Bab 14 Pengamiran

Posted on May 22, 2016 by user

3.6 Pengamiran Sebagai Penghasiltambahan Isi padu

(1).

Isi padu yang dijanakan apabila rantau berlorek dikisarkan melalui 360° pada paksi-x

$I_{x} = π \int_{a}^{b} y^{2} d x$

(2).

Isi padu yang dijanakan apabila rantau berlorek dikisarkan melalui 360° pada paksi-y

$I_{y} = π \int_{a}^{b} x^{2} d y$

Contoh 1:

Hitung isi padu pepejal yang dijanakan apabila rantau berlorek di bawah dikisarkan melalui 360° pada paksi-x.

Penyelesaian:

Isi padu yang dijanakan, I_x

$\begin{array}{l} I_{x} = π \int_{a}^{b} y^{2} d x \\ I_{x} = π \int_{2}^{4} {(3 x - \frac{8}{x})}^{2} d x \\ I_{x} = π \int_{2}^{4} (3 x - \frac{8}{x}) (3 x - \frac{8}{x}) d x \\ I_{x} = π \int_{2}^{4} (9 x^{2} - 48 + \frac{64}{x^{2}}) d x \\ I_{x} = π {[\frac{9 x^{3}}{3} - 48 x + \frac{64 x^{- 1}}{- 1}]}_{2}^{4} \\ I_{x} = π {[3 x^{3} - 48 x - \frac{64}{x}]}_{2}^{4} \\ I_{x} = π [(3 {(4)}^{3} - 48 (4) - \frac{64}{4}) - (3 {(2)}^{3} - 48 (2) - \frac{64}{2})] \\ I_{x} = π (- 16 + 104) \\ I_{x} = 88 π u n i t^{3} \end{array}$

Contoh 2:

Hitung isi padu pepejal yang dijanakan apabila rantau berlorek di bawah dikisarkan melalui 360° pada paksi-y.

Penyelesaian:

Isi padu yang dijanakan, I_y

$\begin{array}{l} I_{y} = π \int_{a}^{b} x^{2} d y \\ I_{y} = π \int_{1}^{2} {(\frac{2}{y})}^{2} d y \\ I_{y} = π \int_{1}^{2} (\frac{4}{y^{2}}) d y \\ I_{y} = π \int_{1}^{2} 4 y^{- 2} d y \\ I_{y} = π {[\frac{4 y^{- 1}}{- 1}]}_{1}^{2} = π {[- \frac{4}{y}]}_{1}^{2} \\ I_{y} = π [(- \frac{4}{2}) - (- \frac{4}{1})] \\ I_{y} = 2 π u n i t^{3} \end{array}$

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 22, 2016 by user

3.5 Pengamiran Sebagai Penghasiltambahan Luas

(A) Luas di bawah suatu lengkung dengan paksi-x

$\begin{array}{l} Luas rantau berlorek, \\ L = \int_{a}^{b} y d x \end{array}$

(B) Luas di bawah suatu lengkung dengan paksi-y

$\begin{array}{l} Luas rantau berlorek, \\ L = \int_{a}^{b} x d y \end{array}$

(C) Luas di bawah suatu lengkung dengan suatu garis lurus

$\begin{array}{l} Luas rantau berlorek, \\ L = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x \end{array}$

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 22, 2016 by user

3.4b Mencari Nilai Kamiran Tentu

Contoh:

Diberi

$\int_{3}^{7} f (x) d x = 5$ , cari nialai bagi setiap yang berikut:

$\begin{array}{l} (a) \int_{3}^{7} 6 f (x) d x \\ (b) \int_{3}^{7} [3 - f (x)] d x \\ (c) \int_{7}^{3} 2 f (x) d x \\ (d) \int_{3}^{4} f (x) d x + \int_{4}^{5} f (x) d x + \int_{3}^{7} f (x) d x \\ (e) \int_{3}^{7} \frac{f (x) + 7}{2} d x \end{array}$

