Bab 6 Geometri Koordinat

Posted on May 15, 2020 by Myhometuition

Soalan 9 (3 markah):
Satu garis lurus melalui P(3, 1) dan Q(12, 7). Titik R membahagi tembereng garis PQ dengan keadaan 2PQ = 3RQ.
Cari koordinat R.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} 2 P Q = 3 R Q \\ \frac{P Q}{R Q} = \frac{3}{2} \\ Titik R \\ = (\frac{1 (12) + 2 (3)}{1 + 2}, \frac{1 (7) + 2 (1)}{1 + 2}) \\ = (\frac{18}{3}, \frac{9}{3}) \\ = (6, 3) \end{array}

Soalan 10 (3 markah):
Maklumat berikut adalah merujuk kepada persamaan dua garis lurus, AB dan CD.

\begin{array}{l} A B : y - 2 k x - 3 = 0 \\ C D : \frac{x}{3 h} + \frac{y}{4} = 1 \\ dengan keadaan h dan k \\ ialah pemalar . \end{array}

Diberi garis lurus AB dan garis lurus CD adalah berserenjang antara satu sama lain, ungkapkan h dalam sebutan k.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} A B : y - 2 k x - 3 = 0 \\ y = 2 k x + 3 \\ m_{A B} = 2 k \\ C D : \frac{x}{3 h} + \frac{y}{4} = 1 \\ m_{C D} = - \frac{4}{3 h} \\ m_{A B} \times m_{C D} = - 1 \\ 2 k \times (- \frac{4}{3 h}) = - 1 \\ - 8 k = - 3 h \\ h = \frac{8}{3} k \end{array}

3.7.5 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 1)

Posted on May 15, 2020 by Myhometuition

Soalan 14 (4 markah):
Rajah menunjukkan lengkung y = g(x). Garis lurus ialah tangen kepada lengkung itu.

Rajah

Diberi g’(x) = –4x + 8, cari persamaan lengkung itu.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Diberi g' (x) = - 4 x + 8 \\ Titik maximum apabila g' (x) = 0 \\ - 4 x + 8 = 0 \\ 4 x = 8 \\ x = 2 \\ Maka, titik maximum ialah (2, 11) . \\ g' (x) = - 4 x + 8 \\ \int g' (x) = \int (- 4 x + 8) d x \\ g (x) = \frac{- 4 x^{2}}{2} + 8 x + c \\ g (x) = - 2 x^{2} + 8 x + c \\ Gantikan (2, 11) ke dalam g (x) : \\ 11 = - 2 {(2)}^{2} + 8 (2) + c \\ c = 3 \\ Maka, persamaan lengkung ialah \\ g (x) = - 2 x^{2} + 8 x + 3 \end{array}

Soalan 15 (3 markah):
Diberi bahawa

\int \frac{5}{{(2 x + 3)}^{n}} d x = \frac{p}{{(2 x + 3)}^{5}} + c

, dengan keadaan c, n dan p ialah pemalar.
Cari nilai n dan nilai p.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} \int \frac{5}{{(2 x + 3)}^{n}} d x = \int 5 {(2 x + 3)}^{- n} d x \\ = \frac{5 {(2 x + 3)}^{- n + 1}}{(- n + 1) \times 2} + c \\ = \frac{5}{2 (1 - n)} \times \frac{1}{{(2 x + 3)}^{n - 1}} + c \\ = \frac{5}{2 (1 - n) {(2 x + 3)}^{n - 1}} + c \\ Bandingkan \frac{5}{2 (1 - n) {(2 x + 3)}^{n - 1}} \\ dengan \frac{p}{{(2 x + 3)}^{5}} \\ n - 1 = 5 \\ n = 6 \\ \frac{5}{2 (1 - n)} = p \\ \frac{5}{2 (1 - 6)} = p \\ \frac{5}{2 (- 5)} = p \\ p = - \frac{1}{2} \end{array}

Bab 13 Hukum Linear

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 8 (3 markah):
Rajah menunjukkan graf garis lurus

\frac{x^{2}}{y} melawan \frac{1}{x} .

