Bab 15 Vektor

Posted on July 7, 2016 by user

4.7 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:

Dalam rajah di bawah, PQRS ialah satu segi empat. PTSdan TUR ialah garis lurus.

Diberi bahawa

$\vec{P Q} = 20 \underset{˜}{x}, \vec{P T} = 8 \underset{˜}{y}, \vec{S R} = 25 \underset{˜}{x} - 24 \underset{˜}{y}, \vec{P T} = \frac{1}{4} \vec{P S} dan \vec{T U} = \frac{3}{5} \vec{T R}$

(a) Ungkapakan dalam sebutan

$\underset{˜}{x} dan/ atau \underset{˜}{y} :$

(i)

$\vec{Q S}$

(ii)

$\vec{T R}$

(b) Tunjukkan titik Q, Udan S adalah segaris.

$| \underset{˜}{x} | = 2 dan | \underset{˜}{y} | = 3, cari | \vec{Q S} |$

Penyelesaian:

(a)

$\begin{array}{l} \vec{Q S} = \vec{Q P} + \vec{P S} \\ \vec{Q S} = - 20 \underset{˜}{x} + 32 \underset{˜}{y} \leftarrow \begin{array}{l} Diberi \vec{P T} = \frac{1}{4} \vec{P S} \\ \vec{P S} = 4 \vec{P T} = 4 (8 \underset{˜}{y}) = 32 \underset{˜}{y} \end{array} \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} \vec{T R} = \vec{T S} + \vec{S R} \\ \vec{T R} = \frac{3}{4} \vec{P S} + 25 \underset{˜}{x} - 24 \underset{˜}{y} \\ \vec{T R} = \frac{3}{4} (32 \underset{˜}{y}) + 25 \underset{˜}{x} - 24 \underset{˜}{y} \\ \vec{T R} = 24 \underset{˜}{y} + 25 \underset{˜}{x} - 24 \underset{˜}{y} \\ \vec{T R} = 25 \underset{˜}{x} \end{array}$

(c)

$\begin{array}{l} \vec{Q U} = \vec{Q P} + \vec{P T} + \vec{T U} \\ \vec{Q U} = - 20 \underset{˜}{x} + 8 \underset{˜}{y} + \frac{3}{5} (25 \underset{˜}{x}) \leftarrow \begin{array}{l} Diberi \\ \vec{T U} = \frac{3}{5} \vec{T R} \end{array} \\ \vec{Q U} = - 20 \underset{˜}{x} + 8 \underset{˜}{y} + 15 \underset{˜}{x} \\ \vec{Q U} = - 5 \underset{˜}{x} + 8 \underset{˜}{y} \end{array}$

$\begin{array}{l} Dari (a)(i) \vec{Q S} = - 20 \underset{˜}{x} + 32 \underset{˜}{y} \\ \frac{\vec{Q S}}{\vec{Q U}} = \frac{- 20 \underset{˜}{x} + 32 \underset{˜}{y}}{- 5 \underset{˜}{x} + 8 \underset{˜}{y}} \\ \frac{\vec{Q S}}{\vec{Q U}} = \frac{4 (- 5 \underset{˜}{x} + 8 \underset{˜}{y})}{(- 5 \underset{˜}{x} + 8 \underset{˜}{y})} \\ \frac{\vec{Q S}}{\vec{Q U}} = 4 \\ \vec{Q S} = 4 \vec{Q U} \end{array}$
Oleh itu, Q, U dan S adalah segaris.

(d)

$\begin{array}{l} \vec{P S} = 32 \underset{˜}{y} \\ | \vec{P S} | = 32 | \underset{˜}{y} | \\ | \vec{P S} | = 32 \times 3 = 96 \\ \vec{P Q} = 20 \underset{˜}{x} \\ | \vec{P Q} | = 20 | \underset{˜}{x} | \\ | \vec{P Q} | = 20 \times 2 = 40 \\ Oleh itu | \vec{Q S} | = \sqrt{96^{2} + 40^{2}} \\ | \vec{Q S} | = 104 \end{array}$

Bab 15 Vektor

Posted on July 6, 2016 by user

4.7 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

Rajah di atas menunjukkan segi tiga OAB. Garis lurus AP bersilang dengan garis lurus OQpada titik R.

