Bab 14 Pengamiran


3.6 Pengamiran Sebagai Penghasiltambahan Isi padu

(1).


Isi padu yang dijanakan apabila rantau berlorek dikisarkan melalui 360° pada paksi-x
Ix=πbay2dx

(2).


Isi padu yang dijanakan apabila rantau berlorek dikisarkan melalui 360° pada paksi-y

Iy=πbax2dy


Contoh 1:
Hitung isi padu pepejal yang dijanakan apabila rantau berlorek di bawah dikisarkan melalui 360° pada paksi-x.
 


Penyelesaian:

Isi padu yang dijanakan, Ix
Ix=πbay2dxIx=π42(3x8x)2dxIx=π42(3x8x)(3x8x)dxIx=π42(9x248+64x2)dxIx=π[9x3348x+64x11]42Ix=π[3x348x64x]42Ix=π[(3(4)348(4)644)(3(2)348(2)642)]Ix=π(16+104)Ix=88πunit3


Contoh 2:
Hitung isi padu pepejal yang dijanakan apabila rantau berlorek di bawah dikisarkan melalui 360° pada paksi-y.



Penyelesaian:
Isi padu yang dijanakan, Iy
Iy=πbax2dyIy=π21(2y)2dyIy=π21(4y2)dyIy=π214y2dyIy=π[4y11]21=π[4y]21Iy=π[(42)(41)]Iy=2πunit3


Bab 14 Pengamiran


3.5 Pengamiran Sebagai Penghasiltambahan Luas

(A) Luas di bawah suatu lengkung dengan paksi-x
 

Luas rantau berlorek,L=baydx


(B) Luas di bawah suatu lengkung dengan paksi-y


Luas rantau berlorek,L=baxdy


(C) Luas di bawah suatu lengkung dengan suatu garis lurus



Luas rantau berlorek,L=baf(x)dxbag(x)dx

Bab 14 Pengamiran


3.4b Mencari Nilai Kamiran Tentu



Contoh:
Diberi 73f(x)dx=5 , cari nialai bagi setiap yang berikut:
(a)736f(x)dx(b)73[3f(x)]dx(c)372f(x)dx(d)43f(x)dx+54f(x)dx+73f(x)dx(e)73f(x)+72dx


Penyelesaian:
(a)736f(x)dx=673f(x)dx=6(5)=30


(b)73[3f(x)]dx=733dx73f(x)dx=[3x]735=[3(7)3(3)]5=7


(c)372f(x)dx=732f(x)dx=273f(x)dx=2(5)=10


(d)43f(x)dx+54f(x)dx+73f(x)dx=73f(x)dx=5


(e)73f(x)+72dx=73[12f(x)+72]dx=7312f(x)dx+7372dx=1273f(x)dx+[7x2]73=12(5)+[7(7)27(3)2]=52+14=1612


Bab 14 Pengamiran

3.4 Kamiran Tentu (Bahagian 1)
  baf(x)dx=F(b)F(a)  
Contoh:
Nilaikan yang berikut.
(a) 01(3x22x+5)dx(b) 20(2x+1)3dx


Penyelesaian:
(a) 01(3x22x+5)dx=[3x332x22+5x]01=[x3x2+5x]01=0[(1)3(1)2+5(1)]=0(115)=7

(b) 20(2x+1)3dx=[(2x+1)44(2)]20=[(2x+1)48]20=[(2(2)+1)48][(2(0)+1)48]=625818=78


Bab 14 Pengamiran

3.3 Menentukan Persamaan Lengkung daripada Fungsi Kecerunan

1. Kita dapat mencari persamaan lengkung jika diberi fungsi kecerunan, dydx. 
  Jika dydx=g(x), maka persamaan lengkung ialah                            y=g(x)dx





Soalan 1:
Cari persamaan lengkung yang mempunyai fungsi kecerunan dydx=2x+8 dan melalui titik (2, 3).

Penyelesaian:
y=(2x+8)y=2x22+8x+c
y= x2 + 8x + c
3 = 22 +8(2) + c  (2, 3)
c= –17

Maka, persamaan lengkung ialah: y = x2 + 8x – 17


Soalan 2:
Fungsi kecerunan suatu lengkung ialah 2x – 4 dan lengkung itu mempunyai nilai minimum 3. Cari persamaan lengkung.