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} (a) \int_{3}^{7} 6 f (x) d x = 6 \int_{3}^{7} f (x) d x \\ = 6 (5) = 30 \end{array}$

$\begin{array}{l} (b) \int_{3}^{7} [3 - f (x)] d x = \int_{3}^{7} 3 d x - \int_{3}^{7} f (x) d x \\ = {[3 x]}_{3}^{7} - 5 \\ = [3 (7) - 3 (3)] - 5 \\ = 7 \end{array}$

$\begin{array}{l} (c) \int_{7}^{3} 2 f (x) d x = - \int_{3}^{7} 2 f (x) d x \\ = - 2 \int_{3}^{7} f (x) d x \\ = - 2 (5) \\ = - 10 \end{array}$

$\begin{array}{l} (d) \int_{3}^{4} f (x) d x + \int_{4}^{5} f (x) d x + \int_{3}^{7} f (x) d x \\ = \int_{3}^{7} f (x) d x \\ = 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} (e) \int_{3}^{7} \frac{f (x) + 7}{2} d x = \int_{3}^{7} [\frac{1}{2} f (x) + \frac{7}{2}] d x \\ = \int_{3}^{7} \frac{1}{2} f (x) d x + \int_{3}^{7} \frac{7}{2} d x \\ = \frac{1}{2} \int_{3}^{7} f (x) d x + {[\frac{7 x}{2}]}_{3}^{7} \\ = \frac{1}{2} (5) + [\frac{7 (7)}{2} - \frac{7 (3)}{2}] \\ = \frac{5}{2} + 14 \\ = 16 \frac{1}{2} \end{array}$

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 21, 2016 by user

3.4 Kamiran Tentu (Bahagian 1)

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$

Contoh:

Nilaikan yang berikut.

$\begin{array}{l} (a) \int_{- 1}^{0} (3 x^{2} - 2 x + 5) d x \\ (b) \int_{0}^{2} {(2 x + 1)}^{3} d x \end{array}$

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} (a) \int_{- 1}^{0} (3 x^{2} - 2 x + 5) d x \\ = {[\frac{3 x^{3}}{3} - \frac{2 x^{2}}{2} + 5 x]}_{- 1}^{0} \\ = {[x^{3} - x^{2} + 5 x]}_{- 1}^{0} \\ = 0 - [{(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 5 (- 1)] \\ = 0 - (- 1 - 1 - 5) \\ = 7 \end{array}$

$\begin{array}{l} (b) \int_{0}^{2} {(2 x + 1)}^{3} d x \\ = {[\frac{{(2 x + 1)}^{4}}{4 (2)}]}_{0}^{2} \\ = {[\frac{{(2 x + 1)}^{4}}{8}]}_{0}^{2} \\ = [\frac{{(2 (2) + 1)}^{4}}{8}] - [\frac{{(2 (0) + 1)}^{4}}{8}] \\ = \frac{625}{8} - \frac{1}{8} \\ = 78 \end{array}$

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 21, 2016 by user

3.3 Menentukan Persamaan Lengkung daripada Fungsi Kecerunan

1. Kita dapat mencari persamaan lengkung jika diberi fungsi kecerunan,

$\frac{d y}{d x} .$

$\begin{array}{l} Jika \frac{d y}{d x} = g (x), maka persamaan lengkung ialah \\ y = \int g (x) d x \end{array}$

Soalan 1:

Cari persamaan lengkung yang mempunyai fungsi kecerunan

$\frac{d y}{d x} = 2 x + 8$ dan melalui titik (2, 3).

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} y = \int (2 x + 8) \\ y = \frac{2 x^{2}}{2} + 8 x + c \end{array}$

y= x² + 8x + c

3 = 2² +8(2) + c (2, 3)

c= –17

Maka, persamaan lengkung ialah: y = x² + 8x – 17

Soalan 2:

Fungsi kecerunan suatu lengkung ialah 2x – 4 dan lengkung itu mempunyai nilai minimum 3. Cari persamaan lengkung.

