Bab 6 Statistik III


6.6 Sukatan Serakan (Bhg 2)

(B) Median dan Kuartil
1.   Kuartil pertama (Q1) ialah suatu nombor dengan keadaan ¼ daripada jumlah data mempunyai nilai yang kurang daripadanya.
2.  Median ialah kuartil kedua (nilai yang berada di tengah-tengah data).
3.  Kuartil ketiga (Q3) ialah suatu nombor dengan keadaan ¾ daripada jumlah data mempunyai nilai yang kurang daripadanya.
4.  Julat antara kuartil adalah beza antara kuartil ketiga dan kuartil pertama.
 
Julat antara kuartil = kuartil ketiga – kuartil pertama
Contoh 2:
 

Ogif di atas menunjukkan taburan masa (dalam saat) yang diambil oleh 100 orang pelajar dalam satu pertandingan berenang. Daripada ogif itu, tentukan
(a)  median,
(b)  kuartil pertama,
(c)  kuartil ketiga,
(d)  julat antara kuartil bagi masa yang diambil.


Penyelesaian:





(a)  ½ daripada 100 orang pelajar = ½ × 100 = 50
Daripada ogif, median, M = 50.5 saat

(b)  ¼ daripada 100 orang pelajar = ¼ × 100 = 25
Daripada ogif, kuartil pertama, Q1= 44.5 saat

(c)  ¾ daripada 100 orang pelajar = ¾ × 100 = 75
Daripada ogif, kuartil ketiga, Q3 = 54.5 saat

(d)
Julat antara kuartil
= kuartil ketiga – kuartil pertama
= 54.5 – 44.5
= 10.0 saat

Bab 5 Garis Lurus


[adinserter block="3"]
5.5 Garis Selari (Bhg 2)

(B) Persamaan Garis Selari
Langkah-langkah berikut diambil untuk mencari persamaan garis lurus yang melalui satu titik dan selari dengan garis lurus yang lain:

Langkah 1
:
Menyusun persamaan garis lurus dalam bentuk y = mx + c.

Langkah 2: Cari kecerunan garis lurus daripada persamaan garis lurus yang selari dengannya.

Langkah 3: Gantikan nilai kecerunan, m, koordinat-x dan koordinat-y bagi titik yang diberi ke dalam persamaan y = mx + c untuk mencari nilai pintasan-y, c.

Langkah 4: Tulis persamaan garis lurus dalam bentuk y = mx + c.


Contoh 2:
Cari persamaan bagi garis lurus yang melalui titik (–8, 2) dan selari dengan garis lurus
4y + 3x = 12.

Penyelesaian:
4 y + 3 x = 12 4 y = 3 x + 12 y = 3 4 x + 3 m = 3 4

Pada (8,2),  gantikan m= 3 4 , x=8y=2 ke dalam: y=mx+c 2= 3 4 ( 8 )+c c=26 c=4  Persamaan garis lurus ialah y= 3 4 x4.


Bab 4 Penaakulan Matematik


4.3 Operasi ke atas Pernyataan (Bhg 3)
(C) Nilai Kebenaran Pernyataan Gabungan yang menggunakan Perkataan ‘Atau’

1.  Gabungan dua pernyataan dengan perkataan ‘atau’ menghasilkan satu pernyataan baru yang
(a)  palsu, apabila kedua-dua pernyataan yang digabungkan itu adalah palsu,
(b)  benar, apabila salah satu atau kedua-dua pernyataan yang digabungkan itu benar.

Jadual kebenaran
:
Katakan p = pernyataan 1 dan = pernyataan 2.
Nilai kebenaran bagi ‘p’ dan ‘q’ adalah seperti berikut:


p
q
p atau q (pernyataan gabungan)
Benar
Benar
Benar
Benar
Palsu
Benar
Palsu
Benar
Benar
Palsu
Palsu
Palsu


Contoh 6:
Tentukan nilai kebenaran bagi setiap pernyataan berikut:
(a)  60 boleh dibahagi dengan 4 atau 9.
(b)  5= 25 atau 43 = 64.
(c)  5 + 7 > 14 atau √9 = 2.