Rajah

Berdasarkan Rajah, ungkapkan y dalam sebutan x.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} m = \frac{4 - (- 5)}{6 - 0} = \frac{3}{2} \\ c = - 5 \\ Y = \frac{x^{2}}{y}, X = \frac{1}{x} \\ Y = m X + c \\ \frac{x^{2}}{y} = \frac{3}{2} (\frac{1}{x}) + (- 5) \\ \frac{x^{2}}{y} = \frac{3}{2 x} - 5 \\ \frac{x^{2}}{y} = \frac{3 - 10 x}{2 x} \\ \frac{y}{x^{2}} = \frac{2 x}{3 - 10 x} \\ y = \frac{2 x^{3}}{3 - 10 x} \end{array}

Soalan 9 (3 markah):
Pembolehubah x dan y dihubungkan oleh persamaan

y = x + \frac{r}{x^{2}}

, dengan keadaan r ialah pemalar. Rajah menunjukkan graf garis lurus yang diperoleh dengan memplotkan

(y - x) melawan \frac{1}{x^{2}} .

Rajah

Ungkapkan h dalam sebutan p dan r.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} y = x + \frac{r}{x^{2}} \\ y - x = r (\frac{1}{x^{2}}) + 0 \\ Y = m X + c \\ m = r, c = 0 \\ m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \\ r = \frac{5 p - 0}{\frac{h}{2} - 0} \\ \frac{h r}{2} = 5 p \\ h r = 10 p \\ h = \frac{10 p}{r} \end{array}

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 19 (4 markah):
Diberi bahawa kos α = t dengan keadaan t ialah pemalar dan 0^o≤ α ≤ 90^o.
Ungkapkan dalam sebutan t
(a) sin (180^o + α),
(b) sek 2α.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} sin (180^{o} + α) \\ = \sin 180 k o s α + k o s 180 \sin α \\ = 0 - \sin α \\ = - \sin α \\ = - \sqrt{1 - t^{2}} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} sek 2 α = \frac{1}{k o s 2 α} \\ = \frac{1}{2 k o s^{2} α - 1} \\ = \frac{1}{2 t^{2} - 1} \end{array}

Bab 8 Sukatan Membulat

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 7 (4 markah):
Rajah menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O.

Rajah

PR dan QR masing-masing adalah tangen kepada bulatan itu pada titik P dan titik Q. Diberi bahawa panjang lengkok PQ ialah 4 cm dan

O R = \frac{5}{α} cm .

Ungkapkan dalam sebutan α,
(a) jejari, r, bulatan itu,
(b) luas, A, kawasan berlorek.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} Diberi s_{P Q} = 4 \\ r α = 4 \\ r = \frac{4}{α} cm \end{array}

(b)

\begin{array}{l} P R = \sqrt{{(\frac{5}{α})}^{2} - {(\frac{4}{α})}^{2}} \\ P R = \sqrt{\frac{9}{α^{2}}} \\ P R = \frac{3}{α} \\ A = Luas kawasan berlorek \\ A = Luas segi empat O P R Q - \\ Luas sektor O P Q \\ = 2 (Luas △ O P R) - \frac{1}{2} r^{2} θ \\ = 2 [\frac{1}{2} \times \frac{3}{α} \times \frac{4}{α}] - [\frac{1}{2} \times {(\frac{4}{α})}^{2} \times α] \\ = \frac{12}{α^{2}} - \frac{8}{α} \\ = \frac{12 - 8 α}{α^{2}} {cm}^{2} \end{array}

Soalan 8 (3 markah):
Rajah menunjukkan dua buah sektor AOD dan BOC bagi dua bulatan dengan pusat sepunya O.

Rajah

Sudut yang dicangkum pada pusat O oleh lengkok major AD ialah 7α radian dan perimeter seluruh rajah ialah 50 cm.
Diberi OB = r cm, OA = 2OB dan ∠BOC = 2α, ungkapkan r dalam sebutan α.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Panjang lengkok major A O D \\ = 2 r \times 7 α \\ = 14 r α \\ Panjang lengkok minor B O C \\ = r \times 2 α \\ = 2 r α \\ Perimeter seluruh rajah \\ = 50 cm \\ 14 r α + 2 r α + r + r = 50 \\ 16 r α + 2 r = 50 \\ 8 r α + r = 25 \\ r (8 α + 1) = 25 \\ r = \frac{25}{8 α + 1} \end{array}

