4.2.5 SPM Praktis, Persamaan Serentak

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 9 (7 markah):
Rajah menunjukkan plan bagi sebuah taman berbentuk segi empat tepat ABCD. Taman itu terdiri daripada sebuah kolam berbentuk semi bulatan ATD dan kawasan berumput ABCDT.

Diberi bahawa DC = 6y meter dan BC = 7x meter, x ≠ y. Luas taman berbentuk segi empat tepat ABCD ialah 168 meter² dan perimeter kawasan berumput ialah 60 meter. Kolam dengan kedalaman seragam mengandungi 15.4 meter³ air.
Dengan menggunakan

π = \frac{22}{7}

, cari kedalaman, dalam meter, air dalam kolam itu.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Luas A B C D = 168 \\ (6 y) (7 x) = 168 \\ 42 x y = 168 \\ x y = 4................... (1) \\ Perimeter kawasan berumput = 60 \\ 6 y + 6 y + 7 x + (\frac{1}{2} \times 2 \times \frac{22^{11}}{7} \times \frac{7 x}{2}) = 60 \\ 12 y + 18 x = 60 \\ 2 y + 3 x = 10................... (2) \\ Daripada (1) : x y = 4 \\ x = \frac{4}{y} ................... (3) \\ Gantikan (3) ke dalam (2): \\ 2 y + 3 (\frac{4}{y}) = 10 \\ 2 y^{2} + 12 = 10 y \\ y^{2} - 5 y + 6 = 0 \\ (y - 2) (y - 3) = 0 \\ y - 2 = 0 \\ y = 2 \\ Atau \\ y - 3 = 0 \\ y = 3 \\ Gantikan nilai-nilai bagi y ke dalam (3): \\ Apabila y = 2 \\ x = \frac{4}{2} = 2 (abaikan, x \neq y) \\ Apabila y = 3 \\ x = \frac{4}{3} \\ Diberi isi padu air = 15.4 \\ \frac{1}{2} (\frac{22}{7}) {(\frac{7 x}{2})}^{2} d = 15.4 \\ \frac{1}{2} (\frac{22}{7}) {[\frac{7 (\frac{4}{3})}{2}]}^{2} d = 15.4 \\ \frac{11}{7} {(\frac{14}{3})}^{2} d = 15.4 \\ \frac{308}{9} d = 15.4 \\ d = 0.45 m \\ Oleh itu, kedalaman air dalam kolam ialah 0 .45 m . \end{array}

1.6.4 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 7 (8 markah):
Diberi bahawa g : x → 2x – 3 dan h : x → 1 – 3x.
(a) Cari
(i) h (5)
(ii) nilai k jika

g (k + 2) = \frac{1}{7} h (5),

(iii) hg(x).
(b) Seterusnya, lakarkan graf y = | hg(x) | untuk –1 ≤ x ≤ 3.
Nyatakan julat bagi y.

Penyelesaian:
(a)(i)

\begin{array}{l} h (x) = 1 - 3 x \\ h (5) = 1 - 3 (5) \\ = - 14 \end{array}

(a)(ii)

\begin{array}{l} g (x) = 2 x - 3 \\ g (k + 2) = \frac{1}{7} h (5) \\ 2 (k + 2) - 3 = \frac{1}{7} (- 14) \\ 2 k + 4 - 3 = - 2 \\ 2 k = - 3 \\ k = - \frac{3}{2} \end{array}

(a)(iii)

\begin{array}{l} g (x) = 2 x - 3, h (x) = 1 - 3 x \\ h g (x) = h (2 x - 3) \\ = 1 - 3 (2 x - 3) \\ = 1 - 6 x + 9 \\ = 10 - 6 x \end{array}

(b)
y = |hg(x)|,
y = |10 – 6x|
Julat bagi y : 0 ≤ y ≤ 16

1.4.6 Janjang, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 6 (7 markah):
Rajah menunjukkan sebahagian daripada dinding berbentuk segi empat tepat yang dicat dengan warna hijau, H, biru, B dan ungu, U secara berselang seli.
Tinggi dinding ialah 2 m. Panjang sisi segi empat tepat berwarna yang pertama ialah 5 cm dan panjang sisi bagi setiap segi empat tepat berwarna berikutnya bertambah sebanyak 3 cm.

Diberi bahawa jumlah segi empat tepat berwarna ialah 54.
(a) Cari
(i) panjang sisi, dalam cm, bagi segi empat tepat berwarna yang terakhir,
(ii) jumlah panjang, dalam cm, dinding yang dicat.
(b) Segi empat tepat berwarna yang ke berapa mempunyai keluasan 28000 cm²?
Seterusnya, nyatakan warna bagi segi empat tepat berkenaan.

Penyelesaian:
(a)
5, 8, 11, …
a = 5, d = 3

(i)
T₅₄ = 1 + (54 – 1)d
= 5 + 53(3)
= 164 cm

(ii)

\begin{array}{l} S_{n} = \frac{n}{2} (a + l) \\ S_{54} = \frac{54}{2} (5 + 164) \\ = 4563 cm \end{array}

(b)
Luas bagi segi empat tepat pertama
= 2 m × 5 cm
= 200 × 5
= 1000 cm

Luas bagi segi empat tepat kedua
= 200 × (5 + 3)
= 1600 cm

Luas bagi segi empat tepat ketiga
= 200 × (5 + 3 + 3)
= 2200 cm

1000, 1600, 2200, …
a = 1000, d = 600
T_n = 28 000
a + (n – 1)d = 28 000
1000 + (n – 1)600 = 28 000
600(n – 1) = 27 000
n – 1 = 45
n = 46

Warna bagi segi empat tepat berkenaan berwarna hijau.