Diberi bahawa

$O P = \frac{1}{4} O B, A Q = \frac{1}{4} A B, \vec{O P} = 4 \underset{˜}{b} dan \vec{O A} = 8 \underset{˜}{a} .$

(a) Ungkapakan dalam sebutan

$\underset{˜}{a} dan \underset{˜}{b} :$

(i)

$\vec{A P}$

(ii)

$\vec{O Q}$

(b) (i) Diberi bahawa

$\vec{A R} = h \vec{A P}, nyatakan \vec{A R} dalam sebutan h, \underset{˜}{a} dan \underset{˜}{b} .$

(ii) Diberi bahawa

$\vec{R Q} = k \vec{O Q}, nyatakan \vec{A R} dalam sebutan k, \underset{˜}{a} dan \underset{˜}{b} .$

$\vec{A Q} = \vec{A R} + \vec{R Q},$ cari nilai bagi h dan k.

Penyelesaian:

(a)(i)

$\begin{array}{l} \vec{A P} = \vec{A O} + \vec{O P} \\ \vec{A P} = - \vec{O A} + \vec{O P} \\ \vec{A P} = - 8 \underset{˜}{a} + 4 \underset{˜}{b} \end{array}$

(a)(ii)

$\begin{array}{l} \vec{O Q} = \vec{O A} + \vec{A Q} \\ \vec{O Q} = 8 \underset{˜}{a} + \frac{1}{4} \vec{A B} \\ \vec{O Q} = 8 \underset{˜}{a} + \frac{1}{4} (\vec{A O} + \vec{O B}) \\ \vec{O Q} = 8 \underset{˜}{a} + \frac{1}{4} (- 8 \underset{˜}{a} + 4 \vec{O P}) \\ \vec{O Q} = 8 \underset{˜}{a} + \frac{1}{4} (- 8 \underset{˜}{a} + 4 (4 \underset{˜}{b})) \\ \vec{O Q} = 8 \underset{˜}{a} - 2 \underset{˜}{a} + 4 \underset{˜}{b} \\ \vec{O Q} = 6 \underset{˜}{a} + 4 \underset{˜}{b} \end{array}$

(b)(i)

$\begin{array}{l} \vec{A R} = h \vec{A P} \\ \vec{A R} = h (- 8 \underset{˜}{a} + 4 \underset{˜}{b}) \\ \vec{A R} = - 8 h \underset{˜}{a} + 4 h \underset{˜}{b} \end{array}$

(b)(ii)

$\begin{array}{l} \vec{R Q} = k \vec{O Q} \\ \vec{R Q} = k (6 \underset{˜}{a} + 4 \underset{˜}{b}) \\ \vec{R Q} = 6 k \underset{˜}{a} + 4 k \underset{˜}{b} \end{array}$

(c)

$\begin{array}{l} \vec{A Q} = \vec{A R} + \vec{R Q} \\ \vec{A Q} = - 8 h \underset{˜}{a} + 4 h \underset{˜}{b} + (6 k \underset{˜}{a} + 4 k \underset{˜}{b}) \\ \vec{A O} + \vec{O Q} = - 8 h \underset{˜}{a} + 4 h \underset{˜}{b} + 6 k \underset{˜}{a} + 4 k \underset{˜}{b} \\ - 8 \underset{˜}{a} + 6 \underset{˜}{a} + 4 \underset{˜}{b} = - 8 h \underset{˜}{a} + 4 h \underset{˜}{b} + 6 k \underset{˜}{a} + 4 k \underset{˜}{b} \\ - 2 \underset{˜}{a} + 4 \underset{˜}{b} = - 8 h \underset{˜}{a} + 4 h \underset{˜}{b} + 6 k \underset{˜}{a} + 4 k \underset{˜}{b} \end{array}$

–2 = –8h + 6k

–1 = –4h + 3k → (1)

4 = 4h + 4k

1 = h + k

k= 1 – h → (2)

Gantikan (2) ke dalam (1),

–1 = –4h + 3 (1 – h)

–1 = –4h + 3 – 3h

–4 = –7h

$\begin{array}{l} h = \frac{4}{7} \\ Daripada (2), \\ k = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7} \end{array}$

Bab 15 Vektor

Posted on July 5, 2016 by user

4.5 Vektor dalam Satah Cartes

1. Vektor unit mempunyai magnitud satu unit.

2. Vektor

$\underset{˜}{i}$ ialah vektor unit ke arah positif paksi-x.