Bab 12 Janjang

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 9 (4 markah):
Diberi bahawa p, 2 dan q ialah tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri.
Ungkapkan dalam sebutan q
(a) sebutan pertama dan nisbah sepunya janjang itu.
(b) hasil tambah sebutan hingga ketakterhinggaan janjang itu.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} T_{1} = p, T_{2} = 2, T_{3} = q \\ \frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{T_{3}}{T_{2}} \\ \frac{2}{p} = \frac{q}{2} \\ p = \frac{4}{q} \\ S e b u t a n p e r t a m a, T_{1} = p = \frac{4}{q} \\ Nisbah sepunya = \frac{q}{2} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} a = \frac{4}{q}, r = \frac{q}{2} \\ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} \\ = \frac{\frac{4}{q}}{1 - \frac{q}{2}} \\ = \frac{4}{q} \div [1 - \frac{q}{2}] \\ = \frac{4}{q} \div [\frac{2 - q}{2}] \\ = \frac{4}{q} \times \frac{2}{2 - q} \\ = \frac{8}{2 q - q^{2}} \end{array}

Soalan 10 (3 markah):
Seorang murid mempunyai seutas dawai dengan panjang 13.16 m. Murid itu membahagikan dawai itu kepada beberapa bahagian. Setiap bahagian akan membentuk satu segi empat sama. Rajah menunjukkan tiga buah segi empat sama yang pertama yang dibentuk oleh murid itu.

Rajah

Berapa buah segi empat sama yang boleh dibentuk oleh murid itu?

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Perimeter segi empat sama; \\ T_{1} = 4 (4) = 16 cm \\ T_{2} = 4 (7) = 28 cm \\ T_{3} = 4 (10) = 40 cm \\ Sebutan pertama, a = 16, \\ Beza sepunya, d \\ = 28 - 16 \\ = 12 \\ Jumlah perimeter, S_{n} = 13.16 m = 1316 cm \\ \frac{n}{2} [2 (16) + (n - 1) 12] = 1316 \\ n [32 + 12 n - 12] = 2632 \\ 12 n^{2} + 20 n - 2632 = 0 \\ 3 n^{2} + 5 n - 658 = 0 \\ (n - 14) (3 n + 47) = 0 \\ n - 14 = 0 \\ n = 14 \\ Atau \\ 3 n + 47 = 0 \\ n = - \frac{47}{3} (ditolak) \\ 14 buah segi empat sama boleh dibentuk \\ dengan menggunakan dawai 13 .16 m . \end{array}

Bab 12 Janjang

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 7 (2 markah):
Diberi bahawa sebutan ke-n bagi suatu janjang geometri ialah

T_{n} = \frac{3 r^{n - 1}}{2}, r \neq k .

Nyatakan
(a) nilai k,
(b) sebutan pertama bagi janjang itu.

Penyelesaian:
(a)
k = 0, k = 1 atau k = -1 (salah satu daripada jawapan ini).

(b)

\begin{array}{l} T_{n} = \frac{3}{2} r^{n - 1} \\ T_{1} = \frac{3}{2} r^{1 - 1} \\ = \frac{3}{2} r^{0} \\ = \frac{3}{2} (1) \\ = \frac{3}{2} \end{array}

Soalan 8 (3 markah):
Diberi bahawa hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah

S_{n} = \frac{n}{2} [13 - 3 n]

Cari sebutan ke-n.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} S_{n} = \frac{n}{2} [13 - 3 n] \\ S_{n - 1} = \frac{n - 1}{2} [13 - 3 (n - 1)] \\ = \frac{1}{2} (n - 1) (13 - 3 n + 3) \\ = \frac{1}{2} (n - 1) (16 - 3 n) \\ T_{n} = S_{n} - S_{n - 1} \\ = \frac{n}{2} (13 - 3 n) - \frac{1}{2} (n - 1) (16 - 3 n) \\ = \frac{13 n}{2} - \frac{3 n^{2}}{2} - \frac{1}{2} (16 n - 3 n^{2} - 16 + 3 n) \\ = \frac{13 n}{2} - \frac{3 n^{2}}{2} - \frac{1}{2} (19 n - 3 n^{2} - 16) \\ = \frac{13 n}{2} - \frac{3 n^{2}}{2} - \frac{19 n}{2} + \frac{3 n^{2}}{2} + 8 \\ = \frac{- 6 n}{2} + 8 \\ = 8 - 3 n \end{array}

Bab 15 Vektor

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 10 (3 markah):
Rajah menunjukkan vektor-vektor

\vec{O P}, \vec{O Q} dan \vec{O M}

dilukis pada grid segi empat sama.