Penyelesaian:

Pada titik minimum,

$\frac{d y}{d x} = 0$

2x – 4 = 0

x = 2

Maka, titik minimum = (2, 3)

$\begin{array}{l} \frac{d y}{d x} = 2 x - 4 \\ y = \int (2 x - 4) d x \\ y = \frac{2 x^{2}}{2} - 4 x + c \\ y = x^{2} - 4 x + c \end{array}$

Apabila x= 2, y = 3.

3 = 2² – 4(2) + c

c= 7

Maka, persamaan lengkung ialah: y = x² – 4x + 7

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 21, 2016 by user

3.2 Pengamiran Melalui Penggantian

1. Diberi bahawa

${\int (a x + b)}^{n} d x, n \neq - 1.$

(A) Kaedah Penggantian,

$\begin{array}{l} Katakan u = a x + b \\ Oleh itu, \frac{d u}{d x} = a \\ ∴ d x = \frac{d u}{a} \end{array}$

Soalan 1:

$Cari {\int (3 x + 5)}^{3} d x .$

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} Katakan u = 3 x + 5 \\ \frac{d u}{d x} = 3 \\ d x = \frac{d u}{3} \\ {\int (3 x + 5)}^{3} d x \\ = \int u^{3} \frac{d u}{3} \leftarrow \begin{array}{l} gantikan 3 x + 5 = u \\ dan d x = \frac{d u}{3} \end{array} \\ = \frac{1}{3} \int u^{3} d u \\ = \frac{1}{3} (\frac{u^{4}}{4}) + c \\ = \frac{1}{3} (\frac{{(3 x + 5)}^{4}}{4}) + c \leftarrow \begin{array}{l} ganti balik \\ u = 3 x + 5 \end{array} \\ = \frac{{(3 x + 5)}^{4}}{12} + c \end{array}$

(B) Kaedah Rumus

$\begin{array}{l} \int {(a x + b)}^{n} = \frac{{(a x + b)}^{n + 1}}{(n + 1) a} + c \\ Oleh itu, \\ \int {(3 x + 5)}^{3} d x = \frac{{(3 x + 5)}^{4}}{4 (3)} + c \\ = \frac{{(3 x + 5)}^{4}}{12} + c \end{array}$

Soalan 2:

Cari,

$\begin{array}{l} (a) \int \frac{2}{7} {(5 - x)}^{- 4} d x \\ (b) \int \frac{2}{3 {(9 x - 2)}^{5}} d x \end{array}$

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} (a) \int \frac{2}{7} {(5 - x)}^{- 4} d x = \frac{2 {(5 - x)}^{- 3}}{7 (- 3) (- 1)} + c \\ = \frac{2}{21 {(5 - x)}^{3}} + c \end{array}$

$\begin{array}{l} (b) \int \frac{2}{3 {(9 x - 2)}^{5}} d x = \int \frac{2 {(9 x - 2)}^{- 5}}{3} d x \\ = \frac{2 {(9 x - 2)}^{- 4}}{3 (- 4) (9)} + c \\ = - \frac{2}{108 {(9 x - 2)}^{4}} + c \\ = - \frac{1}{54 {(9 x - 2)}^{4}} + c \end{array}$

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 17, 2016 by user

3.8.2 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:

Rajah di bawah menunjukkan suatu lengkung x = y² – 1 yang bersilang dengan garis lurus 3y = 2x pada titik Q.

Hitungkan isipadu janaan apabila rantau berlorek itu dikisarkan melalui 360^opada paksi-y.