Vektor

$\underset{˜}{j}$ ialah vektor unit ke arah positif paksi-y.

3. Suatu vektor dalam satah Cartes boleh ditulis dalam bentuk

$x \underset{˜}{i} + y \underset{˜}{j} atau vektor lajur (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) .$

4. Magnitud bagi vektor unit ialah

$| \underset{˜}{i} | = | \underset{˜}{j} | = 1.$

5. Magnitud bagi vektor

$\vec{O A} = x \underset{˜}{i} + y \underset{˜}{j} diberi oleh | \vec{O A} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$

Contoh 1:

Jika

$\underset{˜}{r} = k \underset{˜}{i} - 8 \underset{˜}{j} dan | \underset{˜}{r} | = 10,$ cari nilai k. Tentukan vektor unit dalam arah

$\underset{˜}{r}$ bagi setiap nilai k.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} Diberi | \underset{˜}{r} | = 10 \\ \sqrt{x^{2} + y^{2}} = 10 \\ \sqrt{k^{2} + {(- 8)}^{2}} = 10 \\ k^{2} + 64 = 100 \\ k = \pm 6 \end{array}$

$\begin{array}{l} Vektor unit, \hat{\underset{˜}{r}} = \frac{x \underset{˜}{i} + y \underset{˜}{j}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \\ Apabila k = 6, Apabila k = - 6 \\ \hat{\underset{˜}{r}} = \frac{6 \underset{˜}{i} - 8 \underset{˜}{j}}{10} = \frac{3 \underset{˜}{i} - 4 \underset{˜}{j}}{5} \hat{\underset{˜}{r}} = \frac{- 6 \underset{˜}{i} - 8 \underset{˜}{j}}{10} = \frac{- 3 \underset{˜}{i} - 4 \underset{˜}{j}}{5} \\ \hat{\underset{˜}{r}} = \frac{1}{5} (3 \underset{˜}{i} - 4 \underset{˜}{j}) \hat{\underset{˜}{r}} = \frac{1}{5} (- 3 \underset{˜}{i} - 4 \underset{˜}{j}) \end{array}$

Contoh 2:

Diberi bahawa

$\underset{˜}{a} = (\begin{array}{l} 6 \\ 3 \end{array}) dan \underset{˜}{b} = (\begin{array}{l} 3 \\ 7 \end{array}) .$

(a) Cari

$\underset{˜}{b} - \underset{˜}{a} dan | \underset{˜}{b} - \underset{˜}{a} | .$

(b) Seterusnya, cari vektor unit dalam arah

$\underset{˜}{b} - \underset{˜}{a} .$

Penyelesaian:

(a)

$\begin{array}{l} \underset{˜}{b} - \underset{˜}{a} = (\begin{array}{l} 3 \\ 7 \end{array}) - (\begin{array}{l} 6 \\ 3 \end{array}) \\ = (\begin{array}{l} 3 - 6 \\ 7 - 3 \end{array}) \\ = (\begin{array}{l} - 3 \\ 4 \end{array}) \\ | \underset{˜}{b} - \underset{˜}{a} | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}} \\ = \sqrt{9 + 16} \\ = \sqrt{25} = 5 \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} Vektor unit dalam arah \underset{˜}{b} - \underset{˜}{a} \\ = \frac{1}{5} (\begin{array}{l} - 3 \\ 4 \end{array}) \\ = (\begin{array}{l} - \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{array}) \end{array}$

Bab 15 Vektor

Posted on July 5, 2016 by user

4.1 Pengenalan Vektor

(A) Kuantiti Vektor dan Kuantiti Skalar

1. Vektor ialah kuantiti yang mempunyai maginitud dan arah.

2. Skalar ialah kuantiti yang mempunyai magnitud sahaja.

3. Misalnya, magnitud vektor

$\vec{O A}$ ialah panjang OA dan arahnya adalah dari O ke A.