Penyelesaian:
(a)
60 boleh dibahagi dengan 4  ← (p adalah benar)
60 boleh dibahagi dengan 9  ← (q adalah palsu)
Oleh itu, 60 boleh dibahagi dengan 4 atau 9 adalah satu pernyataan benar. (‘atau q’ adalah benar)
 
(b)
53 = 25  ← (q adalah palsu)
43 = 64  ← (q adalah benar)
Oleh itu, 53 = 25 atau 43 = 64 adalah satu pernyataan benar. (‘atau q’ adalah benar)
 
(c)
5 + 7 > 14  ← (p adalah palsu)
√9 = 2  ← (adalah palsu)
Oleh itu, 5 + 7 > 14 atau √9 = 2 adalah satu pernyataan palsu. (‘atau q’ adalah palsu)

Bab 4 Penaakulan Matematik


4.3 Operasi ke atas Pernyataan (Bhg 2)
(B) Nilai Kebenaran Pernyataan Gabungan yang menggunakan Perkataan ‘Dan’

1.  Gabungan dua pernyataan dengan perkataan ‘dan’ menghasilkan satu pernyataan baru yang
(a)  benar, apabila kedua-dua pernyataan yang digabungkan itu benar,
(b)  palsu, apabila salah satu atau pun kedua-dua pernyataan yang digabungkan itu palsu.

Jadual kebenaran
:
Katakan = pernyataan 1 dan q = pernyataan 2.
Nilai kebenaran bagi ‘p’ dan ‘q’ adalah seperti berikut:
 
p
q
p dan q (pernyataan gabungan)
Benar
Benar
Benar
Benar
Palsu
Palsu
Palsu
Benar
Palsu
Palsu
Palsu
Palsu

Contoh 5:
Tentukan nilai kebenaran bagi setiap pernyataan berikut:
(a)  12 × (–3) = –36 dan 15 – 7 = 8.
(b)  5 > 3 dan –4 < –5.
(c)  Heksagon mempunyai 5 sisi dan setiap sudut pedalamannya ialah 90o.

Penyelesaian:
(a)
12 × (–3) = –36 ← (p adalah benar)
15 – 7 = 8 ← (q adalah benar)
Oleh itu 12 × (–3) = –36 dan 15 – 7 = 8 adalah satu pernyataan benar. (‘dan q’ adalah benar)
 
(b)
5 > 3 ← (p adalah benar)
–4 < –5 ← (q adalah palsu)
Oleh itu 5 > 3 dan –4 < –5 adalah satu pernyataan palsu. (‘dan q’ adalah palsu)
 
(c)
Heksagon mempunyai 5 sisi. ← (p adalah palsu)
setiap sudut pedalaman heksagon ialah 90o. ← (adalah palsu)
Oleh itu, heksagon mempunyai 5 sisi dan setiap sudut pedalamannya ialah 90o adalah satu pernyataan palsu. (‘p dan q’ adalah palsu)

Short Questions (Question 7 & 8)


Question 7:
Diagram below shows a circle with centre O and radius 12 cm.

Given that A, B and C are points such that OA = AB and  ∠OAC = 90°, find
(a)   ∠BOC, in radians,
(b)  the area, in cm2, of the shaded region.   

Solution:
(a) For triangle OAC,
  cos  ∠AOC = 6/12 
  ÐAOC = 1.047 rad (change calculator to Rad mode)
  ÐBOC = 1.047 rad

(b) 
Area of the shaded region
= Area of BOC – Area of triangle AOC
½ (12)2 (1.047) – ½ (6) (12) sin 1.047 (change calculator to Rad mode)
= 75.38 – 31.17
= 44.21 cm2



Question 8:
Diagram below shows a sector QOR of a circle with centre O.