Penyelesaian:

x = y² – 1 ---- (1)

3y = 2x

$\begin{array}{l} x = \frac{3}{2} y \to (2) \\ Gantikan (2) ke dalam (1), \\ \frac{3}{2} y = y^{2} - 1 \end{array}$

2y² – 3y – 2 = 0

(2y + 1) (y – 2) = 0

y = –½ atau y = 2

$\begin{array}{l} apabila y = 2, x = \frac{3}{2} (2) = 3, Q = (3, 2) \\ I_{1} (Isipadu kon) \\ = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π {(3)}^{2} (2) \\ = 6 π {unit}^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} I_{2} (Isipadu lengkung) \\ = π \int_{1}^{2} x^{2} d y \\ = π \int_{1}^{2} {(y^{2} - 1)}^{2} d y \\ = π \int_{1}^{2} (y^{4} - 2 y^{2} + 1) d y \\ = π {[\frac{y^{5}}{5} - \frac{2 y^{3}}{3} + y]}_{1}^{2} \\ = π [(\frac{2^{5}}{5} - \frac{2 {(2)}^{3}}{3} + 2) - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{2 {(1)}^{3}}{3} + 1)] \\ = π (\frac{46}{15} - \frac{8}{15}) \\ = \frac{38}{15} π {unit}^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} Maka isipadu janaan = I_{1} - I_{2} \\ = 6 π - \frac{38}{15} π \\ = \frac{52}{15} π {unit}^{3} \end{array}$

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 17, 2016 by user

3.8 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:

Fungsi kecerunan suatu lengkung melalui titik P(2, -14) ialah 6x² – 12x.

Cari

(a) persamaan lengkung itu,

(b) koordinat titik-titik pusingan lengkung itu, dan tentukan sama ada setiap titik pusingan itu adalah maksimum atau minimum.

Penyelesaian:

(a)

Fungsi kecerunan suatu lengkung, dy/dx = 6x² – 12x

persamaan lengkung,

$\begin{array}{l} y = \int (6 x^{2} - 12 x) d x \\ y = \frac{6 x^{3}}{3} - \frac{12 x^{2}}{2} + c \end{array}$

y = 2x³ – 6x² + c

–14 = 2(2)³ – 6(2)² + c, di titik P (2, –14)

–14 = –8 + c

c = –6

y = 2x³ – 6x² – 6

(b)

dy/dx = 6x² – 12x

Di titik pusingan, dy/dx = 0

6x² – 12x = 0

6(x – 2) = 0

x = 0, x = 2

x = 0, y = 2(0)³ – 6(0)² – 6 = –6

x = 2, y = 2(2)³ – 6(2)² – 6 = –14

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 12 x - 12 \\ When x = 0, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 12 (0) - 12 = - 12 < 0 \\ (0, - 6) adalah titik maksimum . \\ When x = 2, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 12 (2) - 12 = 12 > 0 \\ (2, - 14) adalah titik minimum . \end{array}$

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 17, 2016 by user

3.8 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

Suatu lengkung dengan fungsi kecerunan

$5 x - \frac{5}{x^{2}}$ mempunyai titik pusingan di (m, 9).

(a) Cari nilai m.

(b) Tentukan sama ada titik pusingan ini adalah titik maksimum atau titik minimum.

Penyelesaian:

(a)

$\begin{array}{l} \frac{d y}{d x} = 5 x - \frac{5}{x^{2}} \\ Di titik pusingan (m, 9), \\ \frac{d y}{d x} = 0 \\ 5 m - \frac{5}{m^{2}} = 0 \\ \frac{5}{m^{2}} = 5 m \\ m^{3} = 1 \\ m = 1 \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} \frac{d y}{d x} = 5 x - \frac{5}{x^{2}} = 5 x - 5 x^{- 2} \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 5 + \frac{10}{x^{3}} \\ Apabila x = 1, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 15 (> 0) \end{array}$

Dengan itu, (1, 9) adalah satu titik minimum.