Penyelesaian:
Pada titik minimum, dydx=0 
2x – 4 = 0
x = 2
Maka, titik minimum = (2, 3)
dydx=2x4y=(2x4)dxy=2x224x+cy=x24x+c  

Apabila x= 2, y = 3.
3 = 22 – 4(2) + c
c= 7
Maka, persamaan lengkung ialah: y = x2 – 4x + 7

Bab 14 Pengamiran

3.2 Pengamiran Melalui Penggantian

1. Diberi bahawa (ax+b)ndx,n1.

(A) Kaedah Penggantian,
Katakan u=ax+bOleh itu, dudx=a          

Soalan 1:
Cari  ( 3x+5 ) 3 dx.
Penyelesaian:
Katakan  u = 3 x + 5            d u d x = 3            d x = d u 3 ( 3 x + 5 ) 3 d x = u 3 d u 3    gantikan  3 x + 5 = u dan  d x = d u 3 = 1 3 u 3 d u = 1 3 ( u 4 4 ) + c = 1 3 ( ( 3 x + 5 ) 4 4 ) + c     ganti balik   u = 3 x + 5    = ( 3 x + 5 ) 4 12 + c

(B) Kaedah Rumus
( a x + b ) n = ( a x + b ) n + 1 ( n + 1 ) a + c Oleh itu,  ( 3 x + 5 ) 3 d x = ( 3 x + 5 ) 4 4 ( 3 ) + c                     = ( 3 x + 5 ) 4 12 + c



Soalan 2:
Cari,
(a)  2 7 ( 5x ) 4 dx (b)  2 3 ( 9x2 ) 5 dx

Penyelesaian:
(a)  2 7 ( 5x ) 4 dx= 2 ( 5x ) 3 7( 3 )( 1 ) +c                                      = 2 21 ( 5x ) 3 +c

(b)  2 3 ( 9x2 ) 5 dx = 2 ( 9x2 ) 5 3 dx = 2 ( 9x2 ) 4 3( 4 )( 9 ) +c = 2 108 ( 9x2 ) 4 +c = 1 54 ( 9x2 ) 4 +c


Bab 14 Pengamiran


3.8.2 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:
Rajah di bawah menunjukkan suatu lengkung = y2 – 1 yang bersilang dengan garis lurus 3y = 2x pada titik Q.

Hitungkan isipadu janaan apabila rantau berlorek itu dikisarkan melalui 360opada paksi-y.


Penyelesaian:



x
= y2 – 1 ---- (1)
3y = 2x
x = 3 2 y ( 2 ) Gantikan (2) ke dalam (1), 3 2 y = y 2 1

2y2 – 3y – 2 = 0
(2y + 1) (y – 2) = 0
y = –½   atau   y = 2

apabila y=2,x= 3 2 ( 2 )=3, Q=( 3, 2 ) I 1 ( Isipadu kon ) = 1 3 π r 2 h= 1 3 π ( 3 ) 2 ( 2 ) =6π  unit 3

I 2 ( Isipadu lengkung ) = π 1 2 x 2 d y = π 1 2 ( y 2 1 ) 2 d y = π 1 2 ( y 4 2 y 2 + 1 ) d y = π [ y 5 5 2 y 3 3 + y ] 1 2 = π [ ( 2 5 5 2 ( 2 ) 3 3 + 2 ) ( 1 5 5 2 ( 1 ) 3 3 + 1 ) ] = π ( 46 15 8 15 ) = 38 15 π unit 3

Maka isipadu janaan = I 1 I 2 = 6 π 38 15 π = 52 15 π unit 3


Bab 14 Pengamiran

3.8 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 3:
Fungsi kecerunan suatu lengkung melalui titik P(2, -14) ialah 6x2 – 12x.
Cari
(a)  persamaan lengkung itu,
(b)  koordinat titik-titik pusingan lengkung itu, dan tentukan sama ada setiap titik pusingan itu adalah maksimum atau minimum.                                                       

Penyelesaian:
(a)
Fungsi kecerunan suatu lengkung, dy/dx = 6x2 – 12x
persamaan lengkung,
y= ( 6 x 2 12x )  dx y= 6 x 3 3 12 x 2 2 +c

y = 2x3 – 6x2 + c
–14 = 2(2)3 – 6(2)2 + c, di titik P (2, –14)
–14 = –8 + c
c = –6
y = 2x3 – 6x2 – 6

(b)
dy/dx = 6x2 – 12x
Di titik pusingan, dy/dx = 0
6x2 – 12x = 0
6(x – 2) = 0
x = 0, x = 2

x = 0, y = 2(0)3 – 6(0)2 – 6 = –6
x = 2, y = 2(2)3 – 6(2)2 – 6 = –14

d 2 y d x 2 =12x12 When x=0 d 2 y d x 2 =12( 0 )12=12 <0 ( 0,6 ) adalah titik maksimum. When x=2 d 2 y d x 2 =12( 2 )12=12 >0 ( 2,14 ) adalah titik minimum.