$\vec{O A}$ boleh ditandakan sebagai

$\underset{˜}{a}$ dan magnitudnya pula ditandakan sebagai

$| \vec{O A} | atau | \underset{˜}{a} | .$

(B) Vektor sebagai Garis Terarah

1. Vektor

$\vec{A B}$ mewakili satu vektor yang mempunyai magnitud

$\vec{A B}$ dan menghala dari A ke B. Magnitud

$\vec{A B}$ ditulis sebagai

$| \vec{A B} |$ .

(C) Kesamaan Dua Vektor

1. Dua vektor adalah sama jika kedua-duanya mempunyai magnitud dan arah yang sama.
Misalnya,

$\begin{array}{l} \underset{˜}{a} = \underset{˜}{b} \\ Jika (a) | \underset{˜}{a} | = | \underset{˜}{b} |, \\ (b) arah \underset{˜}{a} dan \underset{˜}{b} sama . \end{array}$

2. Vektor negatif bagi

$\vec{A B}$ ialah vektor yang mempunyai magnitud yang sama dengan

$\vec{A B}$
tetapi dalam arah yang bertentangan dengan arah

$\vec{A B}$ . Vektor negatif bagi

$\vec{A B}$ boleh
ditulis sebagai

$- \vec{A B} atau \vec{B A}$ . Vektor negatif bagi

$\underset{˜}{a} ditulis sebagai - \underset{˜}{a} .$

3. Vektor sifar,

$\underset{˜}{0}$ , ialah vektor yang mempunyai magnitud sifar dan arahnya tidak tertakrif.

Bab 15 Vektor

Posted on May 24, 2016 by user

4.4 Pengungkapan Suatu Vektor sebagai Gabungan Linear Vektor yang lain

1. Hukum Poligon Vektor

$\vec{P Q} = \vec{P U} + \vec{U T} + \vec{T S} + \vec{S R} + \vec{R Q}$

2. Untuk membuktikan dua vector adalah selari, kita mesti mengungkapkan salah satu vector sebagai kuantiti scalar kepada vector yang lain.

Misalnya,

$\vec{A B} = k \vec{C D} atau \vec{C D} = h \vec{A B} .$

3. Untuk membuktikan titik P, Q dan R adalah segaris, buktikan salah satu daripada berikut:

$\begin{array}{l} • \vec{P Q} = k \vec{Q R} atau \vec{Q R} = h \vec{P Q} \\ • \vec{P R} = k \vec{P Q} atau \vec{P Q} = h \vec{P R} \\ • \vec{P R} = k \vec{Q R} atau \vec{Q R} = h \vec{P R} \end{array}$

Bab 15 Vektor

Posted on May 24, 2016 by user

4.2 Pendaraban Vektor dengan Kuantiti Skalar dan Keselarian Vektor

1. Hasil darab vektor

$\underset{˜}{a}$ dengan suatu scalar k ialah

$k \underset{˜}{a}$ .

2. Jika

$\underset{˜}{b} = k \underset{˜}{a}$ , vector

$\underset{˜}{b}$ adalah searah dengan vector

$\underset{˜}{a}$ dan magnitudnya,

$| \underset{˜}{b} | = k | \underset{˜}{a} | .$

3. Vektor

$\underset{˜}{a}$ adalah selari dengan vektor

$\underset{˜}{b}$ jika dan hanya jika

$\underset{˜}{b} = λ \underset{˜}{a}$ , dengan keadaan λialah pemalar.

4. Jika vektor

$\underset{˜}{a} dan \underset{˜}{b}$ tidak selari dan

$h \underset{˜}{a} = k \underset{˜}{b}$ , maka h = 0 dan k = 0.