1.4.5 Janjang, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 5 (6 markah):
Hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik, S_n diberi oleh

S_{n} = \frac{3 n (n - 33)}{2} .

Cari
(a) hasil tambah 10 sebutan pertama,
(b) sebutan pertama dan beza sepunya,
(c) nilai q, diberi bahawa sebutan ke-q adalah sebutan positif pertama bagi janjang itu.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} S_{n} = \frac{3 n (n - 33)}{2} \\ S_{10} = \frac{3 (10) (10 - 33)}{2} \\ S_{10} = - 345 \end{array}

(b)

\begin{array}{l} S_{n} = \frac{3 n (n - 33)}{2} \\ S_{1} = \frac{3 (1) (1 - 33)}{2} \\ S_{1} = - 48 \\ T_{1} = S_{1} = - 48 \\ Sebutan pertama, a = T_{1} = - 48 \\ T_{n} = S_{n} - S_{n - 1} \\ T_{2} = S_{2} - S_{1} \\ T_{2} = \frac{3 (2) (2 - 33)}{2} - (- 48) \\ T_{2} = - 45 \\ Beza sepunya, d \\ = T_{2} - T_{1} \\ = - 45 - (- 48) \\ = 3 \end{array}

(c)

\begin{array}{l} Sebutan positif pertama, T_{q} > 0 \\ T_{q} > 0 \\ a + (q - 1) d > 0 \\ - 48 + (q - 1) 3 > 0 \\ - 48 + 3 q - 3 > 0 \\ 3 q > 51 \\ q > 17 \\ Oleh itu, q = 18. \end{array}

8.4.3 Taburan Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 6:
Dalam suatu kajian di sebuah daerah tertentu, didapati tiga daripada lima keluarga memiliki televisyen LCD.
Jika 10 keluarga dari daerah itu dipilih secara rawak, hitung kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya 8 keluarga memiliki sebuah televisyen LCD.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Katakan X adalah pembolehubah rawak yang mewakili bilangan \\ keluarga yang memiliki televisyen LCD . \\ X ~ B (n, p) \\ X ~ B (10, \frac{3}{5}) \\ p = \frac{3}{5} = 0.6 \\ q = 1 - 0.6 = 0.4 \\ P (X = r) = {}^{n}c_{r} . p^{r} . q^{n - r} \\ P (sekurang-kurangnya 8 keluarga memiliki televisyen LCD) \\ P (X \geq 8) \\ = P (X = 8) + P (X = 9) + P (X = 10) \\ = {}^{10}C_{8} {(0.6)}^{8} {(0.4)}^{2} + {}^{10}C_{9} {(0.6)}^{9} {(0.4)}^{1} + {}^{10}C_{10} {(0.6)}^{10} {(0.4)}^{0} \\ = 0.1209 + 0.0403 + 0.0060 \\ = 0.1672 \end{array}

Soalan 7:
Dalam sebuah sekolah berasrama penuh, 300 orang murid menduduki ujian kelayakan matematik. Markah yang diperoleh adalah mengikut taburan normal dengan min 56 dan sisihan piawai 8.
(a) Cari bilangan murid yang lulus ujian matematik itu jika markah lulus ialah 40.
(b) Jika 12% daripada murid itu lulus ujian tersebut dengan mendapat gred A, cari markah minimum untuk mendapat gred A.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Katakan X = markah yang diperoleh oleh murid-murid . \\ X ~ N (56, 8^{2}) \\ (a) P (X \geq 40) = P (Z \geq \frac{40 - 56}{8}) \\ = P (Z \geq - 2) \\ = 1 - P (Z \geq 2) \\ = 1 - 0.02275 \\ = 0.9773 \\ Bilangan murid yang lulus ujian matematik \\ = 0.9773 \times 300 \\ = 293 \\ (b) Katakan markah minimum untuk mendapat gred A ialah k \\ P (X \geq k) = 0.12 \\ P (Z \geq \frac{k - 56}{8}) = 0.12 \\ \frac{k - 56}{8} = 1.17 \\ k = (1.17) (8) + 56 \\ = 65.36 \end{array}

Oleh itu, markah minimum untuk mendapat gred A ialah 66.

7.6.3 Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

7.6.3 Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:

Sebuah beg mengandungi 4 manik biru, 3 manik merah dan 7 manik hijau. Dua biji manik dikeluarkan secara rawak daripada beg itu, satu demi satu, tanpa pengembalian.
Cari kebarangkalian bahawa

(a) kedua-dua manik adalah berwarna sama,

(b) kedua-dua manik adalah berlainan warna.

Penyelesaian:

(a)

Kebarangkalian (kedua-dua manik berwarna sama)

= P (biru, biru) + P (merah, merah) + P (hijau, hijau)

\begin{array}{l} = (\frac{4}{14} \times \frac{3}{13}) + (\frac{3}{14} \times \frac{2}{13}) + (\frac{7}{14} \times \frac{6}{13}) \\ = \frac{6}{91} + \frac{3}{91} + \frac{3}{13} \\ = \frac{30}{91} \end{array}

(b)

Kebarangkalian (kedua-dua manik berlainan warna)

1 – P (kedua-dua manik berwarna sama)

\begin{array}{l} = 1 - \frac{30}{91} \leftarrow Daripada bahagian (a) \\ = \frac{61}{91} \end{array}

7.5.2 Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 1)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 3:
Satu ruang sampel bagi suatu eksperimen diberi oleh S = {1, 2, 3, … , 21}. Peristiwa-peristiwa Q dan R ditakrifkan seperti berikut:
Q : {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
R : {1, 3, 5, 15, 21}

Cari
(a) P(Q)
(b) P(Q dan R)

Penyelesaian:
(a)