Rajah

\begin{array}{l} (a) Ungkapkan \vec{O M} dalam bentuk h \underset{˜}{p} + k \underset{˜}{q}, \\ dengan keadaan h dan k ialah pemalar . \\ (b) Pada Rajah 3, tanda dan label titik N \\ dengan keadaan \vec{M N} + \vec{O Q} = 2 \vec{O P} . \end{array}

Penyelesaian:
(a)

\vec{O M} = \underset{˜}{p} + 2 \underset{˜}{q}

(b)

\begin{array}{l} \vec{M N} + \vec{O Q} = 2 \vec{O P} \\ \vec{M N} = 2 \vec{O P} - \vec{O Q} \\ = 2 \underset{˜}{p} - \underset{˜}{q} \end{array}

Soalan 11 (4 markah):

\begin{array}{l} A (2, 3) dan B (- 2, 5) terletak pada \\ suatu satah Cartes . \\ Diberi bahawa 3 \vec{O A} = 2 \vec{O B} + \vec{O C} . \\ Cari \\ (a) koordinat C, \\ (b) | \vec{A C} | \end{array}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Diberi A (2, 3) dan B (- 2, 5) \\ Maka, \vec{O A} = 2 \underset{˜}{i} + 3 \underset{˜}{j} dan \vec{O B} = - 2 \underset{˜}{i} + 5 \underset{˜}{j} \end{array}

(a)

\begin{array}{l} 3 \vec{O A} = 2 \vec{O B} + \vec{O C} \\ \vec{O C} = 3 \vec{O A} - 2 \vec{O B} \\ = 3 (2 \underset{˜}{i} + 3 \underset{˜}{j}) - 2 (- 2 \underset{˜}{i} + 5 \underset{˜}{j}) \\ = 6 \underset{˜}{i} + 9 \underset{˜}{j} + 4 \underset{˜}{i} - 10 \underset{˜}{j} \\ = 10 \underset{˜}{i} - \underset{˜}{j} \\ Maka, koordinat C ialah (10, - 1) \end{array}

(b)

\begin{array}{l} \vec{A C} = \vec{A O} + \vec{O C} \\ = - \vec{O A} + \vec{O C} \\ = - (2 \underset{˜}{i} + 3 \underset{˜}{j}) + 10 \underset{˜}{i} - \underset{˜}{j} \\ = - 2 \underset{˜}{i} + 10 \underset{˜}{i} - 3 \underset{˜}{j} - \underset{˜}{j} \\ = 8 \underset{˜}{i} - 4 \underset{˜}{j} \\ | \vec{A C} | = \sqrt{8^{2} + {(- 4)}^{2}} \\ = \sqrt{80} unit \\ = \sqrt{16 \times 5} unit \\ = 4 \sqrt{5} unit \end{array}

Bab 15 Vektor

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 8 (3 markah):
Rajah menunjukkan trapezium ABCD.

Rajah

\begin{array}{l} Diberi \underset{˜}{p} = (\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array}) dan \underset{˜}{q} = (\begin{array}{l} k - 1 \\ 2 \end{array}), dengan \\ keadaan k ialah pemalar, cari nilai k . \end{array}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} \underset{˜}{p} = m \underset{˜}{q} \\ (\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array}) = m (\begin{array}{l} k - 1 \\ 2 \end{array}) \\ (\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{l} m k - m \\ 2 m \end{array}) \\ m k - m = 3 .......... (1) \\ 2 m = 4 ................ (2) \\ Dari (2) : \\ 2 m = 4 \\ m = 2 \\ Gantikan m = 2 ke dalam (1) : \\ 2 k - 2 = 3 \\ 2 k = 3 + 2 \\ 2 k = 5 \\ k = \frac{5}{2} \end{array}

Soalan 9 (3 markah):
Rajah menunjukkan vektor-vektor

\vec{A B}, \vec{A C} dan \vec{A D}

yang dilukis pada grid segi empat sama bersisi 1 unit.