Contoh 1:

Jika vektor

$\underset{˜}{a} dan \underset{˜}{b}$ tidak selari dan

$(k - 7) \underset{˜}{a} = (5 + h) \underset{˜}{b}$ , cari nilai k dan nilai h.

Penyelesaian:

Vektor

$\underset{˜}{a} dan \underset{˜}{b}$ tidak selari, maka

k – 7 = 0 → k= 7

5 + h = 0 → h = –5

Bab 15 Vektor

Posted on May 24, 2016 by user

4.3 Penambahan dan Penolakan Vektor

4.3.1 Penambahan Vektor

1. Penambahan dua vektor,

$\underset{˜}{u} dan \underset{˜}{v}$ , boleh ditulis sebagai

$\underset{˜}{u} + \underset{˜}{v}$ . Hasil tambah ini merupakan suatu vektor, yang dinamakan vector paduan.

2. Apabila dua vektor yang sama ditambah, vector paduan yang terhasil mempunyai

(a) arah yang sama dengan kedua-dua vektor itu,

(b) magnitude yang sama dengan hasil tambah magnitud kedua-dua vektor itu.

(A) Penambahan Vektor Paduan Dua Vektor Tidak Selari

1. Penambahan dua vektor yang tidak selari,

$\underset{˜}{u} dan \underset{˜}{v}$ , boleh ditunjukkan dengan dua hukum.

(i) Hukum Segitiga

Vektor paduan

$\underset{˜}{u} + \underset{˜}{v}$ yang terhasil ialah AC.

(ii) Hukum Segiempat Selari

Vektor paduan

$\underset{˜}{u} + \underset{˜}{v}$ yang terhasil ialah AC.

Contoh 1:

Cari

(a) vector paduan hasil tambah bagi dua vector selari yang di atas.

(b) magnitud bagi vector paduan.

Penyelesaian:

(a)

Vektor paduan

= hasil tambah dua vektor

$= \vec{P Q} + \vec{R S}$

(b)

Magnitud bagi vector paduan

$\begin{array}{l} = | \vec{P Q} | + | \vec{R S} | \\ = | \sqrt{6^{2} + 8^{2}} | + | \sqrt{6^{2} + 8^{2}} | \\ = 10 + 10 \\ = 20 units \end{array}$

Contoh 2:

Rajah di atas menunjukkan suatu segiempat selari OABC. M adalah titik tengah BC. Vektor

$\vec{O A} = \underset{˜}{a} dan \vec{O C} = \underset{˜}{c} .$ Cari setiap vektor yang berikut dalam sebutan

$\underset{˜}{a} dan \underset{˜}{c} .$

$\begin{array}{l} (a) \vec{O B} \\ (b) \vec{M B} \\ (c) \vec{O M} \end{array}$

Penyelesaian:

(a)

$\begin{array}{l} \vec{O B} = \vec{O A} + \vec{A B} \leftarrow Hukum segitiga \\ = \vec{O A} + \vec{O C} \leftarrow \vec{A B} = \vec{O C} \\ = \underset{˜}{a} + \underset{˜}{c} \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} \vec{M B} = \frac{1}{2} \vec{C B} \leftarrow M adalah titik tengah C B \\ = \frac{1}{2} \vec{O A} \\ = \frac{1}{2} \underset{˜}{a} \end{array}$

(c)

$\begin{array}{l} \vec{O M} = \vec{O C} + \vec{C M} \leftarrow Hukum segitiga \\ = \vec{O C} + \vec{M B} \leftarrow \vec{C M} = \vec{M B} \\ = \underset{˜}{c} + \frac{1}{2} \underset{˜}{a} \end{array}$

Bab 15 Vektor

Posted on May 24, 2016 by user

4.3 Penambahan dan Penolakan Vektor

4.3.2 Penolakan Dua Vektor

Penolakan vektor

$\underset{˜}{b}$ dari vektor

$\underset{˜}{a}$ ditulis sebagai

$\underset{˜}{a} - \underset{˜}{b}$ . Operasi ini juga merupakan penambahan vektor

