ] [ 4 9 [ 3 ( 2 ) 2 ] 3 ] = π ( 4 3087 + 4 576 ) = 31 5488 π unit 3