(c)

$\begin{array}{l} y = \int (5 x - 5 x^{- 2}) d x \\ y = \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{5}{x} + c \\ Pada titik pusingan (1, 9), x = 1 dan y = 9. \\ 9 = \frac{5 {(1)}^{2}}{2} + \frac{5}{1} + c \\ c = \frac{3}{2} \\ Persamaan lengkung: y = \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{5}{x} + \frac{3}{2} \end{array}$

Soalan 2:

Suatu lengkung mempunyai fungsi kecerunan kx²– 7x, dengan keadaan k ialah pemalar. Tangen kepada lenkung itu pada titik (1, 3 ) adalah selari dengan garis lurus y + x – 4 = 0.

Cari

(a) nilai k,

(b) persamaan lengkung itu.

Penyelesaian:

(a)

y + x – 4 = 0

y = – x + 4

m = –1

f ’(x) = kx²– 7x

Diberi tangen kepada lenkung itu pada titik (1, 3 ) adalah selari dengan garis lurus

kx² – 7x = –1

k (1)²– 7 (1) = –1

k – 7 = –1

k = 6

(b)

$\begin{array}{l} f' (x) = 6 x^{2} - 7 x \\ f (x) = \int (6 x^{2} - 7 x) d x \\ f (x) = \frac{6 x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2} + c \\ 3 = 2 {(1)}^{3} - \frac{7 {(1)}^{2}}{2} + c di titik (1, 3) \\ c = \frac{9}{2} \\ ∴ f (x) = 2 x^{3} - \frac{7 x^{2}}{2} + \frac{9}{2} \end{array}$

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 17, 2016 by user

3.8.5 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 6:

Rajah di bawah menunjukkan sebahagian daripada lengkung

$y = \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}}$ yang melalui B (1, 2).

(a) Carikan persamaan tangen kepada lengkung itu pada titik B.
(b) Suatu rantau dibatasi oleh lengkung itu, paksi-x, garis lurus x = 2 dan x = 3.
(i) Cari luas rantau yang berlorek.
(ii) Rantau itu dikisarkan melalui 360^o pada paksi-x.
Carikan isipadu janaan, dalam sebutan π.

Penyelesaian:

(a)

$\begin{array}{l} y = \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}} = 2 {(3 x - 2)}^{- 2} \\ \frac{d y}{d x} = - 4 {(3 x - 2)}^{- 3} (3) \\ \frac{d y}{d x} = \frac{- 12}{{(3 x - 2)}^{3}} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{- 12}{{(3 (1) - 2)}^{3}}, x = 1 \end{array}$

y – 2 = –12 (x – 1)

y – 2 = –12x + 12

y = –12x + 14

(b)(i)

$\begin{array}{l} Area = \int_{2}^{3} y d x \\ = \int_{2}^{3} \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}} d x = \int_{2}^{3} 2 {(3 x - 2)}^{- 2} d x \\ = {[\frac{2 {(3 x - 2)}^{- 1}}{- 1 (3)}]}_{2}^{3} \\ = {[- \frac{2}{3 (3 x - 2)}]}_{2}^{3} \\ = [- \frac{2}{3 [3 (3) - 2]}] - [- \frac{2}{3 [3 (2) - 2]}] \\ = - \frac{2}{21} + \frac{1}{6} \\ = \frac{1}{14} {unit}^{2} \end{array}$

(b)(ii)

Isipadu janaan

$\begin{array}{l} = π \int y^{2} d x \\ = π \int_{2}^{3} \frac{4}{{(3 x - 2)}^{4}} d x = π \int_{2}^{3} 4 {(3 x - 2)}^{- 4} d x \\ = π {[\frac{4 {(3 x - 2)}^{- 3}}{- 3 (3)}]}_{2}^{3} = π {[- \frac{4}{9 {(3 x - 2)}^{3}}]}_{2}^{3} \\ = π [- \frac{4}{9 {[3 (3) - 2]}^{3}}] - [- \frac{4}{9 {[3 (2) - 2]}^{3}}] \\ = π (- \frac{4}{3087} + \frac{4}{576}) \\ = \frac{31}{5488} π {unit}^{3} \end{array}$