$\underset{˜}{a}$ dengan vektor negatif

$\underset{˜}{b}$ . Oleh itu

$\underset{˜}{a} - \underset{˜}{b} = \underset{˜}{a} + (- \underset{˜}{b}) .$

Contoh 1:

Dalam rajah di atas, vektor

$\vec{O P} = \underset{˜}{p}, \vec{O R} = \underset{˜}{r}$ dan Q membahagikan PR dalam nisbah 2: 3. Cari vektor-vektor berikut dalam sebutan

$\underset{˜}{p} dan \underset{˜}{r}$ ,

$\begin{array}{l} (a) \vec{P R} \\ (b) \vec{O Q} \\ (c) \vec{Q M} jika M ialah titik tengah O R . \end{array}$

Penyelesaian:

(a)

$\begin{array}{l} \vec{P R} = \vec{P O} + \vec{O R} \\ = - \vec{O P} + \vec{O R} \\ = - \underset{˜}{p} + \underset{˜}{r} \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} \vec{O Q} = \vec{O P} + \vec{P Q} \\ = \vec{O P} + \frac{2}{5} \vec{P R} \\ = \underset{˜}{p} + \frac{2}{5} (- \underset{˜}{p} + \underset{˜}{r}) \\ = \underset{˜}{p} - \frac{2}{5} \underset{˜}{p} + \frac{2}{5} \underset{˜}{r} \\ = \frac{3}{5} \underset{˜}{p} + \frac{2}{5} \underset{˜}{r} \end{array}$

(c)

$\begin{array}{l} \vec{Q M} = \vec{Q O} + \vec{O M} \\ = - \vec{O Q} + \vec{O M} \\ = - \vec{O Q} + \frac{1}{2} \vec{O R} \\ = - (\frac{3}{5} \underset{˜}{p} + \frac{2}{5} \underset{˜}{r}) + \frac{1}{2} \underset{˜}{r} \\ = - \frac{3}{5} \underset{˜}{p} - \frac{2}{5} \underset{˜}{r} + \frac{1}{2} \underset{˜}{r} \\ = - \frac{3}{5} \underset{˜}{p} + \frac{1}{10} \underset{˜}{r} \end{array}$

Bab 15 Vektor

Posted on May 17, 2016 by user

4.7 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 2:

Diberi

$\vec{A B} = (\begin{matrix} 10 \\ 14 \end{matrix}), \vec{O B} = (\begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix}), dan \vec{C D} = (\begin{matrix} m \\ 7 \end{matrix}), carikan$

(a) koordinat A,

(b) vektor unit dalam arah

$\vec{O A}$

Penyelesaian:

(a)

$\begin{array}{l} \vec{A B} = (\begin{matrix} 10 \\ 14 \end{matrix}), \vec{O B} = (\begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix}) \vec{C D} = (\begin{matrix} m \\ 7 \end{matrix}) \\ \vec{A B} = \vec{A O} + \vec{O B} \\ (\begin{matrix} 10 \\ 14 \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10 \\ 14 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix}) \\ \vec{A O} = (\begin{matrix} 6 \\ 8 \end{matrix}) \\ \vec{O A} = (\begin{matrix} - 6 \\ - 8 \end{matrix}) \\ A = (- 6, - 8) \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} | \vec{O A} | = \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(- 8)}^{2}} \\ | \vec{O A} | = \sqrt{100} = 10 \\ the unit vector in the direction of \vec{O A} \\ = \frac{\vec{O A}}{| \vec{O A} |} \\ = \frac{(\begin{matrix} - 6 \\ - 8 \end{matrix})}{10} = \frac{1}{10} (\begin{matrix} - 6 \\ - 8 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} \end{matrix}) \end{array}$

(c)

$\begin{array}{l} Given \vec{C D} parallel \vec{A B} \\ ∴ \vec{C D} = k \vec{A B} \\ (\begin{matrix} m \\ 7 \end{matrix}) = k (\begin{matrix} 10 \\ 14 \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} m \\ 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10 k \\ 14 k \end{matrix}) \end{array}$