It is given that PS = 8 cm and QP = PO= OS = SR = 5 cm.
Find
(a) the length, in cm, of the arc QR,
(b) the area, in cm2, of the shaded region.

Solution:
(a) Length of arc QR = θ = 10 (1.75) = 17.5 cm

(b)
Area of the shaded region
= Area of sector QOR – Area of triangle POS
½ (10)2 (1.75) – ½ (5) (5) sin 1.75 (change calculator to Rad mode)
= 87.5 – 12.30
= 75.2 cm2

9.7 Second-Order Differentiation, Turning Points, Maximum and Minimum Points (Examples)


Example 1 (Maximum Value of Quadratic Function)
Given that y = 3x (4 – x), calculate
(a) the value of x when y is a maximum,
(b) the maximum value of y.

Solution:
(a)
y = 3 x ( 4 x ) y = 12 x 3 x 2 d y d x = 12 6 x When  y  is maximum,  d y d x = 0 0 = 12 6 x x = 2

(b) 
y = 12 x 3 x 2 When  x = 2 , y = 12 ( 2 ) 3 ( 2 ) 2 y = 12  

Example 2 (Determine the Turning Points and Second Derivative Test)
Find the coordinates of the turning points on the curve y = 2x3 + 3x2 – 12x + 7 and determine the nature of these turning points.

Solution:
y = 2 x 3 + 3 x 2 12 x + 7 d y d x = 6 x 2 + 6 x 12 At turning point,  d y d x = 0
6x2 + 6x – 12 = 0
x2 + x – 2 = 0
(x – 1) (x + 2) = 0
x = 1 or x = –2

When x = 1
y = 2(1)3 + 3(1)2 – 12(11) + 7
y = 0
(1, 0) is a turning point.

When x = –2
y = 2(–2)3 + 3(–2)2 – 12(–2) + 7
y = 27
(–2, 27) is a turning point.

d 2 y d x 2 = 12 x + 6 When  x = 1 , d 2 y d x 2 = 12 ( 1 ) + 6 = 18 > 0  (positive)

Hence, the turning point (1, 0) is a minimum point.

When  x = 2 , d 2 y d x 2 = 12 ( 2 ) + 6 = 18 < 0  (negative)

Hence, the turning point (–2, 27) is a maximum point.

9.6 SPM Practice (Long Questions)


Question 9 (12 marks):
(a) Diagram 9.1 shows point P (5, 1) on a Cartesian plane.

Diagram 9.1

Transformation T is a translation  (  4 3 )
Transformation S is an enlargement about the centre (–5, 2) with a scale factor 2.
State the coordinates of the image of point P under the following transformations:
(i) T2,
(ii) TS.


(b) Diagram  9.2 shows geometrical shapes KLMNP, KSRQP and KTUVW drawn on a Cartesian plane.

Diagram 9.2

(i)
KTUVW is the image of KLMNP under the combined transformation YZ.
Describe, in full, the transformation:
(a) Z,
(b) Y.

(ii) It is given that KSRQP represents a region of area 30 m2.
Calculate the area, in m2, of the shaded region.


Solution:
(a)


(i)
TT = P(–3, 3) → T1 → P’(1, 0) ) → T2 → P’’(5, –3)
(ii) TS =  P (–3, 3) → S → P’(–1, 4) → T → P’’(3, 1)


(b)(i)(a)
Z: Reflection in the line x = 0.

(b)(i)(b)
Y: Enlargement with the centre at (0, 0) and a scale factor of 2.

(b)(ii)
Area of KTUVW = (Scale factor)2 × Area of object
= 22 × 30
= 120 m2

Hence,
Area of shaded region
= Area KTUVW – Area KSRQP
= 120 – 30
= 90 m2


9.6 SPM Practice (Long Questions)


Question 9 (12 marks):
A(25o N, 35o E), B(25o N, 40o W), C and D are four points which lie on the surface of the earth. AD is the diameter of the common parallel latitude 25o N .
(a) Find the longitude of D.