Rajah

\begin{array}{l} (a) Cari | - \vec{B A} | . \\ (b) Diberi \vec{A B} = \underset{˜}{b} dan \vec{A C} = \underset{˜}{c}, \\ ungkapkan dalam sebutan \underset{˜}{b} dan \underset{˜}{c} \\ (i) \vec{B C}, \\ (i i) \vec{A D} \end{array}

Penyelesaian:
(a)

| - \vec{B A} | = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5 unit

(b)(i)

\begin{array}{l} \vec{B C} = \vec{B A} + \vec{A C} \\ = - \underset{˜}{b} + \underset{˜}{c} \\ = \underset{˜}{c} - \underset{˜}{b} \end{array}

(b)(ii)

\begin{array}{l} \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B D} \\ = \underset{˜}{b} + 2 \vec{B C} \\ = \underset{˜}{b} + 2 (\underset{˜}{c} - \underset{˜}{b}) \\ = 2 \underset{˜}{c} - \underset{˜}{b} \end{array}

Bab 5 Indeks dan Logaritma

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 15 (4 markah):

\begin{array}{l} (a) Diberi P = \log_{a} Q, nyatakan \\ syarat-syarat bagi a . \\ (b) Diberi \log_{3} y = \frac{2}{\log_{x y} 3}, ungkapkan \\ y dalam sebutan x . \end{array}

Penyelesaian:
(a)
a > 0, a ≠ 1

(b)

\begin{array}{l} \log_{3} y = \frac{2}{\log_{x y} 3} \\ \frac{\log_{x y} y}{\log_{x y} 3} = \frac{2}{\log_{x y} 3} \\ \log_{x y} y = 2 \\ y = {(x y)}^{2} \\ y = x^{2} y^{2} \\ \frac{1}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{y} \\ y = \frac{1}{x^{2}} \end{array}

Soalan 16 (2 markah):
Diberi 2^p + 2^p = 2^k. Ungkapkan p dalam sebutan k.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} 2^{p} + 2^{p} = 2^{k} \\ 2 (2^{p}) = 2^{k} \\ 2^{p} = \frac{2^{k}}{2^{1}} \\ 2^{p} = 2^{k - 1} \\ p = k - 1 \end{array}

Soalan 17 (3 markah):

\begin{array}{l} Diberi \frac{25^{h + 3}}{125^{p - 1}} =1, ungkapkan p dalam \\ sebutan h . \end{array}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} \frac{25^{h + 3}}{125^{p - 1}} = 1 \\ 25^{h + 3} = 125^{p - 1} \\ {(5^{2})}^{h + 3} = {(5^{3})}^{p - 1} \\ 5^{2 h + 6} = 5^{3 p - 3} \\ 2 h + 6 = 3 p - 3 \\ 3 p = 2 h + 9 \\ p = \frac{2 h + 9}{3} \end{array}

Soalan 18 (3 markah):

\begin{array}{l} Selesaikan persamaan: \\ \log_{m} 324 - \log_{\sqrt{m}} 2 m = 2 \end{array}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} \log_{m} 324 - \log_{\sqrt{m}} 2 m = 2 \\ \log_{m} 324 - \frac{\log_{m} 2 m}{\log_{m} m^{\frac{1}{2}}} = 2 \\ \log_{m} 324 - 2 (\frac{\log_{m} 2 m}{\log_{m} m}) = 2 \\ \log_{m} 324 - 2 \log_{m} 2 m = 2 \\ \log_{m} 324 - \log_{m} {(2 m)}^{2} = l o g_{m} m^{2} \\ \log_{m} (\frac{324}{4 m^{2}}) = l o g_{m} m^{2} \\ \frac{324}{4 m^{2}} = m^{2} \\ 4 m^{4} = 324 \\ m^{4} = 81 \\ m = \pm 3 (- 3 ditolak) \end{array}