7 = 14k

k= ½

m = 10k = 10 (½) = 5

Bab 15 Vektor

Posted on May 17, 2016 by user

4.6 Vektor, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 5:

$\begin{array}{l} p = 5 \underset{˜}{a} - 7 \underset{˜}{b} \\ q = - 2 \underset{˜}{a} + 3 \underset{˜}{b} \\ r = (h - 1) \underset{˜}{a} + (h + k) \underset{˜}{b}, \\ dengan keadaan h dan k adalah pemalar \end{array}$

Gunakan maklumat di atas untuk mencari nilai h dan nilai k apabila r= 2p – 3q.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} r = 2 p - 3 q \\ (h - 1) \underset{˜}{a} + (h + k) \underset{˜}{b} = 2 (5 \underset{˜}{a} - 7 \underset{˜}{b}) - 3 (- 2 \underset{˜}{a} + 3 \underset{˜}{b}) \\ (h - 1) \underset{˜}{a} + (h + k) \underset{˜}{b} = 10 \underset{˜}{a} - 14 \underset{˜}{b} + 6 \underset{˜}{a} - 9 \underset{˜}{b} \\ (h - 1) \underset{˜}{a} + (h + k) \underset{˜}{b} = 16 \underset{˜}{a} - 23 \underset{˜}{b} \end{array}$

Bandingkan vektor,

h– 1 = 16

h = 17

h+ k = –23

17 + k = –23

k = –40

Soalan 6:

Titik-titik P, Qdan R adalah segaris. Diberi bahawa

$\vec{P Q} = 4 \underset{˜}{a} - 2 \underset{˜}{b} dan \vec{Q R} = 3 \underset{˜}{a} + (1 + k) \underset{˜}{b}$ , dengan keadaan kialah pemalar. Cari

(a) nilai k,

(b) nisbah PQ : QR.

Penyelesaian:

(a)

$\begin{array}{l} Jika P, Q dan R adalah segaris, \\ \vec{P Q} = m \vec{Q R} \\ 4 \underset{˜}{a} - 2 \underset{˜}{b} = m [3 \underset{˜}{a} + (1 + k) \underset{˜}{b}] \\ 4 \underset{˜}{a} - 2 \underset{˜}{b} = 3 m \underset{˜}{a} + m (1 + k) \underset{˜}{b} \\ Bandingan vektor: \\ \underset{˜}{a} : 4 = 3 m \\ m = \frac{4}{3} \\ \underset{˜}{b} : - 2 = m (1 + k) \\ - 2 = \frac{4}{3} (1 + k) \\ 1 + k = - \frac{6}{4} \\ k = - \frac{3}{2} - 1 \\ k = - \frac{5}{2} \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} \vec{P Q} = m \vec{Q R} \\ \vec{P Q} = \frac{4}{3} \vec{Q R} \\ \frac{\vec{P Q}}{\vec{Q R}} = \frac{4}{3} \\ ∴ P Q : Q R = 4 : 3 \end{array}$

Soalan 7:

Diberi bahawa

$\underset{˜}{x} = 3 \underset{˜}{i} + m \underset{˜}{j} dan \underset{˜}{y} = 4 \underset{˜}{i} - 3 \underset{˜}{j},$ , cari nilai m jika vektor

$\underset{˜}{x} selari dengan vektor \underset{˜}{y} .$

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} Jika vektor \underset{˜}{x} selari dengan vektor \underset{˜}{y} \\ \underset{˜}{x} = h \underset{˜}{y} \\ (3 \underset{˜}{i} + m \underset{˜}{j}) = h (4 \underset{˜}{i} - 3 \underset{˜}{j}) \\ 3 \underset{˜}{i} + m \underset{˜}{j} = 4 h \underset{˜}{i} - 3 h \underset{˜}{j} \\ Bandingkan vektor: \\ \underset{˜}{i} : 3 = 4 h \\ h = \frac{3}{4} \\ \underset{˜}{j} : m = - 3 h \\ m = - 3 (\frac{3}{4}) = - \frac{9}{4} \end{array}$