Bab 14 Pengamiran

3.8 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 1:
Suatu lengkung dengan fungsi kecerunan 5x 5 x 2  mempunyai titik pusingan di (m, 9).
(a)  Cari nilai m.
(b)  Tentukan sama ada titik pusingan ini adalah titik maksimum atau titik minimum.
(c)  Cari persamaan lengkung itu.

Penyelesaian:
(a)
dy dx =5x 5 x 2 Di titik pusingan ( m,9 ),  dy dx =0 5m 5 m 2 =0 5 m 2 =5m m 3 =1 m=1 

(b)
dy dx =5x 5 x 2 =5x5 x 2 d 2 y d x 2 =5+ 10 x 3 Apabila x=1,  d 2 y d x 2 =15 (> 0)  
Dengan itu, (1, 9) adalah satu titik minimum.

(c)
y= ( 5x5 x 2 )  dx y= 5 x 2 2 + 5 x +c Pada titik pusingan ( 1,9 ), x=1 dan y=9. 9= 5 ( 1 ) 2 2 + 5 1 +c c= 3 2 Persamaan lengkung: y= 5 x 2 2 + 5 x + 3 2



Soalan 2:
Suatu lengkung mempunyai fungsi kecerunan kx2– 7x, dengan keadaan k ialah pemalar. Tangen kepada lenkung itu pada titik (1, 3 ) adalah selari dengan garis lurus y + x – 4 = 0.
Cari
(a)  nilai k,
(b)  persamaan lengkung itu.

Penyelesaian:
(a)
y + x – 4 = 0
y = – x + 4
m = –1

f ’(x) = kx2– 7x
Diberi tangen kepada lenkung itu pada titik (1, 3 ) adalah selari dengan garis lurus
kx2 – 7x = –1
k (1)2– 7 (1) = –1
k – 7 = –1
k = 6

(b)
f'( x )=6 x 2 7x f( x )= ( 6 x 2 7x )  dx f( x )= 6 x 3 3 7 x 2 2 +c 3=2 ( 1 ) 3 7 ( 1 ) 2 2 +c    di titik ( 1,3 ) c= 9 2 f( x )=2 x 3 7 x 2 2 + 9 2


Bab 14 Pengamiran


3.8.5 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 6:
Rajah di bawah menunjukkan sebahagian daripada lengkung y = 2 ( 3 x 2 ) 2  yang melalui B (1, 2).


(a)   Carikan persamaan tangen kepada lengkung itu pada titik B.
(b)   Suatu rantau dibatasi oleh lengkung itu, paksi-x, garis lurus x = 2 dan = 3.
(i) Cari luas rantau yang berlorek.
(ii) Rantau itu dikisarkan melalui 360o pada paksi-x.
Carikan isipadu janaan, dalam sebutan π.


Penyelesaian:
(a)
y = 2 ( 3 x 2 ) 2 = 2 ( 3 x 2 ) 2 d y d x = 4 ( 3 x 2 ) 3 ( 3 ) d y d x = 12 ( 3 x 2 ) 3 d y d x = 12 ( 3 ( 1 ) 2 ) 3 , x = 1
y – 2 = –12 (x – 1)
y – 2 = –12x + 12
y = –12x + 14

(b)(i)
Area = 2 3 y d x = 2 3 2 ( 3 x 2 ) 2 d x = 2 3 2 ( 3 x 2 ) 2 d x = [ 2 ( 3 x 2 ) 1 1 ( 3 ) ] 2 3 = [ 2 3 ( 3 x 2 ) ] 2 3 = [ 2 3 [ 3 ( 3 ) 2 ] ] [ 2 3 [ 3 ( 2 ) 2 ] ] = 2 21 + 1 6 = 1 14 unit 2

(b)(ii)
Isipadu janaan
= π y 2 d x = π 2 3 4 ( 3 x 2 ) 4 d x = π 2 3 4 ( 3 x 2 ) 4 d x = π [ 4 ( 3 x 2 ) 3 3 ( 3 ) ] 2 3 = π [ 4 9 ( 3 x 2 ) 3 ] 2 3 = π [ 4 9 [ 3 ( 3 ) 2 ] 3 ] [ 4 9 [ 3 ( 2 ) 2 ] 3 ] = π ( 4 3087 + 4 576 ) = 31 5488 π unit 3