(b)
C lies 3300 nautical miles due south of measured along the surface of the earth.
Calculate the latitude of C.

(c)
Calculate the shortest distance, in nautical mile, from to measured along the surface of the earth.

(d)
An aeroplane took off from C and flew due north to point A. 
The total time taken for the whole flight was 12 hours 24 minutes.

(i)
Calculate the distance, in nautical mile, from A due west to measured along the common parallel of latitude.

(ii)
Calculate the average speed, in knot, of the whole flight.


Solution:
(a) 
Longitude of D = (180o – 35o)W
= 145oW

(b)
AOC= 3300 60 = 55 o Latitude of C = ( 5525 ) o S = 30 o S

(c) 
Shortest distance of to D
= (65o + 65o) × 60’
= 130o × 60’
= 7800 nautical miles

(d)(i) 
Distance from A to B
= (35o + 40o) × 60’ × cos 25o
= 75o × 60’ × cos 25o
= 4078.4 nautical miles

(d)(ii)
Total distance travelled =CA+AB =3300+4078.4 =7378.4 nautical miles Average speed= Total distance Total time = 7378.4 12.4  knot =595.0 knot


9.6 SPM Practice (Long Questions)


Question 8 (12 marks):
Diagram 8 shows four points, G, H, I and J on the surface of the Earth. JI is the diameter of the parallel of latitude 50o N. O is the centre of the Earth.

Diagram 8

(a)
 State the location of G.

(b) Calculate the shortest distance, in nautical mile, from I to J measured along the surface of the Earth.

(c) Calculate the shortest distance, in nautical mile, from G to H measured along the common parallel of latitude.

(d) An aeroplane took off from I and flew due south to point P. The average speed of the journey was 800 knots. The time taken for the flight was 5.25 hours.
Calculate the latitude of P.


Solution:
(a)
Location of G = (70o S, 20o W)

(b)
∠ JOI
= 180o – 50o – 50o 
= 80o
Distance of I to J
= 80o × 60’
= 4800 nautical miles

(c)
Distance of G to H
= (20o + 120o) × 60’ × cos 70o
= 140o × 60’ × cos 70o
= 2872.97 nautical miles

(d)

Average speed= Total distance travelled Total time taken 800= x 5.25 x=4200 nautical miles I to P=4200 Difference between parallel=y y×60=4200 y= 70 o Thus, latitude of P = 70 o 50 o = 20 o S

9.6 SPM Practice (Long Questions)


Question 7 (12 marks):
Diagram 7 in the answer space shows the locations of points J, L and M, which lie on the surface of the earth. O is the centre of the earth. The longitude of M is 30o W. K is another point on the surface of the earth such that KJ is the diameter of the common parallel of latitude 45o S.

(a)(i)
Mark and label point K on Diagram 7 in the answer space.

(ii)
 Hence, state the longitude of point K.

(b)
L lies due north of M and the shortest distance from M to L measured along the surface of the earth is 7500 nautical miles.
Calculate the latitude of L.

(c)
 Calculate the distance, in nautical mile, from K due east to M measured along the common parallel of latitude.

(d)
 An aeroplane took off from K and flew due east to M along the common parallel of latitude. The average speed of the aeroplane for the flight was 750 knots.
Calculate the total time, in hour, taken for the whole flight.



Answer:



Solution:
(a)(i)


(a)(ii)
Longitude of point K = 130oW

(b)
 LOM×60=7500  LOM= 7500 60  LOM= 125 o Latitude of L= 125 o 45 o = 80 o N

(c)
KM = (130o – 30o) × 60 × cos 45o
= 4242.64 nautical miles

(d)
Time= Distance speed = 4242.64 750 =5.66 hours